数学建模之库存模型
数学建模存贮论部分
最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
产品库存优化模型数学建模
产品库存优化模型数学建模（一）Weibull函数的引入Weibull首先开发了三参数模型，并且将其应用到实际中，建模了的失效数据,从此weibull模型成为了失效建模和可靠性领域中使用的最广泛的模型, 之后，Harter和Moore给出Weibull模型有关货物的变质、物品的销售寿命、零件的寿命特征和电子元件的失效等方面的具体应用。
因此,本文研究中将认为易（二）模型建立库存水平是研究的基础，首先我们通过建立微分方程来描述库存系统的库存水平，由于缺货和不缺货的库存水平不同，因此下文我们将分别研究，又因为不定 理 1 当0()()(0)kj kjI d F et L βαγψψ--≤=⎡⎤+-⎣⎦时,系统将不会发生缺货。
证明:若系统不缺货,即要求当k j t t L =+时，库存水平大于()0k kj j I t L +≥。
将kj t t L =+代人(3)式，()()0()0()()0k k j j kt L t L k k x j jj I I t L d edx ee βββαγαγαγ+-+----⎡⎤+=-+≥⎢⎥⎣⎦⎰ 并化简即可得到定理1。
由定理可得知,当j d F ≤时,系统将不会发生缺货；当j d F >时,系统发生缺货。
以后我们将把情况分为缺货与不缺货分别进行讨论。
但因为库存水平0k I 未知,下面将给出定理2求解0k I 。
定 理 2定理2证明:思路：由于0k I Q r =-+上一周期末的库存水平为了简化模型，我们将库存水平到达再订购点r 的时刻作为0时刻,重新建立坐标系。
现在我们将't 视为当前时刻,''()k I t 表示需求率为k d 时,'t 时的库存水平；下面我们用微分方程来描述上一周期提前期内的库存水平变化趋势：''''''()()(),0k k k k dI t d t I t t dt θ=--≤≤∆ （9） ''''(),k k k dI t d t L dt=-∆≤< （10） 其中，'k ∆为库存水平下降到0的时刻；下面分情况讨论：由于以上讨论的是只是一个周期，为了简化原问题的求解,下面给出定理3和定理4。
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
库 存 模 型
引例：毛巾订货量问题：
“百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。每年营业时 间为360天，每天平均售出400张毛巾，每张毛巾的批发价平均为 0· 70元，每次订货的平均费用为 112元。即每次订货，不论购买 的数量多少都要支出112元。现在商店是每半年进一次货，一年 进两次货 。每张毛巾的存贮费用一年为0· 126元。这个商店的经 理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法，他希望能 找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次的数量应该 为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。
三、补充形式 为了满足不断的需求，存储系统需要经常补充存储的物资 品。补充的途径有内部生产和外部订购两种方式。但是在补充供应 时需要考虑补充的时滞性，也即是从订货到交货之间是有一段滞后 时间的，这一时滞可以是某一常量，也可以是随机的。总之，为了 在某一时刻获得补充，就必须提前一段时间订货，这段时间称作订 货提前期。
四、存储策略(供给形式) 在一个存储系统中，有两个基本问题需要我们做出决策——何 时订货和订货数量，又分别称作“期”和“量”的问题。关于“何 时订货”和“订货数量”的决策，就称为存储系统的存储策略，也 称为供给形式,管理者也就通过控制这两个变量，来调节存储系统 的运行，以达到最优的存储安排。常用存储策略有以下几种类型： 1、 t 循环策略 即每隔 t 0 时间补充存货，补充量为 Q 。这是一种适用于需求 比较明确的存储策略。 2、( s, S ) 策略 即当存储量为s时立即补充，订货量为 补充到S。 3、( t , s, S )策略
数学建模 存贮模型
引言
• 本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单 的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货 模型。
• 前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失 的情况（如炼铁厂对原料的需求），
• 后者适用于允许出现缺货造成的损失，并 且损失可以估计的情况（如商店成批购进 货物）。
3.1 存贮模型
1. 不允许缺货的存贮模型
问题提出
敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
S(T , c2 )
T c2
T c2
T c2
c2 T
1 2
2c1 c 23 r
c2 0.5 2c1
c2r
可见， c2 增加 1%，T 减少 0.5%；
敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
