2009江苏省专转本高等数学真题

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09年高考数学卷江苏含详解

【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i ，其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为★. 【答案】 20
3号
7
6
f
(m)
4号
8
7
f
5号 7 9
开始
S 0 T 1 S T2 S
S 10
Y
W S T 输出W
结束
(n) ，则 m, n 的大小
T T 2
N
关系为 ★ .
【答案】 m n
【解析】略
11.已知集合 A x | log2 x 2， B (, a) ，若 A B 则实数 a 的取值范围是
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)

2009年成考专升本高数真题及答案

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂（在答题卡相应题号的信息点上）。

【答案】B 【解析】本题考查极限值与相同函数值选B 【点评】本题属于简单题，咱们在安通课堂上多次讲过，相信大家没有问题。

【答案】B 【解析】本题考查导数的基本运算，非常简单。

【点评】本题属于送分题非常简单。

【答案】B 【解析】考导数符号与单调性关系，选B 【答案】A 【解析】本题考查不定积分的运算。

属于简单题【点评】本题属于高数基本题型，非常简单，有点高数基础的学员应该不会有问题。

【答案】D 【解析】本题考查求导与定积分概念题，常数的导数为0 选D 【点评】本题属于一个小的复合题，但是比较简单，咱们在安通课堂上专项练习过此题，上过课的学员应该不会有问题。

【点评】本题是微积分的最基本题型，咱们在安通脱产班专项练习过。

【答案】C 【解析】本题考查复合函数偏导选C 【点评】本题考查符合函数的偏导数，属于最基本题型，咱们在安通脱产班原题练过。

【答案】D 【解析】本题考查抽象复合函数二阶偏导选D 【点评】本题综合性比较大，但咱们在脱产班（）讲过类似题，大家做对本题应该没有问题。

10．任意三个随机事件A、B、C中至少有一个发生的事件可表示为随机事件关系运算题选A A．AUBUC B．AUBnC C．AnBUC D．AnBUC 【答案】A 【解析】本题考查随机事件关系运算题，选A二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分，把答案填写在（答题卡相应题号后）。

2009年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知：则常数a，b的取值分别为( )A．z=-1，b=-2B．a=-2，b=0C．a=-1，b=0D．a=-2，b=-1正确答案：A解析：由已知得+ax+b=0，4+2a+b=0，+a=4+a=3解得a=-1，b=-2．2．已知函数f(x)=则x=2为f(x)的( )A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．震荡间断点正确答案：B解析：由于，所以x=2为f(x)的可去间断点．3．设函数在点x=0处可导，则常数a的取值范围为( )A．0＜a＜1B．0＜a≤1C．a＞1D．a≥1正确答案：C解析：由已知f(x)在点x=0处可导,则存在，所以a-1＞0，即a＞1．4．曲线的渐近线的条数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：两条，一条垂直渐近线，一条水平渐近线．5．设F(x)=ln(3x+1)是函数f(x)的一个原函数，则f’(2x+1)dx=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由已知f(x)=F’(x)=，则∫f’(2x+1)dx=∫f’(2x+1)d(2x+1)=f(2x+1)+C=6．设a为非零常数，则数项级数( )A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．敛散性与a有关正确答案：C解析：，故原级数发散．填空题7．已知，则常数C=_____．正确答案：ln2解析：所以C=ln2．8．设函数φ(x)=∫02xtetdt，则φ’(x)=______．正确答案：4xe2x解析：利用变上限积分求导，φ’(x)=2xe2x.2=4xe2x．9．已知向量a=(1，0，-1)，b=(1，-2，1)，则a+b与a的夹角为_____．正确答案：解析：利用向量夹角公式10．设函数z=z(x，y)由方程xz2+yz=1所确定，则_______．正确答案：解析：隐函数求导，方程两边对x求导，得z2+x.2z.zx+zx.y=0，整理得zx=11．若幂级数(a＞0)的收敛半径为，则常数a=______．正确答案：2解析：根据所给幂级数an=(2n-1) 收敛半径R=所以a=2．12．微分方程(1+x2)ydx-(2-y)xdy=0的通解为_____．正确答案：2ln｜y｜-y=ln｜x｜+x2+C解析：这是一个可分离变量的常微分方程，分离变量得，化简得(+x)dx=(-1)dy．两边积分得2ln｜y｜-y=ln｜x｜++C 解答题解答时应写出推理、演算步骤。

