2013-2014海淀区高三数学期末考试文科试卷

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACACBDB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ02()2sin 22ππ4422sin cos 4422f =+=+=++. ------------------------3分 （Ⅱ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x xx x x-=++ ------------------------------------5分 cos sin x x =+π2sin()4x =+， -------------------------------------7分所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分 因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , ------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分9． 210． 1611. 712． {1,2,4}13． 50，101514． 1-;①②③16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分 因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，PAEBCD所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下： x (,1)a -∞--1a --(1,)a --+∞'()f x -0 +()f x↘极小值↗--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有[]y x =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. 证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。