电磁波第七章讲解

Ez (x, y, z)、Hz (x, y, z) —— 纵向分量
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
8
横向场分量与纵向场分量的关系
直角坐标系中展开
Ez y
Ey

j H x
E

j H

Ez x
Ex

j H y
Ey x
Ex y
j H z
k 1 ( fcmn / f )2 k 1 ( / cmn )2



vpmn mn k
1 ( fcmn / f )2 k
波导波长
gmn

2π


k
2π
2π

1 ( fcmn / f )2 k
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波阻抗
ZTMmn

mn j
★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。
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1、场矢量 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
场分量：
Ex (x, y, z) Ex (x, y)e z Ey (x, y, z) Ey (x, y)e z
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例7.2.1 在尺寸为 ab 22.86mm10.16mm的矩形波导中，
传输TE10 模，工作频率10GHz。
（1）求截止波长、波导波长和波阻抗；
（2）若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能
传输什么模式？
（3）若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能
其中：
mn
k2 cmn
k2

k2 cmn
2
矩形波导中的TEmn 波和TMmn 波的传播特性与电磁波的波数 k 和截止波数kcmn 有关。
当 kcmn > k 时，γmn为实数， emn为z 衰减因子
—— 相应模式的波不能在矩形波导中传播。
波阻抗
ZTMmn

mn j
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第7章 导行电磁波
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所以TE波的场分布
Hz
(x,
y,
z)

Hm
cos(
mπ a
x)
cos( nπ b
y)e
z
Hx (x,
y,
z)


kc2
mπ a
Hm
sin( mπ a
x) cos( nπ b
y)e z
H y (x,
y, z)


kc2
nπ b
Hm
cos( mπ a
x) sin( nπ b

kc2 )Hz (x,
y)

0
y
z
边界条件
H z x
|x0
0
H z x
|xa 0
xa
b
O
H z y
|y0
0
H z y
|yb 0
其解为
Hz
(x,
y)

Hm
cos( mπ a
x) cos(nπ b
y)
kcmn
( mπ)2 ( nπ)2
a
b
m 0，1，2，3, n 0，1，2，3,
传输什么模式？
解：（1）截止波长 c10 2a 2 22.86 45.72 mm
fc10 2a
1
0 0

3108 2 22.26103
6.56109 Hz
g10
0
1 ( fc10
f )2
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3. 矩形波导中的TM 波和TE波的特点
m 和n 有不同的取值，对于m 和n 的每一种组合都有相应的截 止波数kcmn 和场分布，即一种可能的模式，称为TMmn 模或 TEmn 模；
不同的模式有不同的截止波数kcmn ；
由于对相同的m 和n，TMmn 模和TEmn 模的截止波数kcmn 相 同， 这种情况称为模式的简并；


j
kc2
mπ a
mπ Em cos( a
x) sin( nπ b
y)e z
Hz (x, y, z) 0
m 1，2，3,
n 1，2，3,
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第7章 导行电磁波
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2. 矩形波导中的TE波的场分布
对于TE波，Ez= 0，波导内的电磁场由Hz 确定
方程
(
2 x2

2 y2

mn

k

1 ( fcmn f )2

结论：
j


Z TEmn mn

mn k
1 ( fcmn
f )2

当工作频率 f 大于截止频率fcmn 时，矩形波导中可以传 播相 应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波；
当工作频率 f 小 于或等于截止频率fcmn时，矩形波导中不能 传播相 应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波。

1 kc2
(
Ez x

j
H z y
)
Ey

1 kc2
(
Ez y

j
H z x
)
kc2 2 k 2
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导波的分类
如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为 横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解；
Hx (x, y, z) H x (x, y)e z H y (x, y, z) H y (x, y)e z
Ez (x, y, z) Ez (x, y)e z
Hz (x, y, z) H z (x, y)e z
其中：
Ex (x, y, z)、Ey (x, y, z)、H x (x, y, z)、H y (x, y, z) —— 横向分量

a
k y

nπ b
g( y)
C sin( nπ
y)

b
m 1，2，3, n 1，2，3,
故
Ez (x,
y)

f
( x) g ( y)

Em
sin(
mπ a
x)sin( nπ b
y)
k2 cmn

kx2m

k
2 yn

( mπ )2 a
( nπ )2 b
截止波数只与波导 的结构尺寸有关。
直角坐标系中展开
H z y
Hy

j Ex

H

j E
H z
x
Hx

j Ey
H y x
H x y

j Ez
Hx

1 kc2
( j
Ez y

H z x
)
Hy

1 kc2
(
j
Ez x

H z y
)
Ex
问题，即

f
(x)

k x2
f
(x)

0
f (0) 0, f (a) 0

g
(
y)

k
2 y
g
(
y)

0
g(0) 0, g(b) 0
kx2

k
2 y

kc2
两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数:
kx

mπ a

f
(x)

Asin( mπ
x)
第7章 导行电磁波
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7.1 导行电磁波概论
分析均匀波导系统时，
做如下假定：
★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 沿z 轴方向放置。
★ 波导内壁是理想导体，即 = 。
★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数 、 和 均为实常数。
★ 波导内无源，即 ＝0，J ＝0。

2 y2

kc2 )Ez (x,
y)

0
边界条件 Ez |x0 0 Ez |xa 0
y
b
z
Ez |y0 0 Ez |yb 0
xa
O
利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。
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设 Ez 具有分离变量形式，即 Ez (x, y) f (x)g( y) 代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值

k
j
1 (kcmn k)2
j
j
Z TEmn mn
k
1 (kcmn
k)2
纯虚数
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当 kcmn = k 时，γmn= 0，
—— 相应模式的波也不能在矩形波导中传播。
由 kcmn k 定义
截止角频率：cmn
kcmn

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第7章 导行电磁波
1
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2
导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波
导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置