九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形作业课件新版北师大版.ppt
2021年北师大版九年级数学下册第三章《8 圆内接正多边形(1)》公开课课件
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THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/2/52021/2/52021/2/52021/2/5
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
=弧பைடு நூலகம்nA1,
A1
∴弧A2A3An=弧A3A4A1= 弧A4A5A2=…=弧A1A2An-1，
A６ · O A２
A５ A
A３
A1 A2 A3 An.
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年2月5日星期五2021/2/52021/2/52021/2/5
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年2月2021/2/52021/2/52021/2/52/5/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/2/52021/2/5February 5, 2021
8 圆内接正多边形（1）（第1课时）
九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形课件1 (新版)北师大版.ppt
3
圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接 正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
如图，说出正五边形的中心 、半径、中心角、边心距.
E
A
D
·O
BM C
4
圆内接正多边形的有关计算
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4， OM垂直于BC，垂足为M.
求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
F
E
A
O.
D
G
B
C
5
用尺规作圆内接正六、四边形 1.用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 2.用尺规作一个已知圆的内接正四边形. 3.思考：作正多边形有哪些方法？
9
基础作业：课本P99 习题3.10，第4题． 拓展作业：课本P99 问题解决．
10
6
1.把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个 正六边形DFKKGE，求这个正六边形的面积.
2.分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和 边心距.
7
通过本节课的学习，你有哪些收获？有 何感想？学会了哪些方法？先想一想，再 分享给大家．
8
1.正三角形的边心距、半径和高的比是
.
2.求出半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距 和面积.
北师大版九年级数学下册第三章3.8_圆内接正多边形(共28张PPT)
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1〕∵AB=BC=CD=DE=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
〔2〕连接OA，OB，OC，那么 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
2019年北师大版九年级数学下册课件：3.8 圆内接正多边形(共21张PPT)
3．8 圆内接正多边形
县 委 书 记 在 县委全 体(扩大 )会议 上的报 告 文 章 标 题 :县 委书记 在20xx年 县委 全体(扩 大)会 议上的 报告
提 高 发 展 质 量加快 发展速 度
努 力 推 动 ___经 济社 会又好 又快发 展 ──在 共 ___县 委 十 一 届二 次全体 (扩大)会 议上 的报告
的内接多边形周长为3，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此
圆的周长最接近的是(
)
C
A. 6 B. 8 C. 10 D. 17
8．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形 的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点
上，则△ABC的面积是_______2__3_______.
A．30° B．35° C．45° D．60°
3．正六边形边心距为 3，则该正六边形的边长是( B ) A. 3 B．2 C．3 D．2 3 4．将一个边长为 1 的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的 边长等于______1_＋____2______.(结果保留根号)
5．点M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN， 点O是正八边形中心，则∠MON＝____4_5_°____.
9．用直尺和圆规作一个圆的内接正三角形． 解：作图略
10．已知正多边形的一个外角为 90°，则它的边长、边心距、外接圆
半径之比为( B )
A．6∶ 3∶2 3 B．2∶1∶ 2
C．2∶2∶ 3
D．1∶1∶ 3
11．(泸州中考)以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的
边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( D )
3.8 圆内接正多边形 课件 (29张PPT) 2023-2024学年北师大版数学九年级下册
归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
BMC
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
半径R
O 中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
例2 如图2,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外
作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分
面积)是( A ) A.6 3-π
.O
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 60º ，所以正六边形的边长 与圆的半径 相等 .因此， 在半径为r的圆上依次截取等于 r 的弦， 即可将圆六等分.
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
(2)分别以F，C 为圆心，以 r 为半径作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B；
(3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF
2
2
F
E
A
O
D
4m
r
B PC
5.（2023武汉）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，
即为所求.
