运筹学第4版本科版
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章
第2节 改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
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19
第2节 改进单纯形法
而后以第2列的
(1) a22
为主元素，进行变换
(1) 12 (1) 22
a / a (1) 1 / a22 (1) P2 2 (2) (1) (1) am 2 / a22
20
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第2节 改进单纯形法
二 线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
1
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第3章 对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
12
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第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1
Xs B 1
1
RHS B 1b CB B b
13
检验数
B B 1 0
1
C N1 C B B N 1 C B B
运筹学(第四版)：第4章 目标规划
目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
01《运筹学》(第四版)线性规划模型
x x ， x
其中 x 0 , 。 x 0
实际含义：
如果变量 x 代表某产品当年计划数与上一年计划数之差，
则 x 的取值可能是正也可能是负。
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莫 莉
1.2 型式转换
3．实例
将下面线性规划模型化为标准形式：
m in z x1 2 x 2 3 x 3
线性规划模型 三要素
决策变量
需决策的量，即待求 的未知数
约束条件 目标函数
需优化的量，即欲达 的目标，用决策变量 的表达式表示
为实现优化目标需受到 的限制，用决策变量的 等式或不等式表示
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莫 莉
资源单耗 甲 乙 资源限量
A 2 2
B 1 2
C 4 0 16kg
D 0 4 12kg
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线性规划的几种表示形式
1）一般形式
1.1 线性规划模型
m a x (或 m in ) Z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a x a x a x 21 1 22 2 2n n a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1, x2 , , xn 0
莫 莉
上节课内容回顾
莫 莉
第一章 线性规划
1 2 3 4 5 6
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线性规划模型 线性规划解★ 单纯形法 对偶问题 对偶理论
算法复杂性
莫 莉
前节回顾
温
型式转换
故
求解
知
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·21线性规划
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策变量的线 性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具 有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何 意义等优点。
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 17
2.1.2 图解法
max z ? 2 x1 ? 3 x2
? x1 ? 2 x2 ? 2
?? ? ?
4 x1
? 16 4 x2 ? 12
?? x1 , x2 ? 0
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 18
max z ? 2x1 ? 3 x2
x2
?
?
2 3
x1
?
z 3
表示一簇平行 n
?目标值在（ 4，2）点，达到最大值 14
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 14
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
例2.1 河流污染治理规划问题
200w
工厂2
500w 工厂1
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 10
