抛物线单元测试题

抛物线期末复习单元测试题

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1 抛物线x y 102

=的焦点到准线的距离是( )

A

25 B 5 C 215 D 10 ２.以抛物线2

2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是( ）

ﻩＡ 相交 ﻩB 相切

C ．相离 ﻩD.以上三种均有可能

3 设AB 为过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ )

A

2

p

B p

C p 2

D 无法确定 4 若抛物线x y =2

上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为

( )

A 1(,44±

B 1(,)84±

C 1(,44

D 1(,84

５．若双曲线22

21613x y p

-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为（ )

Ａ.2

B ．３ﻩﻩﻩＣ.4

6．已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ）

A ．(

41，－1) ﻩB ．（4

1,1） ﻩC.（１，2） Ｄ．（１，-2) 7.已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点,则点P 到点（０，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

ﻩB.3ﻩ ﻩD ．

92

8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，, 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列, 则有（ ）

A.123FP FP FP +=ﻩﻩ B ．2

2

2

123FP FP FP +=

C ．2132FP FP FP =+ﻩ ﻩD.2213FP

FP FP =·

9．过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有 （ ）

Ａ．０条ﻩB ．1条ﻩＣ．2条ﻩD ．3条

１0.已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

AK =，则AFK ∆的面积为（ ）

A.4 ﻩ Ｂ．８ﻩ C.１6ﻩ D.3２ 11．抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线

m x y +=对称,

且2

1

21-=⋅x x ,则m 等于( ) A

23 B 2 C 2

5

D 3 12．过抛物线2

(0)y ax a =>的焦点Ｆ作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的

长分别是ｐ、ｑ，则

q

p 1

1+等于（ ） Ａ.2a ﻩ B.

a

21

Ｃ．4a D ．

a

4 二、填空题（本大题共4小题，每小题４分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点,则实数a = .

1４.过抛物线2

2(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧)，则

AF

FB

= ． １５.已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .

16 对于抛物线2

4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共６小题,共7４分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分1２分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m 的值。

18．(本小题满分12分）已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15,（1)求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线25y x =-无公共点,试在抛物线上求一点,使这点到直线25y x =-的距离最短。

1９.(本小题满分12分）如图,已知点(10)F ，,直线:1l x =-,P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ,且QP QF FP FQ =. (Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点,交直线

l 于点M ,已知1MA AF λ=,2MB BF λ=，求12λλ+

20.(本小题满分12分)已知抛物线C :2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N . （Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;

(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =,若存在，求k 的值;若不存在,说明理由．

21.(本小题满分12分)如图倾斜角为α的直线经过抛物线2

8y x =的焦点F ,且与抛物线交于

,A B 两点.(Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;

(Ⅱ)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明cos2FP FP α-为定值,并求此定值．

２２．(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2

y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （Ⅰ)若2OA OB =,求c 的值；

(Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线; （Ⅲ)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.