行列式展开定理
§3 行列式的展开定理
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
行列式按行列展开定理
行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14ຫໍສະໝຸດ M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
行列式的展开定理
行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。
展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。
展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。
展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。
通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。
经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。
Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。
Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。
行列式计算法则
行列式计算法则行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论行列式的计算法则，包括展开定理、性质和应用。
1. 展开定理行列式的展开定理是计算行列式的重要方法之一。
对于一个n 阶行列式A，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的和的形式。
展开定理的具体形式如下：\[|A| = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\]其中，\(a_{ij}\)表示矩阵A的第i行第j列的元素，\(M_{ij}\)表示剩余元素构成的n-1阶行列式，\(i\)和\(j\)分别表示所选取的行和列。
通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式，从而简化行列式的计算过程。
2. 性质行列式具有许多重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用都具有重要的意义。
其中一些重要的性质包括：- 交换性质：行列式中交换两行（列）的位置，行列式的值相反。
- 线性性质：如果行列式的某一行（列）可以表示为两个向量的线性组合，那么该行列式可以表示为两个行列式的和。
- 数乘性质：如果行列式的某一行（列）所有元素都乘以一个数k，那么行列式的值也乘以k。
这些性质为行列式的计算提供了重要的理论基础，同时也为行列式的应用提供了便利。
3. 应用行列式在线性代数和相关领域中有着广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：- 线性方程组的求解：通过行列式的方法可以求解线性方程组的解，特别是对于n阶线性方程组，行列式的方法是一种重要的求解手段。
- 矩阵的求逆：矩阵的逆可以通过行列式的方法求解，行列式为0的矩阵没有逆矩阵，而非零行列式的矩阵存在逆矩阵。
- 线性变换的性质：行列式可以用来判断线性变换是否保持了面积或体积的性质，从而对线性变换的性质进行分析。
通过行列式的计算和应用，我们可以更好地理解线性代数中的重要概念，同时也可以解决实际问题中的相关计算和分析。
总结行列式是线性代数中的重要概念，它通过展开定理、性质和应用为线性代数和相关领域的计算和分析提供了重要的方法和工具。
1.4行列式展开定理
余子式和代数余子式的定义 按行（列）展开定理 范德蒙德行列式
1.4 行列式按行(列)展开
一、余子式，代数余子式
由于三阶、二阶行列式可直接算出，因而计算行列式中 一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。 a11 a12 a1n 例如 M11 ?
在n阶行列式 D
a21 an1
(-1)1+n (a1 an )(a2 an ) (an1 an )
n j i 1
(a j ai ).
n 1 j i 1
(a j ai ).
例 计算行列式
1 D
1
1
1
1 1 1 1 1 3 9 27 1 2 4 8
解
D是4阶范德蒙德行列式的转置， 1 1 1 1 D(1, 1, 3, 2) ( 1 1)(3 1)( 2 1) 1 1 3 2 (3 1)( 2 1) D 1 1 9 4 ( 2 3) 240 1 1 27 8
解:
M 23 3 2 1 5
15 2 13,
2 3
A23 (1)
M 23 13
练习1：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
D
2 4 1 1
3 4 1 2 -3 1
1
4 0
R2－4R1
0 1
4 1 0 -2
1 1
1
＝ (-1)
(－1)2+1
21
别丢了代数余 -1 0 0 － 子式的符号 -3 1 0
行列式的行(列)展开定理
行列式的行（列）展开定理
行（列）展开定理用于分析行列式的结构，它表明行列式的值可以从各行（列）中求出。
行展开定理的证明以行列式的一行为基础，将该行中的元素看作常数，把它们乘以该行中的未知数，然后做加法运算，得出了行列式的值。
公式表示为a(1,1)x(1)+a(1,2)x(2)+...+a(1,n)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(1,n)表示第一行的元素，x(1)~x(n)表示第一行未知数，|A|表示行列式A的值。
同样，列展开定理用列来求出行列式的值，其公式为
a(1,1)x(1)+a(2,1)x(2)+...+a(n,1)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(n,1)表示第一列的元素，x(1)~x(n)表示第一列未知数，|A|表示行列式A的值。
相比于行展开定理，列展开定理更容易理解，理论上它们是均有用的，但由于行列式结构的不规则性，有时列展开定理比行展开定理更加有效，避免了因展开完毕后加法操作量过大而需要累加回路的结果。