S(T , r) T T T r 1 r r r T 2
问题分析
1.若每天生产一次，每次100件，正好是日需求量， 生产准备费5000元，每天费用5000元；
2.若10天生产一次，每次1000件， 贮存费900+800+…+100=4500元， 生产准备费5000元，总计9500元， 每天的平均费用950元；
3.若50天生产一次，每次5000件， 贮存费4900+4800+…+100=122500元， 生产准备费5000元，总计127500元， 每天的平均费用2550元；
• 为了应用微分法求解极值问题，考虑连续 模型，即假设生产周期和产量为连续量。
模型假设
设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量， 1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ，每天每件产品存储
费为 c2 ； 3.生产能力为无限大（相对于需求量），当
【9A文】数学建模—存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
数学建模教案10库存
Q
a1 a2 O
2 2 2
an a2/Q 1 an/Q
2
a1/Q
由于
(a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n ，所以 （可用数学归纳法证明） n n
比较两个累计储存量：
n a1 a 2 a n Q 1 2 2 2 。 (a1 a 2 a n ) 2Q n 2n 2Q
2
可知等量进货可使费用最省。
练习 1.永丰家具厂每年需要用玻璃 5000 平方米，已知玻璃的购买价为每平方米 45 元，每购买一次玻璃（无论数量多少）需要支付手续费和运输费等 5000 元， 没用完的玻璃放在仓库里的储存费为每平方米每天 0.05 元。问永丰家具厂每年 分几次购买玻璃可使费用最省？ 【解】假设在一年之中，玻璃的消耗量是均匀，且每次的购买量是相等的。
144 ，即 n 6 时，E 有最小值。 n
由此可得，每个月进 6 次货（即每 5 天送 8 千克饼干）可使费用最省。
例 2 某食品进出口公司根据市场预测可知，明年需进口食糖 285 吨，其中 第一、二、三、四季度的需求量依次是 50、70、125、40 吨(假设在每个季度中 市场需求量是均匀的)。 已知该食糖的购入价为 1 千元/吨， 售出价为 1.5 千元/吨， 运输费为 0.3 千元/吨，每次办理订货进口的手续费 0.5 千元，进口的食糖在售出 之前的库存费按 0.04 千元/(吨季度)计算。试设计一个合理的进货计划，使费用 尽量小。
设每年分 n 次购买，则每次的购买量为
5000 365 平方米，可用 天，这期间 n n
库存管理数据化数学模型分析
库存管理数据化数学模型分析一、标题：库存管理的重要性及挑战随着企业规模的扩大和业务的多元化，现代企业面临着大量的库存管理问题。
库存优化管理可以帮助企业提高产品的生产效率和销售效率，同时也可以降低企业的库存损失和资金的占用率。
然而库存管理也存在着比较大的挑战，如预测销售额的不确定性，产品过多导致错货率高，以及供应链管理等方面的问题。
基于此，本篇论文将以数学模型的方法，分析库存管理的重要性和挑战。
在此，笔者主要是从库存管理的基本概念、常见问题、优化指标等方面展开分析。
首先，笔者介绍了库存管理的基本概念，如库存、安全库存、服务水平等。
在此基础上，笔者分析了常见的库存问题，如盘点不准、过多库存、缺货等问题。
其次，笔者探讨了库存优化的指标，如库存周转率、滞销率、平均库龄等指标，并通过对比研究，提出了适合企业的优化管理方案。
最后，结合实际情况，本人结合数学模型，对库存问题进行分析和优化。
二、标题：库存控制方法的应用分析库存控制方法是实现库存优化管理的关键。
本篇论文的目的是通过对库存控制方法的应用分析，提高企业库存管理的效率和质量，并保证企业的商业利益。
文章将从库存控制方法的分类、特点、优缺点等方面展开分析，以找到最适合企业的库存控制方法。
在此，笔者首先介绍了常见的库存控制方法，如ABC分类法、优胜劣汰法、动态安全库存法以及定期盘点法等。
其次，笔者深入分析了这些库存控制方法的特点，包括此法的优点以及适用条件。
然后，笔者根据优缺点，结合实际情况，认为某种库存控制方法是最适合企业的方案。
最后，本人通过建立数学模型，进行控制模拟分析，验证所提出的库存控制方法的效果。
三、标题：基于需求预测的库存管理方法研究需求预测是库存管理的重要方面之一。
对需求量的精准预测可以帮助企业做出恰当的库存决策，避免过多库存和缺货的问题。
但是，对于库存管理者来说，如何对需求量进行精准的预测是一项难题。
本篇论文主要是通过研究基于需求预测的库存管理方法，提高预测准确度和库存运营效率，同时提高企业的竞争力。
数学建模题：生产与库存的关系模型设计
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： E我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：生产与库存的关系模型设计摘要生产与库存问题一直是学术界及企业十分关注的问题。
如果企业库存量过大，流动资金占用过多，就会影响企业的经济效益，但如果库存量过小，又难以保证生产经营活动的正常进行。
