SnS-第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析(2)
信号与系统不挂科-3-连续时间信号的频域分析
双边幅度谱为单边幅度谱幅度取一一半以后偶延拓拓（除直流分量量），直流分量量不不变。
双边相位谱为单边相位谱直接奇延拓拓。
例例题3-2 试作出例例3-1信号的双边频谱。
例例题3-3
一一周期信号为f
(t)
=
2
+
3
cos(t
−
π 6
)
+
sin(3t
−
π 6
)
−
2
cos(5t
−
π 3
)；
试分别作出此信号的单、双边幅度图和相频图。
*
F(
j
ω)]，f
3(t
)
↔
1 (2π)2
[F
(
jω)
*
F
(
jω)
*
F
(
jω)]。
例例题3-14
求g6(t)cos 5t的傅里里里叶变换。
时域微分性质
若f (t) ↔ F( jω)，则
df (t) dt
↔ jωF( jω)
dn f (t) dtn
↔ ( jω)nF(
jω)
时域积分性质
若f (t)
↔
t
「信号与系统不挂科」第三讲讲义
3.1.傅里叶级数与信号的频谱
3.1.1.傅里里里叶级数
三⻆角形式的傅里里里叶级数
周期为T的信号fT (t )满足足狄利利克雷雷条件，可展开为傅里里里叶级数：
fT (t )
=
a0 2
+∞
+ ∑ (an cos nΩt
n=1
+ bn sin nΩt)
其中Ω
=
2π T
称为基波⻆角频率，f
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
第3章 连续时间信号与系统的频域分析
图 中 T 5
T
Fn
Fn是实函数，幅度/相位可 在一个图中画出
Fn 0，相位为 0， Fn 0, 相位为 π 2π
0
0 0
(1)包络线形状：取样函数
(2) 其最大值在n 0处，为 T
(3)离散谱（谐波性） 当ω n0 取值 2π （4 )第一个零点坐标： 令 n0 π n0＝ 2 π 2
| Fn |
初相为
jn
19
指数形式与三角形式系数之间的关系为
1 1 Fn Fn e jn (bn jcn ) An e jn 2 2 1 1 j n F n (bn jcn ) An e 2 2 1 Fn An F n 2 cn n arctan bn Fn F n 2 Re Fn bn An cos n j ( Fn F n ) j 2 Im Fn cn An sin n
其中n＝1、2、3、。。。，t0为任意实数
bn是n的偶函数，cn是n的奇函数
7
也可以写成另外一种形式：
¥
fT (t ) = A0 + å An cos(nw 0 t + j n )
n=1 2 n 2 n
(3.1.2)
A0 = a0 , An = b + c , (n = 1, 2, 3 ) - cn j n = arctan( ) bn
3.1.2 指数函数形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算
jnw 0 t F e å n (n = 0, ±1, ±2...) ¥
不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
连续时间傅立叶变换讲义
连续时间傅立叶变换讲义连续时间傅立叶变换（Continuous-Time Fourier Transform）是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、通信系统、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用。
本讲义将介绍连续时间傅立叶变换的基本概念、性质、公式和应用。
1. 时域和频域在信号处理中，我们通常所说的信号是指随时间变化的函数。
这样的信号称为时域信号，它描述了信号在时间上的变化。
与之相对应的是频域信号，它描述了信号在频率上的变化。
连续时间傅立叶变换将信号从时域转换到频域，从而将信号的频谱信息展示出来。
2. 连续时间傅立叶变换的定义连续时间傅立叶变换将一个连续时间函数x(t)映射到复数域的函数X(f)，其中f表示频率。
连续时间傅立叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t)e^(-j2πft))dt其中，j是虚数单位，e是自然对数的底数。
连续时间傅立叶变换可以看作是将函数x(t)与复指数函数e^(-j2πft)进行内积运算。
3. 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度变换性质、频移性质、共轭性质等。
这些性质使得连续时间傅立叶变换成为一个非常有用的工具。
4. 连续时间傅立叶变换的公式连续时间傅立叶变换的公式可以通过拉普拉斯变换得到。
当输入信号是实数信号时，变换后的频谱是一个复函数，包含了信号的幅度和相位信息。
通常，我们可以将信号的幅度谱和相位谱分开表示。
5. 连续时间傅立叶变换的应用连续时间傅立叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
它可以用于信号的滤波、频谱分析、信号的采样和重构等方面。
在通信系统中，连续时间傅立叶变换可以用于信道估计、调制和解调、多路径传输等。
总结：连续时间傅立叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它通过将函数与复指数函数进行内积运算，将信号的频谱信息展示出来。
连续时间傅立叶变换具有许多重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度变换性质、频移性质、共轭性质等。
第3章 连续时间信号的傅里叶分析上课汇总
2T1 T
sin(k0T1 ) k0T1
2T1 T
Sa(k0T1 )
取T = 4 T 1
ak
1 2
Sa(
2
k)
1 sinc(k ) 22
1 ak 2 a0
a1
(3.2.9)
a2
8 6 4 2 0 2
46 8 k
傅氏级数 例题
？
信号 系统 响应
取T = 8 T 1
1 4