E
D
F
.O C
A
B
针对训练
1.下列说法中，不正确的是( D ) A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆 B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形 C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
二 圆内接正多边形的有关计算
正n边形的一个内角的度数是多少？ 中心角呢？正多边形的中心角与外角 的大小有什么关系？
A. 2
B. 4
C. 2 2
D. 4 2
A
D
O
新北师大版九年级数学下册第三章《车轮为什么是圆的》公开课课件(共24张PPT)
一石激起千层浪 乐在其中
奥运五环
小憩片刻 祥子
仔细观察，同学们发现了什么？
议一议、说一说
O
B
1、车轮为什么做成圆形的？
A C
2、如果车轮做成三角形或正方
形的，坐车的人会是什么感觉？
把于车轮的半 径，当车轮在平面上滚动时，车轮中 心与平面的距离保持不变，因此，当 车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人 会感到非常平稳，这就是车轮都做成 圆形的数学道路。圆上的点到圆心的 距离是一个定值
B
A
（答：点A在圆上、点B在圆内、点C在圆外）
（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆 的半径在数量上有什么关系？
如果⊙O的半径为r，点P 到圆心O的距离为d，那么 ①点P在圆外 d>r ②点P在圆上 d=r； ③点P在圆内 d<r.
O P r
P
做一做
已知⊙O 的面积 为 9π ，判断 点 P 与 ⊙O的位置关系． （1) 若PO=4.5 则点P在 圆外 ； （2）若PO=2，点P在 圆内 ； 3 （3）若PO= ，则点P在圆上．
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：
（１）点Ｐ在⊙Ｏ上 （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＝r ＯＰ＜r ＯＰ＞r
想一想：
C
1、图：已知Rt△ABC，AB<BC ∠B=90°，试以点B为圆心，BA为半 径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt△ABC的各个 顶点与⊙B在位置上有什么关系？
y
B(0,4)
0
A(3,0)
x
4.在半径为5cm的⊙O上有一点P,则OP的长为 5cm _______. 5. 已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点 P在⊙O上,则OA的长( B ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 6.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标 为(4,2),则点P与⊙O 的位置关系是( A ) A.点P在⊙O内； B.点P的⊙O上； C.点P在⊙O外； D.点P在⊙O上或⊙O外
北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形
n
其中正确的命题有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 A ①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆, 圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不 一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角 相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图 形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心
2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20 cm2,则正八边
形的面积为
cm2.
答案 40 解析 如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N, 则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形 BCPO、四边形GFNM为全等的矩形. 设正八边形的边长为a cm,
初中数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
知识点一 圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正
多边形的外接圆. 把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边 形. (1)相关定义:
名称 中心
半径 中心角 边心距
概念
图形
ห้องสมุดไป่ตู้
一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心
1.正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A. 3 ∶3 B. 3 ∶2 C.1∶2 D. 2 ∶2
答案 B 如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连 接OA、OB,作OM⊥AB于M, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM= 3 a, 则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB= 3 a∶2a= 3 ∶2,故选B.
北师大版九年级数学下册第三章《第三章 第1节 圆》优质课件
当OA=1cm时，点A在 ⊙O内 ； 点在圆上，点在圆 内.
当OB=4cm时，点B在 ⊙O外 .
例2.已知：如图，矩形ABCD的对角 线相交于点O， 试猜想：矩形的四个顶点能在同一 个圆上吗？
AA
DD
OO
BB
CC
答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点 在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5， 则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即 0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞 的。
——亚里士多德
You made my day!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
【规律方法】1.判断点与圆的位置关系的方法：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有
（1）点P在⊙Ｏ上
OP＝r
（2）点P在⊙Ｏ内
OP＜r
（3）点P在⊙Ｏ外
OP＞r
2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一
个定点的距离相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
１.从运动和集合的观点理解圆的定义. ２.点与圆的位置关系. ３.证明几个点在同一个圆上的方法.