靠近某河流有两个化工厂,流经第一化工厂的河流流量 为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天 200万立方米的支流。化工厂1每天排放工业污水2万立方米， 化工厂2每天排放工业污水为1.4万立方米。从化工厂1排出 的污水流到化工厂2前，有20%可自然净化。
新版中国矿业大学交通运输考研经验考研参考书考研真题
一年就这样过去了，内心思绪万千。
一年很短，备考的经历历历在目，一年很长，长到由此改变了一个人的轨迹，并且成就一个梦想。
回忆着一年的历程，总想把它记录下来，希望可以给还在考研道路上奋斗的小伙伴们一点帮助。
考研是一个非常需要坚持的过程，需要你不断坚持和努力才能获得成功，所以你必须要想清楚自己为什么要考研，这一点非常重要，因为只有确认好坚定的动机，才能让你在最后冲刺阶段时能够坚持下来。
如果你只是看到自己周围的人都在考研而决定的考研，自己只是随波逐流没有坚定的信心，那么非常容易在中途就放弃掉了，而且现在考研非常火热，这就意味着竞争也会非常激烈，而且调剂的机会都会非常难得，所以备考时的压力也会比较大，所以大家一定要调整好心态，既不能压力太大，也不能懈怠。
既然选择了，就勇敢的走下去吧。
考研整个过程确实很煎熬，像是小火慢炖，但是坚持下来，你就会发现，原来世界真的是美好的。
文章整体字数较多，大家可视自己情况阅读，在文章末尾我也分享了自己备考过程中的资料和真题，大家可自行下载。
中国矿业大学交通运输的初试科目为：（101）思想政治理论（204）英语二（302）数学二（862）运输运筹学参考书目：1.《运筹学（第4 版）》本科版，《运筹学》教材编写组，清华大学出版社，2013.1；2.《运筹学基础及应用》（第六版），胡运权，高等教育出版社，2014.2；3.《管理运筹学（第4 版）》，韩伯棠，高等教育出版社，2018.6。
关于英语复习的建议考研英语复习建议:一定要多做真题，通过对真题的讲解和练习，在不断做题的过程中，对相关知识进行查漏补缺。
对于自己不熟练的题型，加强训练，总结做题技巧，达到准确快速解题的目的。
虽然准备的时间早但因为各种事情耽误了很长时间，真正复习是从暑假开始的，暑假学习时间充分，是复习备考的黄金期，一定要充分利用，必须集中学习，要攻克阅读，完形，翻译，新题型！大家一定要在这个时间段猛搞学习。
在这一阶段的英语复习需要背单词，做阅读（每篇阅读最多不超过20分钟），并且要做到超精读。
运筹学第4版本科版
1.1运筹学的简史
线性规划是由丹捷格(G.B.Dantzig)在1947年发表的 成果。所解决的问题是美国制定空军军事规划时提 出的，并提出了求解线性规划问题的单纯形法。
而早在1939年苏联学者康托洛维奇 (Л.В.Канторович)在解决工业生产组织和计划问 题时，已提出了类似线性规划的模型，并给出了 “解乘数法”的求解方法。由于当时未被领导重视， 直到1960年康托洛维奇再次发表了《最佳资源利用 的经济计算》一书后，才受到国内外的一致重视。 为此康托洛维奇得到了诺贝尔奖。
(1) 提出和形成问题。即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量 以及有关参数，搜集有关资料；
(2) 建立模型。即把问题中可控变量、参数和目标与约束之间的关系用一 定的模型表示出来；
(3) 求解。用各种手段(主要是数学方法，也可用其他方法)将模型求解。解 可以是最优解、次优解、满意解。复杂模型的求解需用计算机，解的精度 要求可由决策者提出；
19
举例：问题的提出
例 2 靠近某河流有两个化工厂 (见图1-1)，流经第一化工厂的河 流流量为每天500万立方米，在
两个工厂之间有一条流量为每天
200万立方米的支流。
图1-1
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天 排放的工业污水为1.4万立方米。从化工厂1排出的污水流到化工厂2前， 有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于 0.2%。因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水的成本 是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。问:
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25
解的概念变化
相应的一些概念和方法都应有所变化，如将过分理想 化的“最优解”换成“满意解”。过去把求得的“解 ”看作精确的、不能变的凝固的东西，而现在要以“ 易变性”的理念看待所得的“解”以适应系统的不断 变化 。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第1章 绪论
.
模型的一般数学形式可用下列表达式描述：
❖ 目标的评价准则 U=f(xi,yj,ξk)
❖ 约束条件
g(xi,yj,ξk)≥0
❖ 其中：xi——可控变量；
yj——已知参数；
ζk——随机因素。
9
.
第5节 运筹学的应用
❖ (1) 市场销售 ❖ (2) 生产计划 ❖ (3) 库存管理 ❖ (4) 运输问题 ❖ (5) 财政和会计 ❖ (6) 人事管理 ❖ (7) 设备维修、更新和可靠性、项目选择和评价
一、绪论
第1节 运筹学的简史 第2节 运筹学的性质和特点 第3节 运筹学的工作步骤 第4节 运筹学的模型 第5节 运筹学的应用 第6节 运筹学的展望
1
.
第1节 运筹学的简史