01—10年江苏专转本数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示（） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

江苏省专转本高等数学试题题型分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数（0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算x →．（0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭．（0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ．（1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________．（1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ．（三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型．（0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ．（0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？（2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？（3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？（1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>，这点0x =是函数()f x 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ．二、一元函数微分学（一）导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ．（0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ．（1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ．（0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ．（0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加；（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为．（0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．（0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+．（0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤．（0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条（1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+．（1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根．（1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+．（1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>．（1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分3x = ．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算x ．（0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程．（0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ．（0815）求不定积分3d 1x x x +⎰．（0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分x ⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰．（1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则0x ⎰的值为（）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分)231cos d x x x -+⎰的值为．（0716）计算定积分x ．（0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为．（0816）求定积分10d x ⎰．（0916）求定积分：210⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为．（1016）计算定积分40x ⎰．（1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3⎰　．（1216）计算定积分21⎰．（1316）计算定积分20⎰（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2+∞⎰（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰　，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______．（1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式；（2）函数)(x f 的单调区间与极值；（3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=．（1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点．（四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ；（2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ；（3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ．（0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ．（0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为．（0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为．（1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程．（0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程．（0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程．（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程．（1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，(,)v x y =，则下列等式成立的是（）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu．（0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝．（0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数z =，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成．（0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）．（1）交换)(u F 的积分次序；（2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分d Dx y ，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域．（1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n n u 、（2）∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是（） A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（）A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=（1305）下列级数中收敛的是（）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= （二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为．（0519）把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为．（0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-（1112）幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________．（1212）幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________．（1312）幂级数1n nn ∞=的收敛域为．七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解．（0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为．（1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为．（二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解．（1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．（1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰，原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则()500M x x =+500≤≤x ），由150070002M '=+⨯=解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=，解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑，收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减，故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根；原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ；所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示）（2）()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ．图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式322ln )(1ln )3x x C =+=++．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程；令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x-=；两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-），所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ．20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=；所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S x x x -=--=⎰；（2）224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰；综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；。