北师大数学九年级下册第三章-圆内接正多边形(含解析)
第04讲_圆内接正多边形知识图谱正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三. 正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则：222111422n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，，三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算．易错点：对正多边形相关的概念混淆不清．正多边形的相关概念例题1、 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】 ②⑤【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．例题2、 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360660=，所以正六边形的中心角的度数为360606︒=︒．例题3、 正六边形的边心距与边长之比为（ ）A.3：3B.3：2C.1：2D.2：2【答案】 B【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案．如图：设六边形的边长是a ， 则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC=12AB=12a ，∴OC=22OA AC -=32a ，a n d nR O CBA∴正六边形的边心距与边长之比为：32a：a=3：2．故选B．例题4、已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=______cm，边心距r=______cm，周长p=______cm，面积S=______cm2．【答案】（1）（2）2，3，12，63【解析】（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×332cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×2×3=63（cm2）．相关计算例题1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=__________________°．【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．例题2、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.23【答案】B【解析】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．例题3、如图1、2、3、…..、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON．（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是____________，图3中MON∠的度数是____________；（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360 n︒【解析】解：分别连接OB、OC，（1）AB AC=ABC ACB∴∠=∠OC OB=，O是外接圆的圆心，CO ACB∴∠平分30OBC OCB∴∠=∠=︒30OBM OCN∴∠=∠=︒BM CN=，OC OB=OMB ONC∴∆∆≌BOM NOC∴∠=∠60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒120MON BOC∴∠=∠=︒（2）同（1）可得MON∠的度数是90︒；图3中MON∠的度数是72︒（3）由（1）可知，360==1203MON︒∠︒；在（2）中，360==904MON︒∠︒；在（3）中360==725MON︒∠︒…..，故当n时，360 MONn︒∠=．随练1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=___________度．【答案】 36【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB =BC =CD =DE =EA =72°，∴∠CAD=12×72°=36°．随练2、 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 ∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴360606︒÷︒=，∴正多边形的边数为6，随练3、 若等边三角形的边长是12厘米，则其内切圆的面积为 ． 【答案】 12π平方厘米． 【解析】 如图，作OD ⊥AB ， ∵等边三角形的边长为12厘米， ∴AD=6厘米．又∵∠DAO=12∠BAC=12×60°=30°，∴tan30°=6DO DOAD ==33， ∴DO=23厘米，∴其内切圆的面积=π（23）2=12π． 故答案为：12π平方厘米．随练4、 如图，ABCD 是O ⊙的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS 与正方形ABCD 的面积之比为____________．【答案】 2:5 【解析】随练5、 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．SOR Q P D CBA【答案】 3【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长，∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==． ∵EF 是外切正六边形的边长，∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，，∴323CE ==， ∴43EF ，∴263436683EOF S S ∆===⎝⎭随练6、 已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ） A.32 B.34 C.27 D.28 【答案】 D【解析】 暂无解析弧长与扇形的面积知识精讲一．弧长公式1.圆的周长：2πR C =2.弧长公式：π180nl R =（其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）．二．扇形面积公式1.圆的面积公式：2πS R =2.扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：1=22S r l rl ππ=侧（以下公式中的l 均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：221=+=+22S S S r r l r rl ππππ=+全底侧；（3）圆锥的体积：213V r h π=；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：222r h l +=；（5）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图的圆心角为n ︒；则有：360S r n l S ==底侧O BADC2.圆柱（1）圆柱的侧面积：=2S r h π侧（2）圆柱的全面积：2=2πr 2πS S S rh=++侧全底四．不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形．三点剖析一．考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算 二．重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积； 三．易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的．弧长公式例题1、 一个扇形的半径为8cm ，弧长为163cm π，则扇形的圆心角为__________． 【答案】 120︒【解析】 设扇形圆心角为n ︒，根据弧长公式可得：8161803n ππ=，解得：120n =︒．例题2、 如图，在Rt ∴ABC 中，∴C=90°，∴A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的∴C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（ ）A.