在生产经营管理活动中也是如此，除了合理安排生产外，还遇着采购的物资和生产的产品都在入库，这就关系到最佳库存量的问题。
库存建模
数学实验作业
果分析和解释说明：
[总结及心得体会]请谈谈您在这次实训项目设计中的心得感悟和收获
参照老师给的几个例子，对其结构布局进行一系列的认识，分析，慢慢弄懂了其中的原理，对于课本的类型题的想法学习后，我有了对于这个问题做法的一些思路，用windows画图工具对其进行画图最后根据流程图的思路进行编程，经过反复的运行侧试，由于过程中出现很多错误，所以就向同学进行请教，最终的出了结果。
这两天我得到了很大的收获。
通过此次的学习，我懂得了怎么着手于一个问题的分析。
感觉这次写的小论文给我蛮大收获的，一来提高了我的思维能力，那是一种真正思想上自由的思考，虽然一开始让人摸不着头脑，找不到头绪，只能到处去查资料、看书，查看相关专题，在短时间内要理解运用相关知识，这是平时我们学习很难得到的，真正能锻炼到思维的。
二来又锻炼了我的计算机应用能力，检索文献的能力，学习新知识的能力和论文撰写能力等等。
这次写论文对我来说是次很好的经历，这段日子的体会和收获，我相信对我今后的生活学习会有一定的影响，让我不断努力、进步。
[参考书目] 列出你查阅的参考书或网络资料（作者、书名或文章名、出版社、时间）。
库存问题数学模型
徐州工程学院数学建模模拟竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B 所属学校（请填写完整的全名）：徐州工程学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 葛考2. 陆静静3. 张旭元指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2013 年 4 月 6 日库存问题数学模型摘要：本文主要针对某商店在鱼竿经营过程中，各方面因素对利润和成本的影响进行了综合分析。
在鱼杆销售过程中，商店的利润由多方面原因组成：市场需求量的变化，订货费用，进货成本，库存费用以及厂家给的优惠条件等等。
通过建立合理的模型，对库存问题建立合理的订货方案。
对于问题一，给定一组一年中各个月鱼杆的需求量值，由于在哪个月份订货，一年的订货次数，每次的订货量、库存都是不确定的，而且不同月份一个批量的订货费不同，每支鱼杆每月还需一定的贮存费，所以需要设出所有变量，通过建立数学函数表达式得到数学模型，最后在LINGO中实现，找到合理的订货方案。
对于问题二，在问题一的基础上，对其进行优化，由题意可得，增加了一个约束条件即如果鱼杆的订货数量超过250支，厂家将给予优惠，每支鱼杆的购置费降至120元，这是就需要通过设置0、1变量，根据订货数量的多少来确定每支鱼杆的购置费用，然后利用LINGO对目标函数进行优化，求出订货方案。
最后将此订货方案与问题一中的订货方案进行比较，若在此约束条件下，成本降低了，则说明可以采取此订货方案，反之，则不采用此方案。
数学建模之库存问题
某企业对于某种材料的月需求量为随机变量，具有如下表概率分布：每次订货费为500元，每月每吨保管费为50元，每月每吨货物缺货费为1500元，每吨材料的购价为1000元。
该企业欲采用周期性盘点的（s,S）策略来控制库存量，求最佳的s,S的值注：策略指的是若发现存货量少于s时立即订货，将存货补充到S，使得经济效益最佳。
Matlab仿真程序：clcclearx1=rand(12000,1); %产生需求随机数efee=zeros(1,28); n=0; %矩阵 efee 存放费用(cost)ss=zeros(1,28);p=0; %矩阵 ss 存放 s 的值SS=zeros(1,28);q=0; %矩阵 SS 存放 S 的值for i=1:12000if x1(i)<0.05r(i)=50; % r 为需求量elseif x1(i)<0.15r(i)=60;elseif x1(i)<0.30r(i)=70;elseif x1(i)<0.55r(i)=80;elseif x1(i)<0.75r(i)=90;elseif x1(i)<0.85r(i)=100;elseif x1(i)<0.95r(i)=110;elser(i)=120;endendfor s=50:10:110for S=(s+10):10:120cost=0; storage=S; %定义各种费用以及初值storagefee=50; lossfee=1500; bookfee=500; cailiaofee=1000;%处理每月的销售订货情况for j=1:12000if storage<=s %需要订货storage=S;booknum=S-storage;cost=cost+bookfee+booknum*cailiaofee+storage*storagefee;elsebooknum=0;cost=cost+storage*storagefee;endif storage>=r(j) %缺货情况storage=storage-r(j);shortagenum=0;elseshortagenum=r(j)-storage;cost=cost+shortagenum*lossfee;storage=0;endendn=n+1;efee(n)=cost/12000;p=p+1;q=q+1;ss(p)=s;SS(q)=S;endendfor