三角函数y=sinx的图象与性质

三角函数的图象与性质【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈[]π8，3π4上的最大值为________，最小值为________． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ()x －π4≥0， 所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ()2x －π4， ∵x ∈[]π8，3π4，∴2x －π4∈[]0，5π4，∴sin ()2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈[]π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________．解析 (1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π，k ∈Z ，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2()sin x －142＋78. 又x ∈[]π6，7π6，∴sin x ∈[]－12，1，∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12时，y max ＝2.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ()2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[]2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[)k π－π8，k π和(]k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ()2x ＋π6；(2)y ＝3sin ()π3－x2.解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ()2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ()π3－x 2＝－3sin ()x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z .故y ＝3sin ()π3－x 2的单调递增区间为[]4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )． 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ()2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)()||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.解析 (1)要使g (x )＝sin ()2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ()2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间[]0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ()2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在[]0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C 【例4】(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈()12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点()π4，0，求函数f (x )在区间[]0，3π5上的取值范围．[解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ()2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ()2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈()12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分) (2)由y ＝f (x )的图象过点()π4，0，得f ()π4＝0，即λ＝－2sin ()56×π2－π6＝－2sin π4＝－ 2故f (x )＝2sin ()53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ()53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ()53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在[]0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分) 【训练4】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ()x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[]－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ()x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ()2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.选择题1．1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在()0，π2单调递减B ．f (x )在()π4，3π4单调递减C ．f (x )在()0，π2单调递增D ．f (x )在()π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式：f (x )＝2sin ()ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ()2x ＋φ＋π4. 由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A.答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ()x ＋π6的值域为( )． A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ()x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B3．已知函数f (x )＝sin ()ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点()π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点()π6，0对称解析 由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin ()2x ＋π3，又f ()π3＝sin ()23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在[]－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2C ．0<ω≤247D ．ω≥2 解析 由x ∈[]－π3，π4且ω>0，得ωx ∈[]－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是[]－π2，π2上的单调增函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ()x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值．答案5π66.(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[]0，π3上单调递增，在区间[]π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32.答案 B7．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈[]－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ()x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈[]－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B8．函数y ＝2sin ()π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ()π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ()π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ()πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A9．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ()π6对x ∈R 恒成立，且f ()π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.[]k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.[]k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.[]k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.[]k π－π2，k π(k ∈Z )解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ()π6对x ∈R 恒成立，∴f ()π6＝±1，即sin ()2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又f ()π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ()2x ＋k π＋π6＝－sin ()2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )，得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是[]m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )． 答案 C10．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ()ωx ＋π4在()π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )．A.[]12，54B.[]12，34C.(]0，12D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ()54x ＋π4，其减区间为[]85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然()π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ()2x ＋π4，其减区间为[]k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然()π2，π⃘[]k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.答案 A11．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×()5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)12．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[]0，π2时，f (x )＝sin x ，则f()5π3的值为________．解析 f ()5π3＝f ()－π3＝f ()π3＝sin π3＝32.答案3213．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[]0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在[]0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案3414．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案⎣⎡⎦⎤－1，2215．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ()x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题16 设f (x )＝1－2sin x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]， 当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 17. 求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4， 当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分]18．已知函数f (x )＝cos ()2x －π3＋2sin ()x －π4sin ()x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间[]－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ()2x －π3＋2sin ()x －π4sin ()x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ()2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． ∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈[]－π12，π2，∴2x －π6∈[]－π3，5π6，∴－32≤sin ()2x －π6≤1.即函数f (x )在区间[]－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.19．已知函数f (x )＝cos ()π3＋x cos ()π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ()π3＋x cos ()π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ()2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z . 20． 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ()2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈[]0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ()x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈[]0，π2，∴2x ＋π6∈[]π6，7π6.∴sin ()2x ＋π6∈[]－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ()2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ()2x ＋π6－1，g (x )＝f ()x ＋π2＝－4sin ()2x ＋7π6－1＝4sin ()2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ()2x ＋π6－1＞1，∴sin ()2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为(]k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为()k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .π6(k∈Z)；递减区间为()kπ＋π6，kπ＋π3(k∈Z)．综上，g(x)的递增区间为(]kπ，kπ＋。