πB.πC.πD.π【答案】 A【解析】 连接CD ，如图所示， ∴∴C=90°，∴A=20°， ∴∴B=70°．l2πrrOh 2πrh O r∴CB=CD，∴∴BDC=∴B=70°，∴∴BCD=40°，∴的长为=．故选A．例题3、如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+3）cm，圆O沿地面BC 方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为．【答案】53πcm．【解析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，则AE=2+3﹣2=3，又OA=2，∴sin∠AOE=32 AEOA=，∴∠AOE=60°，则AB的长为()6090251803ππ+⨯⨯=，则圆O在地面上滚动的距离为53πcm，故答案为：53πcm．例题4、如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）AE平分∠DAC（2）①3；②43π﹣3【解析】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，AE=3BE=23，在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=3，∴AD=3DE=3×3=3；②∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=21202360π﹣12•12•23•2=43π﹣3．例题5、【答案】5π【解析】暂无解析随练1、 如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（ ）A.39π B.239πC.33π D.233π【答案】 B【解析】 连接OC ，∵△ACE 中，AC=2，AE=3，CE=1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ，∵sinA=CE AC =12，∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即1OC =32，解得OC=233，∵AE ⊥CD ， ∴BC =BD ，∴BD =BC =23603180π⨯=239π．随练2、 如图，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．MNP △沿线段AB 按A B −−→的方向滚动，直至MNP △中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为__________．【答案】43π 【解析】 该题考查的是弧长的计算．点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120︒，根据1=180n Rπ进行计算即可．故点P 经过的路程为：1201421803ππ⨯⨯⨯=．故答案为：43π．A (M )PNB扇形面积公式例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm2B.350πcm2C.πcm2D.150πcm2【答案】B【解析】∴AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，∴S贴纸=（﹣）×2=350πcm2，例题2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为3，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是_____．【答案】π﹣33 4【解析】∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=32，∵OC=3，∴OE=32，∴∠OCE=30°，∴∠COD=120°，∴图中阴影部分面积=()21203360π⋅⨯﹣12×3×32=π﹣334，例题3、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．【答案】（3π﹣）cm2．【解析】作OH∴DK于H，连接OK，∴以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∴∴C=90°，∴∴DA'C=30°，∴∴ODH=30°，∴∴DOH=60°，∴∴DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∴∴ODH=∴OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴∴ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．随练1、如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB 为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A.12π B.12π+1 C.π D.π+1【答案】A【解析】∵AB=2，∴BD=22，S阴影=S扇形BDE﹣12S扇形ACD=()24522360π﹣12×904360π⨯=π﹣12π=12π，故选A．随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】根据图示知，∴1+∴2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∴ABC+∴ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∴1﹣∴2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．圆锥例题1、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2【答案】C【解析】∴h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，=×2×6π×10=60π，圆锥侧面展开图的面积为：S侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．h=23cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为____cm2．A.43πB.8πC.12πD.（43+4）π【答案】C【解析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为23cm，∵圆锥的母线长为4cm，∵侧面面积=12×4π×4=8π； 底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm 2． 故选：C ．例题3、 将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为__________．【答案】22．【解析】 过O 点作OC AB ⊥，垂足为D ，交O 于点C ，由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==，由此可得，在Rt AOD ∆中，30A ∠=︒，同理可得30B ∠=︒，在AOB ∆中，由内角和定理，得180120AOB A B ∠=︒-∠-∠=︒AB ∴的长为12032180ππ⨯=设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=1r cm ∴=∴圆锥的高为223122-=随练1、 圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（ ） A.12πcm 2 B.20πcm 2 C.26πcm 2 D.36πcm 2【答案】 D【解析】 底面周长是2×4π＝8πcm ，底面积是：42π＝16πcm 2． 母线长是：22345+=，则圆锥的侧面积是：218π520πcm 2⨯⨯=，则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm 2．随练2、 已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是______． 