多元线性回归模型：假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，扮演着重要的角色。
其中，线性回归模型和假设检验是统计学中常用的方法。
本文将介绍线性回归模型的基本概念和应用，以及假设检验的原理和实际意义。
一、线性回归模型线性回归模型是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小化因变量与预测值之间的差异来估计回归系数。
在线性回归模型中，自变量通常表示为X，因变量表示为Y。
模型的基本形式可以表示为Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的随机变动。
线性回归模型的应用非常广泛。
例如，在经济学中，可以使用线性回归模型来研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，可以使用线性回归模型来分析药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过对数据进行拟合和分析，线性回归模型可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和决策。
二、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于判断样本数据与某个假设之间是否存在显著差异。
在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据进行统计推断，判断是否拒绝原假设。
在假设检验中，我们通常使用一个统计量来衡量样本数据与原假设之间的差异。
常见的统计量包括t值、F值和卡方值等。
通过计算统计量的概率值（p值），我们可以判断样本数据是否支持原假设。
假设检验在科学研究和实际应用中具有重要意义。
例如，在药物研发中，可以使用假设检验来判断新药物是否比现有药物更有效；在市场营销中，可以使用假设检验来评估不同广告策略的效果。
通过假设检验，我们可以基于数据进行科学决策，提高研究和实践的可靠性。
三、线性回归模型与假设检验的关系线性回归模型和假设检验是统计学中紧密相关的方法。
在线性回归分析中，我们可以使用假设检验来评估回归系数的显著性。
在线性回归模型中，我们通常对回归系数进行假设检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
中级计量经济学讲义_第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验
第六章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212*********这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
线性回归模型检验方法拓展-三大检验
线性回归模型检验⽅法拓展-三⼤检验第四章线性回归模型检验⽅法拓展——三⼤检验作为统计推断的核⼼内容，除了估计未知参数以外，对参数的假设检验是实证分析中的⼀个重要⽅⾯。
对模型进⾏各种检验的⽬的是，改善模型的设定以确保基本假设和估计⽅法⽐较适合于数据，同时也是对有关理论有效性的验证。
⼀、假设检验的基本理论及准则假设检验的理论依据是“⼩概率事件原理”，它的⼀般步骤是（1）建⽴两个相对（互相排斥）的假设（零假设和备择假设）。
（2）在零假设条件下，寻求⽤于检验的统计量及其分布。
（3）得出拒绝或接受零假设的判别规则。
另⼀⽅⾯，对于任何的检验过程，都有可能犯错误，即所谓的第⼀类错误P（拒绝H|H0为真）=α和第⼆类错误P（接受H|H0不真）=β在下图，粉红⾊部分表⽰P（拒绝H0|H0为真）=α。
黄⾊部分表⽰P（接受H0|H0不真）=β。
⽽犯这两类错误的概率是⼀种此消彼长的情况，于是如何控制这两个概率，使它们尽可能的都⼩，就成了寻找优良的检验⽅法的关键。
下⾯简要介绍假设检验的有关基本理论。
参数显著性检验的思路是，已知总体的分布(,)F X θ，其中θ是未知参数。
总体真实分布完全由未知参数θ的取值所决定。
对θ提出某种假设001000:(:,)H H θθθθθθθθ=≠><或，从总体中抽取⼀个容量为n 的样本，确定⼀个统计量及其分布，决定⼀个拒绝域W ，使得0()P W θα=，或者对样本观测数据X ，0()P X W θα∈≤。
α是显著性⽔平，即犯第⼀类错误的概率。
既然犯两类错误的概率不能同时被控制，所以通常的做法是，限制犯第⼀类错误的概率，使犯第⼆类错误的概率尽可能的⼩，即在0()P X W θα∈≤ 0θ∈Θ的条件下，使得()P X W θ∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼤，或1()P X W θ-∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼩。
其中()P X W θ∈表⽰总体分布为(,)F X θ时，事件W ∈{X }的概率，0Θ为零假设集合（0Θ只含⼀个点时成为简单原假设，否则称为复杂原假设）。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归模型的各种检验方法
多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。
下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。
首先是模型的整体显著性检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。
常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。
F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。
若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。
通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。
显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。
通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。
其次是模型的参数估计检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。
通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。
t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。
与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。
通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。
另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。
相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。
Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。
取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。
取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
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模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
