11.1 定义与命题
人教版高中选修1-11.1命题及其关系课程设计
人教版高中选修1-11.1命题及其关系课程设计一、课程简介本课程是针对高中选修1-11.1命题及其关系部分的课程设计。
在本课程中，我们将介绍命题和命题的关系的概念、性质和应用。
我们将研究命题的连词、命题的真值表、命题公式、命题的等价和蕴含关系、命题的推理和证明等问题。
二、教学目标本课程的教学目标是：•了解命题和命题的关系的概念；•熟悉命题的基本性质和应用；•掌握命题的连词、命题的真值表、命题公式、命题的等价和蕴含关系、命题的推理和证明等方法。
三、课程内容本课程主要包括以下内容：3.1 命题和命题的关系•命题的概念；•命题的真值和真值表；•命题的值域和全称量词；•命题的谓词和量词。
3.2 命题的等价和蕴含关系•命题的等价概念和性质；•命题的蕴含概念和性质；•命题的充要条件、必要条件和充分条件。
3.3 命题的推理和证明•命题的推理方法；•命题的证明方法；•命题的反证法和归纳法。
四、教学方法本课程采用讲授、互动、实践和案例分析相结合的教学方法，旨在使学生积极主动地参与到学习中来，提高学生的学习兴趣和能动性。
具体方法包括：•通过教师讲解和示范，让学生了解和理解课程的核心概念和知识点；•通过学生互动和小组讨论的形式，促进学生思考和交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神；•通过实践和案例分析的方式，让学生将所学知识应用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
五、教学评估本课程的教学评估将采用多元化的方式，包括课堂测试、作业、小组报告和考试等形式。
教师将根据学生的表现和成绩，及时调整教学策略，保证教学效果。
六、教学资源本课程的教学资源主要包括教材、教辅、试卷以及相关网络资源等。
教材为人教版高中数学选修1-11.1命题及其关系部分，教辅为相关习题集和指导书，试卷为模拟试卷和真题试卷，网络资源为相关视频讲解、在线学习平台和论坛等。
七、总结与展望本课程的设计目的是帮助学生熟悉命题和命题的关系的概念、性质和应用，掌握命题的连词、命题的真值表、命题公式、命题的等价和蕴含关系、命题的推理和证明等方法，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
(青岛版)义务教育课程标准实验教科书《数学》目录
（青岛版）义务教育课程标准实验教科书《数学》目录青岛版七年级上册第一章基本的几何图形1.1 我们身边的图形世界1.2 点、线、面、体1.3 线段、射线和直线1.4 线段的度量和比较第二章有理数2.1 生活中的正数和负数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第三章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法3.2 有理数的乘法与除法3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行简单的计算第四章数据的收集与简单统计图4.1 收集数据的方式4.2 数据的整理4.3 简单的统计图4.4 统计图的相互转化第五章代数式与函数的初步认识5.1 用字母表示数5.2 代数式5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量5.5 函数的初步认识第六章整式的加减6.1 单项式与多项式6.2 同类项6.3 去括号6.4 整式的加减第七章数值估算7.1 生活中的数值估算7.2 近似数和有效数字7.3 估算的应用与调整第八章一元一次方程8.1 方程和方程的解8.2 一元一次方程8.3 等式的基本性质8.4 一元一次方程的解法8.5 一元一次方程的应用七年级下册第九章角9.1 角的表示9.2 角的比较9.3 角的度量9.4 对顶角9.5 垂直第十章平行线10.1 同位角10.2 平行线和它的画法10.3 平行线的性质10.4 平行线的判定第十一章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第十二章二元一次方程组12.1 认识二元一次方程组12.2 向一元一次方程转化12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第十三章走进概率13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件13.3 可能性的大小13.4 概率的简单计算第十四章整式的乘法14.1 同底数幂的乘法与除法14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学计数法14.4 积的乘方与幂的乘方14.5 单项式的乘法14.6 多项式乘多项式第十五章平面图形的认识15.1 三角形15.2 多边形15.3 多边形的密铺15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图八年级上册第一章轴对称与轴对称图形1.1 我们身边的轴对称图形1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第二章乘法公式与因式分解2.1 平方差公式2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解2.4 用公式法进行因式分解第三章分式3.1 分式的基本性质3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法3.6 比和比例3.7 分式方程第四章样本与估计4.1 普查与抽样调查4.2 样本的选取4.3 加权平均数4.4 中位数4.5 众数4.6 用计算器求平均数第五章实数5.1 算术平方根5.2 勾股定理5.3 根号2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形5.5 平方根5.6 立方根5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根5.9 实数第六章一元一次不等式6.1 不等关系和不等式6.2 一元一次不等式6.3 一元一次不等式组八年级下册第七章二次根式7.1 二次根式及其性质7.2 二次根式的加减法7.3 二次根式的乘除法第八章平面图形的全等与相似8.1 全等形与相似形8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似8.6 相似多边形第九章解直角三角形9.1 锐角三角比9.2 30°，45°，60°角的三角比9.3 用计算器求锐角三角比9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第十章数据离散程度的度量10.1 数据的离散程度10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准. 第十一章几何证明初步11.1 定义与命题11.2 为什么要证明11.3 什么是几何证明11.4 三角形内角和定理11.5 几何证明举例11.6 反证法九年级上册第一章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质1.2 平行四边形的判定1.3 特殊的平行四边形1.4 图形的中心对称1.5 梯形1.6 中位线定理第二章图形与变换2.1 图形的平移2.2 图形的旋转2.3 位似第三章一元二次方程3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程3.3 用公式法解一元二次方程3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第四章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系4.5 三角形的内切圆4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九年级下册第五章对函数的再探索5.1 函数与它的表示法5.2 一次函数与一元一次不等式5.3 反比例函数5.4 二次函数5.5 二次函数y=ax2图象和性质5.6 二次函数y=ax2+bx+c图象和性.5.7 确定二次函数的解析式5.8 二次函数的应用5.9 用图象法解一元二次方程第六章频率与概率6.1 频数与频率6.2 频数分布直方图6.3 用频率估计概率6.4 用树状图计算概率第七章空间图形的初步认识7.1 几种常见的几何体7.2 棱柱的侧面展开图7.3 圆柱、圆锥的侧面展开图第八章投影与视图8.1 从不同的方向看物体8.2 盲区8.3 影子和投影8.4 正投影8.5 物体的三视图11。
11.1定义与命题
1.判断下列句子是不是命题，并说明理由. (1)动物都需要水; (2)猴子是动物的一种; (3)玫瑰花是动物; (4)美丽的天空; (5)三个角对应相等的两个三角形一定全等; (6)负数都小于零;
(7)你的作业做完了吗? (8)所有的质数都是奇数; (9)过直线外l外一点作直线l的平行线; (10)如果a>b,a>c,那么b=c.
