_轴对称证明题
初二数学轴对称练习题及答案
初二数学轴对称练习题及答案轴对称是初中数学中的一个重要概念，它在几何图形的研究中具有广泛的应用。
本文将为大家提供一些初二数学轴对称的练习题及答案，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。
1. 练习题一在平面上，画出图形ABC，其中AB=3 cm，BC=4 cm，AC=5 cm。
找出图形的对称中心，并标出。
解答：首先，根据给定条件画出图形ABC。
由题目可知，三角形ABC是一个直角三角形，其中∠ABC=90°。
以边AC为轴，将三角形沿中点F对折，使得点B和B'重合。
连接BB'，则BB'即为轴对称线，其交点F即为图形ABC的对称中心。
2. 练习题二如图所示，J、K、L、M是矩形ABCD的四个顶点，N是JL的中点，P是KN的中点，连接BM和CP，交于点O。
证明：BO=OC。
解答：根据题目所给条件，我们可以先证明三角形MBN与三角形PCO全等。
首先，由矩形ABCD的性质可知，AD∥BC，故∠NBC=∠BAN=90°。
其次，由题目可知，N是JL的中点，所以NJ=NL，结合矩形的性质可得∠NJL=∠NLF=90°，因此NFBJ是一个矩形。
同理，NEDK也是一个矩形。
由于FB=EK，NJ=NL，所以根据余角定理可知∠NBF=∠NEK。
再根据SSS全等定理，得到三角形MBN与三角形PCO全等，因此MB=PC。
又因为M和P分别是BC和KN的中点，故MB=BC/2，PC=KN/2。
所以BC/2=KN/2，即BC=KN。
由于BO和OC分别是BM和CP的中线，所以BO=BM/2，OC=CP/2。
综上所述，BO=OC。
3. 练习题三已知矩形EFGH中，AB=8 cm，BC=6 cm。
在边AB和BC上分别取两个等分点D和I，并连接DI。
求证：DI垂直于FG。
解答：根据题目中所给条件，我们可以先证明三角形GBD与三角形ACI全等。
首先，由矩形EFGH的性质可知，EF∥GH，所以∠FGB=∠AGH=90°。
_轴对称证明题
轴对称专题[轴对称图形 ]如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，? 这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．[轴对称 ]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，? 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]如果两个图形成轴对称， ? 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．[轴对称与轴对称图形的区别]轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，? 成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．[线段的垂直平分线]（ 1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，? 叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（ 2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，? 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换[轴对称变换 ]由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．[轴对称变换的性质]（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2） ? 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点 P（x， y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x， -y）点 P（x， y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点 P（x， y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）[关于坐标轴夹角平分线对称]点 P（x， y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是（点 P（x， y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= - x 对称的点的坐标是（[关于平行于坐标轴的直线对称]y， x）- y， - x）点P（x， y）关于直线 x=m 对称的点的坐标是（ 2m-x ， y）；点P（x， y）关于直线 y=n 对称的点的坐标是（ x，2n-y ）；等腰三角形[等腰三角形 ]有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．[等腰三角形的性质]性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（ 1）等腰三角形是轴对称图形.（ 2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理]如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．[利用“三角形奠基法”作图]根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形 .等边三角形[等边三角形 ]三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形的性质]等边三角形的三个内角都相等，? 并且每一个内角都等于 60°[等边三角形的判定方法]（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．角平分线的性质[ 角平分线的作法]．．．．．．．．．见课本．．．[ 角平分线的性质]．．．．．．．．．在角平分线上的点到角的两边的距离相等.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．AMPCO N B∵O P平分∠ AOB， PM⊥ OA于 M， PN⊥OB于 N，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∴P M=PN．．．．．．[ 角平分线的判定]到角的两边距离相等的点在角的平分线上.AMPC ONB∵ P M ⊥OA 于 M ，PN ⊥ OB 于 N ， PM=PN．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∴ O P 平分∠ AOB．．．．．．．．． [ 三角形的角平分线的性质．．．．．．．．．．．．]．三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． [添加辅助线口诀]几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(原卷版)
专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为（用含n的式子表示）．4．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝8，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使P A＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段的距离．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为cm．8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC 关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．9．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，1）．（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；（2）请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．1B．−1C．5D．﹣511．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）202112．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．14．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（）A．﹣2B．−32C．0D．−12五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有个．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．1B．2C．3D．417．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C一共有个．六．规律类坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为．22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，FO∥AC，若S△ABC＝32，则△OEF的周长为．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有．（只填序号）八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．九．直角三角形斜中线的灵活运用。