《计量经济学》第五章最新完整知识
第五章 多元线性回归模型在第四章中，我们讨论只有一个解释变量影响被解释变量的情况，但在实际生活中，往往是多个解释变量同时影响着被解释变量。
需要我们建立多元线性回归模型。
一、多元线性模型及其假定 多元线性回归模型的一般形式是i iK K i i i x x x y εβββ++++= 2211令列向量x 是变量x k ，k =1，2，的n 个观测值，并用这些数据组成一个n ×K 数据矩阵X ，在多数情况下，X 的第一列假定为一列1，则β1就是模型中的常数项。
最后，令y 是n 个观测值y 1, y 2, …, y n 组成的列向量，现在可将模型写为：εββ++=K K x x y 11构成多元线性回归模型的一组基本假设为 假定1. εβ+=X y我们主要兴趣在于对参数向量β进行估计和推断。
假定2. ,0][][][][21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n E E E E εεεε 假定3. n I E 2][σεε='假定4. 0]|[=X E ε我们假定X 中不包含ε的任何信息，由于)],|(,[],[X E X Cov X Cov εε= （1）所以假定4暗示着0],[=εX Cov 。
（1）式成立是因为，对于任何的双变量X ，Y ，有E(XY)=E(XE(Y|X))，而且])')|()([(])')((),(EY X Y E EX X E EY Y EX X E Y X Cov --=--=))|(,(X Y E X Cov =这也暗示 βX X y E =]|[假定5 X 是秩为K 的n ×K 随机矩阵 这意味着X 列满秩，X 的各列是线性无关的。
在需要作假设检验和统计推断时，我们总是假定： 假定6 ],0[~2I N σε 二、最小二乘回归 1、最小二乘向量系数采用最小二乘法寻找未知参数β的估计量βˆ，它要求β的估计βˆ满足下面的条件 22min ˆ)ˆ(ββββX y X y S -=-∆ （2）其中()()∑∑==-'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-nj Kj j ij i X y X y x y X y 1212ββββ，min 是对所有的m 维向量β取极小值。
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
在建立多元线性回归模型后，我们需要对其进行一系列的检验，以确保模型的准确性和可靠性。
本文将介绍多元线性回归模型的检验方法。
模型假设在进行多元线性回归模型检验前，我们首先需要明确模型所假设的条件。
多元线性回归模型假设以下几个条件：1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：不同自变量之间相互独立。
3.同方差性：模型的误差项在自变量的每个取值下具有相同的方差。
4.正态性：误差项服从正态分布。
多元线性回归模型检验方法1. 相关系数检验在建立多元线性回归模型时，我们首先需要对自变量和因变量之间的相关关系进行检验。
常用的方法是计算各个自变量和因变量之间的相关系数，并通过假设检验确定其显著性。
2. 模型整体显著性检验在多元线性回归模型中，我们需要判断整体回归关系是否显著。
常用的方法是计算模型的F统计量，并通过显著性检验确定其结果。
F统计量的计算公式如下：$$ F = \\frac{(SSR/k)}{(SSE/(n-k-1))} $$其中，SSR为回归平方和，k为模型自变量个数，SSE为误差平方和，n为样本的观测值个数。
F统计量服从自由度为k和n-k-1的F分布。
3. 自变量的显著性检验除了整体显著性检验外，我们还可以对每个自变量进行显著性检验，以确定其对因变量的贡献程度。
常用的方法是计算自变量的t统计量，并通过显著性检验确定其结果。
t统计量的计算公式如下：$$ t = \\frac{\\hat{\\beta_j}}{\\sqrt{MSE \\cdot (X^TX)^{-1}_{jj}}} $$其中，$\\hat{\\beta_j}$为第j个自变量的估计系数，MSE为均方误差，(X T X)jj−1为自变量矩阵X的逆矩阵元素。
4. 模型的拟合度检验除了检验自变量的显著性外，我们还需要评估模型的拟合度。
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
第三章多元线性回归模型
( k + 1 )×1
1 2 μ= M n n ×1
用来估计总体回归函数的样本回归函数 ： 样本回归函数为： 样本回归函数
Yi = β 0 + β1 X1i + β 2 X 2i + L+ β ki X ki
样本观测值: 样本观测值:
Yi = β0 +β1X1i +β2 X2i +L+βkiXki +ei
b10、 β1的经济涵义、先验符号？
例1 “期望扩充”菲利普斯曲线
估计结果
原始菲利普斯曲线
yt = 6.127172+ 0.244934x1t se : 4.285283 0.630456 t : 1.429817 0.388502 p : 0.180552 0.705058 R2 = 0.013536 F = 0.150934 p( F ) = 0.705058
1i 2 i 2 1i
2 2i
对有k 对有k个解释变量的多元回归模型
, 对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ),i =1,2,L n, j = 0,1,2,Lk
如果样本函数 样本函数的参数估计值已经得到，则有： 样本函数
Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + L + β ki X Ki
n n
n
i=1,2…n
2
Q = ∑ei2 = ∑(Yi Yi )2 = ∑(Yi (β0 + β1X1i + β2 X2i +L+ βk Xki ))
i =1 i=1
i=1
根据最小二乘原理 最小二乘原理， 最小二乘原理 参数估计值应该是右列 方程组的解
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥)
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212111212111这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
多元线性回归模型拟合优度假设检验
设观测数据为：Y： 3 1 8 3 5 X2：3 1 5 2 4 X3：5 4 6 4 6 试求 R 2和R 2 。
解：我们有
3 1 Y 8 3 5 1 1 X 1 1 1 3 1 5 2 4 5 4 6 4 6
e e n k 1
ˆ ~ N ( , 2 c ) i i ii
因此，可构造如下t统计量
ˆ i t i S ˆ
i
ˆ i i ~ t ( n k 1) e e c ii n k 1
2、t检验
设计原假设与备择假设： H0：i=0 H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)， 由样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
(0.43)
(0.06)
(0.15)
请检验“斜率”系数和的显著性。
解：(1) 检验 的显著性 原假设 H0： = 0 备择假设 H1： ≠0 由回归结果，我们有：t＝0.23/0.06=3.83 用=24－3＝21查t表，5%显著性水平下，tc ＝2.08. ∵t＝3.83 tc ＝2.08， 故拒绝原假设H0 。 结论：显著异于0。 (2) 检验 的显著性 原假设H0： = 0 备择假设H1： ≠0 由回归结果，我们有：t＝0.81/0.15=5.4 ∵t＝5.4 tc ＝2.08， 故拒绝原假设H0 。 结论：显著异于0。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：
