解题技巧：十种求初等函数值域的方法
数学-值域的10种求法(学生版)
函数值域1基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.；当a<0时，值域为(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为y y≥4ac−b24a．y y≤4ac−b24a.(3)y=k x(k≠0)的值域是y y≠0(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0，+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.2函数值域的求解方法方法归纳观察法根据最基本函数值域(如x2≥0,a x>0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.方法归纳配方法对于形如y=ax2+bx+c a≠0的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.方法归纳图像法(数形结合)根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.方法归纳基本不等式法注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.方法归纳换元法(代数换元与三角换元)分为三角换元法与代数换元法，对于形y=ax+b+cx+d的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.方法归纳分离常数法对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.方法归纳判别式法把函数解析式化为关于x的-元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y=Ax+博观而约取 厚积而薄发B ，ax 2+bx +c 或y =ax 2+bx +cd x 2+ex +f的函数值域问题可运用判别式法(注意x 的取值范围必须为实数集R ).方法归纳单调性法先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对于形如y =ax +b +cx +d 或y =ax +b +cx +d 的函数，当ac >0时可利用单调性法.方法归纳有界性法充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.方法归纳导数法先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函数的值域.1.例题精讲题型一:观察法1函数y =1x +1-1的值域是( )A.-∞,-1B.+1,+∞C.-∞,-1 ∪-1,+∞D.-∞,+∞2下列函数中，值域为0,+∞ 的是( )A.y =x 2B.y =2xC.y =2xD.y =log 2x3下列函数中，函数值域为(0,+∞)的是( )A.y =(x +1)2,x ∈(0,+∞) B.y =log 2x ,x ∈(1,+∞)C.y =2x -1D.y =2x -1题型二:配方法1函数的y =-x 2-6x -5值域为()A.0,+∞B.0,2C.2,+∞D.2,+∞2函数y =f x 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A 1,2 ，B 3,0 ，函数g x =x ⋅f x ，那么函数g x 的值域为()Ox y 213ABA.0,2B.0,94C.0，32D.0,43已知正实数a ，b ，c 满足2a +b =1，abc +1=2c ，则c 的最大值为()A.12B.23C.815D.2题型三:图像法(数形结合)数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。
接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。
1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。
例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。
2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。
3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。
例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。
4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。
5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。
例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。
6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。
导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。
7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。
8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。
极值点即为函数的值域的边界点。
9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。
逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。
10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。
例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的十种常用方法
求函数值域的十种常用方法函数的值域是指函数在定义域上取到的所有可能的函数值的集合。
确定函数的值域是函数分析中的一个重要内容，对于了解函数的性质和作用有着重要的意义。
下面是常用的十种方法来确定一个函数的值域：1.通过求导数：对于一个实变函数，可以通过求导数找到函数的极值点和临界点，并确定函数在这些点的函数值，然后从中选择最大值和最小值作为函数的值域的边界值。
2.分析极限：通过求函数的极限可以确定函数的趋势和发散的情况，从而可以确定函数的值域。
3.分段函数的值域：对于一个分段函数，可以分析每个分段的值域，然后将这些值域合并在一起得到整个函数的值域。
4.利用平移、伸缩和翻转：通过对函数进行平移、伸缩和翻转等运算，可以改变函数的图像和函数值的取值范围，并进一步确定函数的值域。
5.利用对称性：如果函数具有对称性，如轴对称、中心对称等，可以利用对称性来确定函数的值域。
6.利用图像分析：通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的取值范围。
7.利用函数的性质：对于特定的函数，可以利用函数的性质，如增减性、单调性、周期性等来确定函数的值域。
8.利用函数的定义域：函数的值域一般不能超出其定义域，因此可以通过函数的定义域来确定其值域的范围。
9.利用复合函数的值域：如果函数可以表示为其他函数的复合，可以利用复合函数的值域和定义域来确定原函数的值域。
10.利用数学工具：如利用不等式、方程以及数列等数学工具来分析函数的取值范围和值域。
当然，以上只是常用的一些方法，对于一些特殊的函数，可能需要运用其他方法和技巧来确定其值域。
准确确定函数的值域需要结合具体的函数形式和问题的要求进行分析和计算。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法〔观察法〕：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】1．求以下函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。
【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域。
【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。
∴函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域为[3,5]-。
例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(≥x f 。
例4．假设,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】此题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。
利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。
求函数值域的十种方法
求函数值域的常用方法函数的值域是指函数能够取到的所有可能的输出值。
确定一个函数的值域有很多常用的方法，下面将介绍其中一些常用的方法。
1.求极限。
当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限可以帮助确定函数的值域。
如果一个函数的极限存在，并且随着自变量的增大或减小而无限接近一些确定的值，那么该函数的值域一定包含该极限值。
2.分析函数的定义域。
函数的定义域是指函数的自变量的取值范围。
如果函数在定义域上是连续的，并且没有间断点，那么函数的值域可以通过分析函数在定义域上的取值范围来确定。
3.分析函数的图像。
函数的图像是函数在坐标平面上的表示。
通过观察函数的图像可以初步估计函数的值域。
如果函数的图像在一些区间上单调递增或递减，并且没有振荡现象，那么该函数的值域将是该区间的闭区间。
4.求函数的导数。
函数的导数描述了函数的变化趋势。
通过求函数的导数可以确定函数的极值点，从而确定函数的值域。
当函数的导数在一些点处为零，并且在该点的左侧和右侧具有不同的符号，那么该点就是函数的极值点。
函数在极值点取到最大值或最小值时，该值一定属于函数的值域。
5.利用奇偶性。
一些函数具有奇偶性，即在定义域内满足一定的对称性。
如果函数是偶函数，则函数的值域在对称轴上具有对称性，可以根据对称轴的函数值确定其值域。
如果函数是奇函数，则函数的值域在原点上具有对称性。
6.利用函数的周期性。
一些函数具有周期性，即在定义域内满足重复性。
如果函数是周期函数，那么其值域也是周期性的，可以通过分析一个周期内的函数值来确定其值域。
7.求函数的反函数。
有些函数存在反函数，通过求反函数可以确定函数的值域。
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
8.利用已知的数学性质。
根据一些已知的数学性质来确定函数的值域，例如三角函数的取值范围是[-1,1]，对数函数的定义域是正实数，指数函数的值域是正实数等。
以上是常用的一些方法来确定函数的值域。
在实际问题中，可以结合多种方法来确定函数的值域。
函数值域的10种求法(已编辑,适合高一、二年级使用)
函数值域的10种求法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x 32)(≤≤-=x f练习：求下列函数的值域1. x 1y = 2. x 3y -= 3.y=-3x+4(-3≤x ≤1) 4.y=e x －1２、配方法配方法求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
