静态电磁场分析
电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
ANSYS电磁场分析指南-第六章3-D静态磁场分析（棱边单元方法）
第六章３-Ｄ静态磁场分析（棱边单元方法）6.1何时使用棱边元方法在理论上，当存在非均匀介质时，用基于节点的连续矢量位A来进行有限元计算会产生不精确的解，这种理论上的缺陷可通过使用棱边元方法予以消除。
这种方法不但适用于静态分析，还适用于谐波和瞬态磁场分析。
在大多数实际3-D分析中，推荐使用这种方法。
在棱边元方法中，电流源是整个网格的一个部分，虽然建模比较困难，但对导体的形状没有控制，更少约束。
另外也正因为对电流源也要划分网格，所以可以计算焦耳热和洛伦兹力。
用棱边元方法分析的典型使用情况有：·电机·变压器·感应加热·螺线管电磁铁·强场磁体·非破坏性试验·磁搅动·电解装置·粒子加速器·医疗和地球物理仪器《ANSYS理论手册》不同章节中讨论了棱边单元的公式。
这些章节包括棱边分析方法的概述、矩阵列式的讨论、棱边方法型函数的信息。
对于ANSYS的SOLID117棱边单元，自由度是矢量位A沿单元边切向分量的积分。
物理解释为：沿闭合环路对边自由度（通量）求和，得到通过封闭环路的磁通量。
正的通量值表示单元边矢量是由较低节点号指向较高节点号（由单元边连接）。
磁通量方向由封闭环路的方向根据右手法则来判定。
在ANSYS中，AZ表示边通量自由度，它在MKS单位制中的单位是韦伯（Volt·Secs），SOLID117是20节点六面体单元，它的12个边节点（每条边的中间节点）上持有边通量自由度AZ。
单元边矢量是由较低节点号指向较高节点号。
在动态问题中，8个角节点上持有时间积分电势自由度VOLT。
ANSYS程序可用棱边元方法分析3-D静态、谐波和瞬态磁场问题。
（实体模型与其它分析类型一样，只是边界条件不同），具体参见第7章，第8章。
6.2单元边方法中用到的单元表 1三维实体单元6.3物理模型区域的特性与设置对于包括空气、铁、永磁体、源电流的静态磁场分析模型，可以通过设置不同区域不同材料特性来完成。
静态电磁场的基本理论和应用
静态电磁场的基本理论和应用静态电磁场是指场的物理量随时间变化极其缓慢，可以近似看作是不变的电磁场。
静态电磁场具有宏观上常见的电学和磁学效应，是电学和磁学的基础。
静态电磁场的基本理论包括静电场和静磁场的产生和作用，以及带电粒子在静态电磁场中的运动规律。
静态电磁场的应用非常广泛，例如在电力工业、通讯工程和物理实验室等领域，静态电磁场都发挥着重要的作用。
1. 静电场的产生和作用静电场是由电荷引起的场。
当电荷分布不均匀或者有电荷运动时，就会产生静电场。
电荷具有相互排斥作用和相互吸引作用，因此静电场的效应包括电场力和电场能。
电场力是指电场对电荷施加的力，可以方便地通过库仑定律计算。
电场能是指电荷在电场中位移所获得的能量，可以表示为$W=\int{\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 dV}$。
其中，$\epsilon_0$是真空介质常数，$E$是电场强度，$V$是场的体积。
静电场的应用非常广泛，例如在电力工业中，静电场运用于高压直流输电、电能贮存和防雷等方面。
在通讯工程中，静电场对电磁波的传输和接收也起着重要作用。
此外，静电场在物理实验室中常用于制备和测量微小粒子，例如通过静电引力操纵带电颗粒进行实验。
2. 静磁场的产生和作用静磁场是由磁荷引起的场。
目前并没有发现独立存在的磁荷，因此实际上静磁场是由电流所产生的。
通过安培环路定理和比奥-萨伐尔定律，我们可以方便地计算静磁场的大小和方向。
静磁场的效应包括磁场力和磁场能。
磁场力是指磁场对运动带电粒子的作用力，可以表示为$F=qv\times B$。
其中，$q$是粒子带电量，$v$是粒子速度，$B$是磁场强度。
磁场能是指运动带电粒子在磁场中位移所获得的能量，可以表示为$W=\int{\frac{1}{2\mu_0}B^2 dV}$。
其中，$\mu_0$是真空磁导率，$B$是磁场强度，$V$是场的体积。
静磁场的应用也非常广泛，例如在电力工业中，静磁场运用于电机、变压器和电力电子器件等方面。
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
准静态电磁场
② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。
③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
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第五章
准静态电磁场
磁准静态场（MQS）
时变电磁场中各处位移电流密度远小于传导电流密 度时（忽略电场变化对磁场分布的影响）称为磁准静 态场。
当f2=15千兆赫
2π1 5 190 2 50 0 8.8 5 1 1 022.085
蒸馏水为有损耗的介质，计算这一频率时的电磁波 要考虑位移电流。
注意 导电媒质的似稳条件说明时变场中良导体是一
