根树

反复地插入或去掉二度结点后， 使G1和G2同构，则称G1 和G2是在2度结点内同构的，也称G1和G2是同胚的。
欧拉公式有时可以用来判定某个图 是非平面图。下面的库拉托夫斯基 定理给出了判定一个图是平面图的 充要条件
5、库拉托夫斯基定理(Kuratowski定理) 定理：一个图是平面图的充要条件是它不含与K5或K3，3在 二度结点内同构的子图。
(b) 从 w1 w2 , w3 ,, wt 中选两个最小的，连接
得一分支点，
(c ) 重复 (b) 。
例、 求带权1, 3, 4, 5, 6的最优2叉树 T 及 W (T ) 。
解：
19
8
11
其实 W (T ) 等于T 的
各分支点的权之和，即
4
W (T ) 4 8 11 19
数相同 (等于树高)。 又若r叉完全正则树是有序的则 称它为r叉完全正则有序树。
注意：2叉有序正则树是最重要的一种 r 叉树。 例
1
1
2 1 2 1 2 (2)
1
2 2
1
1
2 2
1
2 1
(1)
2叉有序树
(3)
2叉有序正则树 2叉有序完全正则树
三、2叉树的应用 1、最优2叉树：
T 的权 —— T 中每片树叶所带权与其层高
7、有序树 有序树—设T 为根树，若将T 中层数相同的顶点 都标定次序，则称 T 为有序树。
二、r 叉树
r 叉树 ——每个分支点至多有 r 个儿子的根树；
又若r叉树是有序的则称它为r叉有序树。
r 叉正则树 ——每个分支点恰有r 个儿子的根树。
又若r叉正则树是有序的则称它为r叉正则有序树。
r 叉完全正则树 —— r 叉正则树，且所有树叶的层
顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则 称此有向树为根树。 规定：平凡树是根树。
树叶(入度为1，出度为0)
3、根树的顶点
树根(入度为0) 分支点 内点(入度为1，出度大于0)
v1
实例
v2 v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9 v13
v10
v11
v12
注：在根树中由于各有向边的方向是一致的，所 以画根树时可以省去各边上的所有箭头，并将树 根画在最上方或最下方。 4、树高
6:边着色：对图G的每条边涂上一种颜色，使相邻的 边涂不同的颜色，称为对图G边的一种着色，若能用 k种颜色给G的边着色，就称G是K-边可着色的。若G 是K-边可着色的，但不是（K-1）-边可着色的，就 ' (G) k 称K是G的边色数，记作
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一、对偶图
1、对偶图 定义 对具有面F1 ,F2,..., Fn的连通平面图G=<V,E> 实施下列步骤所得到的图G*称为图G的对偶图
如果存在一个图G*=<V*，E*>满足下述条件： （a）在G的每一个面Fi的内部作一个G*的顶点vi*
即对图G的任一个面Fi内部有且仅有一个结点vi*∈V
(b)若G的面Fi，Fj有公共边ek，则作ek*=(vi*，vj*)， 且ek*与ek相交。 即若G中面Fi与Fj有公共边界ek ，那么过边界 ek*与G*的其它边不相交。
4 5 6
42
1 3 W (T ) (1 3) 3 (4 5 6) 2 42
例、 求带权为2, 3, 5, 7, 8, 9的最优2叉树 T ， 34 解：
19
10
15
9 7
5
8
5
2
3
W (T ) 83
一、平面图 1、定义: 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边可 以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相 交。无向图G称为平面图（planar graph），否则 称G为非平面图。 有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是
一个平面图。
有些图形不论怎样改画，除去结点外， 总有边相交。如K3,3图，故它是非平面图。
2、面、边界 定义：设G是一连通平面图，由图中的边所包围 的区域，在区域内既不包含图的结点，也不包含图的 边，这样的区域称为G的一个面，包围该面的诸边所 构成的回路称为这个面的边界。面r的边界的长度称为 该面的次数，记为deg(r)。
的每一边ek作关联vi*与vj*的一条边ek* =(vi*, vj*) 。
(c)当且仅当ek只是一个面Fi的边界时(割边)，vi*存 在一个环e*k与ek相交。
即当ek为单一面Fi的边界而不是与其它面的公共 所作的环不与 G*的边相交。 则称图G*为G的对偶图。
边界时，作vi*的一条环与ek相交（且仅交于一处）。
指出肯普的方法 虽不能证明地图着色用四种颜色就
够了，但可证明用五种颜色就够了，即五色定理成 立。