（2）同角的补角相等
（3）正方形都相似
条件成立时，结论是否一定成立。
条件成立时，结论一定成立——真命题
条件成立时，不能保证结论总能成立——假命题
能够发现“具备命题的条件，却 不具有命题的结论”的例子，则该命 题为假命题，这种例子称为反例。
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一 个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是 锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。
1、对顶角相等 2、全等三角形的对应边相等
3、同位角相等，两直线平行
解：1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 2、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
3、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么这两条直线平行
说出下列命题的条件和结论： （1）如果两条直线都平行于第三条直 线，那么这两条直线也互相平行。
2000多年前，古希腊哲学家柏拉图曾经给“人”下过一个定 义：没有羽毛的两脚直立动物
这难道也是
人么？？？
人们对于各个名词、术语的含义，都给予了尽
量详细的描述，做出了明确的规定，也就是给出了
它们的
定义
在数学中除了某些最原始的概念（点、线、面 等）以外，每个数学名词都有明确的定义。
什么叫做角？什么叫做平行线？什么叫做直角三角形？
苏教版初中数学课本目录
苏教版初中数学课本目录上册：第一章数学与我们同行1.1生活数学1.2活动思考第二章有理数2.1正数与负数2.2有理数与无理数2.3数轴2.4绝对值与相反数2.5有理数的加法与减法2.6有理数的乘法与除法2.7有理数的乘方2.8有理数的混合运算第三章代数式3.1字母表示数3.2代数式3.3代数式的值3.4合并同类项3.5去括号3.6整式的加减第四章一元一次方程4.1从问题到方程4.2解一元一次方程4.3用一元一次方程解决问题第五章走进图形世界5.1厚实的图形天下5.2图形的运动5.3展开与折叠5.4主视图、左视图、俯视图第六章平面图形的认识（一）6.1线段、射线、直线6.2角6.3余角、补角、对顶角6.4平行6.5垂直下册：第七章平面图形的熟悉（二）7.1探索直线平行的条件7.2探索平行线的性质7.3图形的平移7.4熟悉三角形7.5多边形的内角和与外角和第八章幂的运算8.1同底数幂的乘法8.2幂的乘方与积的乘方8.3同底数幂的除法第九章整式乘法与因式分解9.1单项式乘单项式9.2单项式乘多项式9.3多项式乘多项式9.4乘法公式9.5多项式的因式分化第十章二元一次方程组10.1二元一次方程10.2二元一次方程组10.3解二元一次方程组10.4三元一次方程组10.5用二元一次方程组解决题目第十一章一元一次不等式11.1生活中的不等式11.2不等式的解集11.3不等式的性子11.4解一元一次不等式11.5用一元一次不等式解决问题11.6一元一次不等式组第十二章证实12.1定义与命题12.2证明12.3互逆命题八年级上册：第一章全等三角形1.1全等图形1.2全等三角形1.3探索三角形全等的条件第二章轴对称图形2.1轴对称与轴对称图形2.2轴对称的性质2.3设想轴对称图形2.4线段、角的轴对称性2.5等腰三角形的轴对称性第三章勾股定理3.1勾股定理3.2勾股定理的逆定理3.3勾股定理的简单应用第四章实数4.1平方根4.2立方根4.3实数4.4近似数第五章平面直角坐标系5.1物体位置的确定5.2平面直角坐标系第六章一次函数6.1函数6.2一次函数6.3一次函数的图像6.4用一次函数解决题目6.5一次函数与二元一次方程6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式下册：第七章数据的收集、整理、描述7.1普查与抽样调查7.2统计图的选用7.3频数和频率7.4频数漫衍表和频数漫衍直方图第八章熟悉几率8.1确定变乱与随机变乱8.2大概性的大小8.3频次与几率第九章中心对称图形——平行四边形9.1图形的扭转9.2中央对称与中央对称图形9.3平行四边形9.4矩形、菱形、正方形9.5三角形的中位线第十章分式10.1分式10.2分式的基本性质10.3分式的加减10.4分式的乘除10.5分式方程第十一章反比例函数11.1反比例函数11.2反比例函数的图像与性质11.3用反比例函数解决题目第十二章二次根式12.1二次根式12.2二次根式的乘除12.3二次根式的加减九年级上册：第一章一元二次方程1.1一元二次方程1.2一元二次方程的解法1.3一元二次方程的根与系数的关系1.4用一元二次方程解决题目第二章对称图形——圆2.1圆2.2圆的对称性2.3确定圆的条件2.4圆周角2.5直线与圆的位置关系2.6正多边形与圆2.7弧长及扇形的面积2.8圆锥的侧面积第三章数据的会合趋向和离散水平3.1平均数3.2中位数与众数3.3用计算器求平均数3.4方差3.5用计算器求方差第四章等可能条件下的概率4.1等可能性4.2等可能条件下的概率（一）4.3等可能条件下的概率（二）第五章二次函数5.1二次函数5.2二次函数的图象和性子5.3用待定系数法确定二次函数表达式5.4二次函数与一元二次方程5.5用二次函数解决问题第六章图形的相似6.1图上间隔与实践间隔6.2黄金支解6.3类似图形6.4探究三角形类似的前提6.5类似三角形的性子6.6图形的位似6.7用相似三角形解决问题第七章锐角三角函数7.1正切7.2正弦、余弦7.3特殊角的三角函数7.4由三角函数值求锐角7.5解直角三角形7.6用锐角三角函数解决题目第八章统计和几率的简朴使用8.1中学生的目力情形查询拜访8.2货比三家8.3统计分析帮你做预测8.4抽签方法合理吗8.5概率帮你做估计8.5概率帮你做估计。
人教新课标版A选修1-11.1命题及其关系
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。
（假） （真） （真）
（假）
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四 种情况:
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
（对）
（对） （错） （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
祝同学们学习愉快！
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
（真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
（真）
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为 逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。
３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论 分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这 两个命题叫做互为逆否命题。
4.四种命题
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p
四种命题之间的关系
原命题
互逆
若p则q
互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆命题
（真） （真） （假）
青岛版八下11.1《定义与命题》课件
本节课将介绍《定义与命题》的主要内容。了解定义和命题的概念，以及它 们的分类和特点。
概述
本节课的主要内容是定义与命题。我们将深入探讨这些概念，并了解它们在 逻辑学中的重要性。
定义