【答案】163π【解析】 ∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π， ∴l=120R 81803⨯=ππ， 解得：R=4，则扇形面积为12Rl=163π随练3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠C=120°，以点C 为圆心的与AB ，AD 分别相切于点G ，H ，与BC ，CD 分别相交于点E ，F ．若用扇形CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是__________．【答案】 2【解析】 如图：连接CG ， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°，∵AB 与相切，∴CG ⊥AB ，在直角△CBG 中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3， 设圆锥底面的半径为r ，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是：=2．不规则图形面积的巧算例题1、 如图，AB 是∴O 的直径，弦CD ∴AB ，∴CDB=30°，CD=2，则S 阴影=（ ）A.πB.2πC.D.π【答案】 D【解析】 如图，CD ∴AB ，交AB 于点E ， ∴AB 是直径，∴CE=DE=CD=， 又∴∴CDB=30° ∴∴COE=60°， ∴OE=1，OC=2， ∴BE=1，∴S ∴BED =S ∴OEC ， ∴S 阴影=S 扇形BOC ==．故选：D ．例题2、如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∴AB，∴COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】∴弦CD∴AB，∴S∴ACD=S∴OCD，∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．例题3、如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）DE为⊙O的切线（2）（24﹣4π）cm2【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=12（4+8）×4﹣2904360π••=（24﹣4π）cm2．随练1、 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是____________．【答案】23π﹣3 【解析】 如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =260213602π⨯-×2×3=23π﹣3．随练2、 如图，在∴BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的∴O 与CE 相切于点D ，AD ∴OC ，点F为OC 与∴O 的交点，连接AF ． （1）求证：CB 是∴O 的切线；（2）若∴ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【解析】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∴CE与∴O相切于点D，∴OD∴CE，∴∴CDO=90°，∴AD∴OC，∴∴ADO=∴1，∴DAO=∴2，∴OA=OD，∴∴ADO=∴DAO，∴∴1=∴2，在∴CDO和∴CBO中，，∴∴CDO∴∴CBO，∴∴CBO=∴CDO=90°，∴CB是∴O的切线．（2）由（1）可知∴3=∴BCO，∴1=∴2，∴∴ECB=60°，∴∴3=∴ECB=30°，∴∴1=∴2=60°，∴∴4=60°，∴OA=OD，∴∴OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∴∴1=∴ADO，在∴ADG和∴FOG中，，∴∴ADG∴∴FOG，∴S∴ADG=S∴FOG，∴AB=6，∴∴O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF==π．随练3、如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】 ．【解析】 如图，∴AB=AB ′=8，∴BAB ′=60° ∴图中阴影部分的面积是： S=S 扇形B ′AB +S 半圆O ′﹣S 半圆O =+π×52﹣π×52 =π．拓展1、 若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（ ） A.9π B.10π C.12π D.15π【答案】 C【解析】 连接OD 、OE ，作OM ⊥DE 于M ， ∵六边形ABCDEF 是边长为4的正六边形， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OD ＝DE ＝4，∴3sin 604232OM OD =•︒=⨯=，∴它的内切圆面积2(23)12=π⨯=π．2、 边长为4的正六边形的边心距________，中心角等于________度，边长为________． 【答案】 23；60；4【解析】 六边形每个中心角度数为360÷6＝60°，根据每个中心角都分六边形为等边三角形，∵正六边形的边长为4， 则每个等边三角形的高即圆心距为：sin 6023CO BO =⋅︒=．3、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________．【答案】 2:3 【解析】 暂无解析4、 如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10=________________．【答案】 75°【解析】 设该正十二边形的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，∧3110A A A =512⊙O 的周长，∴∠A3OA10=536012⨯=150°，∴∠A 3A 7A 10=75°，5、 （1）已知：如图1，ABC ∆是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+ （2）如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:2PA PC PB =+（3）如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.【答案】 见解析【解析】 （1）证明：延长BP 至E ,使PE PC =,连结CE .OCABPPODAB COPFDCA1260,3460∠=∠=︒∠=∠=︒60,CPE PCE ∴∠=︒∴∆是等边三角形.，,360,CE PC E ∴=∠=∠=︒又EBC PAC ∠=∠， BEC APC ∴∆∆≌ PA BE PB PC ∴==+.（2）证明：过点B 作BE PB ⊥交PA 于E ,122390,13∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠,又45APB ∠=︒，,2,BP BE PE PB ∴=∴=,,AB BC ABE CBP PC AE =∴∆∆∴=≌.2PA AE PE PC PB ∴=+=+（3）答:3PA PC PB =+证明：在AP 上截取AQ PC =,连结BQ ,,BAP BCP AB BC ∠=∠=,,ABQ CBP ∴∆≅∆BQ BP ∴=.又30,APB ∠=︒3PQ PB ∴=，3PA PQ AQ PB PC ∴=+=+6、 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC ．（1）若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】 （1）78°（2）见解析【解析】 （1）∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；（2）∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠BDC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2．7、 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）321E C B ADO PO Q AB C D E F PA.2πB.