个相对的概念。
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第五章
准静态电磁场
理想介质中的磁准静态场（MQS）
理想介质中 0 C J0只有位移电流
R 2R 2R 1U sU s(C 2C 1C 1R 2R 2R 1)eτ t
U 1R 2R 1R 1U s U s(C 2 C 2C 1R 2R 1R 1)eτ t
R1
R2
C1
C2
上页 上页
取洛仑兹规范 A
t
2AJ
t
上页 下页
第五章
准静态电磁场
磁准静态场 D 0 t
B 0 B A E B
t
(EA)0 t
H J
D
EA
A ( Α ) 2Α J
t
取库仑规范 A0
2AJ
D
(A)
t
2 A
t
2
上页 下页
第五章
准静态电磁场
问题
满足怎样的条件可以不考虑场的滞后效应，把电磁场 可作准静态场？
例 已知蒸馏水的物理参数为 μ r 1 ,εr 5,0 γ 2s0/m
静态电磁场边值问题
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
静态电磁场II：恒定电流电场介绍
源和汇，磁场是一个无源场。
B0
图 磁通连续性原理
静电场 ( 0) 恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0 D 0
D E
2 0
q SD dS
E 0
J 0
J E
2 0
I SJ dS
E
E
D
J
ε
q
I
C
q
DdS S
EdS
S
U Edl Edl
l
l
G I
JcdS EdS
S
S
U Edl Edl
l
l
G C
当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。
3.2.2 接地电阻
接地电阻
接地器和接地 导线的电阻
接地器与大地 的接触电阻
1.深埋球形接地器
解：深埋接地器可不考 虑地面影响,其电流场可与 无限大区域 ( ) 的孤立圆球 的电流场相似。
两接地器之间 土壤的电阻
图 深埋球形接地器
解法一 直接用电流场的计算方法
I J 4Ir2
E J
I
4r2
U
I
3.3.1 恒定磁场的基本方程
积分形式: 微分形式：
H d l J c d S
S
S
B dS 0
S
H Jc B0
媒质构成方程：
B H
结论： 恒定磁场是无源有旋场。
3.3.2 真空中安培环路定律-恒定磁场有旋性
真空中的安培环路定律
n
Bdl 0 Jc dS 0 Ik
S
S
k1
dt时间内有dq电荷自元电流
管的左端面移至右端面，则 电场力作功为dW = dUdq
氢原子中静态电磁场角动量的研究
（ ３ ）
（ ４ ）
注意 ， 完全可 以由规范不变的物理量 歹、 完全的表述出来， 印证了它的规范不变性． 有人会发觉表达
式（） ４似乎在产生超距作用， 但并非如此， 对给定系统电流密度不会在不引起电场变化下改变． 库伦规范下 Ｑ Ｄ Ｅ
的相对论不变性已被广泛的研究． １ 氢原 子系统 中对两种 角动 量的计算 ． ２ 氢原子系统由自旋为 ｌ ／ ２的电子与质子（ 表述为 Ｄｒ 场） 以及所产生的 电磁场（ ｉｅ ， ａ 表述为 自 旋为 １ 的矢量场）
里我们仅引用基态下的波函数球坐标表述【 ５
不变．
在有源场中具体计算 ：库伦规范Ｖ・ ＝０ 得到横场 ． ， 和标势 的运动方程
Ｖ 专 争一昙 丑
Ｖ ＝一一 Ｐ
，
，
（） ２
Ｓ０
式 中 为电流密度， 同时Ｅ＝－ Ｖ￣－ ， ， ８ 可以得到
Ｖ＝ 一 丑（
或分 ： 积式 形 ） ＝ 去 ’ ．
所组成． 为方便我们将核子看作无 自旋的无限重点电荷提供库伦 电场 ， — ：
’ ４Ｘ￣ ｒ ｏ
， 电流密度仅有 电子运动贡
献歹 一 其 电 的 ｉ场 函 ， － ／ 泡 矩 ，过 ｉ方 解 这 ：＝ ｅ ’ 中 为 子 Ｄａ 波 数 ／ Ｏ 为 利 阵通 Ｄａ 程 出 ， ｒ ｃ － １ ０ Ｊ ， ｒ ｃ
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
第 ３ 卷 ６
１１ 相 互 作 用 场 中 矢 努 计 算 与规 范 讨 论 ．
所 可 测 理 都 须 足 范 变 ． 电 场 动 了中 到 自 、道 动 部 均 电 Ｅ 有 观 物 量 必 满 规 不 性 从 磁 角 量 看 ， 旋轨 角 量 分 由 场 。
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：静态场的唯一性定理(共10张PPT
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法（GFDM）是一种新型的数值计算方法，主要应用于
静态电磁场计算中。
该方法对于复杂的电磁场问题，能够得出精确的解，具有广泛的应用前景。
以下是GFDM在静态电磁场计算中的应用：
一、基本原理
广义有限差分法是一种有限元法的变种，它利用偏微分方程的基本原理，将电磁场问题分离成边值问题和内部问题。
利用一定的分割方式，将求解区域离散化成有限个点和单元，然后在每个点和单元上建立方