定义是什么呢？简单来说，定义是对事物或概念进行准确而清晰的解释。
定义的定义
等值联结词
用于表示“当且仅当” 的关系，比如“当...时， 就...”。
命题符号
命题符号是用于表示命题的符号。
命题符号的定义
命题符号是用来代表命题的符 号或字符。
命题符号的表示方法
命题符号通常采用拉丁字母、 希腊字母或其他符号来表示。
命题符号的优先级
命题符号有特定的优先级规则， 以确保正确的解读。
3 命题的分类
命题分为简单命题，复合 命题和开放命题。
ห้องสมุดไป่ตู้
命题联结词
命题联结词是用于组合和连接命题的词语。
合取联结词
用于表示“且”的关系， 比如“而且”、“并且”。
析取联结词
用于表示“或”的关系， 比如“或者”、“还是”。
蕴含联结词
用于表示“如果...则...” 的关系，比如“只要... 就...”。
小结
回顾本节课的重点内容
在本节课中，我们学习了定义与 命题的核心概念和分类。
总结本节课的核心知识点
掌握了定义和命题的定义以及它 们的特点和分类。
学习建议和学习要求
练习使用命题联结词和命题符号， 加深对概念的理解和应用。
定义是对一个词语、名词或概念的解释。
定义的作用
定义帮助我们理解和交流，确保对事物有相同的理解。
定义的分类
有不同类型的定义，如实义定义、法定义和平衡定义。
定义与命题知识点总结
定义与命题知识点总结一、定义定义是指为了明确定义某个概念或事物而进行的陈述。
在数理逻辑中，定义是指明确了某种概念，或使某种概念的内涵与外延得以确定的陈述，其中内涵给出了概念的本质属性，而外延则描述了这些属性的外在表现。
定义的形式可以分为以下几种：1. 指明方式：即通过列举此概念所属的具体事物来说明此概念。
2. 转换方式：即通过把此概念与其他概念或更一般的概念相比来界定。
3. 操作方式：即通过规则方式来确定此概念，如定义加法、乘法等。
4. 过程方式：即通过列出生成此概念的生成规则来定义此概念，如定义自然数的方式。
二、命题命题是陈述或陈述句的全体。
在逻辑术语中，命题是陈述语言中真假可判断的完整句子。
命题是一个陈述或陈述句的全体。
其实就是一个明确的陈述，可以是真的或者是假的。
例如："圆周率是一个无理数"这是一个命题。
因为它是一个明确的陈述，值要么是真，要么是假。
命题通常用P、Q、R等字母来表示。
在命题中，真实情况下，命题是真的，通常用P；假如命题是假的，通常用Q。
命题的分类：1.原命题2.复合命题3.合取命题或联结命题4.析取命题或联结命题5.条件命题或联结命题6.双条件命题到联结命题7.否定命题细分：1.原命题它是可以判断真假的命题。
例如：等角三角形的对边也相等。
2.复合命题从原命题通过逻辑联结或者通过否定联结、连词联结而构成的、仍能形成真假的命题。
例如 A:8 能被2 整除B:4 能被2 整除那么由A&B构成的命题是8能被2整除，并且4能被2整除。
3.合取命题或联结命题即同时包含两个或者多个声明的命题例如：今天下雨且我不想出门== (1)4.析取命题或联结命题即包含多个命题中的最少一个的命题。
例如 : 此数是3的倍数或者是5的倍数== (2)5.条件命题或联结命题即条件联结的意思。
例如: 如地面湿润，则一定下雨 == (3)6.否定使命题通常用来否定一个关于实体的东西的存在性。
人教版高中选修1-11.1命题及其关系课程设计 (2)
人教版高中选修1-11.1命题及其关系课程设计一、课程简介本课程为人教版高中选修1中的第11章第1节课，旨在帮助学生全面了解命题及其关系的相关知识，培养学生的命题分析和逻辑思维能力。
二、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟练掌握命题的定义、分类和性质；2.能够用简便方法化简和判断复合命题的真值；3.熟悉命题的运算规则和逻辑联结词的优先级；4.理解蕴涵、充分必要条件、等价命题等概念，5.能够运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容1. 命题的定义与性质1.命题的定义；2.命题的基本性质；3.真值表。
2. 命题的联接词1.与、或、非等联结词的定义；2.联结词的真值表；3.含有多个联结词的命题。
3. 命题的等价式1.等价式的定义；2.常见的等价式；3.利用等价式化简复合命题。
4. 命题的短路原则1.短路原则的定义和相关概念；2.利用短路原则判断复合命题的真值。
5. 命题的推理1.命题的推理和证明；2.蕴涵、充分必要条件、等价命题的定义；3.利用蕴涵、充分必要条件和等价命题解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授，进行命题的定义、联接词、等价式、命题的短路原则、命题的推理等方面的教学。
2.练习法：通过课后练习巩固学生所学内容，提高学生的应用能力。
3.实践法：探究命题推理的实际应用，如数理逻辑、电路设计等。
五、考核方法1.课堂测试：每个知识点结束后进行口头或书面测试，查看学生对此知识点的掌握程度。
2.作业评定：布置相应的课后作业，查看学生的练习情况。
3.期中期末考试：通过期中期末考试，对学生的知识掌握情况进行全面的检验。
以上教学内容和考核方法只是参考，具体的教学计划和进度可结合实际情况进行调整。
希望此课程能够帮助和鼓励学生喜欢数学、理性思考和学习。
定义与命题
定义与命题定义在学习任何一门学科的时候，往往都会遇到很多专业术语和概念。
这些术语和概念都需要严格的定义，以便在学习和研究过程中使用。
同样，数学和逻辑学也有自己的定义，而这些定义是这两门学科中最基础的概念。
数学中的定义在数学中，定义是指对一个概念进行的描述和限定。
在数学中，一个定义通常包括两个部分：名称和描述。
名称是指要定义的概念的名称，而描述则是用来描述这个概念的特征和属性的。
例如，整数的定义是：整数是可以表示为分数的数字。
这个定义中，整数就是名称，而可以表示为分数的数字则是描述。
数学中的定义通常需要满足明确性、无歧义性和简明性。
明确性是指定义必须能够清晰地描述出概念的特征和属性。
无歧义性是指定义不能有歧义，即只有一种理解方式。
简明性则是指定义应该简单明了，不需要过多的描述和解释。
逻辑学中的定义逻辑学中的定义和数学中的定义类似，也是对概念的描述和限定。
但是，逻辑学中的定义通常更加抽象和一般化。
逻辑学中的定义通常包括两部分：定义范畴和定义式。
定义范畴是指要定义的概念所在的范畴，而定义式则是用来描述这个概念的特征和属性的。
逻辑学中的定义也需要满足明确性、无歧义性和简明性。
但是，逻辑学中的定义还需要满足普遍性和必要性的要求。
普遍性是指定义应该具有普遍适用性，即在所有情况下都适用。
必要性则是指定义应该是必要的，即没有这个定义就无法讨论这个概念。
命题在数学和逻辑学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
命题可以是真的，也可以是假的，但是不能既是真的又是假的。
也就是说，命题只有两种可能的真值：真或假。
命题和非命题命题可以通过以下方式进行分类：•陈述句：能够判断真假的陈述句是命题；不能判断真假的陈述句是非命题。
•真命题：在给定的条件下能够判断为真的命题是真命题。
•假命题：在给定的条件下能够判断为假的命题是假命题。
•开放命题：包含未知元素或未知条件的命题是开放命题。
开放命题不能判断真假。
•互为矛盾命题：命题和它的否定命题互为矛盾命题。
1-2定义与命题 复习讲义 2021-2022学年浙教版数学八年级上册