轴对称图形习题及详细解答
轴对称图形习题及详细解答一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：，这条性质可用符号表示为：；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．28．（2016春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．29．（2016春•西藏校级期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．30．（2016春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT △DEC中求出EF即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；（2）由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．【解答】解：（1），①﹣②得：y=1，把y=1代入①可得：x=3，所以方程组的解为；（2）∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C 重合，折痕为DE．∴∠AED=∠CED=90°，∴∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC．【点评】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D 的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图2，当F 与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）由（1）得四边形CEGD是菱形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理，推出△POD≌△POE即可．【解答】证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD与△POE中，，∴△POD≌△POE，∴PD=PE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt △CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴AD是BC的中垂线．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等边对等角定理的应用．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE，【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF，DE∥CF，证得四边形DEFC是平行四边形，即可证得S△ECF=S△DEC=S△ADE，即可证得S四边形DEFB=S△ABC，求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BF，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S 四边形DEFB=S△ABC=×2×=．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，证得S△ECF=S△DEC=S△ADE是本题的关键．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．【分析】根据直角三角形的性质得出AE=BE=CE=AB，即可得出答案．【解答】证明：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴AB=BC，∵AE为BC边上的中线，∴AE=BE=CE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的性质可以证明∠B'FE=∠B'EF，根据等角对等边证明B'E=B'F，然后根据折叠的性质可证得；（2）直角△A'B'E中利用勾股定理求得B'E的长，然后根据（1）的结论即可求解．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF=∠EFB，又∵∠B'FE=∠EFB，∴∠B'FE=∠B'EF，∴B'E=B'F，又∵BF=B'F，∴B'E=BF；（2）解：∵直角△A'B'E中，A'B'=AB=4，∴B'E===5，∴BF=N'E=5．【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中认识到相等的角和相等的边是关键．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：对角线互相垂直，这条性质可用符号表示为：已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC ≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角；是轴对称图形．（写出一条即可）；故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD 是筝形，则AC⊥BD；（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．求证：四边形ABCD是筝形．证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC，∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．其他正确的判定方法：有一条对角线垂直平分令一条对角线的四边形是筝形；有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．【点评】本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定，正确证明△BAC≌△DAC是解决本题的关键．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的平分线BD 即可．（2）首先利用勾股定理求出BC，再求出A1C，根据△A 1DC的面积=•A1C•A1D计算即可．【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD，交AC 于点D，如图所示，（2）在RT△ABC中，∵∠A=90°，AC=BC=1，∴BC=，∵AB=A1B=AC=1，∴A 1C=，∵∠C=45°，∠DA1C=90°，∴∠C=∠A1DC=45°∴△A1DC是等腰直角三角形，∴=．【点评】本题考查尺规作图、翻折变换、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握基本尺规作图是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC 和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．【分析】（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）证明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，再求解即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠C=72°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠ABE=∠A，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，从而得到∠BEC=∠C，然后根据等角对等边求解．【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵AC=15cm，∴BC=25﹣15=10cm；（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A，由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠C，∴BC=BE．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．【分析】本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C﹣60°+∠C=90°解出即可．【解答】解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC则∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C﹣60°+∠C=90°解得∠C=75°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？【分析】根据已知条件“上午8时，一条船从A 处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处”可以求得AB=120海里，然后根据三角形的内角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的两腰相等的性质来求从B处到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即从B处到灯塔C的距离是120海里．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方向角．解答该题时充分利用了三角形的内角和定理．24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB点M，即可求得答案．