此后四色猜想一直成为数学家感兴趣而未能 解决的难题。直到1976年美国数学家阿佩尔和黑 肯宣布：他们用电子计算机证明了四色猜想是成 立的。所以从1976年以后就把四色猜想这个名词 改成“四色定理”了。为了叙述图形着色的有关 定理，下面先介绍对偶图的概念。
定义 设图G=<V,E>是一连通平面图,由图中各边 所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的区域 称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面的闭 的拟路径称为面的边界（boundary），面r的边界长度 称为面r的度（degree）记为deg (r) ，又称为面r的次 数。
3、欧拉定理 定理（欧拉定理） 成立
第三节 根树
问题： 1、 有向树及根树的定义， 2、家族树，有序树，r 元树的概念， 3、最优2元树的概念及哈夫曼 ( Huffman) 算法。
爷爷
引例
叔叔
爸爸
表姐
表哥
表弟
我
妹妹
一、根树
1、有向树：一个有向图 D ，若略去有向边的 方向所得的无向图为一棵无向树，则称 D 为 有向树。
2、根树：一棵非平凡的有向树，如果有一个
4、定理：(五色定理)任意平面图最多是5-色的。 自从四色猜想提出后，一百多年来，一直成为 数学上的著名难题，它吸引许许多多的人，为之而 作出大量辛劳，也得到很多重要结果，但长久未能 得到解决。直到1976年6月，由美国伊利诺斯大学 两名数学家爱普尔(K.I.Apple)、黑肯(W.Haken) 在考西(J.Koch)帮助下借助于电子计算机，用了一 百多亿次逻辑判断，花了1200多机时才证明四色 猜想是成立的，从此宣告，四色猜想成为四色定理。 现将它叙述如下： 5、四色定理：平面图的色数不超过4。
从对偶图的概念，我们可以看到，对于地图 的着色问题，可以归纳为对于平面图的结点的着 色问题，因此四色问题可以归结为要证明对于任 何一个平面图，一定可以用四种颜色，对它的结 点进行着色，使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、图的正常着色：图G的正常着色(或简称着色) 是指对它的每一个结点指定一种颜色，使得没 有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。 3、色数：对于图G着色时，需要的最少颜色数 称为G的色数，记作x(G)。
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v*=r，e*=e， r*=v
例 画出下图的对偶图。
说明：v*=r，e*=e，r*=v。 平面图的对偶图仍满足欧拉定理，且仍是平 面图。 2、自对偶图 定义 如果图G的对偶图G*同构于G,则称G是自 对偶图。
二、图的着色 1、问题的提出 该问题起源于地图的着色问题。 对点的着色就是对图G的每个结点指定一种颜色， 使得相邻结点的颜色不同，对边着色就是，给每条 边指定一种颜色使得相邻的边的颜色不同，给面着 色就是给每个面指定一种颜色使得有公共边的两个 面有不同的颜色。对边着色和对面着色均可以转化 为对结点着色问题。
与平面图有密切关系的一个图论的应用是图形 的着色问题，这个问题最早起源于地图的着色，一
个地图中相邻国家着以不同颜色，那么最少需用多
少种颜色？一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出 了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年肯普 (Kempe)给出了这个猜想的第一个证明，但到1890 年希伍德(Hewood)发现肯普证明是错误的，但他
设G为一平面连通图，v为
其顶点数，e为其边数，r 为其面数，那么欧拉公式
v–e+r=2
注： K3,3不是平面图， K5不是平面图。
在给定图G的边上，插入一个新的度数为2的结点，使 去掉这个结点，使两条边化成一条边，这些都不会影响图 的平面性。
一条边分成两条边，或者对于关于度数为2的结点的两条边
4、定义：给两图G1和G2，或者它们是同构的，或者
乘积的和。记为W (T ) wi L( wi )
i 1 t
最优2叉树 ——权最小的2叉树。
2、实例：下图中 T1,T2 都是带权1，3，4，5，6
W (T2 ) 。 的2叉树，求 W (T1 ) ，
T1
4
T2
4
3
5
1
1
5
6
3
6
解：W (T1 ) (6 3) 3 (4 5 1) 2 47
a为 b 的父亲，
(2) 若 b, c 同为 a 的儿子，则称 b, c 为兄弟，
(3) 若 a d ，而 a可达 d ，则称 a 为 d 的祖先，
d 为 a 的后代。
6、根子树 树 T 的根子树 —设 T 为一棵根树， v v(T ),称v 及其后代的导出子图Tv 为 T 点 v 的通路 长度，记 l (v) 。
树高
——树中顶点的最大层数，记 h(T ) 。
实例
v2
v1 v3
v4
v5
v6
v7
v12
v8