[电磁场与电磁波] 第二章 电磁场的基本规律

1. 库仑（Coulomb）定律(1785年)
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
r
r F12
erR
q1q2
4π 0 R122
q1q2 R12
4π 0 R132
说明：
z q1
r r1
o x
r
R12 q2 r
r r2
F12
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
• 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
度矢量 来描述其分布
JS
r JS
ert
lim
l0
i l
ert
di dl
ern ert
r JS
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。
正电荷运动的方向
r l 通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为
i
l
r JS
(ern
r dl )
12
任意表面线元dl表面电流：
显见有角度因素存在即：
体电流，用电流密度矢量 来描述。
r
J
r J
r en
i lim S0 S
r en
di dS
rS en
r J
体电流密度矢量
单位：A / m2 （安/米2） 。
正电荷运动的方向
流过任意曲面S 的电流为
rr
11
i S J dS
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向
运动所形成的电流称为面电流，用面电流r密
电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 电流连续性方程
流出闭曲面S 的电流 等于体积V 内单位时 间所减少的电荷量
积分形式
Ñ S
r J
r dS
dq dt
d dt
V
dV
微分形式
r
rr
V
gJdV r
J
Ñ S
J
dS
恒定电流场是无散场， 场线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
恒定电流的连续性方程
，rr er
它所带的电量为 dq SdS ' 。S 'd 'd '
r dE
z
r P(0,0,z) R
b
而薄圆盘轴线上的场点
矢量为 rr ，erz因z此有
Er (rr ) S b 2π 4π0 a 0
P的(0位,0置, z)
erz z er (z2 2 )3/2
dd
a
dS
x
均匀带电的环形薄圆盘
1. 电荷体密度
电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布
(rr ) lim Δq(rr ) dq(rr )
ΔV 0 ΔV
dV
单位：C/m3 (库/米3 )
z
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V 中的电荷体密度，则区域V 中的总电荷q为
q V
rr
V
o
y
q V (rr )dV
x
6
2. 电荷面密度
Erpr• rr 1
pxx4py0y
evx
ppzxqzl
ecvyopsy
r 2evx px
e(v常zepvyz矢p•y4量ev1evx)zx0pzevyyprprr•ev3zrzr
1
40
pr
•
rr
1 r3
1 r3
pr
•
rr
1
40
3
pr • r5
rr
rr
pr r3
2.4.8
点电荷的电荷密度表示
(rr ) qδ(rr rr)
将电荷区域看作是一个没有几何大小的点。
9
z
q
rr
o
y
x
2.1.2 电流与电流密度 电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
i lim (q t) dq dt t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件：
pr
r ql
q q
r E
1
4 0
ql
cos
r2
(常矢量)
1
4
0
pr • rr r3
1
4 0
pr
•
rr
1 r3
1 r3
pr
•
rr
1 3 pr • rr r pr
4 0
r5
r
r3
2.4.8
2005-1-25
第一章 电磁场的数学物理基础
( A2.32)7
若通pr常pr为电常偶q矢lr极矩量定义q 为 q
第一章 电磁场的数学物理基础
19
库仑定律的重要结论：
点电荷周围的电场强度 （1）与距离平方成反比； （2）与源点的电荷量成正比; （3）源场满足叠加原理。
r 即如果有源qi产生场Ei (i 1, n),则：总场
r
E
n i 1
r Ei
n i 1
qi
4 0 Ri2
erRi n
i 1
qi
4 0
•
r F1621
，Fr1满2 足牛顿第三定律。
• 电场力服从叠加定理
真空中的N个点电荷
r 对点电荷 （位于 ）的作用力为
q1、（q分2别、L位于、qN
r q
r
r
Fq
N i1
r Fqiq
N i1
qqi Ri
4π 0 Ri3
） rr1、rr2、L 、rrN
r (Ri
rr
rri )
q3
q4
等于各点电荷对该电荷电场力的 合力。
，分别I用(rr来,t描) 述产生电磁效应的两类场源。电荷是
产生电场的源，电流是产生磁场的源。
电荷 电场
（运动）
电流 磁场
3
本节内容
2.1.1 电荷与电荷密度 2.1.2 电流与电流密度 2.1.3 电荷守恒定律
4
2.1.1 电荷与电荷密度
• 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。 • 1907 — 1913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定 电子电荷的量值为
电场强度为
Er (rr )
pr
r ql
1 3( pr rr
4π0 r5
——电偶极矩
)rr
pr r3
P
4π 0r 3
r er
2
cos
r e
sin
z
l
+q
rr
o
r E
－q
电偶极子
电偶极子的场图
电场线 等位线
23
电偶极子的电场
电偶极子是由相距非
z
P
常近的正负两个点电荷组 成的电荷系。
解：电场的叠加原理，电
泰勒展开：(1 x) 1 x
第一章 电磁场的数学物理基础
25
r E
q
4 0
1 R
1 r
q
40
l
cos
r2
ql cos 2 0r 3
err
ql sin 4 0r 3
er
球坐标系中
r er
r
r e r
er
r sin
2005-1-25
第一章 电磁场的数学物理基础
26
通常电偶极矩定义为：
dI
JS
drl
J r
S
dl
sin
其中为J 与dl 的夹角。
由于：
sin nr • nr sin n • (l j )故有：
dI
nr
•
r ldl
r jJ S
nr
•
rr dl Js
I
任意有向曲线穿过的电流：
l
I
nr •
l
rr dl JS
r l JS •
nr
r R
q rr
偶极子的电场就是两个点 q
电荷产生的场的叠加。
x
y
1、求电场
2005-1-25
r E
q
4 0
第一章
电磁R1场的数学物理基础1r
24
根据余弦定理
Q
R1
(r
2
l
2
2rl
cos
)
1 2
z
P
r
R
略去二阶无穷小
1 r
1
2l
cos
r
1 2
q q
x
rr
y
1 r
l
cos
r2
