根树

与平面图有密切关系的一个图论的应用是图形 的着色问题，这个问题最早起源于地图的着色，一
个地图中相邻国家着以不同颜色，那么最少需用多
少种颜色？一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出 了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年肯普 (Kempe)给出了这个猜想的第一个证明，但到1890 年希伍德(Hewood)发现肯普证明是错误的，但他
顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则 称此有向树为根树。 规定：平凡树是根树。
树叶(入度为1，出度为0)
3、根树的顶点
树根(入度为0) 分支点 内点(入度为1，出度大于0)
v1
实例
v2 v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9 v13
v10
v11
v12
注：在根树中由于各有向边的方向是一致的，所 以画根树时可以省去各边上的所有箭头，并将树 根画在最上方或最下方。 4、树高
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定义 设图G=<V,E>是一连通平面图,由图中各边 所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的区域 称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面的闭 的拟路径称为面的边界（boundary），面r的边界长度 称为面r的度（degree）记为deg (r) ，又称为面r的次 数。
3、欧拉定理 定理（欧拉定理） 成立
的每一边ek作关联vi*与vj*的一条边ek* =(vi*, vj*) 。
(c)当且仅当ek只是一个面Fi的边界时(割边)，vi*存 在一个环e*k与ek相交。
即当ek为单一面Fi的边界而不是与其它面的公共 所作的环不与 G*的边相交。 则称图G*为G的对偶图。
边界时，作vi*的一条环与ek相交（且仅交于一处）。
W (T2 ) (1 6) 4 5 3 4 2 31 54
W (T1 ) W (T2 ) 但不能判定 T1 是最优 2叉树。
3、Huffman算法：
给定实数 w1 , w2 ,wt ( t 片树叶的权)，且
w1 w2 wt ， ( a ) 选 w1 , w2 连接得一分支点，
一个平面图。
有些图形不论怎样改画，除去结点外， 总有边相交。如K3,3图，故它是非平面图。
2、面、边界 定义：设G是一连通平面图，由图中的边所包围 的区域，在区域内既不包含图的结点，也不包含图的 边，这样的区域称为G的一个面，包围该面的诸边所 构成的回路称为这个面的边界。面r的边界的长度称为 该面的次数，记为deg(r)。
反复地插入或去掉二度结点后， 使G1和G2同构，则称G1 和G2是在2度结点内同构的，也称G1和G2是同胚的。
欧拉公式有时可以用来判定某个图 是非平面图。下面的库拉托夫斯基 定理给出了判定一个图是平面图的 充要条件
5、库拉托夫斯基定理(Kuratowski定理) 定理：一个图是平面图的充要条件是它不含与K5或K3，3在 二度结点内同构的子图。
乘积的和。记为W (T ) wi L( wi )
i 1 t
最优2叉树 ——权最小的2叉树。
2、实例：下图中 T1,T2 都是带权1，3，4，5，6
W (T2 ) 。 的2叉树，求 W (T1 ) ，
T1
4
T2
4
3
5
1
1
5
6
3
6
解：W (T1 ) (6 3) 3 (4 5 1) 2 47
第三节 根树
问题： 1、 有向树及根树的定义， 2、家族树，有序树，r 元树的概念， 3、最优2元树的概念及哈夫曼 ( Huffman) 算法。
爷爷
引例
叔叔
爸爸
表姐
表哥
表弟
我
妹妹
一、根树
1、有向树：一个有向图 D ，若略去有向边的 方向所得的无向图为一棵无向树，则称 D 为 有向树。
2、根树：一棵非平凡的有向树，如果有一个
7、有序树 有序树—设T 为根树，若将T 中层数相同的顶点 都标定次序，则称 T 为有序树。
二、r 叉树
r 叉树 ——每个分支点至多有 r 个儿子的根树；
又若r叉树是有序的则称它为r叉有序树。
r 叉正则树 ——每个分支点恰有r 个儿子的根树。
又若r叉正则树是有序的则称它为r叉正则有序树。
r 叉完全正则树 —— r 叉正则树，且所有树叶的层
4 5 6
42
1 3 W (T ) (1 3) 3 (4 5 6) 2 42
例、 求带权为2, 3, 5, 7, 8, 9的最优2叉树 T ， 34 解：
19
10
15
9 7
5
8
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
3
W (T ) 83
一、平面图 1、定义: 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边可 以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相 交。无向图G称为平面图（planar graph），否则 称G为非平面图。 有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是
