第一节 一阶线性方程的特征线解法
一阶和高阶方程的形式特点和解法
一阶和高阶方程的形式特点和解法
1、形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。
2、阶数高于一的微分方程通称为高阶微分方程。
一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法
这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解，每积分一次得到一个任意常数，在通解中含有n个任意常数。
这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。
这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。
教学大纲-偏微分方程
《偏微分方程》教学大纲课程编号：121322B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课 专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程（以上标题为黑体，四号字；内容为宋体，四号字）一、教学目标（黑体，小四号字）目标1：本课程是偏微分方程理论的入门课，以数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程为先修课程，并且是先修课程的运用和知识的深化。
目标2：本课程具有较强的应用性，在物理、经济、金融等学科中有广泛的应用。
物理、经济、金融中的偏微分方程的学习和研究对理解相关领域前沿本质问题有深刻的作用。
目标3：本课程的学习使学生对进一步研究更深的数学、金融、经济前沿科学知识打下坚实的基础二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（黑体，小四号字）本课程包括经典线性偏微分方程的推导、理论和应用。
精讲偏微分方程的背景和严格推导、二阶双曲型偏微分方程理论、二阶抛物型偏微分方程理论、二阶椭圆型偏微分方程理论，及偏微分方程在金融、经济中的应用等；选讲偏微分方程的变分原理、反问题等。
通过对实际问题的分析、模拟、以往知识的回顾，循序渐进讲授重点内容。
学生要活学活用已学知识认真完成课后作业。
该课程能有效地开阔学生的学术视野，增强知识能力，为进一步研究学习前沿科学厚实学识基础。
三、各教学环节学时分配（黑体，小四号字）以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：（宋体，小四号字）教学课时分配四、教学内容（黑体，小四号字）第一章方程的导出和定解条件第一节守恒律第二节变分原理第三节定解问题的适定性1 、重点、难点多重指标记号2、考核要求：掌握多重指标记号, 偏微分方程中的基本概念和定解问题的意义。
3、复习思考题：复习主要偏微分方程的物理背景、定解的适定性。
第二章波动方程第一节一阶线性方程的特征线解法第二节初值问题（一维情形）第三节初值问题（高维情形）第四节混合问题1 、重点、难点波动方程的解法及其初值问题和初边值解的唯一性及稳定性。
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
第二章波动方程资料
注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
数学物理方程- _特征线法 2014-12答案
2t2 xt 3t2 x2 6xt 9t2
x2 8t2 5xt 此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
由方程（2）
99
u(x, 0) x2
得
x2 2 x2 1 x2 g(x), 99
即
8 x2 g(x),
所以
9
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x 8 (x 3t)2,
99
9
2 x2 1 x2 3 tx 8 (x2 6x 9t2 ), 9 9 99
x2 5tx 8t2.
例1 求解线性方法Cauchy问题
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
解 方程（1）的左端 ut 3ux 是 u(x,t) 的一阶偏导数的线性
组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 u(x,t) 关于t的全
导数。
du dt
ut
uxx
x
定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
4
其中 a 、b、c 和 f 均为自变量 x 、t 的函数。
方程
a dx b 0
5
dt
称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数
c，即为特征线的初始值x(0) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，
dt
的特征线就是下面问题的解
dx
x
数学物理方程- _特征线法 2014-12
u( uy
x,0) f ( ( x,0)
x) 1
3
g(x) f ( x)
3x2 g( x)
0
1 3
f (x)
g( x)
C
解 出f ( x) 9 x 2 C, g( x) 3 x 2 C
u( x,
y)
9
(
4
x
1
y)2
3(x
4
y)2
3x2
y2.
43
4
线性二阶偏微分方程：叠加原理
联立（A）（B）两式，可得
f (x) 1 (x) 1
x
(
)d
1
(
f
(0)
g (0))
2
2a 0
2
g(x) 1 (x) 1
x
(
)d
1
(
f
(0)
g (0))
2
2a 0
2
所以
u(x,t) f (x at) g(x at)
(B) (7) (8)
1 (x at) 1
xat
(
)d
1
有
3u 3(u u ) 3u
ut 3ux x t
43 .
所以
3u
4
3
.