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）直接利用加减消元法，即可求得a，b的值；（2）分别从若7为腰长，2为底边长与若2为腰长，7为底边长，去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1），①+3②得：10a=70，解得：a=7，把a=7代入2a+b=16，得：b=2，∴；（2）①若7为腰长，2为底边长，则周长为：7×2+2=16；②若2为腰长，7为底边长，∵2+2＜7，∴不能组成三角形，舍去；∴这个等腰三角形的周长为16．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及二元一次方程组的解法．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．【分析】（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于a 的不等式求解即可；（2）根据绝对值的定义即可得到结论；（3）首先用含m的式子表示x和y，由于x、y 的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．【解答】解：（1）解得∴，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴a＞1；（2）∵a＞1，∴|a+1|﹣|a﹣1|=a+1﹣a+1=2；（3）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，∴2（a﹣1）+a+2=9，解得：a=3，∴x=2，y=5，不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1=9，解得：a=2，∴x=1，y=5，能组成等腰三角形，∴a的值是2．【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法．理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用a表示出来是解题的关键．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．【分析】先根据勾股定理求得AC的长，根据条件可知DE是△ABC的中位线，所以利用中位线定理可知DE的长．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴CD=BC=5，∵AD=12，∴在Rt△ADC中，AC==13，。
平移旋转轴对称经典题目
平移旋转轴对称经典题目平移旋转轴对称是几何中的基本概念，它在解决许多问题时都发挥了重要作用。
下面将介绍一些经典的与平移旋转轴对称相关的题目。
平移对称1. 问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
证明：首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC 是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
2. 问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB 的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
证明：因为M是AB的中点，N是CD的中点，所以MN平行于AD。
另外，由于MN是平移MC得来的，所以MN的中点也是平移梯形ABCD的中线AD得来的，即MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
第13章轴对称含辅助线证明题专题训练1 人教版数学八年级上册
人教版数学八年级上册第十三章轴对称含辅助线证明题专题训练11.如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．2.如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．（1）求证：△CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．3.已知等边△ABC的边长为4cm,点P,Q分别是直线AB,BC上的动点.(1)如图,当点P从顶点A沿AB向B点运动,点Q同时从顶点B沿BC向C点运动时,它们的速度都为1cm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接AQ,PQ.(i)当t=2时,求∠AQP的度数;(ii)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?(2)如图,当点P在BA的延长线上,Q在BC上时,若PQ=PC,请探究AP,CQ和AC之间的数量关系,并说明理由.4.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．(1)如图1，若∠ACB=90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图2，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．5.如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BD,BD平分∠ABC,AE⊥BD于E,P为线段AD上一动点．（1）求∠DAE；（2）当P到BD的距离为1,到AB的距离为2时,求AE的长；（3）当P运动至CE延长线上时,连结BP,求证：BP⊥AD．6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．7.如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，DC与AB交于点O，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）作AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．8.如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC至点F，使CF=CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE=60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD=30°，BG=4，则△BCG的面积为______．9.已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE=10cm，AB=6cm，求CE的长．10.（12分）在ΔABC中，∠B=60∘，D是BC上一点，且AD=AC．（1）如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE．求证：AB=AE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．11.（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1)等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2)已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为___（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ 交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）12.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．(1)求线段BC的长；(2)连结OA，求线段OA的长；(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．13.已知，在等边△ABC中，E为BC上一点，连接AE并延长，在AE的延长线取一点D，连接BD、CD，使得∠BDC=120°．（1）如图1，求证：DA平分∠BDC；（2）如图2，在AC上取点F，使得CE=AF，连接BF交AD于点G，点M为GD 的中点，当ME=FG时，BD=8，求AD的长．14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−α，BD平分∠ABC．（1）如图，若α=90∘，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是_______（2）问题解决：如图，求证AD=CD；（3）问题拓展：如图，在等腰ΔABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．15.如图,在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分别为AB、BC上一点,∠CDE=∠A.(1)如图,若BC=BD,求证:CD=DE;(2)如图,过点C作CH⊥DE,垂足为H,若CD=BD,EH=1,求DE-BE的值.16.已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC=180°（1）如图1，若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度数；（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G 为线段EF的中点，且∠BAE=70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．第10页，共1页。
轴对称习题13.1答案