πC.22D.2 【答案】 B 【解析】 取AB 的中点O 、AE 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图， ∵在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2， ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO=90°，∴点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF=OC=2， ∴M 点的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•2π•1=π．8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为________．【答案】 12π+【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴22112AB =+=；根据题意得：2△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示：∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为2的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积22135(2)190111136023602⨯π⨯⨯π⨯=+⨯⨯+=π+．9、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中AE的长为________．【答案】32 2π【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴222CA AB==，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝135°，∴AE的长度13522321802π==π．10、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．11、用一个圆心角为120°，半径为3的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．【答案】1【解析】 暂无解析12、 若扇形的半径为30cm ，圆心角为60°，则此扇形围成圆锥的底面半径为 cm ． 【答案】 5 【解析】 设圆锥的底面半径为r ，根据题意得2π•r=6030180π⨯，解得r=5， 即圆锥的底面半径为5cm ．故答案为5．13、 将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′，使A 、B 、C′在同一直线上，若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________cm 2．【答案】 4π【解析】 ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，∴BC ＝2，23AC =，∠A′BA ＝120°，∠CBC′＝120°，∴阴影部分面积＝（S △A′BC′＋S 扇形BAA ′）－S 扇形BCC′－S △ABC 222120π(42)4πcm 360=⨯-=． 14、 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是__________．【答案】 5：4【解析】 如图1，连接OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=222+1=5，∴扇形的面积24555=3608ππ⨯（）； 如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC ，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=22， ∴⊙M 的面积是π×（22）2=12π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是515=824ππ÷（）．15、 如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心DC 长为半径作14圆DEF ，设∠BDF ＝α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为________（14圆：∠EDF ＝90°，14圆的面积21π4r =⋅）【答案】 π－2【解析】 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接DC ，如图所示：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM AD =，DN =， ∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，MDG NDH DMG DNH DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积2218DM AB ==21428=⨯=， ∴四边形DGCH 的面积218AB =， ∵扇形FDE 的面积22290πππ4π3601616CD AB ⋅⨯===， ∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝π－2．16、 如图，ABCD 是平行四边形，AB 是O 的直径，点D 在O 上1AD OA ==，则图中阴影部分的面积为__________.【答案】 34 【解析】 连接DO EO BE ，，，过点D DF AB F ⊥作于点，1AD OA AD AO DO ==∴==，，AOD ∴∆是等边三角形，ABCD 四边形是平行四边形，//60DC AB CDO DOA ∴∴∠=∠=︒，， ODE ∴∆是等边三角形，同理可得出OBE ∆是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于BCE ∆面积，36012DF ADsin DE EC =︒===，， ∴图中阴影部分的面积为：34．。
3.8 圆内接正多边形 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
︵ 14．已知 PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，E 是AB 上动点 ( 不与 A ， B 重合 ) ，∠ P ＝ 50 °，则∠COD ＝ __65°__．
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，AC⊥BC 于点 C，BC＝4，AC＝3，⊙ O 与直线 AB，BC，CA 均相切，求⊙O 的半径．
10．如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB，BC ︵ 分别相切于点 D，E，过劣弧DE(不包括端点 D，E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交于点 M，N，若⊙O 的 半径为 r，则 Rt△MBN 的周长为( C ) A．r 3 B. r C．2r 2 5 D. r 2
1 ．顶点都在__ 同一个圆 __ 上的正多边形叫做圆的内接 正多边形，这个圆叫做正多边形的__外接圆__． 2．将一个圆 n 等分(n≥3)，顺次连接各分点得到该圆的 __内接正 n 边形__． 3 ．正多边形__ 外接圆的圆心 __ 叫做正多边形的中心， __外接圆的半径__叫做正多边形的半径，正多边形的中心到 一边的距离是它的__边心距__． 4．以圆的__半径__为弦长等分圆可得到内接正六边形．
3．(4 分)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为 切点，PO 交 AB 于点 D，AO 交⊙O 于点 C，连接 BC， 则下列结论不一定成立的是( D ) A．PO⊥AB C．PD∥BC B．AD＝DB 1 D．OD＝4PD
4．(4 分)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点， AC 是⊙O 的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝__20°__． 5．(4 分)如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是 A，B，如果 OP＝4，OA＝2，则 PB＝__2 3__．
3.8 圆内接正多边形课件(共18张PPT) 北师大版九年级下册数学
°
(3)∠MON＝
.