总之，行（列）展开定理是一种分析行列式结构的基本方法，它既可以用来求出行列式的值，也可以用来求出未知数。
它丰富了行列式计算的方法，被广泛用于各种电子计算机的程序设计和机器算法中，为工程实际应用和科学研究提供了有力帮助。
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
行列式按行(列)展开定理
解
M11 2 2 4 A11 (1)11 M11 4
1 0 M23 3 2 2
A23 (1)23 M 23 2
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
(二)行列式展开定理
引理 若在n阶行列式D第i行中有一个元素 aij 0，其 余元素全为零，则
D aij Aij
an1
an2
ann
由行列式的性质4及引理，得
11
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1
0 0 0
ai2 0 0
0 ain
an1 an2 ann
1 0 0 an
解
n 1
a0 i1 ai
0
原式
0
1 11
a1
0
0 a2
0 0
a1a2 an (a0
n i 1
1 ai
)
.
0
0 0 an
31
a1 a1 0 0
0
例14 计算
a2 a2
0
0
0
“全加法”
0 0 0 an an 1 1 1 1 1
n1
解 0 a1 0 0 0
1 1 2
1 1 2
D 1 (1)21 4 3 1 1 (1)23 2 4 1
1 2 2
1 1 2
1 1 1
(1) (1)24 2 4 3
1 1 2
7 2418 1 ,
15
行列式按行列展开定理
一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D=,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1......................j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
行列式按行(列)展开定理
a1l A1 j a2l A2 j L
anl Anj
D, 0，
（当l j） （当l j）
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式
并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n
－1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中
某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
9
a11
a12
L
a1n
M MMM
ai1
ai2 L
a in
在行列式 D M M M M
ak1 M
ak 2 M
L
a kn
MM
an1
an2
L
ann
中, 如果令第 i 行的元素等则
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 L akn Ain
1
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
意义，但展开定理在理论上是重要的．
行列式的展开定理
证明
11
1
D3
r3
r2 ( x1 )
x1 0
x2 x22 x1 x2
x3 x32 x1 x3
11
1
r2 r1 ( x1 ) 0 x2 x1 x3 x1 0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
n
ain Ain aik Aik
k 1
n
anj Anj akj Akj k 1
1 xn x1 xn2 x1 xn
xnn1 x1 xnn2
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x2( x2 x1 )
x3 x1 x3( x3 x1 )
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
《行列式展开定理》课件
行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理
计算行列式方法6-展开定理
计算行列式方法6-展开定理
陈浩
定理简述
按一行（列）展开
设是如下所示的n阶行列式
则对任一,
其中是行列式A的代数余子式。
上式被称为行列式A按第j列展开。
由对称性，行列式A也可以按行展开：
Laplace定理
设是n阶行列式，在中任取k行（列），那么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于，即若取k个行：
，则
同样，若取定k个列：，则
推论：分块上（下）三角行列式
相应题型
展开定理这种方法常在某一行（列）元素比零比较多的时候运用，这里主要介绍两类题型。
题型：直接考察展开定理
例计算下列阶行列式：
解：按第一列展开，经计算得
用Laplace定理多行展开
例：求2n阶行列式：
解：对第一行及最后一行用Laplace定理，即得递推式：
故求得行列式值为
题型：与行列式递推式结合
行列式递推法的常用步骤是：按行或列展开行列式，使行列式降阶，比较原行列式和降阶后的异同，找出递推关系，若降阶一次仍看不出关系，可再降阶试试。
例计算阶行列式:
解：将所有行加到第一行上，再按第一行展开得.不难得到
拓展：特殊三对角矩阵的行列式
解：这个行列式特点是主对角线元素全为a，上次对角线元素全为b，下次对角线元素全为b，其余元素为0.为求递推式，按第一行展开，得
令,，由数列递推式的相关知识有:
于是
因此，若（即），则
若（即），则。
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
如何继续？
一、余子式和代数余子式
1.aij的余子式：在
中划去元素aij 所在的第i
行和第 j 列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij
2.元素aij的代数余子式： Aij＝(－1)i+jMij
例如，在
中，
M32＝
A23 =(-1)2+3M23=
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有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(
列)化到只剩一非零元时降阶处理.
