解题技巧：十种求初等函数值域的方法

技巧：十种求初等函数值域的方法

【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.

【关键词】初等函数；值域

函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.

一 观察法

观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数2

3+=

x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .

此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.

二 分离常数法

此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如d

cx b ax y ++=

形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与

分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.

例如对于函数2

31--=

x x y , 利用恒等变形, 得到:

)

23(31312331)23(3

1--=--

-=x x x y , 容易观察得出此函数的值域为),(),(31

31+∞⋃-∞∈y .

三 配方法

对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.

例1 求函数3

42-+-=x x e

y 的值域.

解答: 此题可以看作是u

e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2

+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u

e y =得到y 为增函数且

0>y , 故函数3

42

-+-=x x

e y 的值域为: ],0(e y ∈.

四 判别式法

此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.

例2 求函数2

212+++=

x x x y 的值域.

解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:

012)12(2=-+-+y x y yx , (1)

这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式

0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,

解得: 11≤≤-

y .

故原函数的值域为: ],[21

21-∈y .

五 基本不等式法

利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.

例3 求函数1

2++=x x y 的值域.

解答: 211

11

2

≥+

+==

+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为

),2[+∞∈y .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例4 求函数222++=

x x y 的值域.

解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:

22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)

将上面等式的左边展开, 有:

)()1(2c b x b x ++++,

故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数11

)1)(1()1(++++

+==

x x x y ;

ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 01

1>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .

ⅱ)当1-+-x , 01

1>-+x , 此时有

211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+-+--=+++=++++=

x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .

综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法

利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.

例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(21

2t x -=

(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为 1)1(2

1

)1(2122+--=+-=t t t y .

由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法