轴对称习题13.1答案1. 判断下列图形是否为轴对称图形，并找出对称轴。
- 答案：给出的图形如果是等腰三角形，那么它关于底边的中垂线对称，这条中垂线就是对称轴。
如果是正方形，它有四条对称轴，分别是两条对角线和两条通过中心点的垂直于边的线。
2. 如果一个矩形的一边长为10厘米，另一边长为20厘米，求它的对称轴。
- 答案：矩形关于通过中心点的垂直于边的线对称，因此它的对称轴是两条对角线。
3. 证明：如果一个三角形的两边相等，那么它关于连接这两边中点的直线对称。
- 答案：设三角形ABC中AB=AC，连接BC的中点D。
由于AB=AC，根据等边对等角原理，我们知道∠BAC=∠BCA。
因此，三角形ABD和ACD是全等的，这意味着AD是三角形ABC的对称轴。
4. 计算：如果一个圆的半径为5厘米，求它的对称轴数量。
- 答案：一个圆有无限多条对称轴，每条对称轴都通过圆心，且垂直于圆的切线。
5. 应用题：在一个矩形的长边上取一点P，使得点P到矩形的两个短边的距离相等，求点P的坐标。
- 答案：设矩形的长边为AB，短边为CD，点P在AB上。
由于点P 到CD和EF（假设EF是另一条长边）的距离相等，点P必然位于矩形的对角线AC上。
点P的坐标可以通过几何关系计算得出，假设矩形的顶点A在原点，B在(20,0)，那么点P的坐标将是(10,5)，因为它到CD和EF的距离都是5厘米。
结束语：通过上述习题，我们可以看到轴对称在几何图形中的应用，它帮助我们理解图形的对称性质，并能够解决一些实际问题。
希望这些答案能够帮助你更好地理解轴对称的概念。
如果你有任何疑问，或者需要进一步的解释，欢迎提出。
北师大版七年级数学第七章生活中的轴对称练习题(典型证明题)
ED CAB FED CBA (第3题)1、图中的图形是轴对称图形的有（ ）个A 2个B 3个C 4个D 5个2、把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（ ）3、在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个4、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为（ ）Ａ．80 Ｂ．75 Ｃ．65 Ｄ．455、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，O 为不同于A 的一点，且OB ＝OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为 ( )A ．平行B ．垂直且平分C ．垂直D ．垂直不平分6、等腰三角形顶角的外角是138°，它的一个底角是7、等腰直角三角形的斜边为4cm ，则斜边上的高为8、等腰三角形一腰上的高与底边夹角为40o，则这个三角形的顶角是9、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，那么它的周长= 10、∠AOB ＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则PQ=11、如图，△ACD 中，AD ＝BD ＝BC ，若∠C ＝25°，则∠ADB ＝________.12、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BE ∥AC ，∠BDE ＝100°，∠BAD ＝70°，则∠E ＝_____________.13、如图在Rt △ABC 中，B 为直角，DE 是AC 的垂直平分线，E 在BC 上， ∠BAE ：∠BAC ＝1：5，则∠C ＝_________.14.如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已知∠E=36°，则∠BDC= ．15.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= ．16. 如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．17、黑板上写着 ，在正对着黑板的镜子里的像是__________.右下方上右折 沿虚线剪A BC D ACBD80A D E(第4题)第11题第12题第13题第14题 第16题 第15题FE DC BA18、一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是 ，则这辆汽车的牌照号码应为 .19、如图，∠XOY 内有一点P ，在射线OX 上找出一点M ，在射线OY 上找出一点N ，使PM ＋MN ＋NP 最短。
轴对称证明题
第十二章-轴对称证明题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十二章．．．．．．．轴对称1．．已知，如图．．．．D．恰好在．．．BC．．．．．．OB．．的对称点．．A．关于直线．．．．．．．．．．A．在．y．轴上，．．．BC．．⊥．x．轴于点．．．C．，点．．．．．．1．－．11．．，在直角坐标系中，点上，点．．．OED．．．的度数．．．．＝．35．．°，求∠．．．．．．O．关于直线．．．．OBC．．．E．与点．．．．BC．．对称，∠2．．已知：如图．．．AB．．．．．．．．．．2．－．3．，线段求作：线段．．．．．．MN．．．．．．．．．AB．．的垂直平分线作法：．．．图．2．－．3．3．．已知：如图．．．M．、．N．．．．．．及两点．．ABC．．．．．．2．－．4．，∠求作：点．．．两边的距离相等．．．．．．．．．．．．ABC．．．．P．，使得．．P．点到∠．．．PM．．＝．PN．．，且作法：．．．图．2．－．4．4．．已知点．．．l．上运动时，点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B．，当点．．．P．在直线．．．．A．在直线．．．l．外，点．．．P．为直线．．．l．上的一个动点，探究是否存在一个定点P．与．A．、．B．两点的距离总相等．如果存在，请作出定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B．；若不存在，请说明理由．．．．．．．．．．．．．图．2．－．5．5．．如图．．．2．－．6．，．AD ．．为∠．．BAC ．．．的平分线，．．．．．DE ．． ⊥．AB ．．于．E ．，．DF ．．⊥．AC ．．于．F ．，那么点．．．．E ．、．F ．是否关于．．．．AD ．．对称？若对称，请说．．．．．．．．．明理由．．．．．图．2．－．6．综合、运用、诊断．．．．．．．．6．．已知：如图．．．．．．3．－．7．，．A ．、．B ．两点在直线．．．．．l ．的同侧，点．．．．．A ．'．与．A ．关于直线．．．．l ．对称，连接．．．．．A ．'．B ．交．l ．于．P ．点，若．．．A ．'．B ．＝．a ．.． （．1．）求．．AP ．．＋．PB ．．；． （．2．）若点．．．M ．是直线．．．l ．上异于．．．P ．点的任意一点，求证：．．．．．．．．．．AM ．．＋．M ．B ．＞．AP ．．＋．PB ．．．．7．．已知：．．．．A ．、．B ．两点在直线．．．．．l ．的同侧，试分别画出符合条件的点．．．．．．．．．．．．．．．M ．．． （．1．）如图．．．3．－．8．，在．．l ．上求作一点．．．．．M ．，使得｜．．．． AM ．．－．BM ．． ｜最小；．．．． 作．（．3．）如图．．．3．－．10．．，在．．l ．上求作一点．．．．．M ．，使得．．．AM ．．＋．BM ．．最小．．．．图．3．－．10．． 8．．（．．1．）如图．．．3．－．11．．，点．．A ．、．B ．、．C ．在直线．．．l ．的同侧，在直线．．．．．．．l ．上，求作一点．．．．．．P ．，使得四边形．．．．．．APBC ．．．．的周长最小；．．．．．．图．3．－．11．．（．2．）如图．．P．在点．．．．．．．．P．、．Q．（点．．Q．的左．．A．、．B．在直线．．．3．－．12．．，已知线段．．．．．a．，点．．．l．的同侧，在直线．．．．．．．l．上，求作两点侧）且．．．．．．．．．PQ．．＝．a．，四边形．．．．的周长最小．．．．．APQB图．3．－．12．．9．．（．．OB．．边上求作一点．．．．．．P．，在．．．．PMQ．．．．．．．．．Q．，使得Δ．．．．AOB．．1．）已知：如图．．．．．．3．－．13．．，点．．M．在锐角∠．．．．．OA．．边上求作一点．．．的内部，在的周长最小；．．．．．．图．3．－．13．．（．2．）已知：如图．．．．P．到点．．M．的距离与点．．．．．．P．，使得点．．．．．P．到．．．．．．．3．－．14．．，点．．M．在锐角∠．．．．．OB．．边上求作一点．．．．AOB．．．的内部，在OA．．边的距离之和最小．．．．．．．．．．图．3．－．14．．10．．．已知：如图．．2．，∠．．4．．．．．．D．、．E．两点，∠．．3．＝∠．．．．1．＝∠．．．．．．6．－．5．，Δ．．ABC．．．中，．．BC．．边上有求证：△．．．．ABC．．．．．．．．．．是等腰三角形．图．6．－．5．11．．．已知：如图．．．．AD．．＝．AE．．．．．．．．．．5．－．2．，Δ．．AB．．＝．AC．．，．D．、．E．在．BC．．边上，且．．ABC．．．中，求证：．．．BD．．＝．CE．．．．图．5．－．2．12．．．已知：如图．．．．AC．．＝．BC．．＝．BD．．，．AD．．＝．AE．．，．DE．．＝．CE．．，．．．．．．．5．－．3．，．D．、．E．分别为．．．AB．．、．AC．．上的点，求∠．．B．的度数．．．．．图．5．－．3．13．．．已知：如图．．．．．．5．－．4．，Δ．．ABC ．．．中，．．AB ．．＝．AC ．．，．D ．是．AB ．．上一点，延长．．．．．．CA ．．至．E ．，使．．AE ．．＝．AD ．．．．试确定．．．ED ．．与．BC ．．的位置关系，并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．．．图．5．－．4．拓展、探究、思考．．．．．．．．14．．．已知：如图．．．．．．5．－．5．，．Rt ．．Δ．ABC ．．．中，∠．．．