ak a0
a1
a2
a3
a4
常数
est LTI H (s)est
(3.1.7)
特征函数
特征值
复指数信号通过LTI系统
？
信号 系统 响应
思考：如果信号 f (t) 能表示为
f (t) akeskt k
由系统的线性，“和的响应等于响应的和”，信号 通过LTI系统的响应为
f (t) LTI y(t) ak H (sk )eskt k
k 次谐波
傅氏级数 例题
？
信号 系统 响应
例3.2.1 已知连续时间信号 f (t) 1 cos0t 2sin30t
求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak
解：f
(t
2 0
)
1
cos(0t
2
)
2
sin(30t
6
)
f (t)
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t )
sin 30t
1 2j
(e j30t
e j30t )
2 sin(k0T1 ) k0T
ak
2 sin(k0T1 ) k0T
2T1 T
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
实验三 连续周期性时间傅里叶系数
实验三连续周期性时间信号的傅里叶级数一、实验目的：1. 进一步掌握MATLAB子函数的表示方法2. 深刻理解傅里叶级数的信号分解理论及收敛性问题3. 理解周期性信号的频谱特点。
二、实验原理傅里叶级数设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1. 三角形式的傅里叶级数：式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得：[2. 指数形式的傅里叶级数：式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得：周期信号频谱具有三个特点：（1）离散性，即谱线是离散的；（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；（3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
周期信号的MATLAB表示周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
在Matlab中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用quadl函数，它有两种其调用形式。
(1) y＝quadl(‘func’, a, b)。
其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。
(2) y＝quadl(@myfun, a, b)。
其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所定义函数的文件名。
例：用MATLAB计算脉冲宽度T1 = 2；周期T = 4的周期性脉冲信号的复傅里叶级数，分别画出N = -2:2， -10:10， -50:50， -200:200的傅里叶级数展开及合成，观察吉普斯效应。
画出T = 4， T =8下的双边谱A.首先创建一个子函数singRect（t, T1），表示单个脉冲信号，时间为t，宽度为T1。
function y = singRect(t, T1)y = (abs(t) <= T1);endB.创建傅里叶积分的被积子函数function y = rectExp(t, k, w)y = (abs(t) <= 1) .* exp(-1j*k*w*t);endC.创建子函数用于傅里叶级数计算及合成function [x, ak] = fourierSeries(N, t)T1 = 1;T = 4; w = 2 * pi/T;ak = zeros(1, 2 * N + 1);for i = 1:2*N+1 %傅里叶分解，计算傅里叶系数akak(i) = quadl(@(t)fsInt(t, i - N - 1, w, T1), -2, 2)/T;end;x = 0;for i = 1:2*N + 1 %傅里叶级数合成x = x + ak(i) * exp(1j*(i - N - 1)*w*t);endendD.创建main函数，计算不同N下的傅里叶级数及合成。
信号与系统 实验三 连续时间周期信号的傅里叶级数
实验三连续时间周期信号的傅里叶级数一、实验目的掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的展开和合成，理解吉布斯现象，掌握周期矩形脉冲信号的频谱及脉冲宽度、周期对周期信号频谱的影响。
二、实验内容1、周期信号的傅里叶级数的展开和合成画出如下图对称方波（取E=1、T=1），并采用有限项傅里叶级数对原函数进行逼近，画出对称方波的1、3、5、7、9、11次谐波的傅里叶级数合成波形，观察吉布斯现象。
sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:1fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2);f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:3fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:5fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:7fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:9fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:11fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)2、周期矩形脉冲信号的频谱a. 