第24章 圆章节知识点及习题及答案

第二十四章圆章节知识点

思维导图：

一、圆的有关性质

（一）与圆有关的概念

1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的

图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。

3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。能够互相重合的弧叫等弧。圆

的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。

5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意：在圆中，同一条

弦所对的圆周角有无数个。

6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。

7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。

8、点的轨迹：

1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

（二）圆的性质

1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对

称中心的中心对称图形。

2、性质：

①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是

直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心

角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对

的度数相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相

等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等

③圆周角定理：一条弧所对圆周角度数等于它所对圆心角的一半

推论：圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）有关半径、弦、弦心距、弓形高的计算

弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h（知道任意两个可以求其他两个）

二、与圆有关的位置关系

（一）点与圆的位置关系

（1）、点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。

（2）、点到圆心的距离：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

①d

②d=r⇔点P在⊙O上；

③d>r⇔点P在⊙O外。

（3）、确定圆的条件：①过一点有无数；②过二点有无数但这些圆心在这两点连线的平分线上；③过同一直线上的三点无；④过不同直线上的三点确定一个。

（4）、三角形的外接圆及外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆这个圆叫做三角形外接圆。外接圆的圆心是这个三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

（5）、三角形的五心

1、重心：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；②重心和三角形3个顶

点组成的3个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；③重

心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

2、外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点该点叫做三角形的外心；到三顶点的距离

相等（锐角三角形的外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心与斜边的

中点重合）

3、垂心：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心；

（垂心分每条高线的两部分乘积相等）

4、内心：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心；

（内心到三角形三边的距离相等，内心为内切圆的圆心）

5、旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形

的旁心。三角形有三个旁心，旁心到三边的距离相等。

注：等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。

等边三角形五心合一（加中心，除旁心外，只有等边三角形有中心，中心即其他四心重合）

（6）、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

四点共圆的判定：对角互补，一个外角等于它的内对角

（二）、直线与圆的位置关系

（1）、直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d,那么：

①直线L与⊙O相交⇔d

②直线L与⊙O相切⇔d=r；（唯一交点），直线叫圆的切线

③直线L与⊙O相离⇔d>r；（没有交点）