青岛版数学九年级上册《一元二次方程》6
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程
x 2 1 0 0 2 (3 0 0 2 x )2 ,
第八页，共十五页。
自主 探究 (zìzhǔ)
1.现有(xiàn yǒu)长方形塑料片一块，长19cm,宽15cm,给你锋利 小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为77cm2的无
盖的长方体水槽吗？说说你是怎样做的？
（四个角裁掉边长为4cm的正方形） 第九页，共十五页。
2.如图，一个院子长10m，宽8m，要 在它的里面沿三边辟出宽度相等的花 圃(huāpǔ)，使花圃(huāpǔ)的面积等于院子 面积的30%，试求这花圃的宽度.
解:设这花圃的宽度(kuāndù)为x，依题意，得
( 1 2 0 x ) ( 8 x ) 1 8 0 ( 1 3 % 0
（花圃(huāpǔ)的宽度为1m）
第十页，共十五页。
增长率问题
问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番， 那么(nàme)这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
Image
12/11/2021
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例 2新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查 发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当 销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元.
应用 一元二次方程 6
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计一. 教材分析《认识一元二次方程》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、性质和解法。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是进一步学习高中数学的基础。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的定义和性质还需要进一步的学习和理解。
此外，学生的学习习惯和思维方式也会影响他们对一元二次方程的学习。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义和性质。
2.学会解一元二次方程的方法。
3.能够应用一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和性质。
2.一元二次方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法进行教学。
通过问题和实例引导学生思考和探索，通过练习巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生思考和探索。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义和性质，通过实例和PPT课件呈现一元二次方程的解法。
3.操练（20分钟）让学生分组练习解一元二次方程，教师巡回指导，及时纠正错误。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题巩固学生对一元二次方程的理解和解法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程的应用，解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的定义和性质，以及解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书一元二次方程的定义、性质和解法。
本节课通过问题驱动法、实例教学法和练习法，引导学生了解和掌握一元二次方程。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，鼓励他们思考和探索。
通过练习和实际问题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》PPT教学课件
4. 将下列方程化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数：
⑴ 6y2 y
⑵ (x 2)(x 3) 8 ⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
探究
认识了一元二次方程,接下来我们 就要探求一元二次方程的解.
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的 未知数的值就叫方程的解
问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之 间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应 邀请多少个队参加比赛?
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x(x-1)=56
思考:
• 你能否说出下列方程的解?
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
一元二次方程的根的情况与一元一 次方程有什么不同吗?
练习:
1)下面哪些数是方程x2 x 6 0 的根?
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
解：由题意得
把x =3代入方程x2+ax+a=0得，
九年级数学上册一元二次方程一元二次方程的应用课件青岛
4. 我市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番, 那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
(1 x)2 2.
解这个方程: (1 x) 2, x 1 2,
x1 1 2 41.42%; x2 1 2 0(不合题意,舍去). 答: 每年的平均增长率约为41.42%.
回例顾题与赏复析习 1
生活经中济的腾增飞长率
例3：某工厂2002年的产值是500万元,2004年的产值是 605万元, 求2002-2004年该厂产值的平均增长率。
解: 设每年平均增长率为x,根据题意,得
500(1 x)2 605
解这个方程: (1 x)2 1.21,
(1 x) 1.1,
x 11.1, x1 11.1 10%; x2 11.1 0(不合题意, 舍去).
解: 设这种储蓄的年利率为 x,根据题意,得
5000 (1 80 x%)2 5145 .
解这个方程: (1 0.8x)2 1.029 ,
(1 0.8x) 1.0144, x 11.0144 ,
0.8 x1 0.018 1.8%; x2 2.518 0(不合题意,舍去). 答: 这种储蓄的年利率约是1.8%.
分析:
相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.5万册.
去年 今年
基数 平均增长率
5
x
明年 5(1+x)
x
年底数量 5
5(1+x) 5(1+x)(1+x) =5(1+x)2.