n=1:28 %求费用中最小的minfee=efee(1);if efee(n)<minfeeminfee=efee(n);endendSS %显示S的值ss %显示s的值efee %显示费用(cost)的值minfee %显示最小费用输出结果1：显示S的值SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120显示s的值ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110显示费用(cost)efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0006 2.7829 1.7864 1.1690 0.8460 0.8339 1.0267 2.7829Columns 9 through 161.7864 1.1690 0.8460 0.6735 0.7509 1.7864 1.1690 0.8460Columns 17 through 240.6735 0.6500 1.1690 0.8460 0.6735 0.6500 0.8460 0.6735Columns 25 through 280.6500 0.6735 0.6500 0.6500显示最小费用minfee =6.5000e+003输出结果2：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0147 2.7875 1.7885 1.1697 0.8496 0.8358 1.0348 2.7875 Columns 9 through 161.7885 1.1697 0.8496 0.6749 0.7563 1.7885 1.1697 0.8496Columns 17 through 240.6749 0.6500 1.1697 0.8496 0.6749 0.6500 0.8496 0.6749Columns 25 through 280.6500 0.6749 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003输出结果3：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0387 2.8106 1.8105 1.1809 0.8594 0.8309 1.0271 2.8106Columns 9 through 161.8105 1.1809 0.8594 0.6797 0.7459 1.8105 1.1809 0.8594Columns 17 through 240.6797 0.6500 1.1809 0.8594 0.6797 0.6500 0.8594 0.6797Columns 25 through 280.6500 0.6797 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003输出结果4：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0464 2.8185 1.8071 1.1845 0.8620 0.8395 1.0105 2.8185 Columns 9 through 161.8071 1.1845 0.8620 0.6812 0.7509 1.8071 1.1845 0.8620 Columns 17 through 240.6812 0.6500 1.1845 0.8620 0.6812 0.6500 0.8620 0.6812 Columns 25 through 280.6500 0.6812 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003。
(数学建模课件)2.3存贮模型
Q
Ar
t
0
T
2T一个订货周期总费用订货费 C1贮存费 C 2
T 0
q(t)dt
1 2
C2QT
1 2
C 2 rT
2
即
C（T）
C1
1 2
C2 rT
2
一个订货周期平均每天的费用 C(T ) 应为
C(T )
C(T ) T
C1 T
1 2
C2
rT
问题归结为求T 使 C(T ) 最小。
模型求解：
令
dC dT
0
，不难求得
T 2C1 rC 2
从而
Q 2C1r C2
（经济订货批量公式，简称 EOQ公式）
模型分析： 若记每吨货物的价格为 k ，则一周期的总费用C
中应添加 kQ，由于 Q rT ，故 C 中添加一常数项 kr，求 解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。
从结果看，C1越高，需求量 r 越大，Q 应越大；C2
模型一、不允许缺货的存贮模型 模型假设： 1、每次订货费为 C1，每天每吨货物贮存费 C2 为已知； 2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为T 天，每次订货 Q 吨，当贮存量降到零 时订货立即到达。
模型建立：
订货周期T ，订货量 Q 与每天需求量 r 之间满足
Q rT 订货后贮存量 q(t) 由 Q 均匀地下降，即 q(t) Q rt 。
模型建立：
缺货时贮存量 q 视作负值，q(t) 的图形如下，货物
在 t T1时售完，于是 Q rT1 。
.
