树及其应用(精)

所有这些分支同时又为度为 1和度为2的结点发出 的。因此又有
b=n1+2n2 (3)
（3）代入（2）得出
n=n0+n1+n2 (1)
n=b+1
b=n1+2n2
(2)
(3)
n=n1+2n2+1 (4) 比较（1）和（4），得出 n0=n2+1,即叶子数比度 为2的结点数多1。
例题：如果一棵m度的树中有N1个度为1的顶点，N2个度为2的 顶点，N3个度为3的顶点，……，Nm个度为m的顶点，求该树中 叶子顶点个数。
分析：设叶子结点数为N0 所有结点数为n，边数(分支）为b，则有： n=b+1 又：n= N0+N1+N2+…..+NM (1) (2)
b= N1+2N2+3N3+…..+M*NM
(2),(3)代入（1）得出： N0 =N2+2N3+3N4+…..+(M-1)NM+1
(3)
1、(NOIP9)一个高度为h 的二叉树最小元素数目（ B ）。 A） 2h+1 B） h C） 2h-1 D） 2h E） 2h-1 2、(NOIP8)按照二叉数的定义，具有3个结点的二叉树有（C）种。 A）3 B）4 C）5 D）6
function root:integer; var i:integer; begin for i:=1 to n do if tree[i].father=0 then begin root:=i; exit; end; end; procedure find; var k,i,max:integer; begin k:=1; max:=0; for i:=1 to n do if tree[i].num>max then begin k:=i; max:=tree[i].num; end; writeln(k); for i:=1 to max-1 do write(tree[k].child[i],' '); writeln(tree[k].child[max]); end; BEGIN init; writeln(root); find; END.
⑵完全二叉树：如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数 可以小于 2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若 干位置上，则称此二叉树为完全二叉树（例如下图(b)）
(a)
(b)
4、二叉树的三个主要性质
性质1：在二叉树的第i（≥1）层上，最多有2i-1个结点 性质2：在深度为k(k≥1)的二叉树中最多有2k-1个结点。 性质3：在任何二叉树中，叶子结点数总比度为2的结点多1。 n0=n2+1
5、有n个结点并且其高度为n的二叉树的数目是[ D] A、n B、 2n C、 2n-1 D、 2(n-1)
6、 (NOIP8)设有一棵k叉树，其中只有度为0和k两种 结点，设n 0 ，n k ，分别表示度为0和度为k的结点个数， 试求出n 0 和n k之间的关系（n 0 = 数学表达式，数学 表达式仅含n k 、k和数字）。
I
下标
data ch[1..m]
信息 儿子
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A
B C D E F G H I J K L M
2
5 7 8 11 0 0 13 0 0 0 0 0
3
6 0 9 12 0 0 0 0 0 0 0 0
4
0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
源自文库13
2、动态的多重链表。由于树中结点可以有多个元素，所以可以用 多重链表来描述比较方便。所谓多重链表，就是每个结点由数据域 和n(n 为树的度)个指针域共n+1个域组成，其表示方法如下： Const n=树的度； Type treetype=^node； node=record data：datatype； {数据域} {结点类型}
树是一种常见的非线性的数据结构：树型结构。
空树（不含结点）；非空树（至少一个结点）

树的递归定义如下： 树是n(n>=0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件： ⑴有且仅有一个结点没有前驱（父亲结点），该结点 称为树的根； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前驱； ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上 （否则有环）。这条路径由根开始，而未端就在该结点 上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点 的后继（儿子结点）；
由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
思考：树中结点和边的关系
2、结点的分类 结点一般分成三类 ⑴根结点：没有父亲的结点。在树中有且仅有一个根结点。 ⑵分支结点：除根结点外，有孩子的结点称为分支结点。
⑶叶结点：没有孩子的结点称为树叶。
根结点到每一个分支结点或叶结点的路径是唯一的。 从根A到结点M的唯一路径为ADHM。
3、(NOIP7).一棵二叉树的高度为h，所有结点的度为0，或为2，则 此树最少有( B )个结点 A)2h-1 B)2h-1 C)2h+1 D)h+1 4、将一棵有100个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层 从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为49的 结点的左孩子的编号为[ A ] A 98 B 99 C 97 D 50
数据结构:
线形结构:
数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，即每一个数据元素通 常只有一个前驱（除第一个元素外）和一个后继（除最后一个 元素外）。不管其存储方式（顺序和链式）如何. 栈、队列
非线形结构:
至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前驱或后继的 数据结构称为非线性结构。
树、图
树
一、树的概念
1、树的定义
三、存储结构
树的存储结构一般有两种 1、静态的记录数组。所有结点存储在一个数组中，数组元素为 记录类型，包括数据域和长度为n(n 为树的度)的数组，分别存储 该结点的每一个儿子的下标 Const n=树的度； max=结点数的上限； Type node=record {结点类型} data：datatype； {数据域} child：array[1‥n] of integer； {指向各儿子的下标} end； treetype=array[1..max]of node； Var tree：treetype； {树数组}
已知一个家族中各成员之间的关系，并知道其中有唯一的祖先。完 成下列要求。 输入： 第一行：n（人数），m（关系数）。 以下m行；每行两个人x和y，表示y是x的儿子。 输出： 第一行：祖先（树根）：root。 第二行：儿子最多的成员max。 第三行：max的儿子。 样例输入： 87 41 42 13 15 26 27 28
⑴一个数据域（data）； ⑵三个指针域，其中有父结点编号（prt）、左儿子结点编号 （lch）和右儿子结点编号（rch）。
Const m=树中结点数上限； Type node=record data：datatype； prt，lch，rch：integer； {父结点、左儿子、右儿子编号} end； treetype=array[1‥m] of node； Var Tree：treetype；
二叉树和树的区别：
⑴、树的每一个结点可以有任意多个孩子，而二叉 树中每个结点的孩子数不能超过2；
⑵、树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二 叉树的子树有左右之分。
2、下图列出二叉树的五种基本形态：
空二叉树
只有一个根