1.2 定义与命题知识点梳理1、命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．题型梳理题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．04．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝29．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．1212．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．3．命题“对顶角相等”的逆命题是．4．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+25．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．427．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是度．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．题型五“拐点模型”与三角形的外角性质1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．答案和解析题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC，当②∠C ＝∠D ，故∠4＝∠C ，则DF ∥AC ，可得：∠A ＝∠F ，即①②}⇒③；当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB ∥EC ，则∠D ＝∠4，当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，故可得：∠C ＝∠D ，即①③}⇒②；当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，则∠4＝∠D ，故DB ∥EC ，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，即②③}⇒①， 故正确的有3个．故选：D ．3．下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C．4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；B、对顶角相等，本选项说法是真命题；C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；故选：A．7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法判断即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；故选：A．8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；故选：C．9．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；B、根据邻补角的定义，故此选项正确；C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．故选：B．10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．12．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：B．13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：√7，32+(√7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．故选：A．题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．3．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．4．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得P A＝PE，PD＝PE，那么PE＝P A＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，P A平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，{AP =AP PM =PD， ∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN =12∠ACF ＝∠BPC +12∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．6．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24B．30C．36D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，故选：D．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC=12×4×2+12AC•2＝7，解得AC＝3．故答案为：3．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是15．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD 平分∠ABC ，∴AD ＝DE ＝3，∴△BDC 的面积是12×DE ×BC =12×10×3＝15， 故答案为：15．10．已知如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，则∠EAB 是 35 度．【分析】过点E 作EF ⊥AD ，证明△ABE ≌△AFE ，再求得∠CDE ＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA 和∠DAB 的度数，即可求得∠EAB 的度数．【解答】解：过点E 作EF ⊥AD ，∵DE 平分∠ADC ，且E 是BC 的中点，∴CE ＝EB ＝EF ，又∵∠B ＝90°，且AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE ，∴∠EAB ＝∠EAF ．又∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案为：35．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为 2.4cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DF+12BC•DE，=12×12•DE+12×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，故选：B．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长DC交AB于E，。
新旧版青岛版初中数学教材(总目录)对照