2009年江苏高考数学试卷带详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数 12429i,69i z z =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()i z z -的实部为 . 【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数，根据复数的减法，乘法运算求目标复数的实部. 【难易程度】容易【参考答案】20-【试题解析】12220i z z -=-+，12()i z z -= (220i)i=2i 20-+--，所以实部为20-.2.已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角，求向量的数量积. 【难易程度】容易【参考答案】3 【试题解析】32332==a b . 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】直接给出函数解析式，利用导数求其单调区间. 【难易程度】容易【参考答案】(1,11)- 【试题解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[π,0]-上的图象如图所示，则ω= .第4题图【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象的性质. 【考查方式】观察函数图象，得到周期. 【难易程度】容易【参考答案】33π2T =，2π3T =，所以3ω= . 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件，直接求概率. 【难易程度】中等【参考答案】0.2【试题解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = . 【测量目标】平均数，方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中，根据表格中的数据计算平均数和方差. 【难易程度】中等【参考答案】25【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+== 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图，进行运算得到答案. 【难易程度】中等【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S =1, T =3第二次循环：S=8，T =5，第三次可以输出W=17+5=22 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子，通过类比，求体积比. 【难易程度】中等【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方，空间中面积比和棱长比成立方，所以体积比为1:8.9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式，利用导数的几何意义，根据该点的切线的斜率，求点坐标. 【难易程度】中等【参考答案】(2,15)-【试题解析】231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为(2,15)-.10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 .【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数，根据指数函数的单调性，判断自变量的大小.【难易程度】中等【参考答案】m<n【试题解析】考查指数函数的单调性.51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n 11.已知集合{}2|log 2=A x x ，(,)=-∞B a 若A B ⊂则实数a 的取值范围是(,)+∞c ，其中c = .【测量目标】集合间的关系，对数不等式.【考查方式】描述法表示集合，求出对数不等式，根据集合间的关系，求参数的范围. 【难易程度】中等【参考答案】4 【试题解析】由2log 2x得04<x ，(0,4]=A ；由A B ⊂知4>a ，所以=c 4.12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）.【测量目标】命题的基本关系，立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理. 【考查方式】通过两个不重合的平面，确定命题的真假. 【参考答案】①② 【难易程度】较难【试题解析】对于①，根据面面的平行定理，平面内两条相交直线，互相平行于另一平面的两条直线，则两条直线平行;对于②，根据线面平行的判断依据，显然成立.对于③，当一条直线垂直两平面的相交直线，显然不一定使得，两平面垂直，所以为假命题；. 对于④，只满足充分条件，不满足必要条件，为假命题. 故真命题为①②.13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .第13题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的基本性质，直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系，利用椭圆的基本性质，求椭圆的离心率值. 【难易程度】中等【参考答案】275-【试题解析】直线12A B 的方程为：1+=-x ya b；直线1B F 的方程为：1+=-x y c b.（步骤1）二者联立解得：2()(,)+=--ac b a c T a c a c，（步骤2）则()(,)2()+=--ac b a c M a c a c 在椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上， 2222222()1,1030,1030,()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--（步骤3）解得： 275=-e （步骤4）14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1>q ，令1(1,2,)=+=n n b a n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6=q . 【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列，根据列举表示出的集合，利用通项求公比进而求值. 【难易程度】中等【参考答案】9- 【试题解析】{}n a 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3,69.2=-=-q q 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【测量目标】向量的运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量，根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=a b c a b a c ，（步骤1）即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2）（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4）所以||+b c 的最大值为42.（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6）即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=（步骤7）所以a ∥b .（步骤8） 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥求证：（1）EF ∥ABC 平面（2）111A FD BB C C ⊥平面平面第16题图【测量目标】线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定.【考查方式】直三棱柱中点，线位置关系，利用线线，线面，面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为E,F 分别是11A B,A C 的中点，所以EF BC ，（步骤1）又EF ABC ⊄面，BC ABC ⊂面，所以EFABC 平面；（步骤2）（2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1111BB A B C ⊥面，11BB A D ⊥，（步骤3）又11A D B C ⊥，所以111A D BB C C ⊥面，（步骤4）又11A D A FD ⊂面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面（步骤5） 17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项. 【测量目标】等差数列的性质，通项，前n 项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系，求出通项及前n 项和；求满足条件的等差数列的项. 【难易程度】中等【试题解析】(1)以430a a +=，即1250a d +=，（步骤1）又由77S =得176772a d ⨯+=，（步骤2）解得15a =-，2d =（步骤3）所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-.