3
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
99
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x g(x 3t),
定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
一阶偏微分方程的特征线法
一阶偏微分方程的特征线法
一阶偏微分方程的特征线法是一种在求解偏微分方程的一种有效的数
值解法，也可以称之为特征线的数值测试。
它将一维特征线作为解决
方案，根据微分方程的偏导数在一条离散特征线上求解，使得问题变
得相对简单，方便求解。
这种方法不仅可以用于一阶偏微分方程，而
且还可用于多维偏微分方程。
特征线法对解偏微分方程有很大的帮助。
特征线实际上是由微分方程
构成的，特征线是方程的特征方程的解，这种方法的最大优点是可以
明确其数学形式，这样就可以利用离散化方法求解一般的微分方程，
它更加的方便快捷。
此外，特征线法有其独特性，它将问题分解为一维离散问题，只要将
原始方程变形成特征型方程，就可以将复杂的多元方程转换为一维的
特征型方程，由于特征线方程的特殊性，可以在离散点间计算出特征
线的值，从而获得解决方案，这样的方法有效的避免了复杂的数值分
析求解方法所带来的复杂性，使得问题更易于处理和解决。
总之，特征线法在求解偏微分方程中有着重要的作用，由于其独特的
特性，可以有效的将复杂的多维微分方程简化成一维特征线，由于离
散性，可以很容易的计算出特征线上各个离散点间的值，从而获得解。
一阶线性微分方程及其解法
形如
dy dx
f
y x
的一阶微分方程称为齐次方程
或
dx dy
f
x y
解法：
针对齐次方程
dy dx
y x
，作变量代换
u
y x
即
y
xu
，则
dy dx
u
x
du dx
将其代入原式，得：
u
du dx
u
，即
du u u
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
将 y 和 y 代入原方程, 得
C( x)e P( x)d x Q( x), 可分离变量方程
设原方程的解为
1x y C(x)e2
从而
y
1x C(x)e 2
1 2
1x C(x)e 2
代入原方程得
1x C(x)e 2
1 2
C
(
x
)
e
1 2
x
1 2
C
(
x
)
e
1 2
x
1x 2e
化简得
1x
C(x) 2 e
x
两边积分，得
C(x) e2 C
所以，原方程的通解
y
1x C(x)e2
即 ln | xy | ln | C |
xy C
一阶微分方程的特征方程
一阶微分方程的特征方程特征方程是一种使用特征变量来表示未知函数的方法。
通过引入新的变量，可以将一阶微分方程转化为一个更简单的方程。
一旦得到特征方程的解，就可以得到原方程的解。
为了了解一阶微分方程的特征方程，我们要从一个具体的例子开始。
考虑一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是给定的函数。
为了将其转化为特征方程，我们引入一个新的变量v(x)。
首先，我们注意到左侧的表达式dy/dx可以被写为d(v(x))/dx。
现在，将原方程改写为d(v(x))/dx + P(x)v(x) = Q(x)。
将这个方程与之前的形式进行对比，我们发现v(x)实际上是y(x)的一个线性组合。
因此，如果我们找到v(x)的解，那么就可以从中得到原方程的解。
通过引入一个新的函数u(x)，我们可以将上述方程转化为特征方程。
我们假设v(x) = u(x)y(x)。
通过这个假设，我们可以将原方程从d(v(x))/dx + P(x)v(x) = Q(x)变为d(u(x)y(x))/dx + P(x)u(x)y(x) = Q(x)。
接下来，我们将使用乘法法则展开d(u(x)y(x))/dx的表达式，得到u(x)dy/dx + du(x)/dx * y(x) + P(x)u(x)y(x) = Q(x)。
此时，我们注意到第一项是u(x)dy/dx，而第二项包含了du(x)/dx * y(x)，这与我们的假设不一致。
为了解决这个问题，我们可以选择一个适当的u(x)，使得du(x)/dx * y(x) = 0。
这意味着我们要选择u(x)使得du(x)/dx = 0。
当du(x)/dx = 0时，我们可以将原方程简化为u(x)dy/dx +P(x)u(x)y(x) = Q(x)。
现在，我们可以将u(x)从上述方程中消去，并将方程转化为dy/dx + P(x)y(x) = Q(x)/u(x)。
最后一步是选择一个适当的u(x)，使得Q(x)/u(x) = P'(x)。
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
一阶线性微分方程特解
一阶线性微分方程特解
一阶线性微分方程：解析解研究及其应用
一阶线性微分方程特解是数学中的一种基本概念，它指的是一阶线性微分方程（也称作常微分方程）的解法。
它由一个变量（x）的函数来描述，由除了初值的一个参数给出它的值，这个参数就是特解。
特解的公式一般由某种特殊函数构成，如：
- 部分解法：部分解可以用分析解、拉普拉斯解、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等来解决。
- 基本解：基本解是一种解析解法，它是以某种特殊方法从定义域函数到解空间函数的映射，比如：因数分解、反射定理、傅里叶变换（ Fourier Transform）等。
- 由参数形式表示的解：这种解法可以用极限计算和不定积分的方法求解，并且可以蕴含一个变量给定特定参数时的函数值。
- 解析函数特解：在特殊情况下，解析函数也可以作为一阶线性微分方程的特解，比如: Bessel 函数，Legendre 函数，Laplace 函数等。
一阶线性微分方程特解主要用于解决研究动态系统的状态变化，可以得到系统的变化规律，促进控制工程的设计、开发测试。
数学物理方程- _特征线法 2014-12讲解
则
ut ut ut au au
utt a(ut ut ) a(ut ut )
a(au au ) a(au au )
a2 (u 2u u ) ux ux ux u u
utt a2uxx
4a2u
uxx u 2u u
则（1）式变为
u 0
积分此方程，可得
x
(1) (2)
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
x 3t, x.
