第六章 数理逻辑

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(4) 命题要么是真，要么是假。（具有模棱两可含义 的语句不能作为命题） 如：100是个很大的数。 (5) 有些语句目前不能判断其真假，但他是有真假的。 这样的语句也是命题。如： ① 木星上有生命。 ② 任一足够大偶数都能表示为两素数之和 （哥德巴赫猜想） 均是命题。
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P或者Q，记为P∨Q。称为P与Q的析取式； P、Q称为析取项。 例3. P: 今晚我看电视 Q: 今晚我看《离散数学》 P∨Q：今晚我看电视或看《离散数学》。 ∨真值表： P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F
(3) 否定联接词——“非” P的否定命题，记为﹁P。 例4. P: 地球是圆的 ﹁ P: 地球不是圆的 其真值关系表为： P T F
F F T T
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例8. 求下列命题的真值。 (1) 如果1＋2＝3，则雪是黑的 (2) 如果太阳从西边出来，那么地球自转 (3) 如果太阳从东边出来，那么地球自转停止。
三、复合命题
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复合命题：经过命题连接词连接而成的命题。 运算优先级问题： 优先级： “﹁” →“∧” →“∨” →“ →” →“ ”
一、命题的基本概念
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(3) 悖论不是命题。 如： ①我正在撒谎。 ②村里有名理发师，他约定：“每个人只 给不给自己刮胡子的人刮胡子。” ③鸡蛋悖论 ④柏拉图与苏格拉底悖论 柏拉图：“苏格拉底老师下面的话是假话。” 苏格拉底：“柏拉图上面的话是对的。”
一、命题的基本概念
1.3 重言式
考虑
P
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P Q P
Q P→Q
的真值表
﹁(P
→Q)
F T F F

P
Q P
T T F F
T F T F
T F T T
T T T T
定义1. 命题公式若对其所有指派的真值均为T，称 为永真式或重言式。相反，命题公式若对其所有指 派的真值均为F，称为永假式或矛盾。 定义2. 一个命题公式如果至少存在一个指派，使其 取值为F，则称为非永真式。如果至少存在一个指 派，使其取值为T，则称为可满足的。
1.1 命题 1.2 命题公式 1.3 重言式 1.4 命题演算基本公式 1.5 命题演算的基本蕴含重言式及推理规则 1.6 范式
1.4 命题演算基本等式

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P178-179
1.4 命题演算基本等式
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定义5. （对偶公式）设有公式A，若它仅用联接词 ﹁、∨、∧，把A种的∨、∧、T、F分别换成∧、 ∨、 F 、 T，得到公式A*，称为A的对偶公式。 定理1. 设有等式A=B,则必有A*=B*。 (此处A、B仅有联接词﹁、∨和∧) 如 狄摩根定律： P Q P Q
则语句为 P R Q R
R P R Q
R P Q
1.4 命题演算基本等式
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例4. 化简程序：如有下面一段PASCAL程序： IF A THEN IF B THEN X ELSE Y ELSE IF B THEN X ELSE Y;
1.2 命题公式
例11. 已知P、Q、R是命题，则
PQ R PQ
P、Q 是命题
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是命题公式
P、Q 是命题公式
P∧Q是命题公式 R是命题公式 P、Q 是命题 P、Q 是命题公式


P Q R是命题公式 P∨Q是命题公式
PQ R PQ
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定义3. P、Q为两个公式，若 P Q 为重言式， 则称其为等价重言式，也可称为P、Q相等。 记为 P Q 或 P Q。 定义4. P、Q为两个公式，若P→Q为重言式， 则称为蕴含重言式，记为 P Q 。
§1 命题演算
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Q P Q P Q