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引例（续）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例3 计算行列式
[分析]
首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变 为0,其它元素却没有规律，不可取。 利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1) 倍,按首列展开后再使用该手法
两式相减得
A41+A42+A43+A44＝D=6
思考： 其它解法
A41+A42+A43+A44
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三、拉普拉斯定理＊
1.几个概念 (1) k 阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记作 M .
(aij是行列式的一阶子式) (2) k 阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列
行列式展开定理
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2020年4月11日星期六
1.3 行列式展开定理
• 余子式、代数余子式 • 行列式按行（列）展开定理 • Laplace 定理＊
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复习
例1.计算
解:
D
?
！
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(化上三角形法)
－
＝57
引例
计算下列行列式
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解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
= (－1)n+1x n-2
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例4 计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
[分析]
相邻两行元素较接近! 末行始, 后一行加上其前行的(－ x1) 倍, a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公 因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始, 后一行加上其前行的(－ x2)倍， … …
＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
证毕
例1.计算行列式
解法1：化上三角形法 解法2：降阶法
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D
= (-1)1+1
= (-1)3+1
路漫漫其修远兮)2+2
=5×(-1)2+3
= 10 利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用
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解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
= (x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)
连乘积记号
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可以证明n 阶“范德蒙行列式”
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3.推论行: 列式某一行(列)的各元素与另一行 (列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
理解：
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s)
第s行
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＝0
第s行
对于行列式的列，类似地有：
a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t)
综合定理及推论得 “代数余子式的 重要性质 ” :
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行
列
例5 设
，计算A41+A42+A43+A44.
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思考:如何求 A41+A42+A43?
例7 设
，计算 A41+A42+A43+A44
解: a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44＝0 a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44＝D A41+A42+2A43+3 A44＝0 2A41+2A42+3A43+4 A44＝D
解: a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+ a25A35＝0 a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+ a45A35＝0
2(A31+A32+A33 ) +( A34+A35 ) ＝0 (A31+A32+A33 )+2( A34+A35 ) ＝0
A31+A32+A33=0 A34+A35 =0
二、行列式按某行(列)展开定理
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
行
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
列
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ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
思路:
先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转 化为特殊情形完成.
证：①先证
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②次证
思路： i 行逐一向下交换经 n－i 次至末行
化归为情形① j 列逐一向右交换经 n－j 次至末列
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由①
＝(－1)i＋j aij Mnn ＝(－1)i＋j aij Mij
＝aijAij
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③最后
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由②
n－k阶行列式，记M (3) k 阶子式的代数余子式:
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2. 拉普拉斯定理
行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成
的所有k 阶子式(共 积之和等于D.
个)与各自的代数余子式的乘
即：
D＝M1 A1＋M2 A2＋…＋Mt At (
)
注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开 注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理 k=1的情形
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例8 用拉普拉斯定理计算行列式 解：
＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8) ＝9
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例9 计算行列式
解： 法一 按三、四、五行展开
= ﹣1080
法二 按第五列展开后再按第一列展开
分析: A41+A42+A43+A44
=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44
=0
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巧用第3行的四个 1
例6 设
，求(1) A31+A32+A33 (2) A34+A35
[分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理
的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.