（步骤4）（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t -=， 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t=+-，（步骤6）因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t+-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；（步骤7） 1t =-，1m =时，8615t t+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合. （步骤8）所以满足条件的正整数2m =.（步骤9） 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.第18题图【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系，以及圆的方程，求直线方程给出两垂直直线与两圆的位置关系，求满足条件的点坐标. 【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线l 的方程为： (4)y k x =-，即40kx y k --=，（步骤1）由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22234()12d =-=，（步骤2）结合点到直线距离公式，得231411k kk ---=+（步骤3）化简得：272470,0,24k k k k +===-或（步骤4）求直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--.（步骤5） (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--即110,+0kx y n km x y n m k k-+-=--+=（步骤6）因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等.故有： 2241531111n mk n km k kk k --++--+-=++，（步骤7）化简得：(2)3,m n k m n --=--(8)5m n k m n -+=+-或（步骤8）关于k 的方程有无穷多解，有：2080,3050m n m n m n m n ⎧--=-+=⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩或（步骤9）解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-.（步骤10） 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h 甲和0h h 乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子，列出不等式，根据不等式性质，进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题. 【难易程度】较难【试题解析】(1)=,=,125320A B A BA B A B m m m m h h m m m m ++++甲乙([3,12],[5,20])A B m m ∈∈（步骤1）当35A B m m =时，512B B m hm =+甲203B B m h m =+乙（步骤2）显然=h h 乙甲（步骤3）(2)当35A Bm m =时， h ==甲（步骤4）由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，（步骤5）故当1120B m =即20,12B A m m ==时，（步骤6）（3）（方法一）由（2）知： 0h =由0101255B B m h h m =+甲得：12552AB A B m m m m ++，（步骤7）令35,,A B x y m m ==则1,[,1]4x y ∈，即：5(14)(1)2x y ++.（步骤8）同理，由10=5h h 乙甲得：5(1)(14)2x y ++（步骤9）另一方面，1,[,1]4x y ∈，51414[2,5],11[,2]2x y x y ++∈++∈、、（步骤10） 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++++（步骤11）当且仅当14x y ==，即A B m m =时，取等号. （步骤12）所以不能否适当选取,A B m m 的值，使得h h 甲0和h h 乙0同时成立，但等号不同时成立.（步骤13）方法二：由（2）知023h =，因为20125+320y x h h y x y =++甲乙204,100915y y=++（步骤7）所以，当23h 甲,23h 乙时,有2==3h h 甲乙（步骤8）因此，不能取到,A B m m 的值，使得h h 甲0和h h 乙0同时成立，但等号不同时成立. （步骤9）20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f ，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x 的解集.【测量目标】分段函数，解不等式，函数的值域，函数的最值.【考查方式】直接给出含参数的函数解析式，根据函数值的大小，求参数的取值范围;根据分段函数，分段讨论，得到函数的最值；定义新函数，解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】（1）若(0)1f ，则||1a a -（步骤1）2011a aa <⎧⇒⇒-⎨⎩（步骤2）（2）当xa 时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩（步骤3）当xa 时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧--⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩（步骤4）综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-⎪=⎨<⎪⎩（步骤5）(3) (,)x a ∈+∞时，()1h x 得223210x ax a -+-，（步骤6）222412(1)128a a a ∆=--=-（步骤7）当6622aa -或时，0,(,)x a ∆∈+∞；（步骤8）当6622a -<<时，0,∆>得223232()()033a a a a x x x a⎧--+-⎪--⎨⎪>⎩（步骤9）1）26(,)22a ∈时，(,)x a ∈+∞ 2）22[,]22a ∈-时，232[,)3a a x +-∈+∞ 3）62(,]22a ∈--时，223232(,][,)33a a a a x a --+-∈+∞（步骤10）数学Ⅱ（附加题）参考公式:2222(1)(21)1+2+3++.6n n n n ++=…21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，ABC BAD △≌△. 求证：ABCD .第21题【测量目标】四边形、全等三角形.【考查方式】观察平面图形，根据全等三角形的性质进行证明. 【难易程度】容易【试题解析】证明：由ABC BAD △≌△得ACB BDA ∠=∠，故A B C D 、、、四点共圆，从而CBA CDB ∠=∠.再由ABC BAD △≌△得CAB DBA ∠=∠.因此DBA CDB ∠=∠，所以ABCD .B. 选修4-2：矩阵与变换求矩阵3221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易【考查方式】给出二乘二矩阵，根据矩阵的的基础知识求逆矩阵. 【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（步骤1）即3232102201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321320,2021x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩（步骤2）解得：1,2,2,x z w =-==-，（步骤3）从而A 的逆矩阵为11223--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .（步骤4）C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程.【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程，求出参数值，得到一般方程. 【难易程度】容易【试题解析】因为212x t t=+-所以212,3yx t t +=+=（步骤1）故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.（步骤2） D. 选修4 - 5：不等式选讲0ab >,求证:23223232a b a b ab ++.【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出不等式，利用不等式比较大小直接进行证明. 【难易程度】中等【试题解析】证明：2322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.（步骤1）因为0ab >,所以220,320a b a b -->（步骤2），从而22(32)()0a b a b --.（步骤3）即23223232a ba b ab ++.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.第22题图（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.【测量目标】两点距离公式，抛物线方程，直线方程，直线和抛物线的位置关系.【考查方式】已知一点过抛物线，求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系，利用两点间的距离公式，求表达式. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意知，可设抛物线C 的标准方程22y px =。