则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
即 ut 3u , ux u u , t , x .
代入
3
ut 3ux x t
u f1( )
u f1( ) g() f ( ) g() 其中f、g是两个任意函数，将变量 , 还原成x和t得
u(x,t) f (x at) g(x at)
由方程
utt u(x,
a2uxx 0, x ,t
0) (x),ut x, 0) (x),
0
x
(1) (2)
特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使 其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 求解非线性方程的一种有效方法。
第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想 和求解方法。
• 线性： aij、bi、c、F 只是的 x1, x2 xn 函数，而不是
u, F ，或更复杂变量的函数，否则是非线性的。
线性的主要特征：满足叠加原理
例1，理想、均匀介质，小振幅波动方程为线性的
2-1 一阶线性方程的特征线解法
������������ = −������′ (������ ������, ������ )������, (������. ������) ������������ ������|������=������,������=������ = ������ ������ ������, ������ , ������ = ������ ������, ������ = ������������ ������ (������. ������)
从而， ������ ������ ������, ������ , ������ = ������������ ������ , 因此， ������ ������ ������, ������ , ������ = ������������ ������ − ������������ . 更一般的，考虑
������������ ������������
− ∞ < ������ < +∞, −∞ < ������ < +∞, = ������
������ > ������ (������. ������) (������. ������)
������ ������ = ������
的解������ ������, ������ = ������������ + ������为方程(1.1)的特征线。
第二章
波动方程
一、 方程的导出、定解条件
二、 达朗贝尔公式(行波法) 三、叠加原理：齐次化原理 四、初边值的分离变量法
五线解法
考虑连续性方程的初值问题： ������������ ������������ + ������ = ������ ������������ ������������ ������ ������, ������ = ������������ ������ , 常微分方程初值问题：
第二章 波 动 方 程
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。 为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a
x at
x at
( )d
0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a
x at
x at
( )d
限制在 0
1 2a
t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,
第一节 一阶线性方程的特征线解法
第一节一阶线性方程的特征线解法),(),(),(),(t x D u t x C u t x B u t x A t x =++1.一阶线性方程的一般形式：的已知函数。
为其中),(),(),,(),,(),,(t x t x D t x C t x B t x A （1）时，即当0),(≡t x D 0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x （2）称方程为齐次的，否则为非齐次的。
2.一阶线性方程的Cauchy 问题⎩⎨⎧==++)()0,(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ（3）⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x B dt t x A dx )0(),(),(（4）称(4)为(3)的特征方程，其解称为(3)的特征线。
3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：特征线法思路：利用(4)将(3)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。
例1：⎩⎨⎧∈=>∈=+光滑)()()()0,()0,(000x R x x x t R x a x t ρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx adx dt )0(1特征线为：c at c t x +=),(沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧====∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0(00c c x U t a x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ)()),(()(cttxtUρρ==该式表明在特征线),(),(ct xρρρ==catctx+=),(上的点，使得而对于平面上的任何点),(t x都在某条特征线上，,确定由catxc+=所以原Cauchy问题的解).()(),(atxct x-===ρρρρ启发：找所要求的解在特征线上对应的函数，而平面上的任何点都在某条特征线上，只是常数不同而已，但又由该点本身决定，将常数用点的坐标换掉即可。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。
这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。
方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。
例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。
然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。
此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。
方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。
它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。
对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。
我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。
将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
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第一节一阶线性方程的特征线解法),(),(),(),(t x D u t x C u t x B u t x A t x =++1.一阶线性方程的一般形式：的已知函数。
为其中),(),(),,(),,(),,(t x t x D t x C t x B t x A （1）时，即当0),(≡t x D 0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x （2）称方程为齐次的，否则为非齐次的。
