数学建模之层

数学建模之层次分析法
层次分析法
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

缺点：
（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。

（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。

（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。

1.模型的应用
用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。

（1）公司选拔人员，
（2）旅游地点的选取，
（3）产品的购买等，
（4）船舶投资决策问题（下载文档），
（5）煤矿安全研究，
（6）城市灾害应急能力，
（7）油库安全性评价，
（8）交通安全评价等。

2.步骤
①建立层次结构模型
首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。

准则层
目标层
方案层
目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。

通常只有一个总目标。

准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。

方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。

通常有几个方案可选。

注意： （1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；
（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。

这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。

当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。

②构造判断（成对比较）矩阵
以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比较。

得到判断矩阵，再求出各元素的权重。

ij a 重要程度的衡量用Santy 的1—9标度方法给出。

即
设各元素C 1,C 2,… , C n 对目标O 两两比较后的重要性
,(),ij i j ij n n a C A a ⨯==0,1ij ji ij a a a >=，则得到比较矩阵
标度含义1两元素同等重要3前者比后者略重要5前者比后者重要7前者比后者重要的多9前者比后者绝对重要2,4,6,8介于以上判断的中间值
倒数
若元素i与元素j的重要性之比为p ij ，则元素j与
元素i的重要性之比为p ij =1/p ji
1111⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
K M O
M L
n m mn a a A a
a ③层次单排序及其一致性检验
对判断矩阵A ，用w 表示一非零向量，计算满足：Aw nw =，即()0p nI w -= 的特征值和特征向量。

由ik ij jk a a a =⨯得矩阵A 的秩为1，所以A 仅有一个非零特征值。

由A 的特征值之和即A 的主对角线元素之和为n ，得到n 是A 的唯一
非零特征值，A 的特征值满足的关系为：
max max 0,,()i i n λλλλ==≠
因为只有判断矩阵A 有完全一致性时，max n λ=才能满足。

所以我们对判断矩阵的一致性进行检验。

用CI 作为一致性指标，CI=0，有完全的一致性，CI 接近于0，有满意的一致性，CI 越大，不一致程度越严重。

但仅仅用CI 的值作为衡量判断矩阵A 的一致性检验标准是不准确的，因此，引进平均随机一致性指标RI 检验成对比较阵A 是否具有满意的一致性。

用CR 作为判断矩阵的一致性比例，/CR CI RI =。

当0.1CR <时，认为判断矩阵具有满意的一致性；当0.1CR ≥时，认为判断矩阵不具有基本满意一致性。

若矩阵A 不具有满意的一致性，则需要对判断矩阵进行修改。

即求得特征向量w 后，将/(,1,2,,)i j w w i j n =L 的值按照第i 行第j 列的位置进行排序，构造新的判断矩阵和原判断矩阵对应位置相比较，差值的绝对值最大者为要修改的数据。

④层次总排序及其一致性检验
上边已得出一组元素对其上一层中某元素的权重向量。

我们需要从最高层次到最低层次依次计算，若某一层A 层m 个元素的层次总排序权重分别为12,,,m a a a L ，其下层B 层有n 个元素，它们相对于j A 的层次单排序权重为分别是1,,j nj b b L （i B 和j A 没有关联时，0ij b =），则得到B 层各个元素对决策目标的权重，即B 层各个元素的层次总排序权重i b 为：
1
,(1,2,,)m
i ij j j b b a i n ===∑L
由上一步求得单排序一致性指标()(1,,)CI j j m =L ，，相应的平均随机一致性指标()RI j ，则B 层总排序的随机一致性比例为
n 1234567891011RI
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
11
()()m
j
j m
j
j CI j a
CR RI j a
===
∑∑
当0.10CR <时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

例题：挑选合适的工作。

经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。

该
生要如何选择工作？ 模型的建立
我们根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。

工作满意程度
研究课题发展前景
待遇
同事情况地理
位置单位名气
工作1工作2工作3
目标层A
准则层B
方案层C
模型的求解
准则层的判断矩阵如表1所示。

表1
方案层的判断矩阵如表2所示。

表2
层次总排序如表3所示。

表3
由层次总排序权值得出，该生最满意的工作是工作1。