2009年江苏“专转本”高等数学试题及参考答案

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填在题后的括号内。

）1、已知32lim 22=-++→x bax x x ，则常数a ，b 的取值分别为A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a 2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、震荡间断点3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f a 在0=x 处可导，则常数a的取值范围是A 、10<<aB 、10≤<aC 、1>aD 、1≥a 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐近线条数为A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f )12('A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、Cx ++81236、设a 为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nan A 、条件收敛B 、绝对收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知2)(lim =-∞→x x Cx x ，则常数=C 8、设函数⎰=x t te x 20)(ϕ，则=)('x ϕ9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹角为10、设函数),(y x z z =由方程12=+yz xz 所确定，则=∂∂x z 11、若幂级数n n n x na ∑∞=12)0(>a 的收敛半径为21，则常数=a 12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，求dt dy ，22dx y d 15、求不定积分dx x ⎰+12sin 16、求定积分dxx x ⎰-1022217、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程.18、计算二重积分⎰⎰D ydxdy，其中{}2,2,20|),(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .19、设),(sin xy x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.20、求微分方程x y y =-'''的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、已知13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[]3,2-上的最大值和最小值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线22x y =和直线a x =，2=x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：（1）1D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积2V ；（2）常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知⎩⎨⎧≥+<=-010)(x x x e x f x ，证明)(x f 在0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<<x 时，32ln 42-+>x x x x .。

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【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
f (x) 3x2 30x 33 3(x 11)(x 1) ，由 (x 11)(x 1) 0 得单调减区间为 (1,11) 。亦
可填写闭区间或半开半闭区间。
4.函数 y Asin(x ) （ A,, 为常数， A 0, 0 ）在闭区间[ , 0]上的图象如图所示，则 = ▲ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2

1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i, 其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为 ▲ 。
7
7
第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 ▲ . 【解析】考查导数的几何意义和计算能力。
y 3x2 10 2 x 2 ，又点 P 在第二象限内， x 2 点 P 的坐标为（-2，15）
10.已知 a
关系为 ▲ .
5
2
1
，函数
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20

2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积 a b = ▲。
【解析】考查数量积的运算。
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ▲ .
中c= ▲ .
【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由 log2 x 2 得 0 x 4 ， A (0, 4]；由 A B 知 a 4 ，所以 c 4。

2009年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、已知32lim 22=-++→x b ax x x ，则常数ba ,的取值分别为（）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、震荡间断点3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A 、10<<α B 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐近线的条数为（） A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f)12('（） A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、C x ++81236、设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（） A 、条件收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性与α有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知2)(lim =-∞→xx Cx x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ⎰=20)(ϕ，则)('x ϕ＝ .9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹角为 . 10、设函数),(y x z z =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ . 11、若幂函数)0(12>∑∞=a x na nn n 的收敛半径为21，则常数=a .12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，，求22,dx yd dx dy . 15、求不定积分：⎰+dx x 12sin .16、求定积分：⎰-10222dx xx .17、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. 18、计算二重积分⎰⎰Dyd σ，其中}2,2,20),{(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.20、求微分方程x y y =-''的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值与最小值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知函数⎩⎨⎧≥+<=-0,10,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<<x 时，32ln 42-+>x x x x .2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、2ln 8、xxe249、3π 10、yxz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 213、6cos 13lim sin lim2030=-=-→→xx x x x x x ，. 14、dt t dy dt tdx )22(,11+=+=，2)1(211)22(+=++=t dt tdt t dx dy ，222)1(411)1(4+=++==t dt tdt t dx dx dyddx y d .15、令21,122-==+t x t x ，dt t t t t td tdt t dx x ⎰⎰⎰⎰+-=-=⋅=+cos cos cos sin 12sinC x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos16、令θsin 2=x ，当0,0==θx ；当4,1πθ==x .21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-⎰⎰⎰ππθθθθθθθθππd d dx x x17、已知直线的方向向量为)1,2,3(0=s ，平面的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平面的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==⨯=⨯=kj in s n .又显然点)2,1,0(在所求平面上，故所求平面方程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-===242cos 222242)sin 22csc 8(31sin sin ππθππθθθρρθθθρθρσd d d d d yd DD242)cos 22cot 8(31=+-=ππθθ19、y f x f x z ⋅+⋅=∂∂'2'1cos ；''22''12'22cos xyf f x x f yx z +⋅+=∂∂∂ 20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x xy dx dy =-在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232xx y dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =- 等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、（1）函数)(x f 的定义域为R ，33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x ，函数)(x f 的单调增区间为),1[,]1,(∞+--∞，单调减区间为]1,1[-，极大值为3)1(=-f ，极小值为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值为19)3(=f ，最小值为1)2()1(-=-=f f . 22、（1）420222122a dy x a a V a πππ=-⋅=⎰. )32(54)2(52222a dy x V a-==⎰ππ.（2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a -====⎰⎰由21A A =得34=a .23、证（1）因为1lim )(lim 0==-→→--xx x ex f ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。

