高考数学简易逻辑

（2）充分条件
a 3 b 3 ab a 2 b 2 0 即 (a b 1)(a 2 ab b 2 ) 0
pq
而 q =>p 不成立
例7.如果x、y是实数，那么 “xy>0”是 “|x+y|=|x|+|y|”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.四种命题：
互 原命题：若p则q； 逆命题： 若q则p； 为 否命题：若┓p则┓q； 逆否命题：若┓q则┓p逆 否 的 两 个 命 题 是 等 价 的
8.反证法步骤：
假设结论不成立=>矛盾=>假设不成立
9.充要条件： 条件p成立=>结论q成立，
则称条件p是结论q的充分条件；
结论q成立=>条件p成立，
解二：排除法 当a=0时，原方程有一个负的实根，可排出A、D
当a=1时，原方程有两个相等的负实根，可排出B
所以选 C
例9.在△ABC中，“A<B”是“sinA<sinB”的什么条件？ 解：在△ABC中 a、b分别是角A、B的对边， R是△ABC外接圆的半径， 一方面，因为A<B, 所以a<b，即2RsinA<2RsinB 亦即 sinA<sinB,
解：∵xy>0 ∴x、y同正或同负 x 0 当 x y x y y 0
x 0 x y x y y 0 ∴xy>0 x y x y 但反之不能推出，如当 x=0，y=2时，有 x y x y
成立，却没有xy>0成立，所以选A
例4. 用反证法证明：如果 a > b > 0 ，那么 a b
分析：注意反设时两种情况。
证明：假设 a b，或 a b ， 由于 a > b > 0，则由 a b ，有
a a a b 即a ab b ① a b b b ② 又 a b , 得a b
显然“x∈M∪P” <= x∈M∩P
所以选B
例6.下列各小题中，p是q的什么条件、 （1）p：a、b是整数，q：x2+ax+b=0有且仅有整数解。 （2）p：a+b=1，q：a3+b3+ab-a2-b2 =0 解：（1）必要条件 ∵q => p成立，而 p =>q 不成立
设 x 2 ax b 0的解是x1、x2， 由x1、x2是整数，x1+x2=-a, x1x2=b 得a、b是整数
例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 （1）若α 是一个三角形的最小内角，则α 不大于60O （2）一个内角为90o，另一个内角为45o的三角形是等 腰直角三角形。 （3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三 角形。 解：（1）是非p形式的复合命题， 其中p：若α 是一个三角形的最小内角，则α>60o. （2）是p且q形式的复合命题， 其中p：一个内角为90o，另一个内角是45o 的三角形是 等腰三角形；q：一个内角为90o，另一个内角是45o 的 三角形是直角三角形.
设两根为x1、x2， 则有一负实根
a ห้องสมุดไป่ตู้ a0 1 a 0
2 1 x1 x 2 , x1 x 2 a a 有两个负实根
a 1 2 0 a 1 0 a
0 a 1
综上，a≤1
例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A.0<a≤1 B.a<1 C. a≤1 D. 0<a≤1 或a<0
例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A.0<a≤1 B.a<1 C. a≤1 D. 0<a≤1 或a<0 解一：当a=0时，原方程变形为一元一次方程2x+1=0, 有一个负的实根； 当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件 是 4 4a 0 即a≤1
则称条件p是结论 q的必要条件；
条件p成立结论 q成立， 则称条件p是结论q 的充要条件。
例1.分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、 “┓p”形成的复合命题。 （1）p： 是无理数， q ： 是实数。 （2）p：5是15的约数， q：5是20的约数。
解：（1）p或q： 是无理数或实数。 p且q： 是无理数且为实数。 ┓p： 不是无理数 （2）p或q： 5是15或20的约数。 p且q： 5是15也是20的约数。 ┓p： 5 不是15的约数。
第2课时 简易逻辑 ------逻辑联结词和四种命题
知识点归纳：
1.命题：可以判断真假的语句。
2.逻辑联接词：“或”、“且”、“非” 3.简单命题：不含逻辑联结词的命题。
4.复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。 5.三种形式：p或q、p且q 、非p
6.真假判断：p或q，同假为假，否则为真； p且q，同真为真，否则为假； 非p，真假相反
例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 （1）若α 是一个三角形的最小内角，则α 不大于60O （2）一个内角为90o，另一个内角为45o的三角形是等 腰直角三角形。 （3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三 角形。 （3）是p或q形式的复合命题， 其中p：有一个内角为60o 的三角形是正三角形； q：有一个内角为60o 的三角形是直角三角形.
从而△ABC中 “A<B” => sinA<sinB 另一方面，因为sinA<sinB, 所以2RsinA<2RsinB , 即a<b，得A<B 从而△ABC中 sinA<sinB => A<B
故△ABC中 ，“A<B” 是 “ sinA< sinB”的充要条件
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性 例10.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为即证A=>B，证必要性即证B=>A，一定要使题目与证明 1的充要条件是a-b+c=0. 中的叙述一致
①、②均与a>b>0矛盾， ∴
a b
例5.设集合M={x|x>2}, P={x|x<3}, 那么“x∈M或x∈P” 是 “x∈M∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：“x∈M或x∈P”即 “x∈M∪P={x|x>2}∪{x|x<3}=R” “x∈M∩P”即“x∈{x|2<x<3}”
例3. 写出命题“当 abc =0 时，a=0或b=0或c=0”的逆 命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 分析：把原命题改写成“若p则q”的形式，再分别写 出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。 解：原命题：若abc=0, 则a=0或b=0或c=0，是真命题. 逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0, 则，是真命题. 否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题. 逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题.
分析:证充分性就是证由a-b+c=0=> ax2+bx+c=0有一个根为-1, 证明:先证充分性 2+bx+c=0有一个根为-1=>a-b+c=0 证必要性就是证由ax
若a-b+c=0, 此时把x=-1代入所给方程的左边得 a·(-1)2+b·(-1)+c=a-b+c=0 所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的根 再证必要性 若x=-1方程 ax2+bx+c=0的根，则 a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0 综上可知：a-b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为-1 的充要条件。