练习：求下列函数的值域①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3、单调性法利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。
例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。
方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。
例如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的值域也是[-1, 1]。
方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中来确定整个函数的值域。
例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值域也是[1,+∞)。
方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后将这些值域合并得到整个函数的值域。
例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。
方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。
如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。
根据函数的奇偶性可以推断出函数的值域。
方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。
如果函数有周期T，那么函数的值域在一个周期内是相同的。
可以通过观察函数的图像或者函数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。
方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。
可以求函数在正无穷和负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。
如果函数在正无穷的极限是一个确定的值，那么函数的值域是有界的；如果函数在正无穷的极限趋近于正无穷，那么函数的值域是无界的。
方法八：利用函数的导数来确定函数的值域。
可以求函数的导数，然后分析导函数的正负性和极值点，从而确定函数的值域。
如果导函数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间上是单调递增的，可以确定函数的值域；如果导函数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间上是单调递减的，可以确定函数的值域。
求函数值域的十三种方法
求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。
下面将介绍求函数值域的十三种方法。
一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。
例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。
二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。
三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。
通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。
例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。
四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。
通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。
例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。
五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。
通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。
例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。
六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。
通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。
例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。
七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。
通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。
例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。
八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。
通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。
例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。
九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。
通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。
高中数学求函数值域的10种常见方法
高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法：
须先将函数写成显函数的形式，然后通过分析函数表达式的特征，确定其值域。
二、图像法：
一般通过函数的图像来确定其值域，可以在纸上绘制函数的图像，或者利用数学软件进行绘图分析。
三、函数增减性：
通过函数的增减性来确定其值域，即分析函数在定义域上的单调性。
四、函数的周期性：
若函数具有周期性，则值域受周期性的限制。
五、函数的有界性：
若函数在定义域上有上下界，则其值域也受到该有界性的限制。
六、反函数法：
通过求函数的反函数，获得原函数的值域。
七、导数法：
通过求函数的导数，分析其在定义域内的极值和拐点，得出值域的上下界。
八、极限法：
通过求函数在定义域两端的极限，确定函数值域的范围。
九、变量替换法：
可将复杂的函数转化为简单的函数，通过分析简单函数的值域，确定复杂函数的值域。
十、函数值的性质：
根据函数的性质和定义，通过推理和证明，确定函数值域。
以上是求函数值域的十种常见方法，根据不同的题目和函数形式，我们可以选择适用的方法来解决问题。
在实际应用中，经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数()x 323y -+=的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。
解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。
（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例：求函数2x 1x y ++=的值域。
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。
（答案：{}1y 1-y |y 或）。
三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。
例：求函数()2x x-y 2++=的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。
此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。
【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。
∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。
利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。
十种求初等函数值域的方法
十种求初等函数值域的方法函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.一 观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数23+=x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.二 分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如dcx b ax y ++=形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.例如对于函数231--=x x y , 利用恒等变形, 得到:)23(31312331)23(31--=---=x x x y ,容易观察得出此函数的值域为),(),(3131+∞⋃-∞∈y . 三 配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.例1 求函数342-+-=x x ey 的值域.解答: 此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且0>y , 故函数342-+-=x xey 的值域为: ],0(e y ∈.四 判别式法此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.例2 求函数2212+++=x x x y 的值域.解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:012)12(2=-+-+y x y yx, (1)这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,解得: 2121≤≤-y .故原函数的值域为: ],[2121-∈y . 五 基本不等式法利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.例3 求函数12++=x x y 的值域.解答: 211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例4 求函数1222+++=x x x y 的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有:)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x ,011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(212t x -=(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为1)1(21)1(2122+--=+-=t t t y .