取E=1，τ=1, 画出周期矩形脉冲（教材P83图3-6）的傅里叶级数的频谱（教材P83图3-7）；n=-12:12;E=1;t=1;T=5*t;w=2/T;fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);stem(n,fn,'filled');hold onk=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,f,'--');b. 取E=1，τ=1, 画出教材P85图3-8(a)；t=-12:0.01:12;y=u(t+1/4)-u(t-1/4)+u(t-19/4)-u(t-21/4)-u(t+19/4)+u(t+21/4)+u(t-39/4)-u(t-41/4)-u( t+39/4)+u(t+41/4);subplot(2,1,1);plot(t,y);axis([-12 12 -0.1 1.1]);xlabel('t');ylabel('f(t)');n=-12:12;E=1;t=1;T=10*t;w=2/T;fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);subplot(2,1,2);stem(n,fn,'filled');hold on;k=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,f,'--');xlabel('w');ylabel('Fn');c. 取E=1， =1, 画出教材P85图3-8(c)。
SnS-第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析(3)
F1(
j)
E
Sa
2
f (t) f1(t) f1(t T ) f1(t T )
其频谱为
F( j) F1( j) e jT 1 e jT
E Sa (1 2 cosT )
2
2019年11月15日
宁波大学信息科学与工程学院
，宽
t0 的矩形脉冲
f ( )的积分
f ( )
1 t0
u(
)
u(
t0 )
t
y(t) f ( )d
Y () FTy(t) 1 F () F ( j0) ()
j
1
Sa t0
e
j
t0
2
()
j 2
2019年11月15日
(e
j0t
e
j0t
)
FT f
(t)
cos0t
1 2
F
j(
0 )
F
j(
0
)
sin 0t
1 2j
(e
j0t
e
j0t )
FTf
(t)
sin
0t
1 2j
F
j(
பைடு நூலகம்
0 )
F
j(
0 )
2019年11月15日
宁波大学信息科学与工程学院
宁波大学信息科学与工程学院
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间LTI系统的频域求解 练习五
2019年11月15日
宁波大学信息科学与工程学院
3.3 傅里叶变换的性质
3 连续时间信号与系统的傅立叶分析(2)
e
st
+
h( )e s d H ( s)e st
其中
H (s) h( )e s d
+
H(s)是一个复常数，其值取决于 s，而且H(s)与系统的 单位冲激响应 h(t) 有关。这也就证明了任何复指数函数是 线性时不变系统的特征函数；对某一给定的 s值，常数H(s) 就是与特征函数est有关的特征值。
（3）收敛性，频谱的各次谐波分量的幅度虽然随频
率 (=k0) 的变化有起伏，但总的趋势是随着 (=k0) 的增
大而逐渐减小。当k→∞时，|ak|→0。
对于如图所
示的矩形脉冲， 其频谱为：
sin(k0 2) ak T0 k0 2 k0
T0 Sa( 2 )
若脉冲宽度 不变，周期T0 增大，则谱线间距变小，同时 谱线幅度也相应下降。 但 T0ak Sa( ) k的包 0 络是一个与T0无关的抽样函数。
3.3 周期信号的傅里叶级数近似 与傅里叶级数的收敛性
1. 最小均方近似
设给定信号fp(t)的傅里叶展开式为 f p (t ) 在同样区间(t1, t2)内将fp(t)用一个N维正交函数集 e jk0t
k jk0t a e k
(k=1, 2, · · · , N)的线性组合来近似。 设有限项近似表示式为 ~ f Np (t )
1 A0 4
的单边频谱如图
所示。
可以看出，周期信号频谱具有以下几个特点：
（ 1 ）离散性，谱线沿频率轴呈离散分布，每一条谱 线代表一个正弦分量，所以频谱称为不连续谱或离散谱。 （2）谐波性，各谱线间呈等距分布，两相邻谱线间 的距离正好等于基波频率。即周期信号只含有基波频率整
时间管理-第三章连续时间信号与系统的频域分析 精品
T 2
n 1, 2,
An an2 bn2 复傅里叶系数。
n
arctg
bn an
An
bn
n
an
Fn
1 2
An
1 2
Ane jn
1 2
(
An
cosn
jAn
sin
n)
1 2
(an
jbn )
1
T 2
f (t) cos ntdt
j
1
T
2 f (t) sin ntdt
T
T 2
T
T 2
1
T 2
例1
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频 率分量是___C___。 f (t)
1
0
T 2
T
t
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流偶函数：只含余弦项；
半周重叠：
(B) 正弦项的奇次谐波，无直流 只含偶次谐波和直流
(C) 余弦项的偶次谐波，直流
(D) 正弦项的偶次谐波，直流。
例2
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的 频率分量是__B____。
2
0
第一个过零点增加一倍
周期T不变，脉冲宽度变化 ③
情况
3：
T, 16
Fn
T
Sa( n )
T
1 16
Sa( n
16
)，
第一个过零点为
n
=16
。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 16
0
幅值再减小一倍
2
第三章 连续时间周期信号的傅里叶级数分析