新旧版青岛版初中数学教材（总目录）对照旧版青岛版初中数学教材七年级上册第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界1.2几何图形1.3线段、射线和直线1.4线段的比较与作法第2章有理数2.1有理数2.2数轴2.3相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法3.2有理数的乘法与除法3.3有理数的乘方3.4有理数的混合运算3.5利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1普查和抽样调查4.2简单随机抽样4.3数据的整理4.4扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1用字母表示数5.2代数式5.3代数式的值5.4生活中的常量与变量5.5函数的初步认识第6章整式的加减6.1单项式与多项式6.2同类项6.3去括号6.4整式的加减第7章数值的估算7.1生活中的数值估算7.2近似数和有效数字7.3估算的应用与调整第8章一元一次方程7.1等式的基本性质7.2一元一次方程7.3一元一次方程的解法7.4一元一次方程的应用2022新版青岛版初中数学教材七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1我们身边的图形世界1课时1.2几何图形2课时1.3线段、射线和直线2课时1.4线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1有理数1课时2.2数轴2课时2.3相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1有理数的加法与减法4课时3.2有理数的乘法与除法3课时3.3有理数的乘方2课时3.4有理数的混合运算1课时3.5用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1普查与抽样调查1课时4.2简单随机抽样1课时4.3数据的整理1课时4.4扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1用字母表示数1课时5.2代数式2课时5.3代数式的值1课时5.4生活中的常量与变量2课时5.5函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1单项式与多项式1课时6.2同类项2课时6.3去括号1课时6.4整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1等式的基本性质1课时7.2一元一次方程1课时7.3一元一次方程的解法2课时7.4一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七年级下册第9章角9.1角的表示9.2角的比较9.3角的度量9.4对顶角9.5垂直第10章平行线10.1同位角10.2平行线和它的画法10.3平行线的性质10.4平行线的判定第11章图形与坐标11.1怎样确定平面内点的位置11.2平面直角坐标系11.3直角坐标系中的图形11.4函数与图象11.5一次函数和它的图象第12章二元一次方程组12.1认识二元一次方程组12.2向一元一次方程转化12.3图象的妙用12.4列方程组解应用题第13章走进概率13.1天有不测风云13.2确定事件与不确定事件13.3可能性的大小13.4概率的简单计算课题学习掷币中的思考第14章整式的乘法14.1同底数幂的乘法与除法14.2指数可以是零和负整数吗14.3科学记数法14.4积的乘方与幂的乘方14.5单项式的乘法14.6多项式乘多项式第15章平面图形的认识15.1三角形15.2多边形15.3多边形的密铺15.4圆的初步认识15.5用直尺和圆规作图七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1角的表示1课时8.2角的比较1课时8.3角的度量2课时8.4对顶角1课时8.5垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1同位角、内错角、同旁内角1课时9.2平行线和它的画法1课时9.3平行线的性质1课时9.4平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时）10.1认识二元一次方程组1课时10.2二元一次方程组的解法2课时某10.3三元一次方程组2课时10.4列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1同底数幂的乘法1课时11.2积的乘方与幂的乘方2课时11.3单项式的乘法2课时11.4多项式的乘法2课时11.5同底数幂的除法1课时11.6零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1平方差公式1课时12.2完全平方公式2课时12.3用提公因式法进行因式分解1课时12.4用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1三角形4课时13.2多边形2课时13.3圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1用有序数对表示位置1课时14.2平面直角坐标系1课时14.3直角坐标系中的简单图形2课时14.4用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时回顾与总结1课时八年级上册第1章轴对称与轴对称图形1.1我们身边的轴对称图形1.2线段的垂直平分线1.3角的平分线1.4等腰三角形1.5成轴对称的图形的性质1.6镜面对称1.7简单的图案设计第2章乘法公式与因式分解2.1平方差公式2.2完全平方公式2.3用提公因式法进行因式分解2.4用公式法进行因式分解第3章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法与除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7分式方程第4章样本与估计4.1普查与抽样调查4.2样本的选取4.3加权平均数4.4中位数4.5众数4.6用计算器求平均数课题学习学生课外生活情况的调查第5章实数5.1算术平方根5.2勾股定理5.32是有理数吗5.4由边长判定直角三角形5.5平方根5.6立方根5.7方根的估算5.8用计算器求平方根和立方根5.9实数第6章一元一次不等式6.1不等关系和不等式6.2一元一次不等式6.3一元一次不等式组八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1全等三角形1课时1.2怎样判定三角形全等4课时1.3尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1图形的轴对称1课时2.2轴对称的基本性质2课时2.3轴对称图形1课时2.4线段的垂直平分线2课时2.5角的平分线1课时2.6等腰三角形3课时回顾与总结2课时第3章分式（15课时）3.1分式和它的基本性质2课时3.2分式的约分1课时3.3分式的乘法和除法1课时3.4分式的通分1课时3.5分式的加法与减法2课时3.6比和比例3课时3.7分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时）4.1加权平均数2课时4.2中位数1课时4.3众数1课时4.4数据的离散程度1课时4.5方差2课时4.6用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时综合与实践统计开放日模拟现场会（暂定）2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1定义与命题1课时5.2为什么要证明1课时5.3什么是几何证明1课时5.4平行线的性质定理和判定定理1课时5.5三角形内角和定理2课时5.6几何证明举例4课时回顾与总结2课时八年级下册第7章二次根式7.1二次根式及其性质7.2二次根式的加减法7.3二次根式的乘除法第8章平面图形的全等与相似8.1全等形与相似形8.2全等三角形8.3怎样判定三角形全等8.4相似三角形8.5怎样判定三角形相似8.6相似多边形课题学习有趣的分形图第9章解直角三角形9.1锐角三角比9.230，45，60角的三角比9.3用计算器求锐角三角比9.4解直角三角形9.5解直角三角形的应用第10章数据离散程度的度量10.1数据的离散程度10.2极差10.3方差与标准差10.4用科学计算器计算方差和标准差第11章几何证明初步11.1定义与命题11.2为什么要证明11.3什么是几何证明11.4三角形内角和定理11.5几何证明举例11.6反证法八（下）(61课时)第6章平行四边形（11课时）10.1平行四边形及其性质2课时10.2平行四边形的判定2课时10.3特殊的平行四边形4课时10.4三