数学建模之库存模型

7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作
f x1x1
f x1x2
H
f x1x2
f x2x2
fx1xn
f x2xn
f x1xn
f x2xn
fxnxn
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点），就发出新订单.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量），在实际情况中，库存模型的需求模 式可以分为三类： （1）确定性的，静态（需求率是与时间无关的常数）； （2）确定性的，动态（需求率是时间的确定性函数）； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）.
定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续二阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 且 2 f ( X0 ) 正（负）定，则 f(X) 在点 X0 处取得极小（大）值.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 产经营正常进行而必需的库存水平.
（2）固定费用指每次订货所要支付的固定源自文库用， 与订货量无关；
（3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 资金利息、存储费、维护费和管理费；
（4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡.
如果在点(a,b)处有
fxx
f yy
f
2 xy
0 ，则点(a,b)称为
f(x,y)的鞍点，即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内
既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得
f(x,y)< f(a,b)；
如果在点(a,b)处有
fxx
f yy
f
2 xy
0 ，则需要另想办
定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b)
处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵
H
f xx f xy
fxy
f
yy
称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
其中 fxixj
2 f xi x j
(i, j 1, 2,
, n) （H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.5 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续一阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处取得极值，则 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 .
法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述：
定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数
fx 和 f y ，则 f fx, fy 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度.
第7章 最优化模型
7.1节 库存模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数 是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充 分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算 方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可 以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X (x1, x2,, xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数，则 f(X)的梯度 为
其中
f fx1 , fx2 , , fxn
fxk f xk (k 1, 2, , n)
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 必要条件可以改写为“ f 0 ”；
在定理 7.1.4 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极小（大） 值的充分条件可以改写为“ f 0 且 2 f 正（负）定”.
从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)，要用 f(x,y) 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数，用 f(x,y)的黑塞矩阵 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数.
库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小.
库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一；
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1. 一元函数极值必要条件和充分条件
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条
件，并且在点(a,b)处有 fx f y 0 .