❖ 运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末。 ❖ 第二次世界大战后，20世纪发展概况。 ❖ 在20世纪50年代中期钱学森、许国志等教授将运筹学由西
方引入我国，并结合我国的特点在国内推广应用。在此期 间以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究 队伍，使运筹数学的很多分支很快跟上当时的国际水平
❖ 1959年，运筹学部门在中国科学院数学研究所成立，力学 所小组与数学所的小组于1960年合并成为数学研究所的一 个研究室，当时的主要研究方向为排队论、非线性规划和 图论，还有人专门研究运输理论、动态规划和经济分析 （例如投入产出方法）。在当时这些先遣者中，越民义先 生、刘源张院士、朱永津教授、桂湘云教授、陈锡康教授、 徐光煇教授、韩继业教授、李秉全教授、郭绍僖教授等。
❖ (5) 宽容原则。解决问题的思路要宽，方法要多，而 不是局限于某种特定的方法。
❖ (6) 平衡原则。要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。
15《运筹学》(第四版)连续动态规划
f 3 ( x3 )
u3
25 25 25
34 31 25 25 25
2 3 4 4 4
24+34 24+31 24+25 24+25 24+25
22+34 22+31 21+34 22+25 21+31 22+25 21+25
u2
x2
8 9 10
u 4 因此 ，故 x2 12 4 8 ， 1 v2 ( x2 , u2 ) f3 ( x2 u2 ) f 2 ( x2 ) u 2 u 2 所以 ，因而 x3 8 2 6， 2 2 3 4 u 2，推算得 再由前面表知 3 38＋49 35＋55 31＋58 87 2
38＋47 35＋49 31＋55 38＋46 35＋47 31＋49
84 80
3 4
x4 6 2 4
因此该警卫部门的派巡逻队的 最优策略为：A部位４支， B 部位２支， 部位 C部位２支，D ４支，总预期损失为97莫 单位。 莉
u1
v1 ( x1 , u1 ) f 2 ( x1 u1 )
2 3 4 4 4
22+34 22+31 21+34 22+25 21+31 22+25 21+25
莫
部位 预期损失 巡逻队数 2 3 4
A B
C
D
x3
4 5 6 7 8
u 3 v3 ( x3 , u3 ) f 4 ( x3 u3 )
2
24+34 24+31 24+25 24+25 24+25
运筹学本科版答案
运筹学本科版答案【篇一：运筹学课后习题答案】xt>1．用xj（j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： minz?0.2x1?0.7x2?0.4x3?0.3x4?0.8x5st.3x1?2x2?x3?6x4+18x5?700x1?0.5x2?0.2x3+2x4?x5?300.5x1?x2?0.2x3+2x4?0.8x5?1002.解：设x1x2x3x4x5x6x表示在第i个时期初开始工作的护士人数，z表示所需的总人数，则minz?x1?x2?x3?x4?x5?x6st.x1?x6?60x?x2?701x2?x3?60x3?x4?50x4?x5?20x5?x6?30xj(j?1,2,3,4,5,6)?03．解：设用i=1，2，3分别表示商品a，b，c，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，xij表示装于j舱的i种商品的数量，z表示总运费收入则：maxz?1000(x11?x12?x13)?700(x21?x22?x23)?600(x31?x32?x3 3)st.x11?x12?x13?600x21?x22?x23?1000x31?x32?x33?80010x11?5x21?7x31?40010x12?5x22?7x32?540010x13?5x23?7x33?15008x11?6x21?5x31?20008x12?6x22?5x32?30008x13?6x23?5x33?15008x?6x21?5x3111?0.158x12?6x22?5x328x?6x23?5x3313?0.158x12?6x22?5x328x?6x21?5x3111?0.18x13?6x23?5x33xij?0(i?1,2.3.j?1,2,3)xi(i?1,2.3.4.5.6)?05. （1）z = 4（2）maxz?x1?x2st.6x1?10x2?120x1?x2?705?x1?10解：如图：由图可得：x?(10,6)；z*t*3?x2?8?16*即该问题具有唯一最优解x?(10,6)t（3）无可行解(4)maxz?5x1?6x2st.2x1?x2?2?2x1?3x2?2 x1,x2?0如图：由图知，该问题具有无界解。
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
清华大学运筹学第四版
清华大学运筹学第四版概述《清华大学运筹学第四版》是一本介绍运筹学基本理论和应用方法的教材，适用于清华大学的运筹学课程。
本书主要由清华大学的教授团队编写，内容丰富全面，旨在帮助学生系统掌握运筹学的相关知识。
内容本教材内容广泛涵盖了运筹学的基本概念、理论与方法。
其中包括线性规划、整数规划、网络流、优化算法、决策分析、排队论等内容。