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第7章实数（15课时）6.1算术平方根1课时6.2勾股定理1课时6.32是有理数吗2课时6.4由边长判定直角三角形2课时6.5平方根1课时6.6立方根1课时6.7用计算器求平方根与立方根2课时6.8实数3课时回顾与总结2课时第8章一元一次不等式（8课时）7.1不等式的基本性质2课时7.2一元一次不等式2课时7.3列一元一次不等式解应用题1课时7.4一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第9章二次根式（7课时）8.1二次根式和它的性质3课时8.2二次根式的加减法1课时8.3二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第10章一次函数（9课时）9.1函数的图象2课时9.2一次函数和它的图象2课时9.3一次函数的性质1课时9.4一次函数与二元一次方程1课时9.5一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1图形的平移3课时11.2图形的旋转3课时11.3图形的中心对称2课时回顾与总结1课时综合与实践哪条路径最短九年级上册第1章特殊四边形1.1平行四边形及其性质1.2平行四边形的判定1.3特殊的平行四边形1.4图形的中心对称1.5梯形1.6中位线定理第2章图形变换2.1图形的平移2.2图形的旋转2.3图形的位似第3章一元二次方程3.1一元二次方程3.2用配方法解一元二次方程3.3用公式法解一元二次方程3.4用因式分解法解一元二次方程3.5一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1圆的对称性4.2确定圆的条件4.3圆周角4.4直线与圆的位置关系4.5三角形的内切圆4.6圆与圆的位置关系4.7弧长及扇形面积的计算九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1相似多边形1课时1.2相似三角形的判定5课时1.3相似三角形的性质1课时1.4图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1锐角三角比1课时2.230°，45°，60°角的三角比1课时2.3用计算器求锐角三角比2课时2.4解直角三角形2课时2.5解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1圆的对称性3课时3.2确定圆的条件2课时3.3圆周角3课时3.4直线与圆的位置关系4课时3.5三角形的内切圆1课时3.6弧长与扇形面积计算1课时3.7正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时）4.1一元二次方程2课时4.2用因式分解法解一元二次方程1课时4.3用配方法解一元二次方程2课时4.4用公式法解一元二次方程3课时某4.5一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时）5.1随机事件1课时5.2概率的意义1课时5.3概率的简单计算2课时5.4用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时九年级下册第5章对函数的再探索5.1函数与它的表示法5.2一次函数与一元一次不等式5.3反比例函数5.4二次函数5.5二次函数ya某2的图象和性质5.6二次函数ya某2b某c的图象和性质5.7确定二次函数的解析式5.8二次函数的应用5.9用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1频数与频率6.2频数分布直方图6.3用频率估计概率6.4用树状图计算概率课题学习质数的分布第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体7.2棱柱的侧面展开图7.3圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1从不同的方向看物体8.2盲区8.3影子和投影8.4正投影8.5物体的三视图九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1函数与它的表示法3课时6.2反比例函数3课时6.3二次函数1课时6.4二次函数y=a某2的图象和性质1课时6.5二次函数y=a某2+b某+c的图象和性质3课时某6.6确定二次函数的解析式1课时6.7二次函数与一元二次方程1课时6.8二次函数的应用2课时回顾与总结2课时第7章频率与概率（7课时）7.1频数与频率1课时7.2频数直方图2课时7.3用频率估计概率2课时7.4随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时第8章几种简单的几何体（8课时）8.1几种常见的几何体1课时8.2直棱柱的侧面展开图2课时8.3圆柱的侧面展开图2课时8.4圆锥的侧面展开图2课时回顾与总结1课时第9章投影与视图（7课时）9.1中心投影1课时9.2平行投影3课时9.3物体的三视图2课时回顾与总结1课时青岛版数学教材在课程内容上的调整本次修订时需要增加或加强的内容共23条，分别落实在各册的有关章节：“数与代数”部分：（1）“知道|a|的含义”，在原实验教科书七（上）第2.3节已经体现,修订稿仍在七（上）第2.3节中出现。
人教版选修1-11.1.3四种命题间的相互关系课件(1)
(B )
因此否命题应为“若函数 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是 奇函数”．
2．命题“如果 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 A．如果 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－1 B．如果－1<x<1，则 x2<1 C．如果 x>1 或 x<－1，则 x2>1 D．如果 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
命题．
②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．
③否命题为“若 x>3，则 x2－x－6≤0”．假命题．
④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．
探究点三 等价命题的应用 问题 我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以
通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为 真命题．你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回 事？ 答案 反证法与逆否证法都是证明命题的方法．它们在以下 几个方面是相同的： (1)依据相同，都是利用原命题与逆否命题的等价性； (2)起步相同，都是从非 q(即否定结论)出发； (3)思想相同，都是正难则反的数学思想．
探究点二 四种命题的关系 问题 1 通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的
逆命题、否命题的真假性是怎样的？
答案 原命题为真，它的逆命题，否命题不一定为真．两个 命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
问题 2 原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？ 答案 原命题为真，它的逆否命题一定为真，两个命题互为 逆否命题，它们的真假性相同．
问题 3 四种命题中，真命题的个数可能为多少？ 答案 四种命题中，真命题的个数可能为 0,2,4.