1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年 底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
青岛版九年级上册数学《一元二次方程的应用》PPT教学课件
原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
解得 x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了 矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
解：设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽 为(20-x)m，根据等量关系列出方程。
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x²-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50 x2=50＞32 ，不符合题意，舍去,故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例4 如图2-6所示，在△ABC中，
答：截去的小正方形的边长为 7 cm．
例3 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上 修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分 进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.
分析： 虽然“整个矩形的面积-道 路所占面积=绿化面积”，但道路 不是规则图形，因此不便于计算。 若把道路平移，此时绿化部分就成 了一个新的矩形了，
整理，得 (1+x)²=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)
答：平均每年藏书增长的百分率为20%。
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20
件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可
多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价
多少元？
解：设应降价x元，则 (44-x)(20+5x)=1600
青岛版九年级上册数学用公式法解一元二次方程 知识点典例
《公式法解一元二次方程》知识点典例
本节课包含三个知识点：一元二次方程的求根公式、公式法．
◆知识点（一）一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax 2
+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是x =（b 2－4ac ≥0）． 如何用配方法推导一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式?
【解析】用配方法．∵a ≠0，
∴方程两边都除以a ，得x 2+
b c x a a +=0． 移项，得x 2+
b c x a a =-， 配方，得x 2+22()()22b b c b x a a a a
+=-+， 即（x +2b a ）2=22
44b ac a -． ∵a ≠0，∴4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，
得x +2b a =x +2b a
=
∴x ，
即x 12x =．
所以，一元二次方程的求根公式：x （b 2－4ac ≥0）．
【注意】b 2－4ac ≥0是求根公式成立的条件，若b 2－4ac ＜0没有意义．此方程无实数根．
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），当b 2－4ac ≥0
时，将a ，b ，c 代入式子x =得到方程的根，解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根．
◆知识点（二）公式法
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．【例2】用公式法解方程x2+x－1=0．
【解析】确定a、b、c的值代入公式．
解：a=1，b=1，c=－1，
b2－4ac=12－4×1×（－1）=5>0．
∴x=．
∴x1，x2．。
青岛版初中数学一元二次方程
巩固、 巩固、 提高
全章 复习题
编 写 体
情景导航
检测站 自我检查 与评价次方程 实际问题
知 识 整 合
四、教学建议
鼓励学生 自主探究 与合作交 流
教学中注 意数学思 想、数学 方法的渗 透
恰当把握 知识与技 能的要求
注重创设丰富的 问题情境， 问题情境，激发 学生的学习兴趣
能根据具体问 题的实际意义， 题的实际意义， 检验结果是否 合理
课标 对本 专题 的具 体要 求
三、教材的内 容分析与整合
编 排 体 系
教 材 内 容 的
交流 与 发现 小莹、小亮、 小莹、小亮、 小博士 正文 云朵 回顾与 总结 练习 习题 综合练习
消化、 消化、应 用、拓展 所学内容
课后作业
能积极参与数学 学习活动， 学习活动，对数 学有好奇心和求 知欲， 知欲，锻炼克服 困难的意志， 困难的意志，建 立学好数学的信 心
二、内容标准
一元二 次方程
统计概率 图形与几 何 实践与运 与
内 容 标 准
经历用观察、 经历用观察、画 图或计算器等手 段估计一元二次 方程解的过程， 方程解的过程， 发展估算意识和 能力
教 学 建 议
五、评价建议
注重对学生数 学学习过程的 评价 评价结果 要采用定 性与定量 相结合的 方式呈现 恰当评价 学生的基 础知识与 基本技能
评价 建议
评价主体和 方法要多样 化
六、课程资源 的开发与利用
一题多变 一题多问 —题多解
创造性的 使用教材
机智对待 错误资源
课程 资源 的开 发与 利用
理解配方法， 理解配方法，会 用因式分解法、 用因式分解法、 公式法、 公式法、配方法 解简单的数字系 数的一元二次方 程
青岛版数学九年级上册第四章一元二次方程4.1《一元二次方程》教案