数相同 (等于树高)。 又若r叉完全正则树是有序的则 称它为r叉完全正则有序树。
注意：2叉有序正则树是最重要的一种 r 叉树。 例
1
1
2 1 2 1 2 (2)
1
2 2
1
1
2 2
1
2 1
(1)
2叉有序树
(3)
2叉有序正则树 2叉有序完全正则树
三、2叉树的应用 1、最优2叉树：
T 的权 —— T 中每片树叶所带权与其层高
指出肯普的方法 虽不能证明地图着色用四种颜色就
够了，但可证明用五种颜色就够了，即五色定理成 立。
此后四色猜想一直成为数学家感兴趣而未能 解决的难题。直到1976年美国数学家阿佩尔和黑 肯宣布：他们用电子计算机证明了四色猜想是成 立的。所以从1976年以后就把四色猜想这个名词 改成“四色定理”了。为了叙述图形着色的有关 定理，下面先介绍对偶图的概念。
6:边着色：对图G的每条边涂上一种颜色，使相邻的 边涂不同的颜色，称为对图G边的一种着色，若能用 k种颜色给G的边着色，就称G是K-边可着色的。若G 是K-边可着色的，但不是（K-1）-边可着色的，就 ' (G) k 称K是G的边色数，记作
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v*=r，e*=e， r*=v
例 画出下图的对偶图。
说明：v*=r，e*=e，r*=v。 平面图的对偶图仍满足欧拉定理，且仍是平 面图。 2、自对偶图 定义 如果图G的对偶图G*同构于G,则称G是自 对偶图。
二、图的着色 1、问题的提出 该问题起源于地图的着色问题。 对点的着色就是对图G的每个结点指定一种颜色， 使得相邻结点的颜色不同，对边着色就是，给每条 边指定一种颜色使得相邻的边的颜色不同，给面着 色就是给每个面指定一种颜色使得有公共边的两个 面有不同的颜色。对边着色和对面着色均可以转化 为对结点着色问题。
a为 b 的父亲，
(2) 若 b, c 同为 a 的儿子，则称 b, c 为兄弟，
(3) 若 a d ，而 a可达 d ，则称 a 为 d 的祖先，
d 为 a 的后代。
6、根子树 树 T 的根子树 —设 T 为一棵根树， v v(T ),称v 及其后代的导出子图Tv 为 T 的以
v为根的根子树。
从对偶图的概念，我们可以看到，对于地图 的着色问题，可以归纳为对于平面图的结点的着 色问题，因此四色问题可以归结为要证明对于任 何一个平面图，一定可以用四种颜色，对它的结 点进行着色，使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、图的正常着色：图G的正常着色(或简称着色) 是指对它的每一个结点指定一种颜色，使得没 有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。 3、色数：对于图G着色时，需要的最少颜色数 称为G的色数，记作x(G)。
设G为一平面连通图，v为
其顶点数，e为其边数，r 为其面数，那么欧拉公式
v–e+r=2
注： K3,3不是平面图， K5不是平面图。
在给定图G的边上，插入一个新的度数为2的结点，使 去掉这个结点，使两条边化成一条边，这些都不会影响图 的平面性。
一条边分成两条边，或者对于关于度数为2的结点的两条边
4、定义：给两图G1和G2，或者它们是同构的，或者
一、对偶图
1、对偶图 定义 对具有面F1 ,F2,..., Fn的连通平面图G=<V,E> 实施下列步骤所得到的图G*称为图G的对偶图
如果存在一个图G*=<V*，E*>满足下述条件： （a）在G的每一个面Fi的内部作一个G*的顶点vi*
即对图G的任一个面Fi内部有且仅有一个结点vi*∈V
(b)若G的面Fi，Fj有公共边ek，则作ek*=(vi*，vj*)， 且ek*与ek相交。 即若G中面Fi与Fj有公共边界ek ，那么过边界 ek*与G*的其它边不相交。
v 的层数
——从树根到顶点 v 的通路 长度，记 l (v) 。
树高
——树中顶点的最大层数，记 h(T ) 。
实例
v2
v1 v3
v4
v5
v6
v7
v12
v8
v9
v10
v11
引例
爷爷
叔叔
爸爸
表姐
表哥
表弟
我
妹妹
5、家族树 一棵根树可以看成一棵家族树。
(1) 若顶点 a邻接到顶点 b ，则称 b 为 a 的儿子，
4、定理：(五色定理)任意平面图最多是5-色的。 自从四色猜想提出后，一百多年来，一直成为 数学上的著名难题，它吸引许许多多的人，为之而 作出大量辛劳，也得到很多重要结果，但长久未能 得到解决。直到1976年6月，由美国伊利诺斯大学 两名数学家爱普尔(K.I.Apple)、黑肯(W.Haken) 在考西(J.Koch)帮助下借助于电子计算机，用了一 百多亿次逻辑判断，花了1200多机时才证明四色 猜想是成立的，从此宣告，四色猜想成为四色定理。 现将它叙述如下： 5、四色定理：平面图的色数不超过4。
(b) 从 w1 w2 , w3 ,, wt 中选两个最小的，连接
得一分支点，
(c ) 重复 (b) 。
例、 求带权1, 3, 4, 5, 6的最优2叉树 T 及 W (T ) 。
解：
19
8
11
其实 W (T ) 等于T 的
各分支点的权之和，即
4
W (T ) 4 8 11 19