结论：原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假 性相同．
例 2 下列命题：①“若 xy＝1，则 x、y 互为倒数”的逆命 题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯 形不是平行四边形”的逆否命题；④“若 ac2>bc2，则 a>b”的逆命题． 其中的真命题是__________．
湘教版解读-121定义与命题
第12章证明漫画（暂略）**定义与命题1 课程标准层次要求认识：①定义与命题的含义例1、例4②真、假命题的含义例3理解：③命题的结构例2④真、假命题的区别例3掌握：⑤区分命题的条件和结论（重点）例2 、例5⑥命题的真假判断（重点）例5、例62教材知识全面解读知识点1 定义与命题的概念基础题型一命题的辨析【例1】下列句子中那些是命题？①大象是动物的一种；②电脑是高科技的产物；③“请进！”④你今天上学了吗？⑤若a=b，b=c，则c=a；⑥奇数都是质数；⑦数学里的数字都是正的．分析：命题是判断一件事情的语句。
看一个句子是不是命题，主要看这个句子是否对一件事情作出了判断．解：象①，②，⑤，⑥，⑦都对一件事情作出了判断，所以是命题，而③，④没有作出判断，所以不是命题．方法点拨：命题是结论性语言，而不是叙述性语言，判断命题关键看是否作出判断．变式练习：1．判断下列语句是否是命题①画线段AB=2厘米；②对顶角相等吗？②③ ＜3解：①②都不是命题，③是命题．知识点2 命题的结构内容举例命题的结构数学命题一般都由条件和结论两部分组成．如命题“同位角相等,两直线平行”的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．意义举例定义与命题的概念定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义；判断一件事情的句子叫做命题．“数轴上表示一个数的点到原点的距离”是一个数的绝对值的定义；“不相等的两角一定不是对顶角”是命题．牢记解读：①定义是交流的基础，定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义；②如果一个句子没有对某一件事情作出判断，那么它就不是命题．如命令式的语句、疑问句等；③定义也是命题，而且是正确的命题．巧记乐背下定义，要牢记，含义要确定，语句变命题，关键看判断．牢记解读：①命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知部分，结论是由已知部分推出的．②所有命题都可以写成“如果…，那么…”形式，如果后面的语句就是条件，那么后面的语句就是结论．③有些命题在找条件和结论时，最好先改写成“如果…，那么…”形式． 巧记乐背条件和结论，命题的组成，如果后面是条件，那么后面是结论．基础题型二 分析命题的结构知识点3 真命题、假命题内容 举例真命题、假命题条件成立，结论成立的命题叫真命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，即结论不成立的命题叫假命题． 命题“内错角相等，两直线平行”是真命题；命题“相等的角是对顶角”是假命题． 牢记解读：辨别一个命题真假的方法：①实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．②数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．③要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．巧记乐背真命题、假命题都是命题，条件成立，结论成立，真命题；条件成立，结论不成立，假命题．基础题型三 真假命题的辨析 【例3】判断下列命题的真假： ①若∠1=︒60，∠2=︒60，则∠1=∠2；②如果│a │=│b │,那么a ＝b ；③如果AC ＝BC ，那么点C 是AB 的中点． 分析：①显然是真命题；②结论不一定成立，当a =2、b =-2时结论不成立；③结论不一定成立，当点A 、变式练习：3．下列命题中，是假命题的是 （ ） A ．任何一个角都比它的补角小． B ．垂线段最短 C ．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D ．两点确定一条直线【例2】写出下列命题的条件和结论 ①两直线平行，同旁内角互补； ②如果∠DOE =2∠EOF ，那么OF 是∠DOE 平分线； ③绝对值等于3的数是3； ④等角的余角相等． 分析：③先改写成如果一个数的绝对值等于3，那么这个数等于3，在找条件和结论；④先改写成如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，再找条件和结论． 解：①条件是两直线平行，结论是同旁内角互补；②条件是∠DOE =2∠EOF ，结论是OF 是∠DOE 平分线；③条件是一个数的绝对值等于3，结论是这个数等于3；④条件是两个角是等角的余角，结论是这两个角相等．方法点拨： 单句形式的命题一般先分析句子的成分，改写成 “如果…，那么…”再找条件和结论． 变式练习： 2． 把下列命题改写如果…，那么…”的形式，指出条件和结论． ①直角都相等；②对顶角相等； 解：①如果几个角是直角，那么这几个角相等， 条件是几个角是直角，结论是这几个角相等； ③ 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ④ 条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．B 、C 不在一直线上时结论不成立．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题．点评：判断假命题的关键是要找到反例．答案：A解： 因为自然数包括0，所以③错误，非负有理数包括正有理数和零，所以④错误，故选B ． 3 典型例题分类解读 类型一 命题的辨别【例4】下列语句中，是命题的是 （ ）A ．有公共顶点的两个角是对顶角B ．在直线AB 上任取一点C C ．用量角器量角的度数D ．直角都相等吗？分析： 根据命题的判断方法就行判断． 答案：A.方法点拨：关键是要掌握命题的判别方法，看语句是否做出判断． 要点总结：疑问句、操作式的语句不是命题． 变式练习4．练习：下列语句中，不是命题的是 （ ） A ．如果a b <，那么a c b c +<+B ．内错角相等C ．垂线段最短D ．过点P ，作PD ⊥AB 于C 答案：D ．类型二：命题结构辨析与真假判断【例5】先把“个位是6的整数一定能被6整除”改写成“如果……，那么……”的形式，再写出它们的题设和结论，并判断其真假：分析：先将命题改写为“如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除”，再找条件与结论，判断其真假．答案：如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除。
命题的一个新定义与命题的同一性问题
命题的一个新定义与命题的同一性问题周文华【摘要】命题曾被定义为某些句子，但句子没有固定的真值。
命题曾被定义为句子的意义，但“意义”这个概念并不比“命题”更清晰。
还原论把命题定义为一种由可能世界、可能的个体等组成的集合论性的构造物，但这种理论意味着全部的逻辑真理表达的是同一个命题。
命题曾被定义为是一些态度（如相信）的对象和真值的承担者；就是说，命题是由它与其他对象（如人，真值）的关系来定义的；这种定义使人们有理由怀疑命题是否真正存在，抑或是态度主体（人）的一种幻觉？命题的内容可以千变万化，但命题的内容却有共同的形式，不仅命题逻辑、一阶逻辑所表达的命题，而且二阶逻辑等高阶逻辑、非经典逻辑的命题，都能纳入这种形式。
根据这一点我们提出了一个新的对命题的定义。
这样定义的“命题”概念更加清晰，能让我们解决命题的同一性问题。
