高一数学向量知识点复习资料

第五章知识点回顾

一、本章知识

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示

法AB ；字母表示：a ；

坐标表示法a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位

向量⇔｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

⎩⎨

⎧==⇔2

121y y x x (6)相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e

1，e

2

是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内

任一向量，有且仅有一对实数λ

1

，

λ

2，使a＝λ

1

e

1

＋λ

2

e

2

.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x

1

y

2

－x

2

y

1

＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b⇔a·b＝O⇔x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝O.

(4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段

2

1

P

P

所成的比为λ，即P P

1

＝λ

2

PP

，则

OP＝λ+111OP＋λ+112OP(线段的定比分点的向量公式)

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

+

=

+

+

=

.

1

,

1

2

1

2

1

λ

λ

λ

λ

y

y

y

x

x

x(线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式：

OP＝21（1OP＋2OP）或

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

.

2

,

2

2

1

2

1

y

y

y

x

x

x

(5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则P O'＝OP+a或

⎩

⎨

⎧

+

='

+

='

.

,

k

y

y

h

x

x

向量

一、平面向量的加法和乘积

1、向量加法的交换律：a b b a

+=+r r r r

2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r

3、向量乘积的结合律：()()a a

λμλμ=r r

4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+r r r

5、向量乘积的第二分配律：()a b a b

λλλ+=+r r r r

二、平面向量的基本定理

如果1e u r 、2e u r

是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+r u r u r

。

（1）我们把不是共线的1e u r 、2e u r

叫做表示这一平面内所有向量的一组基

底；

（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；

（3）由定理可以将平面内任一a r 在给出基底1e u r 、2e u r

的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a r 、1e u r 、2e u r

唯一确

定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算

1、已知11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则1212(,)a b x x y y +=++r r

，1212(,)a b x x y y -=--r r

，1212(,)a b x x y y ⋅=r r

。