BAC ．．．＝．90．．°，．AB ．．＝．AC ．．，．D ．是．BC ．．的中点，．．．．AE ．．＝．BF ．．．． 求证：（．．．．1．）．DE ．．＝．DF ．．；（．．2．）Δ．．DEF ．．．为等腰直角三角形．．．．．．．．．．图．5．－．5．15．．．在平面直角坐标系中，点．．．．．．．．．．．．P ． （．2．，．3．），．．Q ． （．3．，．2．），请在．．．．x ．轴和．．y ．轴上分别找到．．．．．．M ．点和．．N ．点，使四边形．．．．．．PQMN ．．．．周长最小．．．．．．（．1．）作出．．．M ．点和．．N ．点．．． （．2．）求出．．．M ．点和．．N ．点的坐标．．．．．．16．．．已知：如图．．AB．．＝．AC．．，．E．在．CA．．的延长线上，．．．．．．ED．．⊥．BC．．．．．．．中，．．ABC．．．．．．6．－．6．，Δ求证：．．．AE．．＝．AF．．.．图．6．－．6．17．．．已知：如图．．．ABC．．．交．CD．．于．E．，交．．．＝．90．．°，．CD．．⊥．AB．．于．D．，．BF．．平分∠．．AC．．于．F．.．．．．ACB．．．．．．6．－．7．，Δ．．ABC．．．中，∠求证：．．．CE．．＝．CF．．．．图．6．－．7．18．．．如图．．．．AP．．、．BQ．．分别为∠．．．BC．．、．CA．．上，并且．．．、∠．．．．．．BAC．．．＝．60．．°，∠．．．6．－．8．，在△．．．AB．．C．中，∠．．．BAC．．ACB．．．＝．40．．°，．P．、．Q．分别在ABC．．．．．．．．．的角平分线，求证：．．．BQ．．＋．AQ．．＝．AB．．＋．BP．．．．图．6．－．8．19．．．如图．．．6．－．9．，若．．．．．．构成等腰直角三角形，问这样的．．．．．．．．．．．．．．C．点有几．．A．、．B．是平面上的定点，在平面上找一点．．．．．．．．．．．．．．．C．，使Δ．．．ABC个？并在图．．．．．．．．C．点的位置．．．．．．6．－．9．中画出20．．．如图．．．分割为三个三角形，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABC．．．．ABC．．．6．－．10．．，对于顶角∠．．．．．．A．为．36．．°的等腰Δ．．．，请设计出三种不同的分法，将Δ且使每个三角形都是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．图．6．－．10．．21．．．已知：如图．．EAC．．．．．．B．＝∠．．．，．EF．．⊥．AD．．于．F．.．．．BAC．．．的平分线，∠．．．．．．7．－．8．，．AD．．是∠求证：．．．．．．．．EF．．平分∠．．．AEB图．7．－．8．22．．．已知：如图．．．（∠．．．的外角．．ACD．．．ACB．．．．．．．．）的平分线．．．中，．．．ABC．．．．．．7．－．9．，在Δ．．CE．．是角平分线，．．．．．．EG．．∥．BC．．，交．．AC．．边于．．F．，交∠于．G．，探究线段．．．．．EF．．与．FG．．的数量关系并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．．图．7．－．9．23．．．如图．．．．．．．．．．．．．．．AM．．∥．BN．．，请按以下步骤画图并回答．．．．7．－．10．．，过线段．．．．．．．．AM．．，．BN．．，使．．．．AB．．的两个端点作射线（．1．）画∠．．AEB．．．．．．．．．．．．E．，∠．．．是什么角？．．NBA．．．MAB．．．、∠．．．的平分线交于点（．2．）过点．．．E ．任作一线段交．．．．．．AM ．．于点．．D ．，交．．BN ．．于点．．C ．．观察线段．．．．．DE ．．、．CE ．．，有什么发现？请证明你的猜想．．．．．．．．．．．．．．．．（．3．）试猜想．．．．AD ．．，．BC ．．与．AB ．．有什么数量关系？．．．．．．．．图．7．－．10．．24．．．已知：如图．．．．．．7．－．11．．，Δ．．ABC ．．．中，．．AB ．．＝．AC ．．，∠．．A ．＝．100．．．°，．BE ．．平分∠．．．B ．交．AC ．．于．E ．．．（．1．）求证：．．．．BC ．．＝．AE ．．＋．BE ．．；．（．2．）探究：若∠．．．．．．A ．＝．108．．．°，那么．．．BC ．．等于哪两条线段长的和呢？试证明之．．．．．．．．．．．．．．．．．．25．．．已知：如图．．．．．．8．－．4．，Δ．．ABC ．．．和Δ．．BDE ．．．都是等边三角形．．．．．．．．．（．1．）求证：．．．．AD ．．＝．CE ．．；．（．2．）当．．AC ．．⊥．CE ．．时，判断并证明．．．．．．．AB ．．与．BE ．．的数量关系．．．．．．．图．8．－．4．26．．．如图．．．CD．．＝．CE．．，连接．．．DE．．并延长至点．．．．BC．．、．AC．．上，且．．EF．．＝．．．．．．F．，使．．．8．－．5．，已知Δ．．．．．．．D．、．E．分别在边．．．．ABC．．．是等边三角形，AE．．，连接．．．AF．．、．BE．．和．CF．．．．（．1．）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（．2．）求证：．．．．AF．．＝．BD．．．．图．8．－．5．27．．．已知：如图．．．＝．30．．°，∠．．B．＝．90．．°．求．．CD．．的长．．．．．，∠．．BAD．．．，．CD．．∥．AB．．，．BC．．＝．6cm．．．．．．8．－．6．，四边形．．．．中，．．．．ABCD．．．BAD．．AC．．平分∠______．．．．．．．．图．8．－．6．28．．．（．．．．．．．．．OAB．．．和等边三角．．1．）如图．．．．．AD．．的同侧作等边三角形．．．．．．．．．．．．AO．．和．DO．．为边在线段．．O．是线段．．．8．－．7．，点．．．AD．．的中点，分别以形．OCD．．．的大小；．．．AEB．．．．．．．，连接．．．AC．．和．BD．．，相交于点．．．．．E．，连接．．．BC．．，求∠图．8．－．7．（．2．）如图．．．．OAB．．．O．旋转（△．．OCD．．．不．．．．和△．．．绕着点．．．．．．．．．．．OCD．．．8．－．8．，△．．．固定不动，保持△．．OAB．．．的形状和大小不变，将△．．．．．．．．OCD能重叠），求∠．．．．．．．的大小．．．．．．．．AEB图．8．－．8．29．．．已知：如图．．．BA．．到．E．，使．．．CE．．、．DE．．．．．．．．．．．．．BC．．到．D．，延长．．AE．．＝．BD．．，连接．．．为等边三角形，延长．．ABC．．．．．．8．－．9．，△求证：．．．CE．．＝．DE．．.．图．8．－．9．30．．．已知：如图．．．A．＝∠．．C．＝．60．．°，．CD．．＝．2．AD．．，．AB．．＝．4．．．．．B．＝．90．．°，∠．．．．中，∠．．．．．．8．－．10．．，四边形．．．．ABCD（．1．）在．．PC．．＋．PD．．最小；．．．P．，使．．．．．求作点．．AB．．边上图．8．－．10．．（．2．）求出（．．．．1．）中．．．．．．．PC．．＋．PD．．的最小值．31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O,(1)求证:PA=PB=PC.(2)点P 是否也在边AC 的垂直平分线上由此你还能得出什么结论32、.如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明：BD=CE.33、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB ＝OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.34．如图，P 在∠AOB 内；点M ，N 分别是点P 关于AO ，BO 的对称点，且与AO 、BO 相交点E 、F ，若∆PEF 的周长为15，求MN 的长.N POM F EB A35．如图（5）所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于D ，∠1=21∠2，求∠B 的度数。
八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称
轴对称是几何学中的一个重要概念，用来描述平面中的一种关系。
在轴对称中，存在一个轴线，使得轴线上的每个点关于轴线的对称点也在这个平面上。
轴对称的定义：在平面上，如果存在一条直线，对于平面内的任意一点P，如果点P关于这条直线的对称点也在这个平面上，那么就称这个平面具有轴对称性，而这条直线就是这个平面的轴线。
轴对称的性质：1.因为轴对称是一条直线，所以它没有长度和宽度，只有方向。
2.平面中的任意两点关于轴线对称，其对称点也在同一条直线上。
3.对于平面内的任意一点P，点P关于轴线的对称点为P'，则有PP'=r，其中r为轴线到点P的距离。
轴对称的判定方法：1.直接判定：根据定义，通过观察图形，判断图形是否具有轴对称性。
2.射线法：可以用一根射线作为轴线，将图形分成两部分，再观察这两部分是否关于射线对称。
3.过相应点法：如果图形上已知两个或多个对称点，则可以连接这些点，得到的直线就是轴线。
轴对称的应用：1.在几何证明中，轴对称常常被用来构造等边、等角等形状。
2.在日常生活中，很多物体都具有轴对称性，比如书本、门窗等。
轴对称的例题：例题1：判断下列图形是否具有轴对称性，并给出轴线的方程。
(1)点A(1,1)关于直线y=1对称；(2)点B(3,4)关于直线x=3对称；(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称。
解答：(1)点A(1,1)关于直线y=1对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为y=1(2)点B(3,4)关于直线x=3对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为x=3(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称，所以图形具有轴对称性。