《一元二次方程》教案教学目标：学问与技能目标1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．驾驭一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．过程与方法目标1．通过一元二次方程的引入，培育学生分析问题和解决问题的实力；2．通过一元二次方程概念的学习，培育学生对概念理解的完整性和深刻性．情感与看法目标由学问来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培育学生用数学的意识．教学重、难点：重点：一元二次方程的意义及一般形式．难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”；判定一个数是否是方程的根.教学过程:一、创设问题情境1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先打算好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培育学生手、脑、眼并用的实力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应当怎样求出截去的小正方形的边长？老师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学学问不够用，须要学习新的学问，学了本章的学问，就可以解这个方程，从而解决上述问题．学生看投影并思索问题二、探究新知1．复习提问(1)什么叫做方程？曾学过哪些方程？(2)什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？(3)什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以视察、比较，得到一元二次方程的概念．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．例题解析例1 把方程223122+=-+x x x ))(（化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.4．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x (5x -2)＝x (x ＋1)＋4x 2；(2)7x 2＋6＝2x (3x ＋1)； (3)2172x= (4)6x 2＝x ；(5)2x 2＝5y ；(6)-x 2＝05．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0”为什么？假如a ＝0，则ax 2+bx +c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．6．要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应当怎样剪？ 设长为x cm ，则宽为(x -5)cm列方程x (x -5)=150，即x 2-5x -150=0请依据列方程回答以下问题：(1)x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．(2)完成下表：(3)分析：x 2-5x -150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用二分法求出该方程的根．解：(1)x 不行能小于5．理由：假如x <5，则宽(x -5)<0，不合题意．x 不行能等于10．理由：假如x =10，则面积x 2-5x -150=-100，也不行能．(2)(3)铁片长x 三、习题演示1、把方程3x (x -1)＝2(x ＋1)＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？老师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．2、下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：(4)(b2＋1)x2-bx＋b＝2；(5)2tx(x-5)＝7-4tx．老师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．四、总结引导学生从下面四方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从学问内容上学到了什么内容？分清晰概念的区分和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会学问来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区分和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．4．要会用一些方法求一元二次方程的根.。
初三数学上册《用公式法解一元二次方程》课件青岛版
•
•想一想：
•关于一元二次方程
•，当
•a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
•为相反数？ •解：•一元二次方程
•的解为：
•
•提高练习 •已知方程
•解：
•求c和x的值.
• x=
=
=
. •-
• 即 2x1= , x2= .
•
•求根公式 : X=
•(a≠0, b2-4ac≥0)
•
例3：用公式法解方 •这里的a、b、
程x2+4x=2
c的值是什么？
•解：移项，得 x2+4x-2=0
•
•1a= ，•4b= ，•c-2= .
b2-4ac= •42-4×1×(- = •24.
吗?
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ;3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程 7;.定解:写出原方程的解
•
•心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
初三数学上册《用公式法解 一元二次方程》课件青岛版
•
•回顾与复习•1
•一、用配方法解一元二次方程:
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
•1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； •2、把常数项移到方程右边； •3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的 平方，使左边成为完全平方；
2)
• x=
=
=
.
青岛版数学九年级上册一元二次方程的应用课件(共19张)
解:设该商品每个涨价x元,则 根据题意，得 (50 x 40)(500 10x) 8000 整理,得 x2 -40x+300=0 解,得 x1 =30,x2=10
经检验,x1=30,x2=10 均合题意.
∴售价为 50+x =80或60
∴该商品的售价为80元或60元.
例题讲授
例6、某专卖店销售某种脐橙，其进价是每千克40元，按 每千克60元出售时，平均每天可售出100千克。经市场调 查发现,该脐橙每千克降价2元,其平均每天的销量可增加 20千克，若该专卖店要想平均每天获利2240元，为尽快 减少库存，则每千克脐橙应降价多少元？
②当x 4时，16 x 12
经检验,当两个正方形的边 长分别是12cm和4cm时，都 符合题意.
∴两个正方形的边长分别是 12cm和4cm.