%Proposition has once been defined as a kind of sentence,but a sentence has no fixed truth value.Proposition has once been defined as the meaning of a sentence,but theconcept“meaning”is not clearer than the concept“proposition”.Re-ductionism reduces propositions to set-theoretical constructs ultimately built up from the possible world or possible particulars, but it implies that all logical truths are different expressions of the sameproposition.Proposition has once been defined as the object of some attitudes (e.g.believing)and the bearer of truth and falsity;i.e.,it is definedby its relation with other things (human beings,truth value).This leaves room for doubting whether there are really propositions or they are only halluci-nations of the subject (people)of the attitude.The contents ofdifferent propositions can be much different,but yet they share a general form.Not only the propositions of propositional logic and first-order logic,but also the propositions of second-order logic,higher order logics and non-classical logics can be categorized into this form.With these we can give a new definition of proposition.“Proposition”so defined is a clearer concept.It enables us to solve the identity problem of propositions.【期刊名称】《云南大学学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】7页(P49-55)【关键词】命题;命题的定义;命题的同一性;命题的形式;命题的符号化【作者】周文华【作者单位】云南大学，昆明 650091【正文语种】中文【中图分类】B812.22“命题”(proposition)是逻辑学的核心概念之一，通常逻辑学教科书有一章专门讨论“命题逻辑”。
初中数学《定义与命题》优质ppt北师大版1
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①定理都是真命题，但真命题不一定都是定理； ②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.证明的一般步骤：
①根据题意，画出图形； ②根据条件和结论，结合图形写出已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出
证明过程.
4.假命题的判断： 判断一个命题是假命题，只要举出反例来说 明即可.
课堂小结
定义、公理 定理 运算和运算法则 反映大小关系的有关性质
有关定义、公理
条件1
定理1
有关定义、公理
条件2
定理2 …
定理3 …
试一试
你能书写证明下面这个定理的规范步骤吗？
证明:同角的补角相等. 已知:∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°. 求证:∠2=∠3. 证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°(已知)， ∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1(等式的性质)， ∴∠2=∠3(等量代换).
巩固训练
证明等角的补角相等. 已知:∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°. 求证：∠3=∠4. 证明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°(已知)， ∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2(等式的性质). 又∠1=∠2(已知)， ∴∠3=∠4(等量代换).
证明一个命题的一般步骤.
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
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9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
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5.1 《定义与命题》导学案
学习目标：1．通过具体例子，了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。
2．会辨别真命题和假命题。
3．通过具体例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
一．自主预习课本P114—116的内容，独立完成课后练习1、2、3后，与小组同学交流（课前完成）。
二．，通过预习定义与命题的概念请思考下列问题：
1．定义与命题的区别与联系。
2．对于一些条件和结论不分明的命题，怎样用最快的办法找出它的条件和结论。
3．在判断一个命题是假命题时，如何正确的列举一个反例。
三．巩固练习
1．表示的语句叫做命题。
这是命题的（定义）。
2．命题由和两部分组成。
3．命题分为和，要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个反例，使它具备命题的，而不具备命题的就可以了。
4．下列语句是命题的是（）
A．过点A作直线MN的垂线。
B．正数都大于负数吗？
C . 你必须完成作业。
D．两点之间，线段最短。
5．命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件是，结论是
6．把命题“在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成一般形式。
7．下列命题是真命题的是（）
A．任何数的平方都是正数。
B 相等的角是对顶角。
C．内错角相等。
D 直角都相等。
四．学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）
五．达标检测
1．下列命题中，假命题是（）
（A）两点确定一条直线。
（B）钝角的补角是锐角。
（C）两直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（D）直线外的一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。
2．将下面的语句改成“如果……，那么……，”的形式，并指出是真命题，还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。
（1）等角的补角相等。
（2）线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。
（3）能被5整除的数的个位数字是0。
（4）互为相反数的两个数的商等于1。
3．命题“直角三角形中两个锐角互余”的题设部分是
结论部分是
4．命题“面积相等的三角形是全等三角形”的题设部分是，结论部分是，这
个命题是命题。
六．布置作业；
1、课后练习
2、课外探究：某校为庆祝“三八”妇女节，组织全校老师进行了一次
羽毛球比赛，评委甲、乙、丙对有实力的A、B、C、D四位老师的
排名情况作出预测：
甲：A第一，B第三。
乙：C第一，D第四。
丙：D第二，A第三。
比赛结束后，三个评委都没有猜中，但都猜中了一半，那么到底A、B、
C、D四位老师的排名情况如何呢？。