轴线的方程为y=-2x+3例题2：已知A(2,3)关于直线y=2x对称，求点A'的坐标。
解答：因为A(2,3)关于直线y=2x对称，所以A和A'关于这条直线对称。
设点A'的坐标为(x,y)。
根据对称性可以得到以下关系：x+2y=4（点A和A'在直线y=2x上）2x+x=4（点A和A'在直线x=2上）解方程组得到x=1，y=1所以A'的坐标为(1,1)。
_轴对称证明题知识讲解
轴对称．．．．．专题[轴对称图形]如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．[轴对称与轴对称图形的区别]轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．[线段的垂直平分线]（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换[轴对称变换]由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．[轴对称变换的性质]（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）[关于坐标轴夹角平分线对称]点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）[关于平行于坐标轴的直线对称]点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；等腰三角形[等腰三角形]有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．[等腰三角形的性质]性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理]如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．[利用“三角形奠基法”作图]根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.等边三角形[等边三角形]三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． [等边三角形的性质]等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60° [等边三角形的判定方法]（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．角平分线的性质[．角平分线的作法．．．．．．．]． 见课本．．．[．角平分线的性质．．．．．．．] ．在角平分线上的点到角的两边的距离相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．A BC PMNO∵．OP ．．平分．．∠．AOB ．．．，．PM ．．⊥．OA ．．于．M ．，．PN ．．⊥．OB ．．于．N ．，． ∴．PM=PN ．．．．． [角平分线的判定]到角的两边距离相等的点在角的平分线上.ABCPMNO∵．PM．．⊥．OA．．于．M．，．PN．．⊥．OB．．于．N．，．PM=PN．．．．．∴．OP．．平分∠．．．AOB．．．[．三角形的角平分线的性质．．．．．．．．．．．]．三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．[添加辅助线口诀]几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。
轴对称证明题专题训练
D CB AF ED C B A D C B AE D C B A章轴对称证明题专题训练1．如图，已知：△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． 求证：CM ＝CN ；2．如图，已知：∠A=2∠B ，CD 平分∠ACB ．求证：BC=AD+AC3．如图，已知：D 是△ABC 的BC 边上的一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：AC ＝2AE4．如图，已知：点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，分别连接AE 、AF 和EF ，若∠EAF ＝450．求证：EF ＝BE ＋DF5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 与BC 交于点F ． 求证：DF=EF ．6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝1200，AD ⊥BC 于D ，AB ＋BD ＝DC ．求∠C 的度数.FED CBAEDCBAFEDCBADCBAMD CBA7．如图，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连接DE．求证：∠CDF=∠ADE.8．如图，已知：E是BC的中点，点A在DE上，且AB=CD．求证：∠BAE=∠CDE．9．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：BF=AC．10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF．11．如图，已知：BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC．请猜想：∠A与∠C有何数量关系？并说明理由．12．如图，已知：∠B=∠C=900，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．21D C B A GFE D C B A13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AD 平分∠BAC ．14．如图，已知：D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ．求证：∠BAE=∠CAE ．15．如图，已知：AD 是△ABC 的角平分线，E 为BC 边的中点，EG ∥DA ，交AB 、CA 的延长线分别于点F 、G ．求证：BF=CG.E D C B A。
八年级轴对称经典题型
八年级轴对称经典题型一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。
B. 三角形。
C. 圆。
D. 梯形。
解析：- 圆沿着任意一条直径所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形。
- 平行四边形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形。
- 三角形不一定是轴对称图形，只有等腰三角形和等边三角形是轴对称图形。
- 梯形不一定是轴对称图形，只有等腰梯形是轴对称图形。
所以答案是C。
2. 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是（）A. (3,2)B. (-3, - 2)C. (-3,2)D. (2, - 3)- 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
- 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2)。
所以答案是A。
3. 等腰三角形的一个内角为50^∘，则这个等腰三角形的顶角为（）A. 50^∘B. 80^∘C. 50^∘或80^∘D. 40^∘或65^∘解析：- 当50^∘的角为顶角时，答案就是50^∘。
- 当50^∘的角为底角时，因为等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和为180^∘，则顶角为180^∘-50^∘×2 = 80^∘。
所以这个等腰三角形的顶角为50^∘或80^∘，答案是C。
4. 如图，在ABC中，AB = AC，∠ A = 30^∘，DE垂直平分AC，则∠ BCD的度数为（）A. 80^∘B. 75^∘C. 65^∘D. 45^∘- 因为AB = AC，∠ A=30^∘，所以∠ B=∠ ACB=(1)/(2)(180^∘-∠A)=(1)/(2)(180^∘ - 30^∘) = 75^∘。
- 因为DE垂直平分AC，所以AD = CD，∠ A=∠ ACD = 30^∘。
- 则∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=75^∘-30^∘=45^∘。
所以答案是D。
5. 下列说法正确的是（）A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称。