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1
•本章讨论内容
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件
2
2.1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量为电荷
和q电(rr流, t )
y
由于
2 0
π
r e
d
2π 0
r (ex
cos
er
y
sin
)d
0
故
Er (rr )
r ez
S z 2 0
b d a (z2 2 )3/2
r ez
S z 2 0
(
z
2
1 a2 )1/ 2
q S s (rr )dS
7
z S q
rr S
o
y
x
3. 电荷线密度
若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得 多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分 布。线分布的电荷可用电荷线密度表示。
r
r
lim l (rr )
Δl 0
Δq(r ) dq(r )
e =1.602 177 33×10-19 (单位：C ) 确认了电荷的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷，而任何带电粒子所带电荷 都是e 的整数倍。
• 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故可不考虑其量子化 的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
5
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷
• 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。
说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
10
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中， 常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。
1. 体电流 电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为
1v Ri
如果电荷是连续分布呢？
2005-1-25
第一章 电磁场的数学物理基础
20
体密度为 的(rr体) 分布电荷产生的电场强度
Er (rr )
(rri)ΔViRri
i
1
4π 0 Ri3 (rr)
r R
dV
4π0 V R3
小体积元中的电荷产生的电场
z
Vi V M
rr (rr) rr
r dl
r r r r r r v r r
2005轮-1-25换法则成立：A •第一B章电C磁场的数C学物•理基A础 B B • C A 13
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。
2005-1-25
( A2.3) 第一章 电磁场的数学物理基础
28
例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。
： 解 如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为b，电荷面密度为 。在环
形薄圆盘上取面S 积元 dS ' 'd，'d其' 位置矢量为
q
q5
q2
q7
q6
q1
17
2. 电场强度
电场强度矢量
r E —— 描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用
力，即
rr
r F
(rr
)
E(r ) lim
q q0 0
0
q0 ——试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的 电场为
r Er (rr ) qR
o
y
x
面密度为 场强度
S的(rr面)分布电荷的电
线密度为 电场强度
l的(rr线)分布电荷的
r
E(r)
1
4π 0
S
S
(rr) R3
r R
dS
21
r
E(r)
1
4π 0
C
l
(rr)
r R
R3
dl
3. 几种典型电荷分布的电场强度
均匀带电直线段的电场强度：
Er
l 4π 0r
(cos1 -
cos2 )
若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得 多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电 荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。
r
r
S (rr )
lim
ΔS 0
Δq(r ) ΔS
dq(r ) dS
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷面密度，则该 曲面上的总电荷q 为
Δl
dl
z q
单位: C / m (库/米)
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲 线上的总电荷q 为
l rr
oLeabharlann Baidu
y
x
q C l (rr )dl
8
4. 点电荷
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在 的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距 源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域 中心、电荷为 q 的点电荷。
4π 0 R3
r (R
rr
rr)
zq
rr
o
x
r
RM r
rr
E
y
18
真空中电场强度的计算公式
直接根据库仑定律，有：
r E
q
4 0 R 2
r eR
q
4 0 R3
r R
r
Q
1 R
r eR
R
1 R
erR
1 R2
R R3
r E
(rr
,
rr
'
)
q
4 0
1 R
q
4 0
rr
1 rr '
2005-1-25
（有限长）
Ez
l 4π 0r
(sin2 -
sin 1 )
当导线变为无限长时：10,2
E
l 2π 0
（无限长）
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
Ez
(0, 0,
z)
al z 20 (a2 + z2
)3
2
22
z
2
l
M
1
均匀带电直线段
z
M
ao
y
x
l
均匀带电圆环
电偶极子的电场强度：
电偶极子是由相距很近、带等值异号电量的两个点电荷组成的电荷系统，其远区
0
14
t
t
Ñ r
J
0、
S
r J
r dS
*穿出闭合面的通量=0
0有 *恒入定有电出流，场动为态无平散衡度场
2.2 真空中静电场的基本规律
静电场：由静止电荷产生的电场。 重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。
本节内容
2.2.1 库仑定律 电场强度 2.2.2 静电场的散度与旋度
15
2.2.1 库仑定律 电场强度