由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.例 6 求函数11+-=x xe e y 的值域.解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明11xx e e y -+=有反函数, 为此, 设21x x <且R x x ∈21,,0)1)(1(211112121221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e eee ee ee y y .所以y 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:xx y -+-=111ln. 此函数的定义域为)1,1(-∈x , 故原函数的值域为)1,1(-∈y .其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数. 24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.九 利用函数的单调性当函数f 在),(b a 上单调, 譬如f 在),(b a 上递增时, 自然有函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((-+b f a f (其中图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231)(lim )0(),(lim )0(x f b f x f a f bx ax -+→→=-=+,当+→a x 时,±∞→)(x f 也称其存在,记为)0(+a f ); 若f 在),(b a 上递减, 函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((+-a f b f . 在闭区间],[b a 上也有相应的结论.例 8 求函数x x y --+=863 的值域.分析: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30. 故而原函数的值域为]30,10[-.十 利用导数求函数的值域若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.例 9 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .所以, 函数f 的值域为)140,2(-.。
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技巧：十种求初等函数值域的方法
【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.
【关键词】初等函数；值域
函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.
一 观察法
观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数2
3+=
x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .
此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.
二 分离常数法
此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如d
cx b ax y ++=
形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与
分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.
例如对于函数2
31--=
x x y , 利用恒等变形, 得到:
)
23(31312331)23(3
1--=--
-=x x x y , 容易观察得出此函数的值域为),(),(31
31+∞⋃-∞∈y .
三 配方法
对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.
例1 求函数3
42-+-=x x e
y 的值域.
解答: 此题可以看作是u
e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2
+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u
e y =得到y 为增函数且
0>y , 故函数3
42
-+-=x x
e y 的值域为: ],0(e y ∈.
四 判别式法
此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.
例2 求函数2
212+++=
x x x y 的值域.
解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:
012)12(2=-+-+y x y yx , (1)
这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式
0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,
解得: 11≤≤-
y .
故原函数的值域为: ],[21
21-∈y .
五 基本不等式法
利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.
例3 求函数1
2++=x x y 的值域.
解答: 211
11
2
≥+
+==
+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为
),2[+∞∈y .
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例4 求函数222++=
x x y 的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:
22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)
将上面等式的左边展开, 有:
)()1(2c b x b x ++++,
故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数11
)1)(1()1(++++
+==
x x x y ;
ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 01
1>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .
ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 01
1>-+x , 此时有
211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-+--=+++=++++=
x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .
综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法
利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.
例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(21
2t x -=
(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为 1)1(2
1
)1(2122+--=+-=t t t y .
由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.
例 6 求函数1
1
+-=x x e e y 的值域.
解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明11
x x e e y -+=
有反函数, 为此, 设21x x <且R x x ∈21,,
0)
1)(1(211112
12
1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e
e e e e e y y .
所以y 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:x x
y -+-=111ln . 此函数的定义域为
)1,1(-∈x , 故原函数的值域为)1,1(-∈y .
其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法
对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.
例 7 求函数13y x x =-+-的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
24,(,1],
2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩
在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.
九 利用函数的单调性
当函数f 在),(b a 上单调, 譬如f 在),(b a 上递增时, 自然有函数f 在),(b a
上的值域
为))0(),0((-+b f a f (其中)(l i m )0(),(lim )0(x f b f x f a f b
x a
x -
+→→=-=+,当+→a x 时,±∞→)(x f 也称其存在,记为)0(+a f ); 若f 在),(b a 上递减, 函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((+-a f b f . 在闭区间],[b a 上也有相应的结论.
例 8 求函数x x y --+=
863 的值域.
分析: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数
63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.
当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30. 故而原函数的值域为]30,10[-. 十 利用导数求函数的值域
若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在
a ,
b 点的极限值. 从而求得f 的值域.
例 9 求函数x x x f 3)(3
-=在)1,5(-内的值域.
分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2
-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为
1,1-==x x .
,
2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .
所以, 函数f 的值域为)140,2(-.。