P
即：我去了但他没来。
1.4 命题演算基本等式
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例3. 试证语句“不会休息的人不会工作，没有 丰富知识的人也不会工作” “工作好的人一定 会休息，并且具有丰富的知识”。 解：P: 某人会休息 R: 某人工作的好 Q：某人有丰富的知识
P Q P∧Q
﹁(P∧Q) ﹁P ﹁Q ﹁P ∧ ﹁Q
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P Q P Q
T T F F
T F T F
T F F
F
F T T T
F F T T
F T
F T
F F F T
T F
F T
§1 命题演算
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1.1 命题 1.2 命题公式 1.3 重言式 1.4 命题演算基本公式 1.5 命题演算的基本蕴含重言式及推理规则 1.6 范式
A P A P
第六章 数理逻辑
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数理逻辑： 用数学的方法来研究形式逻辑。所谓数 学的方法，主要是指引进一套符号体系 的方法。故又称为符号逻辑。
§1 命题演算
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1.1 命题 1.2 命题公式 1.3 重言式 1.4 命题演算基本公式 1.5 命题演算的基本蕴含重言式及推理规则 1.6 范式
﹁P
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F T
(4) 蕴含联结词
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P蕴含Q，记为P→Q。可理解为“如果P，则 Q”。其中P称为蕴含前件，Q称为蕴含后件。 例5: P: 下雨了 Q: 地湿了 P → Q：如果下雨了，则地湿了。 其真值关系表为： P T T F F Q T F F T P→Q T F T T
Q: 李白是唐代著名的诗人
P Q ： 爱因斯坦是个伟大的科学家当且
仅当李白是唐代著名的诗人。
(5) 等价联接词 其真值关系为： 等价表达式： 充分必要、 只有……才 能…… P T F T F Q F T T F
P Q
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NOTE: 命题联接词是命题间的联接词，而不是名词或 形容词之间的联接词。 如：P:“王兰和王英是姐妹”中的“和”不是命 题联接词，故P也不是一个复合语句。
﹁(P∨Q)
﹁R
或
P∨Q R
§1 命题演算
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1.1 命题 1.2 命题公式 1.3 重言式 1.4 命题演算基本公式 1.5 命题演算的基本蕴含重言式及推理规则 1.6 范式
1.2 命题公式
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定义3. 一个任意的未指定真值的命题，称为命题变 元。（一般也简称为命题） 定义4. 经有限步使用，下面法则所得到的公式称为 命题公式。 1. 命题变元是命题公式 2. 若P和Q是命题公式，则﹁P、P∧Q、P∨Q、 P→Q、 P Q是命题公式。
1.3 重言式
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例1. （1）P∨﹁P 是永真式 （2）P∧﹁P 是永假式 P P 是永真式， P 为矛盾 （3） P （4） P Q R 不是永真式，也不是永假式，是可满 足的。
1.3 重言式
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一、命题的基本概念
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例1： 判断下列语句哪些是命题。 (1) 《红楼梦》的作者是曹雪芹。 (2) 1＋1＝10 （是否正确与“数制”有关） (3) 我喜欢听你唱歌。 (4) 你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？ (5) x+y>=3 (x和y是任意数)
解：(1)、(2)、(3)是命题。(4)、(5)不是。
P Q P Q
又如： 吸收律： P P Q P
P P Q P
1.4 命题演算基本等式
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例2.化简下面语句： 情况并非如此：如果他不来，那么我也不去。 解： P:他来， Q：我去
则



P Q
二、命题联接词
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(1) 合取联接词——“并且”。 P并且Q，记为P∧Q,称为P与Q的合取式； P、Q称为合取项。 例2. P: 4是偶数 Q: 2是奇数 P∧Q：4是偶数且2是奇数。 ∧真值表： P Q P∧Q
T T F F
T F T F
T F F F
(2) 析取联接词——“或者”
1.4 命题演算基本等式
解：原程序用公式可表示为：
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A B X B Y A B X B Y
令
P B X B Y
则上式可写为：
A P A P
是命题公式
1.2 命题公式
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例12. P→∧Q不是公式。 定义5. 命题变元一组确定的值称为公式的一 个指派。所有的指派构成的公式的真值组 合称为公式真值表。 问题：一个由n个命题变元构成的公式共 有种多少指派？ 答案：2n
1.2 命题公式
例13. 构造下列命题的真值表 P Q P Q 解：
对于(5)，不能确定真假（∵x、y代入不 同的值，会得不同的真假值，当x、y为复数时， 比较关系根本不存在！）