只有左孩子
只有右孩子
有左右孩子
3、二叉树的两个特殊形态
⑴满二叉树： 如果一棵深度为K的二叉树，共有2K-1个结点， 即第I层有2I-1的结点，称为满二叉树。(a)
二、树的表示方法
树的表示方法一般有两种： ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如下图采用 的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 优点:直观,形象;缺点:保存困难.
⑵括号表示法： 先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树按由左 而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理：同 层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号 隔开，最后用闭括号括起来。例如下图可写成如下形式 (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J))) 优点:易于保存;缺点:不直观.
3、树的度 ⑴结点的度：一个结点的子树数目称为该结点的度。 ⑵树的度：所有结点中最大的度称为该树的度(宽度）。
4、树的深度（高度） 树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。根结 点在第一层，根的儿子在第二层，其余各层依次类推。图 中的树共有4层。在树中，父结点在同一层的所有结点构成 兄弟关系。 树中最大的层次称为树的深度，亦称高度。图中树的 深度为4。
next：array[1‥n] of treetype；{指向各儿子的指针域}
end；
Var root：treetype； {根结点指针}
四、简单的应用举例:
1、家族的统计一
已知某个村子中人员关系，统计该村子中含有几个家族，并求出每 个家族中的祖先的编号。输入： 第一行：n：该村子人的数量；（n<=10000） 以下若干行：每行两个结点编号：i，j：i是j的父结点(I,j<=1000)。 输出： 第一行：该村中家族的数量。 第二行：依次输出每个家族中祖先的编号（从小到大）。 样例输入： 9 12 输出： 23 2 46 79 45 78 91 94
设结点总数为n，则： n=n0+nk 除了根结点外，其余每个结点都有且仅有一个分支进入: n-1=k*nk 所以：n0=(k-1)*nk+1
二、二叉树的存储结构
二叉树的存储结构有两种形式
⑴、顺序存储结构
⑵、链式存储结构
1、顺序存储结构
将每个结点依次存放在一维数组中，用数组下标指示结点 编号，编号的方法是从根结点开始编号 1，然后由左而右进行 连续编号。每个结点的信息包括
样例输出： 4 2 678
const maxn=100; type treetype=record father:integer;{父结点} num:integer;{儿子个数} child:array[1..maxn] of integer; end; var tree:array[1..maxn] of treetype; n,m:integer; procedure init; var e,i,j,k,x,y:integer; begin assign(input,'a.in');reset(input); fillchar(tree,sizeof(tree),0); readln(n,m); for i:=1 to m do begin readln(x,y); tree[y].father:=x; inc(tree[x].num); tree[x].child[tree[x].num]:=y; end; end;
分析：
father:array[1..10000] of integer;
father[i]:记录i的父亲结点。
初始时：father[i]=0;
读入：i ，j 执行：father[j]:=i; 最后统计 father[i]=0的结点，即是老祖宗结点。 时间复杂度：O( n )
2、家族的统计二（treea.pas）
(设n0为二叉树的叶结点数；n2为二叉树中度为2的结点数)
设 n0 为二叉树的叶结点数； n1 为二叉树中度为 1 的结点数；n2为二叉树中度为2的结点数，显然 n=n0+n1+n2 （1） 由于二叉树中除了根结点外，其余每个结点都有 且仅有一个分支进入。设 b为二叉树的分支个数， n=b+1 （ 2）
二叉树
一、二叉树的理论知识
1、二叉树的定义: 二叉树（ binary tree ）是每个结点最多有两个孩子，且 其子树有左右之分的有序树。 二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足 以下条件：
⑴有一个特定的结点称为根；
⑵余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ，其中 L 是根的左子树； R是根的右子树；L和R又是二叉树；
1 2 3 4
5、森林
所谓森林，是指若干棵互不相交的树的集合。如图去掉根 结点 A ，其原来的三棵子树 Tb ，Tc ， Td 的集合 {Tb ， Tc ， Td} 就为 森林，这三棵子树的具体形态如图（c）。
6、有序树和无序树 按照树中同层结点是否保持有序性，可 将树分为有序树和无序树。 (1)如果树中同层结点从左而右排列，其 次序不容互换，这样的树称为有序树； (2)如果同层结点的次序任意，这样的树 称为无序树。