合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×
＝4
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半
九年级数学下册3.8圆内接正多边形正多边形和圆课标解读素材北师大版(new)
正多边形和圆课标解读一、课标要求正多边形和圆一节包括一个例题、一个画图,都是正多边形和圆之间的关系．《义务教育数学课程标准（2011年版)》对正多边形和圆一节提出了具体的教学要求，本小节的教学要求是:1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．2．能用尺规完成作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．二、课标解读正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系．由于正多边形与圆有着密切的联系，所以可以应用圆的有关知识来研究正多边形的问题．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它有一些类似于圆的性质．例如正多边形的边数越多，它的周长就越接近圆的周长，它的面积就越接近圆的面积．又如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．而正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；而且绕中心每旋转一个中心角，都能和原来的图形重合,这是正n边形的旋转对称性；当n为偶数时，它也是中心对称图形．本小节需要学习的内容是：1．了解正多边形的对称性，正多边形都是轴对称图形,对称轴的条数等于正多边形的边数；正多边形都是旋转对称图形，旋转中心是圆心，旋转的最小角度等于正多边形的中心角；正偶数边形是中心对称图形．由于学生对轴对称图形、中心对称图形的概念比较熟悉，通过操作、思考来解答课本中提出的问题一般不会感到困难,所以，教学中要发挥学生的主体作用,通过学生的独立思考、实践自主解决．2．学生应该掌握正多边形的中心、中心角、半径、边心距等有关概念，如图，会计算正多边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积．这些概念与正多边形的外接圆关系密切，是进行与正多边形有关计算的基础．3．由于正多边形在生产和生活中有着广泛的应用,因此很多时候需要画正多边形．会利用等分圆周法画正多边形，利用量角器或直尺和圆规画图,把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．利用量角器可以画任意正多边形,而利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形．等分圆周方法画正多边形体现了正多边形与圆的关系；尺规作图画正多边形体现了一些特殊的正多边形的性质．例如，在⊙O中用不同的方法画圆的内接正三角形．如图:图 1 图 2 图3作法：度量法①：如图1，作半径OA，用量角器或30°角的三角板度量,使∠1=∠2=30°．度量法②：如图2，用量角器度量，使圆心角∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．尺规作图法：用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径的弦,间隔顺次连接其中的AB、BC、CA即可．利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形，如正方形、正三角形、正六边形，如图．用尺规作图的方法画圆的内接正方形，只要作出已知⊙O的互相垂直的直径，就可以把圆四等分,从而作出圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即可以作出圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形、……．4．正多边形的有关计算是本节的重点内容，这些计算都是几何中的基础知识，正确掌握它们要综合运用以前所学的知识,这些知识在生产和生活中也常用到．本节教学难点在学生对正n边形中“n"的接受和理解上．学生对三角形、四边形、圆等具体图形比较习惯，对于泛指的n边形并不习惯．为了降低难度，涉及的证明、计算等问题都结合具体的多边形为例，教学时要注意把这种针对具体图形的结论和方法推广,使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃，提高学生的思维能力．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
北师大版九年级下册 第三章3.4 圆周角(共21张PPT)-专业PPT文档
再分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数， 比较一下，你有什么发现？
圆周角的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半
目标：理解圆周角的概念；理解并掌握圆周角定理及推论； 会应用定理及推论解决有关证明、计算问题
观察与思考
观察下图中，圆周角与圆心之间存在什么位置关系？
A
A
A
O
C
O
O C
B
C
B
D
D
B
已知，如图，∠BAC是圆O中弧BC所对的圆周角， ∠BOC是弧BC所对的圆心角。
1 求证： ∠BAC= 2 ∠BOC
目标：理解圆周角的概念；理解并掌握圆周角定理及推论； 会应用定理及推论解决有关证明、计算问题
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
练习:
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理 由
不是
不是
不是
不是
是
不是
目标：理解圆周角的概念；理解并掌握圆周角定理及推论； 会应用定理及推论解决有关证明、计算问题
（
（
探究1
分别度量一下教材84页探究中AB所对的两 个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在 圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？ 你能发现什么规律？
过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆
心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他
们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙丁分
别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和
∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
丙（D） A
由圆周角定理可知：
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容，本节主要让学生了解圆内接正多边形的概念及其性质，学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过引导学生在探究圆内接正多边形的过程中，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的性质，对圆的相关知识也有所了解。
但学生对圆内接正多边形的概念和性质认识尚浅，需要通过实例和证明来加深理解。
此外，学生可能对证明圆内接正多边形性质的方法感到困惑，需要教师引导和启发。
三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的概念及其性质。
2.学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.能够运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及其性质。
2.如何证明圆内接正多边形的性质。
3.圆内接正多边形性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、启发引导学生思考和探究圆内接正多边形的性质。
2.示例法：教师通过展示实例，让学生理解圆内接正多边形的性质。