.q
Q
r
A
0
T1 B T
t
一个订货周期内总费用如下
第八讲 库存模型
Ch S Q ( ) C h Cb
例：某厂对某种材料的全年需要量为1040吨，每
当x ≤R时，就进行补充，补充量Q=M-x
当x>R时，则不进行补充。
8.2 确定型库存模型（一）经济订货批量模 型—EOQ模型 （ECONOMIC ORDER QUANTITY MODEL）
一、模型的假设条件 二、数据之间存在的关系
三、EOQ模型的总费用分析
四、最优订货批量
五、安全库存(safety stock)
2 ( S 2)( S / d ) S Q d 2Q
（2）年缺货损失费用
2
S Cb 年缺货损失费用 2Q
4.总费用TC
D (Q S ) S TC C0 Ch Cb Q 2Q 2Q
2 2
三、最优订货批量和最大缺货量
Q
2 DC 0 C h Cb ( ) Ch Cb
（3）库存费用，用（Ch）表示
库存费用是指为了维持一定的库存水平而发生 的费用，费用的大小与库存量大小有关，库存 量越大，库存费用越大。 ①占用资金发生的成本
库存费
②非资金成本
①占用资金发生的成本 例如支付利息，机会成本等。
库存费一般用单位商品单位时间的库存费用，或
者用单位商品在单位时间内占用该项物资单位购
Q
库存量 R
0
t0
t
订货周期 t
t1
2t
3t 时间
图：经济订货批量模型
三、EOQ模型的总费用分析
EOQ模型不允许缺货，总费用包括年订购
费用、年购买费用和年库存费用三项，不包
括缺货损失费。
1.年订购费用 年订购费用=年订货次数×每次订购费用（C0） = D
数学建模 存贮模型
模型求解
为了求 T 使(3)式的 C 最小，解方程
C(T ) c1 T 2 c2r 2 0
求得最优生产周期为 T
2c1 c2r
(4)
最优产量为
Q 2c1r c2
(5)
最小费用为
C 2c1c2r
(6)
(4),(5)称为经济订货批量公式(EOQ 公式)
敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
S(T , c2 )
T c2
T c2
T c2
c2 T
1 2
2c1 c 23 r
c2 0.5 2c1
c2r
可见， c2 增加 1%，T 减少 0.5%；
敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
S(T , r) T T T r 1 r r r T 2
敏感性分析
为了讨论参数 c1 ， c2 ，r 的微小变化对 生产周期 T 的影响，用相对改变量衡量结果 对参数的敏感程度，定义并计算敏感度 S。
1. T 对 c1 的敏感度
S(T , c1)
T c1
T c1
T c1
c1 T
1 2c1c2 r
c1 0.5 2c1 c2r
可见， c1 增加 1%，T 增加 0.5%；
Q
c1
c 2
c 3 Q 2
2r
1 T2
c 2 c3 Q
rT
c30ຫໍສະໝຸດ c3r 2
0
即
Q
c3r
T c1 T 2
c2 c3
库存问题的基本模型介绍
库存问题的基本模型介绍库存问题是管理和优化库存量的一种数学模型。
在商业和制造业中，库存是指企业储备的商品、物料或原材料。
库存问题的目标是使库存水平最优化，以满足客户需求的同时最大限度地降低成本。
库存问题的基本模型包括以下几个要素：1. 需求：需求是指客户或市场对某商品的需求量。
需求可以是确定性的，即在某一时期内需求量已知；也可以是随机的，即需求量具有一定的概率分布。
库存问题需要基于需求量来决定库存水平。
2. 存货成本：存货成本是指企业为保持库存而支付的费用。
存货成本包括存储成本、机会成本和持有成本等。
存储成本是指仓储、运输和保险等费用；机会成本是指由于资金被用于库存而无法用于其他投资带来的损失；持有成本是指库存因过期、损坏或陈旧而造成的损失。
3. 订购成本：订购成本是指企业为采购商品而支付的费用。
订购成本包括订购费用、运输费用和检查费用等。
订购费用是指与采购商品相关的各种成本，如采购手续费、合同费用等；运输费用是指将商品从供应商处运送到企业仓库的费用；检查费用是指确保订购商品质量的费用。
4. 供应和交货时间：供应和交货时间是指从下订单到供应商交付商品到企业仓库的时间。
供应和交货时间对库存水平和客户满意度有重要影响。
较长的供应和交货时间可能需要更高的库存水平以满足客户需求。
库存问题的基本模型可以根据不同的目标和约束进行调整。
例如，可以在最小成本下满足客户需求的前提下确定最佳订货量；或者在固定订购成本和供应时间下最小化总存货成本。
此外，库存问题还可以被扩展为多个产品、多个供应商和多个仓库的多产品多期库存模型。
库存问题模型的求解涉及到数学优化方法，如线性规划、整数规划和动态规划等。
利用这些方法，可以确定最优的库存水平，以实现企业的成本最小化和客户需求的最大满足。
库存问题是企业生产和经营过程中常常遇到的一个重要问题。
库存在供应链管理中具有极其重要的作用，它既是满足客户需求的重要保障，也是企业运营成本的主要组成部分。
库存问题的基本模型
库存问题的基本模型一、库存问题基本模型（一）、单周期库存基本模型期望损失最小法期望利润最大法确定最佳订货量可采用的方法边际分析法（二）、多周期库存基本模型经济订货批量模型经济生产批量模型价格折扣模型二、具体模型分析（一）、单周期库存模型对于单周期需求来说，库存控制的关键在于确定订货批量。
对于单周期库存问题的订货量就等于预测的需求量。
由于预测误差的存在，根据预测确定的订货量和实际需求量不可能一致。
如果需求量大于订货量，就会失去潜在的销售机会，导致机会损失——即订货的机会（欠储）成本。
另一方面，假如需求量小于订货量，所有未销售出去的物品将可能以低于成本的价格出售，甚至可能报废还要另外支付一笔处理费。
这种由于供过于求导致的费用称为陈旧（超储）成本。
显然，最理想的情况是订货量恰恰等于需求量。
为了确定最佳订货量，需要考虑各种由订货引起的费用。
由于只发出一次订货和只发生一次订货费用，所以订货费用为一种沉没成本，它与决策无关。
库存费用也可视为一种沉没成本，因为单周期物品的现实需求无法准确预计，而且只通过一次订货满足。
所以即使有库存，其费用的变化也不会很大。
因此，只有机会成本和陈旧成本对最佳订货量的确定起决定性作用。
确定最佳订货量可采用期望损失最小法、期望利润最大法或边际分析法。
1. 期望损失最小法顾名思义，期望损失最小法就是比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
2.期望利润最大法期望利润最大法就是比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量为最佳订货量。