程组，通过求解这些方程组得出电磁场的数值解。
二、优点
广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，主要具有以下优点：
1. 适用范围广：该方法在静态电磁场解析计算中理论基础扎实，适用
范围广泛，尤其是对于非线性场问题求解技术得到了广泛关注。
2. 求解精度高：该方法可以精确地计算电磁场的各种特性参数，因此
在研究电磁现象的过程中具有很高的应用价值。
3. 适用于非均质和多介质场：该方法适用于复杂的非均质和多介质场问题的求解，可以得出比传统计算方法更为准确的解。
三、应用场景
广义有限差分法主要应用于电磁场中的各种非线性问题的求解，这些问题常常与材料的磁滞、导电、热效应等有关。
同时，该方法还广泛应用于计算机模拟和电磁兼容等领域。
四、结论
总的来说，广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，在静态电磁场中得到了广泛的应用。
它能够对电磁场中的各种复杂问题进行精确的计算，并有很高的应用价值。
在未来的科学研究中，该方法将得到更广泛的应用。
应用Ansys软件求解无界静态电磁场问题解读
应用Ansys 软件求解无界静态电磁场问题赵彦珍马西奎西安交通大学电气工程学院，陕西西安710049摘要：ANSYS 有限元分析软件包因其平台开放，运算功能强大、图形处理丰富而成为目前广泛应用的分析工具。
本文深入研究了应用ANSYS 软件包求解无界静态电磁场问题的方法，探讨了无限大场域的处理手段和方法，并应用软件进行了工程实例数值分析和计算。
关键词：Ansys 软件，有限元法，无界静态电磁场1．引言有限元法作为一种需要对整个区域进行剖分的数值方法，在求解有界问题时是十分有效的，且已成为一种十分成熟的通用方法。
但在实际工程中，往往存在许多无界电磁场问题，对于无界问题，则不能够直接利用有限元法进行计算。
在实际工程中，常在远离中心场域处设一人工边界，并设该边界上的电位或磁位衰减为零。
采用这种方法，计算精度和计算效率取决于边界范围取值的大小，当边界范围取值较大时，计算精度高，但所需的计算机内存大，计算时间长，故计算效率较低。
反之，当边界范围取值较小时，计算精度则差。
随着有限元法在电磁场计算中的应用，有限元法电磁计算商业化软件也迅速出现和发展。
ANSYS 有限元分析软件就是近年来有限元法电磁计算商业化软件代表之一，由于其平台开放，运算功能强大、图形处理丰富已成为目前广泛应用的分析工具。
本文将深入研究应用ANSYS 软件包求解无界静态磁场问题的方法，探讨无限大场域的处理手段和方法，并应用软件进行了工程实例数值分析和计算。
2．应用Ansys 软件处理静态电磁场无界边界的方法ANSYS 软件提供了INF110 单元源节点来处理二维计算过程中无限大边界问题，这为无限大边界的设定和求解提供了有效方法。
在求解二维无界静态电磁场问题时，将场域分为两大部份。
一部分是有限区域，另一部分称为无限大区域。
INF110 单元是无限大空间的组成部分。
无限大区域的剖分方式与有限区域不同，采用MAP 剖分方法。
为了达到INF110 单元的要求，建立模型时应尽可能使远场单元的相对长度近似等于有限区域的深度。
23.2.3 二维静态磁场分析与实例_ANSYS 有限元分析从入门到精通_[共4页]
![23.2.3 二维静态磁场分析与实例_ANSYS 有限元分析从入门到精通_[共4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/5f5b7971f524ccbff021841f.png)
387ANSYS电磁场分析 第 23 章23.2.2 静态磁场分析的步骤静态磁场分析分为以下5个步骤。
（1）创建物理环境。
（2）建立模型，划分网格，对模型的不同区域赋予特性。
（3）加边界条件和载荷（激磁）。
（4）求解。
（5）后处理（查看计算结果）。
23.2.3 二维静态磁场分析与实例如图23-1所示，有2个实体圆柱铁芯，中间被空气隙分开，线圈中心点处于空气隙中心。
首先为模拟建模，然后进行模拟，最后进行后处理（包括电磁力、磁场值）。
模拟由3个区域组成。
衔铁区：导磁材料，导磁率为常数（即线性材料）。
线圈区：线圈可视为均匀材料。
空气区：自由空间（1r μ=）。
参数如下。
柱体：1000r μ= 线圈：1r μ= 匝数：2000（整个线圈）空气：1r μ=激励：线圈励磁为直流电流（2A ）模型：轴对称下面分别是利用菜单操作和命令流方式进行有限元分析的方法。
1．GUI 菜单操作第一步，清除内存准备分析。
（1）清除内存。
GUI ：Utility Menu>File>Clear& Start New（2）更换工作文件名。
GUI ：Utility Menu>File>Change Jobname ，输入Electromagnetic Analysis 。
（3）定义标题。
GUI ：Utility Menu>File>Change Title ，输入Electromagnetic Analysis by ansys 。
第二步，创建有限元模型。