如果
a x(t) 2 dt 则
T0
必k 存在。
x在(t一) 个周期内能量有限， 一定ak存在。
2. Dirichlet条件：
① x(t) d，t 在任何周期内信号绝对可积。 T0
ak
1
T0
x(t)e jk0t dt 1
T0
T0
x(t) dt
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
即： x(t) akeskt
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(n)
ak
H
(Z
k
)Z
n k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时 ak
应满足：
ak
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
这就是傅氏级数的系数
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对 周期信号的最佳近似。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a是k 否存在? ② 级数是否收敛于 x(?t)
两组条件：
1.平方可积条件：
1807年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示1822年首次发表热的分析理论1829年狄里赫利第一个给出收敛条件17681830傅里叶的两个最重要的贡献号的加权和傅里叶的第一个主要论点表示傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有32lti系统对复指数信号的响应ltisystemscomplexexponentials考查lti系统对复指数信号可见lti系统对复指数信号的响应是很容易求得的
第3章_连续信号的频谱——傅里叶变换ppt课件
T1
4
4
0
E 2
取基波、三次谐 波分量和五次谐1t)
从上面例子看出：
（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。
ppt精选版
18
2.傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号
1)偶函数信号：an
4 T1
f(t)f(t) bn0
T1 2
0
f(t)cos(n1t)dt
cn an , Fn Fn
an 2
例如：周期三角波信号
n 0
f (t)
其傅里叶级数三角展开式中
仅含直流项和余弦项，
E
其傅里叶级数指数展开式中
f(t)－ f(t)
例如：周期锯齿波信号
f (t)
bnT 41
T1 2
0
f(t)sin(n1t)dt
c0 a0 0, cn bn, Fn Fn
1 2j
bn
E
n 90
2
其傅里叶级数三角展开式中
T1
2
仅含正弦项，
T1 0 2 E 2
是一奇函数
t 其傅里叶级数指数展开式中
F (n1)为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
17
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。
波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
a 2
nT
T
2 T
2
f
(t) cos n1tdt
2A sin n
n T
2 A T
sin n
T n
2A Sa(n ) TT
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa(
n
T
)
cos(n1t )
T 2 : 公共周期 1
A 2A
和
F e-jn0t n
才构成物理上的一个谐波分
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
两种形式傅立叶级数中系数的关系:
F0 a0
Fn
1 2
(an
jbn )
Fn
1 2
(an
jbn )
n 1, 2,3, n 1, 2,3,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
f t
A
解： 直接代入公式有
T
T
22
t
Fn
1 T
T
2 f (t)e-jn0tdt 1
T
T
2
Ae-jn0tdt
A
T
sin n0
2
n0
=
A
T
Sa
n0
2
2
2
2
所f以(t) Fne jn0t
n
2
Fn
幅度谱
推荐-信号与系统第三版第三章课后答案 2 精品
fT (t) Fne jnt n
Fn
1 T
t0 T t0
fT (t)e jnt
dt
称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数
3.2.3 傅立叶系数关系
比较两种展开式，得： A0 a0 2F0
An 2 Fn
n n
令An＝Ane jn 考 虑 到Fn Fn e jn
统一表示为A 2Fn
f
* 2
(t
)dt
0
2 信号的正交分解
*正交函数集：设一函数集 g(t) g1(t), g2 (t),..., gN (t),
t (t1, t2 )
若
t2 t1
gi (t)g j*(t)dt
0 ki
ii jj i,
j
1,2,3 N
则称g(t)为正交函数集，t (t1, t2 )
当Ki=1时，称为归一化正交函数集。
fT (t) cigi(t) (an cosnt bn sin nt) a0 (an cosnt bn sin nt)
n0
n1
该函数系数
an
t0 T t0
fT (t) cos* ntdt
t0 T cosnt 2 dt
1 t0T
T t0 2 t0T T t0
fT (t )dt fT (t )cosntdt
n0 n 1,2..
t0
bn
f t0 T
t0
T
t0 T
(t)sin* ntdt sin nt 2 dt
2 T
t0 T t0
fT (t)sin ntdt
t0
n 1,2...
