向量法求空间点到平面的距离教学提纲

分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
Fu(u4u r,2,0)，G(0,u0uu ,r2)．
xD
C
13
小结：向量法求点面 到的 平距离 要求一个点到平面离 的， 距可以分为以下步 三骤 个： （1）找出从该点出发面 的的 平任一条斜线段的 对向 应量； （2）求出该平面的一向 个量 法； （3）求出法向量与斜对 线应 段的向量的数量绝 积对 的值 再除以法向量的模可 ，求 即出点到平面距离。
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练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
uuur
uuur
uuur
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
BABO BO
AB•n
量的方向，可以B得 到到 平点 面的距离B为 O
。
n
3、因此要求一面 个的 点距 到离 平，可下 以三 分个 为步 以1骤 ）： 找（ 出从该点出发任 的一 平条 面斜 的线段量 对； 应 2） （ 的求 向出该平 面的一个法向 3）量 求； 出（ 法向量对 与应 斜的 线向 段量的数量 的绝对值再除的 以模 法， 向即 量可求面 出距 点离 到。 平
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
向量法求空间点到平面的距离
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
Baidu Nhomakorabea
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
线 B段 的 O 长度。
2、若 AB是平面的任一条斜线段R， tB则 O中 A在， BO BA•cosABO
BABA•BO
BA•BO
,如果令平 的 面法向量 n,考 为虑到法向
EF(2,2,0),EG(2,4,2), uuu r
F
BE(2,0,0)
设平面 r
EFG
的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
r uuur r uuur n E F ，n E G
2x 2y 0
2
x
4
y
2
0
r n
1 (
1 ,
,1)
d|nv3 nvB u3uEur| 21111
点评：斜线段也择可 BF以 或选 者 BG都行，
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
r 设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
r uuur
则
n r
CB uuur
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
y
令
y
1,
r n
(0,
1,
1)
,d=
2
2
课下作业、 B在 AC中 三 D ,平 棱 A 面 锥 B D平A 面C， D若棱长 AC CD AD AB 1， 且 BAD 300，求 D到 点平 A面 BC 的距离。 d（ 39） 答案