（1）设置预选过滤其他应用的菜单。
GUI ：Main menu>preferences ，弹出对话框，勾选Magnetic-Nodal 。
（2）定义单元类型并设置单元选项。
GUI ：Preprocessor>Element type>Add/Edit/Delete ，选择单元PLANE53；选择Type1 PLANE53，单击Options 按钮，弹出对话框，从K3下拉列表框中选择Axisymmetric 。
电动力学 第三章 静态电磁场及其边值问题的解
最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
屏蔽室接地电阻（深度 20 m） 返回 下页
高压大厅网状接地电阻（深度1米）
返回 上页
3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
静态电磁场：当场源(电荷、电流)不随时间变化时，所激
发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场，是电磁 场的一种特殊形式。 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场； 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立。 三种静态电磁场： 静电场：由静止电荷产生； 恒定电场：由导电媒质中的恒定运动电荷形成； 恒定磁场：由恒定电流产生。
P
P、Q两点 间的电位差
*关于电位差的说明*
P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的 功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。 • 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
l (r ')
S (r ') 1 dS ' C 面电荷 4 S ' | r r ' | 体电荷 dV ' C V ' 4 | r r ' | 1
V (r ')
引入电位函数的意义： 简化电场强度的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求 解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由 E 关系得到电场解——间接求解法。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
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p
l 2 0
ln rp
--------无限长线电流在空间产生的电位
引入电位函数的意义： 简化电场的求解——间接求解法
在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，
因此可以通过先求解电位函数，再由关系 E 得到电场解。
例
求电偶极子p qdl 的电位 r (教材例3.1.1)。
定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即
CQ U
电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和
无关
例： 空气中半径为a的孤立导体球
Q
4 0 a
C
Q
4 0 a
2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）
C Q
1 2
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关
例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等）
d Eldl E dl
◇ 空间A、B 两点的电位差
◇ 若选取 P(xP , yP , zP )为电位参考（即 P 0 ）， 则任意点 A(x, y, z) 的电位为
B
B A El dl
A
xP ,yP ,zP
A P
El dl
x,y,z
2、选择电位参考点的原则：
1.应使电位表达式有意义； 2.应使电位表达式最简单；
z r
q
P r, ,
dl
r r
q
解：取如图所示坐标系，场点 Pr,,
的电位等于两个点电荷电位的叠加
q 40
1 r
1 r
而 r r2 dl2 2rdl cos
1
1
r r2 dl2 2rdl cos
当 r dl
1 r
1 r
பைடு நூலகம்
1 r2
dl cos
因此
1 40
1 r2
dl
cos
1 r
◇ N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的 电荷关系为 N
i pijqj i 1,2...N （共有 N 个方程）
j 1
◇ 其中 pij 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质