2009年江苏专转本高等数学真题（附答案）

2009年江苏专转本⾼等数学真题（附答案）2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 1、已知32lim 22=-++→x b ax x x ，则常数ba ,的取值分别为（）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、⽆穷间断点 D 、震荡间断点3、设函数??>≤=0,1s i n 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A 、10<<α B 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐的条数为（） A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13l n ()(+=xx F 是函数)(x f 的⼀个原函数，则=+?dx x f )12('（） A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、C x ++81236、设α为⾮零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（）A 、条件收敛D 、敛散性与α有关⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 7、已知2)( lim =-∞→xx Cx x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ?=20)(?，则)('x ?＝.9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹⾓为.10、设函数),(y x z z =由⽅程12=+yz xz 所确定，则xz＝. 11、若幂函数)0(12>∑∞=a x na nn n 的收敛半径为21，则常数=a .12、微分⽅程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为.三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，满分64分）13、求极限：xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数⽅程-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，，求22,dx yd dx dy . 15、求不定积分：?-10222dx xx .17、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平⾯02=+++z y x 的平⾯⽅程. 18、计算⼆重积分Dyd σ，其中}2,2,20),{(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有⼆阶连续偏导数，求yx z2.20、求微分⽅程x y y =-''的通解.四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，满分20分）21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值与最⼩值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平⾯区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平⾯区域，其中20<（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的⾯积与2D 的⾯积相等.五、证明题（本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，满分18分）23、已知函数≥+<=-0,10,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<-+>x x x x .2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、2ln 8、xxe 249、3π 10、yxz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 2030=-=-→→xx x x x x x ，. 14、dt t dy dt tdx )22(,11+=+=，2)1(211)22(+=++=t dt tdt t dx dy ， 222)1(411)1(4+=++==t dt tdt t dx dx dyddx y d .15、令21,122-==+t x t x ，dt t t t t td tdt t dx x +-=-=?=+cos cos cos sin 12sinC x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos16、令θsin 2=x ，当0,0==θx ；当4,1πθ==x .21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-ππd d dx x x17、已知直线的⽅向向量为)1,2,3(0=s ，平⾯的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平⾯的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==?=?=kj in s n .⼜显然点)2,1,0(在所求平⾯上，故所求平⾯⽅程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、-===242cos 222242)sin 22csc 8(31sin sin ππθππθθθρρθθθρθρσd d d d d yd DD242)cos 22cot 8(31=+-=ππθθ19、y f x f x z ?+?=??'2'1cos ；''22''12'22cos xyf f x x f yx z +?+= 20、积分因⼦为.1)(2ln 22xe==?=--µ 化简原⽅程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在⽅程两边同乘以积分因⼦21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =-等式两边积分得到通解??=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、（1）函数)(x f 的定义域为R ，33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x ，函数)(x f 的单调增区间为),1[,]1,(∞+--∞，单调减区间为]1,1[-，极⼤值为3)1(=-f ，极⼩值为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值为19)3(=f ，最⼩值为1)2()1(-=-=f f . 22、（1）4 20222122a dy x a a V a πππ=-=. )32(54)2(52222a dy x V a -==?ππ.（2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a-=====-→→--xx x e x f ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。