八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题单选题1、如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处答案：C分析：根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．2√3C．3.5D．3√3答案：A分析：作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+ PN的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3、若点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．a >−1B ．a <1C ．−1<a <1D ．a <−1答案：C分析：根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐标符号为（+，-），据此列不等式解答．解：∵点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点坐标为（a +1，2a -2），且在第四象限，∴a +1>0，且2a -2<0，解得-1<a <1，故选：C ．小提示：此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关键．4、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD=∠C或若∠BFD=∠A，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，∴FD=CF，设CF=x，则FD=CF=x,BF=4−x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则BFBC =FDAC，即4−x4=x3，解得x=127；②若∠BFD=∠A，则BFAB =FDAC，即4−x3=x3，解得x=2．综上，CF的长为127或2，故选：B．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S△ABD，从而得到12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，即可求解．解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC=2S△ABD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC=12AC⋅BF,S△ABD=12AB⋅DE，∴12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，∵BF=8，∴DE=4．故选：C小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°答案：B分析：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．小提示：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．7、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜8、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．9、如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．16B．15C．14D．13答案：B分析：根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．解：∵点P关于OB、OA的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，∴△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15∴△PMN的周长为15．故选：B．小提示：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10、△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ 的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC ＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，∴PG＝GQ，∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，∴AE＝EB＝BH＝HC，∴△EBH是等边三角形，∵EG⊥BH，∴BG＝GH，∴PB＝HQ，∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，∴∠PEB＝∠QEH，∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，又∵EH＝EH，∴△PEH≌△FEH（SAS），∴∠EHP＝∠EHF＝60°，∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，∴EH＝HC，又∵HF＝HF，∴△EHF≌△CHF（SAS），∴FC＝EF，∴FQ＝FC，故②正确；④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；综上，正确的有3个，故选：C．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD=1，则AD的长为________．答案：2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=1，∴AD=BD=2CD=2，所以答案是：2．小提示：此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．12、在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有________个，按对称轴条数由多到少排列是_______________．答案： 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角分析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，所以答案是：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．小提示：本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，在ΔABC中，AB=7cm，BC=5cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则ΔBCF周长的最小值是________cm．答案：12分析：当F点于D重合时，ΔBCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出ΔBCF的周长．∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当F点于D重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴ΔBCF的周长为：CΔBCF=BD+CD+BC，∵DE是垂直平分线，∴AD=CD，又∵AB=7cm，∴BD+AD=BD+CD=7cm，∴CΔBCF=7+5=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．14、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=108°，则图1中的∠DEF的度数是______．答案：24°##24度分析：先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．∵AD∥BC，∴设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．解得a＝24°．即∠DEF＝24°，所以答案是：24°．小提示：本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．15、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=_________°．答案：30分析：根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.解：∵EF垂直平分BC，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.所以答案是：30.小提示：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.解答题16、如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：(1)画出△ABC中BC边上的高AD；(2)画出先将△ABC向左平移5格，再向下平移2格后的△A1B1C1；(3)画一个△BCP（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2分析：（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共（1）解：如图：作BF⊥BC，再过A点作BF的平行线，交BC于点D，（2）解：如图：（3）解：如图符合条件的格点共有4个，小提示：本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．答案：见解析分析：连接AD，首先根据垂直平分线的性质得到∠DAB=∠B=30°，然后根据AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．证明：连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．小提示：此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接AD求出∠DAB=∠B=30°．18、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．。