例题讲授
例2、有一块长40m,宽30m的矩形铁片,在它的四周截去一 个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子， 怎样截能使底面积所占面积为本来矩形面积的一半？
复习回顾
2、列方程（组）解应用题时的题型：
（1）
：（2）工程问题：（3）市场营销问题：
（4）
： （5）银行存款问题：
（6）利率问题： （7）数字问题；等等
同样，与我们学习过的一元一次方程、二元一次方程组 和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实生长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成 正方形(如图),如果这两个正方形的面积和等于160cm2, 求两个正方形的边长。
10m
M A
N D
B
C
解:设花圃的宽AB为xcm,则长
BC为(24-3x)cm,根据题意，得
x(24 3x) 45
整理,得 x2 -8x+15=0 解,得 x1 =3,x2=5 经检验,当x1=3时, 24-3x=15>10 不合题意，舍去. ∴花圃的宽AB为5cm.
青岛版九上配方法(2)《一元二次方程的解法》PPT课件
回顾与复习
你还认识“老朋友” 吗
你还能规范解下列方程吗?
(2) x2=4.
(3) (x+2)2=5.
(4) (x-1)2=4
独立 作业
2. 解下列方程:
你还认识“老朋友” 吗
(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). (x-1)2-4 =0 (4). x2 -2x-1 = 4.
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(2)一元二次方程的解法
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” 吗
x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 解方程 (1)
解 : 1.x 5. x 5,
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
结束寄语
下课了!
• 配方法是一种重要的数学方 法——配方法,它可以帮助你 到达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实 世界的一个有效数学模型.
解这个方程,得 x1 ＝1
26m
x2 ＝60 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为1m.
挑战 自我
知识的升华
x2 +12x+ 25 = 0; x2 +4x =1 0; x 2 –6x =11; x2 –2x-4 = 0.
2. 解下列方程:
(1). (2). (3). (4).
你能解:（x+1)2+2(x+1) = 8 吗？
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部 分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
青岛版数学九年级上册一元二次方程课件
课堂小结
确定其解的大致范围
解一元二次方程 （“两边夹”方法）
列表、计算 进行两边“夹逼”
……
求得近似解
2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1．
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想.
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
(1)估计一个大致范围; (2)取中间值(靠近一端的值)缩小范围,直到确定 出个位上的数字; (3)继续取值缩小范围,确定十分位上的数字; (4)继续取值缩小范围,确定百分位上的数字…… 需要注意,如果不要求精确度,估计时还可以进行 下去.用“夹逼法”求一元二次方程的根时,一般 都要确定根的近似值的精确度.
0.5 1 1.5 2 28 18 10 4
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 1m
说法正确吗？为什么？
10m 8m
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0，
即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过视察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意，得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过视察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
青岛版九年级数学上册一元二次方程单元测试6
青岛版九年级数学上册一元二次方程单元测试6一、选择题（共10小题；共50分）1. 若方程和方程有一个相同的实数根，则的值为A. B.2. 一元二次方程经过配方后可变形为A. B. C. D.3. 关于一元二次方程的根的情况为A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定根的情况4. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元?设房价定为元．则下列方程中正确的是A.B.C.D.5. 若关于的一元二次方程有一解是，则的值为A. C.6. 如果是关于的一元二次方程，那么的值为A. 与 C. D. 以上都不对7. 方程的根是A.8. 已知实数，满足，则的值为B. C. 或或9. 已知一元二次方程的较小根，则下面对的估计正确的是C.10. 把面值为元的纸币兑换成面值为角或角的硬币，则换法只有种．A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 若将方程化为的形式，则的值为．12. 已知方程的两根是，，若，则．13. 已知方程和有共同的根，则，．14. 关于的方程中有整数解，为非负整数，写出个符合条件的的取值可以是．15. 关于的方程，当满足时，一个根小于，另一个根大于．16. 有一个数值转换器，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去这个风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用元，请问该单位这次共有多少员工去这个风景区旅游．18. 两个一元二次方程与有且仅有一个相同的实数根，求的值．19. 如果是方程的一个实数根，求的值．20. 已知关于的一元二次方程．（1）当时，求方程的实数根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．21. 关于的方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你选择一个合适的的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．22. 解下列一元二次方程：（1）；（2）．23. 用因式分解法解方程：．24. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根．答案第一部分1. A 【解析】由方程得，由方程得，则有，即，把代入方程，得方程，从而解得．2. C 【解析】，，则，即，故选：C．3. A 【解析】，一元二次方程有两个不相等的实数．4. B 【解析】依题意，得每间房的纯利润为元，实际入住的房间为间，当宾馆当天的利润为元时，根据“每间房的纯利润入住的房间数宾馆总利润”可得．故选B．5. C6. B7. D8. B9. A10. B第二部分11.13.14. 或15.【解析】提示：由题意可得，当与时，．第三部分17. 人．提示：因为，所以该单位去某风景区旅游的员工人数超过人．设该单位共有名员工去某风景区旅游，根据题意可列方程：，解得，．当时，，不合题意，舍去．18. 设相同的实数根为，则所以，所以，因为时，两个方程相同，所以．所以．所以，所以．19. 由于是方程的一个实数根，，，，20. （1）当时，方程为，，，，．（2）方程有两个不相等的实数根，，即，．21. （1）原方程总有两个实数根．（2）当时，原方程化为．解得，．（的值不唯一，满足题意解答正确即可）22. （1）（2）23. ．24. 当时，；当时，．。