ˆ 2 x2 1 i F 2 2 ei ( n 2) e i ( n 2)
多元线性回归模型：假设检验
If we want to have only a 5% probability of rejecting H0 if it is really true, then we say our significance level is 5%
9
One-Sided Alternatives (cont)
Having picked a significance level, a, we look up the (1 – a)th percentile in a t distribution with n – k – 1 df and call this c, the critical value We can reject the null hypothesis if the t statistic is greater than the critical value If the t statistic is less than the critical value then we fail to reject the null
n 97 R2 0.585
H0: benroll = 1 H1: benroll > 1
18
Examples 4
Housing Prices and Air Pollution
log( price) b0 b1 log(nox) b2 log(dist) b3rooms b4stratio u
H0: bexper = 0 H1: bexper > 0
12
One-sided vs Two-sided
Because the t distribution is symmetric,
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Note the degrees of freedom: n k 1
6
The t Test (cont)
Knowing the sampling distribution for the standardized estimator allows us to carry out hypothesis tests Start with a null hypothesis
10
One-Sided Alternatives (cont)
bˆj is distributed normally becauseit
is a linear combination of the errors
5
The t Test
Under theCLM assumptions
bˆj b j se bˆ j ~ tnk1
Note this is a t distribution (vs normal)
H1: bj > 0 and H1: bj < 0 are one-sided H1: bj 0 is a two-sided alternative
If we want to have only a 5% probability of rejecting H0 if it is really true, then we say our significance level is 5%
y|x ~ Normal(b0 + b1x1 +…+ bkxk, s2)
While for now we just assume normality, clear that sometimes not the case Large samples will let us drop normality
3
The homoskedastic normal distribution with a single explanatory variable
y
f(y|x)
.
.
E(y|x) = b0 + b1x
Normal distributions
x1
x2
4
Normal Sampling Distributions
mean and variance s2: u ~ Normal(0,s2)
2
CLM Assumptions (cont)
Under CLM, OLS is not only BLUE, but is the minimum variance unbiased estimator We can summarize the population assumptions of CLM as follows
Under theCLM assumptions, conditional on the sample values of theindependent variables
bˆ j ~ Normal b j ,源自ar bˆ j , so that
bˆ j b j sd bˆ j ~ Normal0,1
9
One-Sided Alternatives (cont)
Having picked a significance level, a, we look up the (1 – a)th percentile in a t distribution with n – k – 1 df and call this c, the critical value We can reject the null hypothesis if the t statistic is greater than the critical value If the t statistic is less than the critical value then we fail to reject the null
"the"t statistic for bˆj : tbˆ j bˆ j se bˆ j
We will then use our t statistic along with a rejection rule to determine whether to accept thenull hypothesis, H0
For example, H0: bj=0
If accept null, then accept that xj has no effect on y, controlling for other x’s
7
The t Test (cont)
To performour test we first need to form
8
t Test: One-Sided Alternatives
Besides our null, H0, we need an alternative hypothesis, H1, and a significance level H1 may be one-sided, or two-sided
Multiple Regression Analysis
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
2. Inference
1
Assumptions of the Classical Linear Model (CLM)
So far, we know that given the GaussMarkov assumptions, OLS is BLUE, In order to do classical hypothesis testing, we need to add another assumption (beyond the Gauss-Markov assumptions) Assume that u is independent of x1, x2,…, xk and u is normally distributed with zero