第5章-四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合

5.1.2、混合四位置问题各情况布氏曲线方程式系数表达式的推导
对于五位置问题，把有限分离五位置问题记作 P 1P 2 P 3 P 4 P 5 。相应的混合“点阶”五位置问题有以下几种组合形式：
一对位置无限接近 PP 1 2 P 3 P 4 P 5； 三个位置无限接近 PP 1 2P 3 P 4 P 5； 四个位置无限接近 PP 1 2P 3P 4 P 5； 两对位置分别无限接近 PP 1 2 P 3P 4 P 5， 三个位置且有另外一对位置分别无限接近 PP 1 2P 3 P 4P 5、 全部五个位置无限接近 PP 1 2P 3P 4P 5。
(5-2)
将 Ci ， Ei 和 Fi 代入式(5-2)可得
A21 xc1 A22 yc1 A23 A31 xc1 A32 yc1 A33 A41 xc1 A42 yc1 A43 A22 xc1 A21 yc1 A24 A32 xc1 A31 yc1 A34 A42 xc1 A41 yc1 A44 A25 xc1 A26 yc1 A27 A35 xc1 A36 yc1 A37 0 A45 xc1 A46 yc1 A47
A21 A22 A25 A31 A32 A35 A41 A42 A45
令
H1 A21 A32 A45 , H 2 A21 A32 A46 , H 3 A21 A32 A47 A21 A34 A45 A23 A32 A45 H 4 A21 A32 A47 A24 A32 A46 A23 A31 A46 , H 5 A21 A34 A46 A24 A32 A45 A23 A31 A45 A23 A32 A46 H 6 A21 A34 A47 A23 A32 A47 A23 A34 A45 , H 7 A24 A32 A47 A23 A31 A47 A23 A34 A46 H8 A23 A34 A47
第5章 四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合
5.1、四位置问题圆点与圆心曲线的生成 5.2、机构解域的形成 5.3、五位置问题布氏点求解公式的推导
5.4、运动生成机构综合计算示例
5.5、函数生成机构综合向运动生成机构综合的转换 5.6、函数生成机构综合计算示例
5.1、四位置问题圆点与圆心曲线的生成
组合。本章推导出了满足五位置要求的布氏点的表达式，这是一个四次方程，通过求解这个 方程可得布氏点的坐标值。
本章还对给定四、 五精确点的函数生成 平面四杆机构综合进行了研究。给定两连架 杆若干组对应角位移综合四杆机构，使其输 入杆转角为 i (i 1, 2,, N ) 时，相应的输出 杆转角为 i ，即为精确点函数发生机构综 合，如图 5-1 所示。如果给定两连架杆的一 组对应角 (i , i ) ，再给定此处的对应角速度
高等机构学
第5章 四、五位置运动与函数生成平面
四杆机构综合 韩建友
机械工程学院
第5章 四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合
本章首先对给定四、五位置的运动生成平面四杆机构综合进行了研究。对 于四位置运动生成机构综合，包括有限分离四位置及混合四位置两个问题。混 合位置问题又称“点-阶”位置问题，即给定一点的位置，再给定该点的速度和加 速度等。 以P i (i 1, 2,3, 4) 表 示 第 i 个 给 定 点 ， 可 以 把 有 限 分 离 四 位 置 问 题 表 示 为: P 1P 2 P 3 P 4 。混合“点-阶”四位置问题的具体组合形式为：
3 2 3 2 A21 A32 A45 ( xc 1 xc1 yc1 ) A21 A32 A46 ( yc1 xc1 yc1 )
(5-4)
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导
为简化书写，式 (5-4) 中用行列式对角线上的元素来表示整个行列式，例如用
A21 A32 A45 来表示
(5-5)
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式(5-5)所示为关于 xc1 和 yc1 三次方程，即布尔梅斯特圆点曲线的方程式，该 曲线上的任意一点都可以作为动铰链点，与之对应的固定铰链点可由式 (5-1)求 出。需要注意的是，如果式(5-1)中把 xc1 和 yc1 看作未知数，则得到的是圆心点曲 线。式(5-5)的表达形式不仅适用于有限分离四位置问题，也适用于混合四位置 问题的所有情况，不同的只是系数 Aij (i 2,3, 4, j 1, 27) 的值。
第5章 四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合
对于四位置问题，圆点和圆心点的分布曲线称为布尔梅斯特曲线。对于四位置问题，本章采 用位移矩阵法建立有限分离情况下布氏曲线的方程式，该方程式的推导方法和表达形式同样 适用于混合“点-阶”位置问题的所有情况。然后通过坐标变换将布氏曲线的一般形式化为标准 形式，依据射影几何中二射影低阶曲线束构成高阶曲线的原理，以射影对应的圆束和直线束 中二对应线交点的轨迹表示布氏曲线。通过角度映射建立布氏曲线上任一点与角度参数的一 一对应关系，从而实现布氏曲线的单值有序表示并建立机构解域，使无穷多机构解表示在有 限坐标平面内。
Ci x0 Ei y0 Fi 0 (i 2,3, 4)
(5-1)
式中
Ci Ai1 xc1 Ai 2 yc1 Ai 3 , Ei Ai 2 xc1 Ai1 yc1 Ai 4 , Fi Ai 5 xc1 Ai 6 yc1 Ai 7 Ai1 1 D11i , Ai 2 D12i , Ai 3 D13i , Ai 4 D23i , Ai 5 D11i D13i D21i D23i