2.一阶线性方程的Cauchy 问题⎩⎨⎧==++)()0,(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ（3）⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x B dt t x A dx )0(),(),(（4）称(4)为(3)的特征方程，其解称为(3)的特征线。
3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：特征线法思路：利用(4)将(3)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。
例1：⎩⎨⎧∈=>∈=+光滑)()()()0,()0,(000x R x x x t R x a x t ρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx adx dt )0(1特征线为：c at c t x +=),(沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧====∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0(00c c x U t a x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ)()),(()(cttxtUρρ==该式表明在特征线),(),(ct xρρρ==catctx+=),(上的点，使得而对于平面上的任何点),(t x都在某条特征线上，,确定由catxc+=所以原Cauchy问题的解).()(),(atxct x-===ρρρρ启发：找所要求的解在特征线上对应的函数，而平面上的任何点都在某条特征线上，只是常数不同而已，但又由该点本身决定，将常数用点的坐标换掉即可。
例2：⎩⎨⎧∈=≠>∈='++光滑连续可微)()()()0,(0)()0,(0)()(00x R x x x x v t R x x v x v x t ρρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x v dx dt )0())((1特征线为：),,(c t x x =沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==='-=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0()),(()),((0c c x U Uc t x v t c t x v x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ⎰'-=td c x v ec t U 0)),((0)()(ττρ),(c x x τ=cc x c x cx v dx x v x v ec ec t U ),(),(|)(ln 0)()(0)()()(ττρρ==⎰'-)),((c x v d dxττ=)),(()()(0c t x v c v c ρ=),(c t x x =上的点，使得该式表明在特征线,)),(()()()()),,((),(0c t x v c v c t U t c t x t x ρρρρ====而对于平面上的任何点),(t x 都在某条特征线上，,),(确定由c t x x c =所以原Cauchy 问题的解为))),(,(()),(()),(()),(()()(),(00t x t x v t x v t x c t x v c v c t x ϕϕϕρρρρ===解得：),,(t x c ϕ=设特征线法总结：（求解一阶线性微分方程Cauchy 问题）step1:求特征线),,(c t x x =step2:沿着特征线求()t c t x u t U ),,()(=满足的常微分初值问题，并求出().),,()(t c t x u t U =step3:从特征线解出),,(c t c ϕ=则所求解为().)),,(,(),(t t x t x u t x u ϕ=⎩⎨⎧=+='00)()()()(y x y x q y x p x y dses q ey x y d p x x d p sx xx ττττ⎰-⎰⎰+=)()(000)()(3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：通解法⎩⎨⎧==++)6()()0,()5(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ思路：先求(5)的通解，而后由(6)确定任意函数。
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应的齐次方程(7)的通解与(6)的特解之和。
)7(0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x 所以问题的重点是如何求(7)的通解。
以下介绍几种方法，只是适合一些方程，不一定通用。
第一种方法:特征线法)8(0=+t x bu au 具体解法：step1:求出特征线cbx at =-step2:为任意函数。
的通解为f bx at f u ),()8(-=或者：step1:为任意函数。
设通解为f nx mt f u ),(+=step2:代入(8)式求nm ,例3：tu u t x 243=-解：2-2),(243t t x u t u u t x ==-*的一个特解为ct x dtdx =+⇒-=3443特征线为特征方程为：)34(),(043t x f t x u u u t x +==-的通解为所以22)34(),(243tt x f t x u t u u t x -+==-的通解为故或者：设043=-t x u u 的通解为)(nx mt f u +=代入方程得到：任意f nx mt f m nx mt f n ,0)(4)(3=+'-+')34()43(43043t x F nx nt f u n m m n +=+=⇒=⇒=-⇒下面同上。
()否则不是解,0≠n ()任意F⎩⎨⎧∈=∈=--)()0,(),(2432R x e x u R t x t u u x t x 例4：解：由例3得到方程的通解为22)34(),(t t x f t x u -+=代入条件得到：xx e x f e x f x u 212)()4()0,(--=⇒==所以得到该Cauchy 问题的解为：.2),(2)34(21t e t x u t x -=+-第二种方法：微分算子法)9(0=++cu bu au t x 具体解法：Step1:将方程写成算子的形式如下：()0=++u c bD aD t x Step2:())10(0,=++=u c D bD aD D t x ξξ变方程为令ξηc ef u -=)()10(的通解为：Step3:b t a x bD aD D t x ==⇒+=ξξξ,即可只要任取0,≠⎩⎨⎧ηξηξηηt t x x t x 可得解。
代入，解出ξηηξc e f u -=)(（可逆变换）243=+-u u u t x 例5：解：2),(243==+-*t x u u u u t x 的一个特解为0)143043=+-=+-u D D u u u t x t x 变形为（()其通解为：方程为令,01,43=+-=u D D D D t x ξξξη-=ef u )(4,343-==⇒-=ξξξt x D D D t x 00413,01≠-=⎩⎨⎧==ηξηξηηt t x x t x取⎩⎨⎧-=+=ξηξ43tx ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=x t t 434ηξ44)43()43(tt e x t F e x t f u +=--=2)43(4++=te x t F u 原方程的通解为注意：)34(),(043t xf t x u u u t x +==-的通解为4)43(043tt x e x tF u u u u +==+-的通解为①所以有时也直接设的通解为0=++cu bu au t x 这两个解的形式或,)()(ktkx e nt mx f u e nt mx f u +=+=是任意的。
为函数不同，但实际一样，因f ②可以看出微分算子法适合任何常系数一阶线性微分方程：0=++cu bu au t x。