(完整版)(数学分析教案)第四章函数的连续性

第四章

函数的连续性

（14学时）

● 引言

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题:

１．什么是“函数的连续性”?

２．“间断"或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？

４．初等函数的连续性有何特点？

§１ 连续性概念

教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１)使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种

等价叙述；(２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵.

教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排： 4学时 教学程序：

● 引言

“连续”与“间断"（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性.

例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。 因此,为了给出“连续”的定义,需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃,当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化.而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1

x x →时，1()()f x f x →。换句话说,当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()

x x f x f x →=。

根据这一分析，引入下面的定义：

一 函数在一点的连续性

１．

函数f 在点0x 连续的定义

定义１(f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续。

注 00

0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续"意味着“极限运算与对应法则f 可交换。 ２．例子

例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续.

例２．2lim(21)5(2)

x x f →+==。

例３．讨论函数

1sin

,0()0,0x x f x x

x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性。 ３．函数f 在点0x 连续的等价定义

１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量。设00()y f x =，

0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量。

注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零。(区别于“增加”)。

２） 等价定义１:函数f 在点0x 连续⇔0lim 0x y ∆→∆=。

３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<。 注:一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义,可以证明以下命题: 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数。

４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系

１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）。而f 在

点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）。

２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续"时,由于x=0x 时,0|()()|f x f x ε-<恒成立。所

以换为:0||x x δ-<。

３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限"，而且00lim ()()x x f x f x →=;而在讨论0lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在。

总的来讲，函数在点0x 连续的要求是:①()f x 在点0x 有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()

x x f x f x →=.

任何一条不满足，f 在点0x 就不连续。同时，由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质。

５．f 在点0x 左（右）连续定义

① 定义２：设函数f 在点0()U x +(0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（00lim ()()x x f x f x -→=），则称f

在点0x 右(左）连续.

②

f 在点0x 连续的等价刻划

定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续.

如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00lim ()lim 0(0)

x x xD x x f --→→===(左连续）。 例５．讨论函数

2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨

-<⎩在点0x =的连续性. 二 区间上的连续函数 １．定义

若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称f 为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，

函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续。 ２．例子

(１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；

(２)

函数y =(1,1)-内每一点都连续.在1x =处为左连续,在1x =-处为右连续,因而它在