(5-9)
其中 A2 j 的取值为
1 y 111 , A24 y 1 x 111 A21 0, A22 11 , A23 x y , A y x , A 0 A x
25 1 1 11 26 1 1 11 27
用式(5-9)替换掉式(5-1)中的第 1 式(即 i 2 时的式子)， 然后按照 4.1 节的推 导过程可以得到 PP 它和式(5-5)具有相同的形 1 2 P 3 P 4 情况下布氏曲线的方程式， 式。下面几种情况布氏曲线的推导过程也与此相同，因此只给出
Aij (i 2,3, 4, j 1, 27) 的表达式。
(5-6)
通过式(1-101)可以得到
0 [ D (1) ] 11 0 11 0 0 1 y1 x 11 1 x1 y 11 0
(5-7)
把式(4-3)两端对时间求导数，并考虑到连杆长度的变化率为零，可得到约束方 程
]T [ A A ] 0 [A c2 c2 0
(5-3)
展开式(5-3)，各未知项的系数用三阶行列式的形式表示
A21 A32 A47 A21 A34 A45 A23 A32 A45 xc21 A21 A32 A47 A24 A32 A46 A23 A31 A46 yc21 A21 A34 A47 A23 A32 A47 A23 A34 A45 xc1 A24 A32 A47 A23 A31 A47 A23 A34 A46 yc1 A21 A34 A46 A24 A32 A45 A23 A31 A45 A23 A32 A46 xc1 yc1 A23 A34 A47 0
(5-8)
5.1.2、混合四位置问题各情况布氏曲线方程式系数表达式的推导
将式(5-6)和式(5-7)代入式(5-8)可得第 2 位置处圆点和圆心点的关系式
A21 ( xc1x0 yc1 y0 ) A22 ( xc1 y0 yc1x0 ) A23 x0 A24 y0 A25 xc1 A26 yc1 A27 0
5.1、四位置问题圆点与圆心曲线的生成
5.1、四位置问题圆点与圆心曲线的生成
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导 5.1.2、混合四位置问题各情况布氏曲线方程式系数表 机构 达式的推导
5.1.2、混合四位置问题各情况布氏曲线方程式系数表达式的推导 1. PP 1 2 P 3 P 4 情况
这种情况下第 1、2 位置是无限接近的，即在第 2 位置处给定的是点的速度
。 和 以及运动平面转角的角速度， 有 P2 P 12 11 此时 A3 j 和 A4 j 的表达式与式(4-4) 1
中的相同。下面推导 A2 j 的表达式，由式(1-100)可得
A (1) Ac 1 c2 [ D ] 0 1
则式(5-4)可写为
H1xc13 H2 yc13 H1xc1 yc12 H2 xc12 yc1 H3 xc12 H4 yc12 H5 xc1 yc1 H6 xc1 H7 yc1 H8 0
(5-5)
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导
H1xc13 H2 yc13 H1xc1 yc12 H2 xc12 yc1 H3 xc12 H4 yc12 H5 xc1 yc1 H6 xc1 H7 yc1 H8 0
5.1、四位置问题圆点与圆心曲线的生成
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导 5.1.2、混合四位置问题各情况布氏曲线方程式系数表 机构 达式的推导
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导
对于有限分离四位置问题，即第 4 章式(4-4)中的 i 2,3, 4 ，可将式(4-4)写为
i , i ) 和角加速度 ( i , i ) 等，则称为在精确 (
点处的混合“点-阶”函数生成机构综合问题。
图5-1 平面四杆机构函数生成机构综合模型
第5章 四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合
本章用相对运动转换法，将混合“点-阶”四、五精确点函数生成机构综合转换 为混合四、五位置运动生成机构综合。对于四精确点问题，按照运动生成机构 综合的方法实现布氏曲线的单值有序表示。并根据函数生成机构综合的特点， 通过具体示例建立起一种不同于运动生成机构综合的圆形机构解域，使综合所 得无穷多机构解表示在一个圆形的区域内，实现了机构的快速准确选择。对于 五精确点问题，可以看作四个四精确点问题的组合，在转换成五位置运动生成 机构综合问题以后，也按照运动生成机构综合的方法推导布氏点的方程式。
PP 1 2 P 3 P 4 ——1、2 位置无限接近； P 1P 2P 3 P 4 ——2、3 位置无限接近； P 1 2 P 3P 4 ——两两位置无限接近； 1P 2 P 3P 4 ——3、4 位置无限接近； PP
PP 1 2P 3 P 4 ——1、2、3 位置无限接近； P 1P 2P 3P 4 ——2、3、4 位置无限接近； PP 1 2P 3P 4 ——四个位置无限接近。
第5章 四、五位置运动与函数生成平面四杆机构综合
对于五位置问题，可以看作 4 个四位置问题的组合。例如可以把 P 1P 2 P 3 P 4 P 5 看作
P 1P 2 P 3 P 4 、P 1P 2 P 3 P 5 、P 1P 2 P 4 P 5 以及 P 1P 3 P 4 P 5 4 个有限分离四位置问题的
2 2 D13 i D23i Ai 6 D12i D13i D22i D23i , Ai 7 2
式中 i 2,3, 4
5.1.1、有限分离四位置问题布氏曲线方程式的推导
把 x0 和 y0 看作未知数，由线性代数的相容性原理有
C2 E2 F2 C3 E3 F3 0 C4 E4 F4