每个主题都以清晰简明的方式进行阐述，并配以具体的案例和习题，帮助学生理解和应用所学知识。
本书第一章介绍了运筹学的基本概念、发展历程以及应用领域。
接着，第二章至第六章分别深入讲解线性规划、整数规划、网络流、优化算法和决策分析的理论和方法。
第七章再次扩展到了决策分析的内容，包括风险分析、决策树和蒙特卡洛模拟等。
最后两章分别讲解了排队论和计划与调度的内容。
每章结束都有丰富的习题，供学生进行巩固练习。
特点本书具有以下几个特点：1. 理论与实践相结合教材既注重理论阐述，又注重实践案例分析。
每个主题都会以具体的实例和案例来说明理论应用，帮助学生更好地理解和应用所学知识。
2. 清晰简明教材以清晰简明的语言阐述理论和方法，避免过多的数学推导和冗长的表达方式。
学生可以更轻松地理解和掌握所学知识。
3. 全面深入教材内容全面深入，涵盖了运筹学的多个领域和应用方法。
学生可以通过阅读本书，全面了解运筹学的基本理论和应用领域。
4. 习题与案例丰富每章末尾都有大量的习题和案例，供学生进行练习和巩固。
其中一部分习题还有答案和解析，方便学生自我检测和查漏补缺。
使用方法学生可以按照章节顺序阅读本教材，先理解基本理论和方法，再通过实例和案例练习应用。
在阅读过程中，可以适当地参考相关参考书或者网上资料，进行拓展学习。
同时，建议学生积极参与实践活动，提高对运筹学方法的应用能力。
总结《清华大学运筹学第四版》是一本内容丰富、质量上乘的教材。
无论对于运筹学课程的学生，还是对运筹学感兴趣的读者，都是一本值得阅读和学习的教材。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
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2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
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2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
21
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
2024版运筹学第四版清华大学出版社pdf
社2024pdfcontents •绪论•线性规划•整数规划•动态规划•图与网络分析•存储论•排队论目录01绪论运筹学的起源与发展起源运筹学起源于20世纪30年代，最初是应用在军事领域，旨在研究和解决军事策略和资源分配问题。
发展随着计算机技术的飞速发展和数学理论的不断完善，运筹学逐渐从军事领域扩展到经济、管理、工程等各个领域，并形成了完整的学科体系。
运筹学的定义与特点定义运筹学是一门应用数学、计算机科学和经济学等多学科交叉的综合性学科，旨在通过数学建模、优化算法和计算机技术等方法，对复杂系统进行优化决策。
特点运筹学具有多学科交叉性、广泛应用性、理论性与实践性相结合等特点。
它注重定量分析和实证研究，强调优化决策和系统效率。
经济领域运筹学在经济管理、市场预测、投资决策等方面有广泛应用，如生产计划、库存管理、物流运输等。
社会领域运筹学在社会服务、城市规划、医疗卫生等方面也有应用，如交通规划、教育资源分配等。
工程领域运筹学在工程设计、施工计划、质量控制等方面提供优化方法和技术支持。
军事领域运筹学在军事战略制定、作战计划优化、后勤资源分配等方面发挥重要作用。
运筹学的应用领域02线性规划线性规划问题的数学模型目标函数线性规划问题中需要优化的目标，通常表示为决策变量的线性函数。
约束条件限制决策变量取值的条件，通常表示为决策变量的线性不等式或等式。
决策变量线性规划问题中需要确定的未知量，通常表示为向量形式。
可行域满足所有约束条件的决策变量取值范围所构成的区域。
最优解使目标函数达到最优值的决策变量取值点。
目标函数等值线目标函数取不同值时对应的决策变量取值点所连成的曲线。
线性规划问题的图解法满足所有约束条件且基变量取非负值的决策变量取值点。
初始基可行解通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过程。
迭代过程判断当前基可行解是否为最优解的方法，通常通过计算检验数来实现。
最优性检验单纯形法如何合理安排生产计划以最小化成本或最大化利润。
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1.1运筹学的简史
我国大规模的运筹学活动起始于1958年，在为工 农业生产服务的思想指导下，主要是数学家们走 向工厂、农村，建立数学模型，解决生产中的实 际问题。当时的运输问题的 “图上作业法”就是
运筹学应用的重要例子。“中国邮路问题”这一 世界运筹界均知晓的模型也是在同一时期由管梅 谷教授提出的，这一切成为早期中国运筹学的奇 花葩草。
兰德公司（RAND）为首的一些部门开始着 重研究战略性问题、未来的武器系统的设计 和其可能合理运用的方法。
1.1运筹学的简史
运筹数学有了飞快的发展，并形成了运筹学 的许多分支。如数学规划(线性规划、非线 性规则、整数规划、目标规划、动态规划、 随机规划等)、图论与网络、排队论(随机服 务系统理论)、存储论、对策论、决策论、 维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理 等。
美国——operations research.