3.证明法：教师引导学生运用已学知识证明圆内接正多边形的性质。
4.练习法：学生通过做练习题，巩固对圆内接正多边形性质的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：包含圆内接正多边形的概念、性质、证明方法及实际应用。
2.练习题：针对圆内接正多边形性质的习题，包括选择题、填空题和解答题。
3.教学黑板：用于板书关键点和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“我们已经学习了多边形的哪些性质？这些性质如何应用到实际问题中？”2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现圆内接正多边形的概念和性质，让学生初步了解。
同时，通过示例法，展示圆内接正多边形的性质在实际问题中的应用。
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9．已知⊙O 和⊙O 上的一点 A. (1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点 E 在A︵D上，求证：DE 是⊙O 内接 正十二边形的一边．
(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连接A，B，C，D 四点，∴四边形ABCD即为⊙O的内接正方形．(图略)①分别以A，C 为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于E，F，G，H；②顺次连接A， E，F，C，G，H各点，∴六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形(图 略)
(2)连接 OE，DE，图略．∵∠AOD＝3604°＝90°，∠AOE＝3660° ＝60°，∴∠DOE＝90°－60°＝30°，∴DE 为⊙O 的内接正十二 边形的一边 ．
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10．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一 边，CD＝5 cm，求⊙O的半径R. 连接 OB，OC，OD，图略．∵等边△ABC 内接于⊙O， BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝13×360°＝120
18．(导学号：37554069)如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为__4_0___．
19．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆 周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边 形和外切正六边形)．
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
知识点：圆内接正多边形
1．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为( A )
A. 2
B．2 2
2 C. 2
D．1
2．(2017·沈阳)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的 周长是 12，则⊙O 的半径是( B )
A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3
°，∠BOD＝112×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC－∠ BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC＝ CD×cos 45°＝5 2× 22＝5(cm)，即⊙O 的半径 R＝5 cm
易错点：混淆正多边形的边心距和半径而出错 11．正六边形的边心距为 3，则该正六边形的边长是( B ) A. 3 B．2 C．3 D．2 3
6．一个正方形的边长为4 cm，则它的中心角是__9_0_____°，半 径是___2__2___cm，边心距是___2_____cm.
7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为 ___2_∶__1__．
8．如图，AB，AC分别是⊙O的内接正六边形和内接正十边形的一 边，则BC是⊙O的内接正__十__五____边形的边．
A．( 22)n B．(12)n C．( 23)n D．(34)n
15．(2016·威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则 ⊙O的内接正三角形EFG的边长为__2___6___．
16．如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证： (1)AC∥DE； (2)ME＝AE.
12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD， 则∠BED的度数为( ) B
A．30° B．45° C．50° D．60°
13．(导学号：37554068)如图，由 7 个形状、大小完全相同的正 六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的 边长为 1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是( D )
3．(2017·达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边 形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
23 A. 2 B. 2 C. 2 D. 3
4．一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，则边心距是 __8__c_m___．
5．如图，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的 开口b至少为__6___3___cm.
17．如图，正方形ABCD的边长为a cm，剪去4个角后成为正八边形， 求正八边形的边长和面积． 由题意，设 LE＝LK＝x cm.∵△AEL 是等腰直角 三角形，∴AL＝ 22x＝DK.又∵AD＝a，∴ 22x＋ 22x＋x＝a，解得 x＝ 2a＋1＝( 2－1)a，∴S 正八边 形＝S 正方形 ABCD－4×S△AEL＝a2－4×12×[ 22×( 2 －1)a]2＝(2 2－2)a2(cm2)
(1)由题意，得∠EDC＝（5－2）5 ·180°＝108°. ∠DCA＝21×2×3650°＝72°.∴∠EDC＋∠DCA ＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE
(2)由题意，得∠DEB＝∠EAC＝12×2×3605°＝72°.∵AC∥DE， ∴∠AME＝∠DEB＝72°.∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值； (2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．
(1)连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形，所以 r∶a ＝1∶1；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正 三角形，所以 r∶b＝ 3∶2 (2)T1∶T2 的边长比是 3∶2，所以 S1∶ S2＝(a∶b)2＝3∶4
A. 2 B．2 3 C．3 2 D．3 3
14．如图，先作正方形 ABCD 的内切圆，再作这个内切圆的内接正 方形 A1B1C1D1，把这一过程称为第一次数学操作．接下来，作正方形 A1B1C1D1 的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形 A2B2C2D2，称为第二 次数学操作……按此规律如此下去，当完成第 n 次数学操作后，得到正 方形 AnBnCnDn，则AAnBBn的值为( A )