青岛版九年级数学上册《一元二次方程的解法》教案
y2（y2-1）=72，y4-y2= 72（y2- ）2=
y2- =± y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以， 原方程的根为x1=- ，x2=-
四、总结反思、拓展升华
2．配方法的理论依据是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接开平方法为基础．
3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知 识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．
五、作业
教材P41 A组2题
个案修改
重点
用配方法解一元二次方程
难点
正确理解把x2＋ax型的代数 式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式
教学方法
课型
教具
教学过程：
创设情境、导入新课
学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：
（1）化二次项系数为Байду номын сангаас．
（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．
（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法求解．
配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二 次方程的通法．
即x+2=± x1= -2，x2=- -2[来源:Zxxk]
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• 观察一下三个方程有什么共同点？
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(173-x)x=7140
x2＋(x＋7)2＝112 x2=1-x
上述三个方程有什么共同特点？
即 x2 - 173x +7140 = 0 . 即 x2 +7x -36＝0.
或7x2 － 4＝0
7
－5 1 1 －8 04 0 －4
独立知识的升华作业来自1、P79习题3.1 1-2题;
祝你成功！
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _≠_3_____
时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k ≠±1 时，是一元二次方程．当k＝－1 时，是一
元一次方程．
随堂练
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿
即 x2 ＋x －1 ＝0.
上面的方程都是只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以
化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，这
样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
《一元二次方程》6
青岛版数学九年级上册
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功
感谢所有辛勤付出的人民教师
• 教学目标：
• 1、经历探索一元二次方程概念，理解一元二次方 程中的二次项、一次项、常数项。
• 2、了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次 方程化为一般形式。
• 3、培养学生主动参与、合作的意识，提高学习数 学的自信心。
二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为－ 32 .
小结 拓展 回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一
般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠ ０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项 、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量 关系
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
☞ 探索思考
“行家”看“门
道” 下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
☞ 想一想:
内涵与外延
即 x2－12 x ＋20 ＝x－0 4
4尺
想一想
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36
9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
独立
知识的升华
作业
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
(x+2)(x -
1)=6 1x2 ＋1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
☞ 做一做
足球场有多宽
一块足球场的的面积为7140m2，周长为346m，求足 球场的长和宽。
(173-x) (173-x)x=7140
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个直角三角形的三边都是整数，它的斜边长
是11cm，两条直角边的差为7cm，求两直角边的长
X＋7
x2＋(x＋7)2＝112
你能化简这个方程吗?
都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，
另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉
汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程．
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题
意得方程：
2尺 x
数学化 x－2
(x－4)2＋ (x－
2)2＝ x2
问题三
• 如图，点C是线段AB上的点，且AC与AB的比值等于 CB与AC的比值，求AC与AB的比值
• 设AB=1,AC=X,则CB的长为—— • 根据题目中的等量关系，可以得到方程—————
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合作探究
• 1、如果将以上方程变形，即类比一元一次方程一 般形式ax+b=o(a≠0)，你觉得方程如何变形？