将a0包含在an中则有：
fT
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➢傅立叶的逆变换
f (t) lim
Fne jn0t
T n
1
T
lim
n
e
jn0t
F
(n0 0
)
0
jt
f (t) 2 F ( j)e d
T
lim
n
e
jn0t
T
F (n0 2
)
(n
1)0
n0
傅立叶 逆变换
1
lim
e jt F ( j)
2 T n
n0
1
F
(
j)e
jt
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
5
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢傅里叶变换的性质 ➢连续周期信号的傅里叶变换 ➢练习三
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
6
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢卷积定理 ➢连续LTI系统的频率响应与理想滤波
器 ➢练习四
f
(t)
1
2
F(
j)
cos(t
()d
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
16
3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢傅里叶变换的存在条件-狄里赫利条 件
❖信号在无限区间内绝对可积
❖信号在任何有限区间内有有限个极值 点
❖信号在任何有限区间内有有限个不连
续点，而且每个不连续点的值必须有
限
d
2
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信号与系统 第3章第2次课
13
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢一对特殊的等式
F ( j0) f (t)dt
f (0) 1
F
(
j
)d
2
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信号与系统 第3章第2次课
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3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢F(j)是密度函数 ➢F(j)是定义域为(-j∞, +j∞)的连续谱，
O
1 F ( j)
a 1 2a
Oa
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t
( )
π 2
O
π
2
信号与系统 第3章第2次课
Back 20
3.2.3.2 双边指数信号
❖信号表达式
f (t) ea t ( t )
❖幅频
F(
j)
2a
a2 2
❖相频
() 0
f(t)
O
t
F ( j) F ( j)
2
a 1
a
O
a
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信号与系统 第3章第2次课
Back 9
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢当周期信号的周期T无限大时，就演 变成了非周期信号的单脉冲信号
T
频率也变成连续变量
0
2
T
0 d
n0
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信号与系统 第3章第2次课
10
3.2.1jn0tdt
T 2
F
(n0
)
2 0
T 2
T 2
f (t)e jn0tdt
傅立叶 变换
lim T F (n0 )
T
f1(t)e
jt
dt
F( j)
f
(t
)e
jt
dt
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信号与系统 第3章第2次课
12
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
域分析
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信号与系统 第3章第2次课
3
概述
➢时域与变换域转换的对应关系
时域 连续 离散 变换域 变换域 非周期 周期 时域
时域 实部 虚部 变换域 变换域 偶对称 奇对称 时域
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信号与系统 第3章第2次课
4
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续非周期信号的傅里叶变换 ➢练习二
包含了从零到无限高频的所有频率分 量，分量的频率不成谐波关系
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信号与系统 第3章第2次课
15
3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢F(j)一般为复函数
F ( j) F ( j) e j ()
f
(t)
1
2
F
(
j)e
jt d
1
2
F ( j) e j(t ())d
❖若f(t)为实数，则幅频为偶，相频为奇
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
7
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续时间LTI系统的频域求解 ➢练习五
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信号与系统 第3章第2次课
8
3.2 连续非周期信号的傅里叶变换
➢傅里叶变换及傅里叶逆变换 ➢傅里叶变换的物理意义 ➢典型非周期信号的傅里叶变换
➢信号表达式
f
(t
)
eat
(t 0)
0 (t 0)
F ( j) f (t)e jtdt 1 ( 0)
a j
❖幅频
F ( j) 1 2 2
❖相频
() arctg
a
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信号与系统 第3章第2次课
19
3.2.3.1 单边指数信号
➢信号的波形及频谱
f(t)
信号与系统
——多媒体教学课件 (第三章 Part 2)
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢连续周期信号的傅里叶级数表示 ➢练习一
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信号与系统 第3章第2次课
2
主要内容
➢傅里叶级数和傅里叶级数的性质 ➢傅里叶变换和傅里叶变换的性质 ➢周期信号和非周期信号的频谱分析 ➢卷积定理和连续时间LTI系统的频
➢频谱演变的定性观察
-T/2
T/2
-T/2
T/2
Fn F (n0 )
0
2
T
F (n0 ) 0
F (n0 )
0
2020年11月12日星期四
2
信号与系统 第3章第2次课
2
11
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢从周期信号FS推导非周期的FT
f (t) F (n0 )e jn0t
n
F (n0 )
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
Back 21
3.2.3.3 对称矩形脉冲信号
➢信号表达式
f
(t)
E
0
(t
2
)
(t
2
)
❖幅频 F( j) E Sa
2
F ( j) / 2 Ee j tdt / 2 2E sin 2 Eτ Sa 2
❖相频
0
()
2020年11月12日星期四
2020年11月12日星期四
f (t)dt
信号与系统 第3章第2次课
Back 17
3.2.3 典型非周期信号的傅里叶变换
➢单边指数信号 ➢双边指数信号 ➢对称矩形脉冲信号 ➢符号函数 ➢冲激函数 ➢阶跃信号
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
Back 18
3.2.3.1 单边指数信号
4n
2(2n 1)
2(2n 1)
4(n 1)
(n 0)
4n 2(2n 1) (n 0)
信号与系统 第3章第2次课
22
3.2.3.3 对称矩形脉冲信号
f (t) E
O
2
2
t
2020年11月12日星期四
|F(j)|
Et
...
4π
...
2π O