2009年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．2/3C．1D．3/2正确答案：A解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量．当x→∞时，1/3x→0，即1/3x为无穷小量，又sin2x为有界变量：-1≤sin2x≤1．由有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知故选A．2．A．-2B．-1C．1D．2正确答案：B解析：本题考查的知识点为连续的性质：函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0左连续且右连续．所给函数f(x)为分段函数，x=1为分段点，在x=1两侧f(x)的表达式不同．应考虑左连续与右连续．注意f(1)=-1．f(x)在点x=1处连续，必有，因此a=1，故选B．3．A．2x-2eB．2x-e2C．2x-eD．2x正确答案：D解析：本题考查的知识点为导数的运算．y=x2-e2，则y’=(x2)’-(e2)’=2x-0=2x．[错误防范] 有些考生没能将e认定为常量，忘记常量的导数为零，错误地选A．4．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为复合函数的微分运算．由于y=e-3x，可得故选C．5．A．1B．1/3C．0D．-1/3正确答案：B解析：本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．故选B．6．A．f(2x)B．2f(x)C．-f(2x)D．-2f(x)正确答案：A解析：本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函数，则F’(x)=，即可变上限的导数为被积函数在上限处值．因此故选A．[错误防范] 有些考生误选B．如果令f1(2t)=f1(x)．则上述错误可以避免．7．A．sinx+CB．-sinx+CC．cosx+CD．-cosx+C正确答案：D解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式．∫sinxdx=-cosx+C．故选D．8．A．2x+1B．2xy+1C．x2+1D．2xy正确答案：B解析：本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此，故选B．9．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．由正项级数的比较判别法可知：若与都为正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则当收敛时，必定收敛．故选C．10．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为求解可分离变量方程．可得，故选C．填空题11．=______．正确答案：e-1解析：本题考查的知识点为重要极限公式．12．______．正确答案：0解析：本题考查的知识点为极限运算．所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零．因此13．设y=e-x，则y“=______”．正确答案：e-x解析：本题考查的知识点为二阶导数运算．14．设，则y’=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为导数运算．由于所给函数为分式，由商的求导法则可得15．∫(1-2x)dx=______．正确答案：x-x2+C．解析：本题考查的知识点为不定积分计算．∫(1-2x)dx=∫dx-∫2xdx=x-x2+C．16．=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为定积分的换元积分法．设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2．因此17．设z=sin(y-x2)，则=______．正确答案：COS(y-x2)．解析：本题考查的知识点为偏导数运算．求时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______．正确答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．解析：本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平行，则平面π的法线向量n∥n1，可取n=(1，-1，3)，由于所给平面过点M0(1，-1，0)．由平面的点法式方程可知所求平面方程为(x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0，即(x-1)-(y+1)+3z=0，或写为x-y+3z=2．19．设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，则______．正确答案：4。

近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数（0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算311lim1x x x →--．（0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭．（0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ．（1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________．（1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ．（三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型．（0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ．（0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？（2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？（3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？（1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()011xx x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪+-⎩，这点0x =是函数()f x 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ．二、一元函数微分学（一）导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ．（0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ．（1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ．（0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ．（0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加；（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为．（0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．（0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+．（0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤．（0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条（1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+．（1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根．（1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+．（1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>．（1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分32arcsin d 1x x x=-⎰．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算1ln d xx x+⎰．（0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程．（0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ．（0815）求不定积分3d 1x x x +⎰．（0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分sin21d x x +⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰．（1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则222208d R R x x -⎰的值为（）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分()223241cos d x x x x --+⎰的值为．（0716）计算定积分212221d x x x-⎰．（0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为．（0816）求定积分10d xe x ⎰．（0916）求定积分：212d 2x x x-⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为．（1016）计算定积分403d 21x x x ++⎰．（1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3d 11x xx ++⎰ ．（1216）计算定积分21d 21xx x -⎰．（1316）计算定积分22d 24x x+-⎰．（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2d 1xx x +∞⋅-⎰．（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰　，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______．（1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式；（2）函数)(x f 的单调区间与极值；（3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=．（1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点．（四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ；（2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ；（3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线2x y =，y x =-与直线1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ．（0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ．（0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为．（0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为．（1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程．（0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程．（0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程．（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程．（1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，22(,)ln v x y x y =+，则下列等式成立的是（）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu．（0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝．（0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数2ln4z x y =+，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x ∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dy x y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成．（0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序20111d (,)d x x x f x y y --+=⎰⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）．（1）交换)(u F 的积分次序；（2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分22d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21x y =-，直线y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线22y x =-，直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域．（1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =-，直线2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线24y x =-（0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n nu、（2）∑∞=13n nu，则下列说法正确的是（）A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nn α（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（）A.11n n n ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑ C.11(1)nn n ∞=+-∑ D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑ D.1(1)nn n ∞=-∑（1305）下列级数中收敛的是（）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ C.1!2n n n ∞=∑ D.13n n n ∞=∑（二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为．（0519）把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为．（0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn- D.1(1)2n n +-（1112）幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为_ _ _________．（1212）幂级数1(1)(3)3n nnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________．（1312）幂级数12n nn x n∞=∑的收敛域为．七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解．（0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为．（1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为．（二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解．（1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．（1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式04300(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x→→--==⎰ 233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x x x x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17、解：原式2111122d d 22arctan (1)12t x t tt t t t t π+∞=∞-+∞+===++⎰⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰，原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22()50070040(50)M x x x =++-（500≤≤x ），由2212(50)5007000240(50)x M x -'=+⨯⨯=+-解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、2111d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=，解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑，收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减，故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根；原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ；所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示）（2）()()112222012d 4x V x x x x πππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ． yOS1x12y x=图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式3221ln d(1ln )(1ln )3x x x C =++=++⎰．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程；令yu x=，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x -=；两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-），所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ． 20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂．21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=；所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S xx x -=--=⎰；（2）()()224804d 8d 16y V y y yy πππ=+-=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt t tD f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰；综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；在方程xy e e yx=-两边对x 求导得：''xye e y y x y -⋅=+⋅，故d 'd x yy e y y x e x-==+；。