3.边际分析法（二）、多周期模型a. 最佳订货批量（经济订货批量）在EOQ模型的假设条件下，式CT=CH＋CR＋Cp＋Cs 中Cs为零，Cp与订货批量大小无关，为常量，因此，CT=CH＋CR＋CP=H（Q/2）＋S（D/Q）＋p D （1）式中:S—为一次订货费或调整准备费；H—为单位维持库存费，H=p•h，p为单位价，h为资金效果系数；D—为年需求量。
数学建模——存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
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其中 fxixj
2 f xi x j
(i, j 1, 2,
, n) （H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.5 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续一阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处取得极值，则 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 .
（2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， 与订货量无关；
（3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 资金利息、存储费、维护费和管理费；
（4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡.
定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b)处的二ຫໍສະໝຸດ 偏导数构成的二阶对称方阵H
f xx f xy
fxy
f
yy
称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 必要条件可以改写为“ f 0 ”；
在定理 7.1.4 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极小（大） 值的充分条件可以改写为“ f 0 且 2 f 正（负）定”.
从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)，要用 f(x,y) 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数，用 f(x,y)的黑塞矩阵 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数.
库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小.
库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一；
法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述：
定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数
fx 和 f y ，则 f fx, fy 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度.
定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续二阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 且 2 f ( X0 ) 正（负）定，则 f(X) 在点 X0 处取得极小（大）值.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 产经营正常进行而必需的库存水平.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点），就发出新订单.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量），在实际情况中，库存模型的需求模 式可以分为三类： （1）确定性的，静态（需求率是与时间无关的常数）； （2）确定性的，动态（需求率是时间的确定性函数）； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）.
如果在点(a,b)处有
fxx
f yy
f
2 xy
0 ，则点(a,b)称为
f(x,y)的鞍点，即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内
既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得
f(x,y)< f(a,b)；
如果在点(a,b)处有
fxx
f yy
f
2 xy
0 ，则需要另想办
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X (x1, x2,, xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数，则 f(X)的梯度 为
其中
f fx1 , fx2 , , fxn
fxk f xk (k 1, 2, , n)
第7章 最优化模型
7.1节 库存模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数 是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充 分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算 方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可 以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1. 一元函数极值必要条件和充分条件
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条
件，并且在点(a,b)处有 fx f y 0 .
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作
f x1x1
f x1x2
H
f x1x2
f x2x2
fx1xn
f x2xn
f x1xn
f x2xn
fxnxn