中国——1956年曾用过“运用学”，到1957年正式定 名为“运筹学”。
1.1运筹学的简史
二战期间，在英、美的军队中成立了一些专门小组， 开展了护航舰队保护商船队的编队问题和当船队遭受 德国潜艇攻击时，如何使船队损失最少的问题的研究。
研究了反潜深水炸弹的合理爆炸深度后，使德国潜艇 被摧毁数增加到400%；
从以上简史可见，为运筹学的建立和发展作出贡 献的有物理学家、经济学家、数学家、其他专业 的学者、军官和各行业的实际工作者。
1.1运筹学的简史
最早建立运筹学会的国家是英国(1948年)，接着是 美国(1952年)、法国(1956年)、日本和印度(1957年) 等。到2005年为止，国际上已有48个国家和地区 建立了运筹学会或类似的组织。
我国的运筹学会成立在1980年。1959年由英、美、 法三国的运筹学会发起成立了国际运筹学联合会 (IFORS)，以后各国的运筹学会纷纷加入，我国于 1982年加入该会。
1.1运筹学的简史
20世纪50年代中期，钱学森、许国志等教授将运筹 学由西方引入我国，并结合我国的特点在国内推广 应用。
他们最早在中国科学院力学所建立了运筹室, 在运 筹学多个领域开展研究和应用工作, 其中在经济数 学方面，特别是投入产出表的研究和应用开展较早。 质量控制(后改为质量管理)的应用也有特色。在此 期间以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹 学的研究队伍，在中国科学院数学所也建立了运筹 室，使运筹数学的很多分支很快跟上当时的国际水 平。
1.1运筹学的简史
研究了船只在受敌机攻击时，提出了大船应急速转向 和小船应缓慢转向的逃避方法。研究结果使船只在受 敌机攻击时，中弹数由47%降到29%。
当时研究和解决的问题都是短期的和战术性的。第二 次世界大战后在英、美军队中相继成立了更为正式的 运筹研究组织。
1.1运筹学的简史
莫尔斯（P.M.Morse）与金博尔 （G.E.Kimball）1951年出版了《Methods of Operations Research》。
1.1运筹学的简史
军事运筹学中的兰彻斯特(Lanchester)战斗方程是在 1914年提出的。
排队论的先驱者丹麦工程师爱尔朗(Erlang)1917年在 哥本哈根电话公司研究电话通信系统时，提出了排队 论的一些著名公式。
存储论的最优批量公式是在20世纪20年代初提出的。
在商业方面列温逊在20世纪30年代已用运筹思想分析 商业广告、顾客心理。
筹学的简史
值得一提的是丹捷格认为线性规划模型的提出是受 到了列昂节夫的投入产出模型(1932年)的影响；后 来列昂节夫的投入产出模型也得到了诺贝尔奖。
关于线性规划的理论是受到了冯·诺依曼(Von Neumann)的帮助。冯·诺依曼和摩根斯特恩 (O.Morgenstern)合著的《博弈论与经济行为》 (1944年)是对策论的奠基作，同时该书已隐约地指 出了对策论与线性规划对偶理论的紧密联系。
1.1运筹学的简史
线性规划是由丹捷格(G.B.Dantzig)在1947年发表的 成果。所解决的问题是美国制定空军军事规划时提 出的，并提出了求解线性规划问题的单纯形法。
而早在1939年苏联学者康托洛维奇 (Л.В.Канторович)在解决工业生产组织和计划问 题时，已提出了类似线性规划的模型，并给出了 “解乘数法”的求解方法。由于当时未被领导重视， 直到1960年康托洛维奇再次发表了《最佳资源利用 的经济计算》一书后，才受到国内外的一致重视。 为此康托洛维奇得到了诺贝尔奖。
1.2运筹学的性质和特点
莫斯（P.M.Morse）和金博尔（G.E.Kimball）曾对 运筹学下的定义：“为决策机构在对其控制下业 务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学 方法。”
运筹学工作者的职责是为决策者提供可以量化方 面的分析，指出那些定性因素的力度。
1.1运筹学的简史
线性规划提出后很快受到经济学家的重视，如在 第二次世界大战中从事运输模型研究的美国经济 学家库普曼斯(T.C.Koopmans)，他很快看到了线 性规划在经济中应用的意义。库普曼斯在1975年获 诺贝尔经济奖。其中阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多 夫曼和胡尔威茨等都获得了诺贝尔奖，并在运筹 学某些领域中发挥过重要作用。
我们初步统计了到2007年为止共有19个诺贝尔奖 获得者的研究与运筹学有关。
1.1运筹学的简史
回顾一下最早投入运筹学领域工作的诺贝尔奖获 得者、美国物理学家勃拉凯特(Blackett)领导的第 一个以运筹学命名的小组是有意义的。
由于该小组的成员复杂，人们戏称它为勃拉凯特 马戏团，其实是一个由各方面专家组成的交叉学 科小组。
第1章 运筹学概论
1.1运筹学的简史 1.2运筹学的性质和特点 1.3运筹学的工作步骤 1.4运筹学的模型 1.5运筹学的应用 1.6运筹学的展望
1.1运筹学的简史
运筹学——operational research是英国人最早在20世 纪30年代末提出来。当时，英国防空部门如何布置防 空雷达，建立有效的防空预警系统 ，因为它与研究技 术问题不同，就称之为“运用研究”。