有关。
◇ 由以上N 个方程可解出
N
qi ij j i 1,2...N
3.同一个问题只能有一个参考点；
4.电位参考点的电位值一般为零
3、电位函数的求解
◇ 点电荷的电位
1 RP qeR gdl q RP dR
40 R R2
40 R R
q 40
1 R
1 Rp
q 4 0 R
C
若取 RP 处的电位为零，则
q 4 0 R
点电荷在空间产生的电位
◇ 体电荷 d 、面电荷 dS 、线电荷 ldl 产生的电位分别为
3.1 静电场分析 3.2 恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题
3.1 静电场分析
◇ 静电场的源变量是电荷 qr
◇
第2章中已由库仑定律引入了电荷
qr产生的电场强度
E
1 40
qR R3
◇
任意电荷分布产生的电场强度
E
r
1 40
r '
R3
R d
'
◇ 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 2 0
◇
电位满足的边界条件
ra U r 0
C1 r
C2
C2 0 C1 aU
直接积分
由题意可知电位及电场具有球对称性 r
在球坐标系下
2
1 r2
d dr
r2
d dr
因此
aU r
E
r
er
r
er
aU r2
3.1.3 导体系统的电容
一、电容
1、孤立导体的电容
第 3 章 静态电磁场分析
◇ 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。 ◇ 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。 ◇ 建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A； 在特定条件下引入标量位 。
◇ 讨论电容的计算，电场能量的计算。 ◇ 讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 ◇ 静态场边值问题的解法---分离变量法、镜像法
3.1.2 电位函数
1、由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直 1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数
角
E
ex
x
坐 标 系
ey
y
2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
ez
z
Ex
x
E
y
y
◇ E在任意方向上的分量
El l
Ez z
◇ 由此可求得电位的微分
C
Q
1 2
ss
Ed
ss
d
0 s
0
s d
二、部分电容
若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容
1.单个导体上的电量 q C
2.两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为
q1 C12 (1 2 ) C111
3、 N个导体
导体间的电容 导体与大地间的电容
j 1
（共有 N 个方程）
◇ 当 i j 时 ， jj 称为电容系数，i j 时 ，ij 称为感应系数，且 ij ji i j
N
N
◇ 引入 Cij ij ,Cii ij ，方程 qi ij j 可写为
D0
r
0
E
r
1 4
r '
R3
Rd
'
◇ 关系式 D0 0E 称为真空的电特性方程或本构关系
3.1.1静电场的基本方程
1、基本方程
Ñ D dS q
s
Ñ E dl 0
l
D0 E 0
本构方程 D E
2、边界条件
nE1 E2 0
E1t E2t
nD1 D2
D1n D2n
1 d C
40 R
, 1 dS C
40 s R
, 1 ldl C
40 l R
◇无限长线电荷的电位
E
l 2 0r
eˆr
p
Q
l 2 0
(ln
rQ
ln rp )
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，
选取 r 1 柱面为电位参考点，即 rQ 1 ，得
的 泊 松
方
若空间电荷分布为零，则有 2 0 电位满足的拉普拉斯方程
程
在直角坐标系中 2 2 2 2 0 x2 y2 z2
电位的边界条件 l 0 • 1
• 2
vv
1 2 E • dl 0
D1n D2n s
而D E
有
1
1
n
2
2
n
s
若
s 0 有
2
2
n
1
1
n
1 2 0
例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外 空间的电位。
1 r
q dl cos
由于 40
r2
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位
1 40
p er r2
1 40
pr r3
电偶极子的电场强度
E
1 40
3
p r5
r
r
p r3
4、电位的微分方程
由 E D 0E 0
电
位
D
0
0
2
0