江苏专升本高等数学真题(附答案)

江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。

（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）把握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。

重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。

重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。

（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。

（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。

（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试真题

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试真题一．单选题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1、已知22lim 32→++=-x x ax b x ，则常,a b 数的值分别为（） A 、1,2=-=-a b B 、2,0=-=a b C 、1,0=-=a b D 、2,1=-=-a b2、已知函数2232()4-+=-x x f x x ，则2=x 为()f x 的( ) A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、震荡间断点3.设函数0,0()1sin ,0≤⎧⎪=⎨⎪⎩a x f x x x x 在0=x 处可导，则常数a 的取值范围是（） A 、01a B 、01≤a C 、1a D 、1≥a4.曲线221(1)+=-x y x 的渐近线条数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45.设()ln(31)=+F x x 是函数()f x 的一个原函数，则(21)'+=⎰f x dx （）A 、164++C xB 、364++C x C 、1128++C xD 、3128++C x 6.设为非零常数，则数项级数21∞=+∑n n a n （） A 、条件收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性与a 有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.已知lim()2→∞=-x x x x C，则常数C = 。

8.设函数20()ϕ=⎰xt x te dt ，则()ϕ'=x 。

9.已知向量设101a →=-(,,)，121b →=-(,,)则a b +与a →的夹角为。

10.设函数(,)=z z x y 由方程21+=xz yz 所确定，则∂∂z x= 。

11. 若幂级数21(0)∞=∑n nn a x a n 的收敛半径为12，则常数a = 12.微分方程2(1)(2)0+--=x ydx y xdy 的通解为。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）. 13.求极限30lim sin →-x x x x。

专升本高等数学(一)真题2009年

______． [答案] 4． [解题指导] 本题考查的知识点为二重积分的性质：
，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积为4，可知
． 20．设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______． [答案] y=3． [解题指导] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程．由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知
．因此
解法2
． 17．设z=sin(y-x2)，则
=______． [答案] COS(y-x2)． [解题指导] 本题考查的知识点为偏导数运算．求
时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此
． 18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______． [答案] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)． [解题指导] 本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平
[答案] B [解题指导] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．
故选B． 6．设f(x)为连续函数，
( )． A．f(2x) B．2f(x) C．-f(2x) D．-2f(x) [答案] A [解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函
数，则F'(x)=
=( )． A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．2xy [答案] B．
[解题指导] 本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此

01—10年江苏专转本数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（）A 、e xx x =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示（） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

历年江苏卷数学 2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详细解答

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。

【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。

-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。

【解析】考查数量积的运算。

3233a b ⋅=⋅⋅=r r3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查利用导数判断函数的单调性。

2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。