固体物理第10次课

第 10 次 课
教学目的：掌握一维双原子链运动方程的建立和求解；理解晶格振动的色散关系；掌握声学波和光学波的特点；
教学内容： §3.2 一维双原子链
重点难点：一维双原子链运动方程的建立和求解；晶格振动的色散关系；声
学波和光学波的特点；色散关系；
§3.2 一维双原子链
除了少数元素晶体外，大多数晶体的原胞中都含有不止一个原子，就是复式格
子。

一维双原子链就是最简单的复式格子。

1. 一维复式格子的情形——一维无限长链
—— P 和Q 两种不同原子：m 、M （M>m ）构成的一维复式格子 —— 相邻同种原子间的距离为2a —— 复式格子的晶格常数 —— 如图XCH003_005所示
质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。

2. 牛顿运动方程
原子间的力常数均为β，类似于一维单原子链的运动方程。

第2n 个m 原子的方程：)2(121222-+---=n n n n m μμμβμ
第2n+1个M 原子的方程：)2(222122n n n n M μμμβμ
---=++ —— 体系N 个原胞，有2N 个独立的方程 3. 方程的解：
]
)12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be
Ae +-+-==ωωμμ —— A 和B 分别是m 原子和M 原子振动的振幅
—— 因为m M >，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的 将试探解
]
)12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be
Ae +-+-==ωωμμ带回到运动方程得到：
B
A e
e
B M A B e e A m iaq
iaq
iaq iaq ββωββω2)(2)(2
2-+=--+=---，
移项，整理得：
)2()cos 2(0)cos 2()2(2
2=-+-=--B M A aq B aq A m ωβββωβ
若A 、B 有非零的解，系数行列式满足：
02cos 2cos 2222=----ωβββωβM aq aq
m
由此解出两个2ω的值：
}]sin )
(41[1{)(21
2
2
2
aq M m mM mM M m +--+=-
βω }]sin )
(41[1{)(21
22
2
aq M m mM
mM M m +-++=+
βω 由解，我们可以画出两只格波的色散关系曲线，如图XCH003_006_01所示 。

4. 格波的振幅 将2
+ω和2
-ω分别代入
)2()cos 2(0)cos 2()2(2
2=-+-=--B M A aq B aq A m ωβββωβ
得到aq m A B cos 22)(2ββω--=++和aq
m A B
cos 22)(2ββω--=--
—— 从
]
)12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be
Ae +-+-==ωωμμ得到相邻原胞之间的相位差是aq 2
—— 为保证波函数的单值性，一维复式格子q 的值限制在：ππ≤<-aq 2 —— 第一布里渊区 a
q a
22π
π
≤
<-
—— 第一布里渊区大小：
a
π
采用周期性边界条件：n n N μμ=+，h aq N π2)2(=
π22aN
h
q =
—— h 为整数 —— 每个波矢在第一布里渊区占的线度：Na
q π
=
—— 第一布里渊区允许q 的数目：
N Na
a =π
π
/
—— 晶格中的原胞数目
对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ，为原子的数目2N 5. 色散关系的特点 当a
q 2π
±
→(布里渊边界) —— 短波极限情况
两种格波的频率：2
1
2121min 2
1
2
121
max )2()}(){()()()2()}(){()()(m
m M M m mM M
m M M m mM β
βωβ
β
ω=-++==--+=+- 因为M ＞m ，所以：max min )()(-+>ωω，可见在max min )()(-+>>ωωω时没有格波。

max min )(~)(-+ωω之间的频率范围叫频率间隙 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器。

如图XCH003_006_01所示。

6.两种格波中m 和M 原子振动振幅之比：
aq m A B cos 22)(2ββω--
=++和 aq
m A B
cos 22)(2ββω--=-- —— 如图XCH003_007所示 1）a
q 2π
±
→时m 和M 原子振动的振幅
声学波：aq
m A B
cos 22)(2
ββω--=--
0)2(cos →±
a a π
——∞→-)(A
B
B>>A （红线表示） —— 可以认为A ＝0
，
即m 原子静止不动，相邻原子振动的相位相反 原子的振动如图XCH003_007_01所示
光学波：aq
m A B
cos 22)(2ββω--=++
0)2(cos →±
a a π
——0)(→+A
B
B<<A （蓝色线表示）—— 可以认为B=0，即M 原子静止不动，相邻原子振动的相位相
反
—— 原子振动如图XCH003_007_02所示
2） 0→q —— 长波极限情况 声学波 —— 长声学波
}]sin )
(41[1{)(21
22
2
aq M m mM mM M m +--+=-
βω——1)(sin )(422<<+aq M m mM 利用 1<<x —— 2
11x x -=- 整理后得到：)sin(2qa M
m +=
-β
ω—— qa qa ≈)sin( ——q M
m a
+=-β
ω2 ——-ω的色散关系与一维布拉伐格子的情形形式上是相同的，由完全相同原子所组成的布拉伐格子只有声学波。

将0,01==ωq 代入aq
m A B
cos 22)(2ββω--=--
得到：1)(=-A
B
—— 原胞中两个原子振动振幅相同，如图XCH003_008_01所示
—— 在长声学波中相邻原子振动方向相同，并且振幅相同，代表的是原胞质心的振动。

光学波 —— 长光学波
}]sin )
(41[1{)(21
2
2
2
aq M m mM mM M m +-++=+
βω ——
1sin )
(422
<<+aq M m mM
——0→q 当0→q (波长λ很大)时：μ
β
ω2=+，m
M Mm
+=
μ（有效质量） 将μ
β
ω2=
+和1cos →aq 代入aq m A B
cos 22)(2ββω--=++
得到：M
m
A B -=+)(—— 长光学波中同种原子振动相位一致，相邻原子振动方向相
反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间的相对运动。

如图XCH003_008_02所示
7.长光学波与电磁波的作用
—— 在长波极限下，对于典型的βμ和值，可以得到s /10~102)(14130==+μ
β
ω，
对应于远红外的光波。

—— 用远红外的光波激发离子晶体时，可以引起晶体中长光学波的共振吸收 光波的频率q c 0=ω—— c 0为光速 —— 如图XCH003_006_04中的直线
波矢约～1014cm－1——远远小于一般格波的波矢 1
——只有的0
q长光学波可以与远红外的光波发生共振吸收
——将可以与光波作用的长光学波声子称为电磁声子
作业：3.2， 3.3。