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轴对称专题[轴对称图形]如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．[轴对称与轴对称图形的区别]轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．[线段的垂直平分线]（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换[轴对称变换]由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．[轴对称变换的性质]（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）[关于坐标轴夹角平分线对称]点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）[关于平行于坐标轴的直线对称]点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；等腰三角形[等腰三角形]有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．[等腰三角形的性质]性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理]如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．[利用“三角形奠基法”作图]根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.等边三角形[等边三角形]三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形的性质]等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．角平分线的性质[．角平分线的作法．．．．．．．]．见课本．．．[．角平分线的性质．．．．．．．] ．在角平分线上的点到角的两边的距离相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． AB CP M N O∵．OP ．．平分．．∠．AOB ．．．，．PM ．．⊥．OA ．．于．M ．，．PN ．．⊥．OB ．．于．N ．，．∴．PM=PN ．．．．．[角平分线的判定]到角的两边距离相等的点在角的平分线上.A B C P M N O∵．PM ．．⊥．OA ．．于．M ．，．PN ．．⊥．OB ．．于．N ．，．PM=PN ．．．．．∴．OP ．．平分∠．．．AOB ．．．[．三角形的角平分线的性质．．．．．．．．．．．]．三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．[添加辅助线口诀]几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
角平分线＋平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如图1（1）中，若AD 平分，AD//EC ，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD 平分，DE//AC ，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD 平分，CE//AB ，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD 平分，EF//AD ，则是等腰三角形。
图1例1. 如图，在中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F 。
求证：AE ＝AP1．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED 的度数．2．已知：如图2－3，线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．作法：图2－33．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．作法：图2－44．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．图2－55．如图2－6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否关于AD对称？若对称，请说明理由．图2－6综合、运用、诊断6．已知：如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l 于P点，若A'B＝a.（1）求AP＋PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB．7．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；作（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．图3－108．（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；图3－11（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．图3－129．（1）已知：如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；图3－13（2）已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P 到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．图3－1410．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．图5－212．已知：如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．图5－313．已知：如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．图5－4拓展、探究、思考14．已知：如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．图5－515．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．（1）作出M点和N点．（2）求出M点和N点的坐标．图5－616．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－617．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－718．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－819．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－920．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC 分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－1021．已知：如图7－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．图7－822．已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB 的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．图7－923．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？图7－1024．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．25．已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．图8－426．如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）求证：AF＝BD．图8－527．已知：如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．图8－628．（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；图8－7（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O 旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．图8－829．已知：如图8－9，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE．求证：CE＝DE.图8－930．已知：如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB ＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；图8－10（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O,(1)求证:PA=PB=PC.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?32、.如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明：BD=CE.33、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB ＝OC. （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.34．如图，P 在∠AOB 内；点M ，N 分别是点P 关于AO ，BO 的对称点，且与AO 、BO 相交点E 、F ，若∆PEF 的周长为15，求MN 的长.N POM F E B A35．如图（5）所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于D ，∠1=21∠2，求∠B 的度数。