行列式的展开定理
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an2 L
a2n
M ann
a11M11
a11 A11 .
一般情形：
结论成立.
a11 L M ai1,1 L 0L
ai1,1 L M an1 L
a1, j1 M
a1 j a1, j1 L MM
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
0
aij
0L
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．
§3 行列式的展开定理
一、余子式、代数余子式
MMM
an, j1 anj an, j1 L
a1n M ai 1,n 0
ai1,n M ann
§3 行列式的展开定理
0L
a11 L M (1)i1 ai1,1 L ai1,1 L M an1 L
0
aij
0L
a1, j1 a1 j a1, j1 L
MMM
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
定义 在 n 阶行列式 det(aij ) 中将元素 aij所在的
第 i 行与第 j 列划去，剩下 (n 1)2个元素按原位置
次序构成一个n 1 阶的行列式，
a11 L M ai1, 1 L ai1 ,1 L M an1 L
a1, j1 a1 , j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1 , j1 ai1, j1 L
an1 an2 L ann
i 1,2,L ,n
k 1
或
n
D a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj akj Akj
k 1
j 1,2,L ,n
D a11 A11 a12 A12 L a1n A1n
§3 行列式的展开定理
证：
a11
a12
L
M
M
D ai1 0 L 0 0 ai2 L 0 L
a1n M ai1 , n ai1 ,n M ann
(1)i j2 aij Mij (1)i j aij Mij
aij (1)i j Mij aij Aij . 结论成立.
§3 行列式的展开定理
例1.计算行列式
解：
3 1 1 2
D
5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
5 1 1 1
D
11 0
MMM
an, j1 anj an, j1 L
0
a1n M ai 1,n ai1,n M ann
aij 0 L a1 j a11 L MM (1)i1(1) j1 ai1, j ai1,1 L ai1, j ai1,1 L MM anj an1 L
0
0L
a1, j1 a1, j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1, j1 ai1, j1 L
MM an, j1 an , j1 L
a1n M ai1 , n ai1 ,n M ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
a11 0 L 0
D
a21 M
a22 M
L
a2n M
an1 an2 L ann
由行列式的定义，有
D
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2L jn
a11
(1) ( j2L
a L jn ) 2 j2
anjn
j2L jn
§3 行列式的展开定理
a22 L a11 M
M
M
an1
an2
L
a1n M 0 L 0 ain M ann
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n MM M MM M
a11 a12 L a1n MM M
ai1 0 L 0 0 ai2 L 0 L 0 0 L ain
MM M MM M
MM M
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5Baidu Nhomakorabea0
§3 行列式的展开定理
二 、行列式按行(列)展开法则
1.引理
若n 阶行列式 D = det(aij ) 中的第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0，则
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 11 1 1
5 5 0
5 11 6 2 0
5 5 0
(1)13
6 5
2 5
40
§3 行列式的展开定理
2.定理 行列式按行（列）展开法则
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
n
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 L ain Ain aik Aik
D aij Aij .
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5 0
D a33 A33 1 (1)33 M33 .
§3 行列式的展开定理
证： 先证 aij a11 的情形，即
MM an, j1 an, j1 L
0
a1n M ai 1,n ai1,n M ann
§3 行列式的展开定理
a11 L
M
(1)i j2 aij
ai1, 1 ai1 ,1
L L
M
an1 L
a1, j1 a1 , j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1 , j1 ai1, j1 L
MM an, j1 an , j1 L
a2n
M ann
a11M11
a11 A11 .
一般情形：
结论成立.
a11 L M ai1,1 L 0L
ai1,1 L M an1 L
a1, j1 M
a1 j a1, j1 L MM
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
0
aij
0L
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．
§3 行列式的展开定理
一、余子式、代数余子式
MMM
an, j1 anj an, j1 L
a1n M ai 1,n 0
ai1,n M ann
§3 行列式的展开定理
0L
a11 L M (1)i1 ai1,1 L ai1,1 L M an1 L
0
aij
0L
a1, j1 a1 j a1, j1 L
MMM
ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L ai1, j1 ai1, j ai1, j1 L
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
定义 在 n 阶行列式 det(aij ) 中将元素 aij所在的
第 i 行与第 j 列划去，剩下 (n 1)2个元素按原位置
次序构成一个n 1 阶的行列式，
a11 L M ai1, 1 L ai1 ,1 L M an1 L
a1, j1 a1 , j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1 , j1 ai1, j1 L
an1 an2 L ann
i 1,2,L ,n
k 1
或
n
D a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj akj Akj
k 1
j 1,2,L ,n
D a11 A11 a12 A12 L a1n A1n
§3 行列式的展开定理
证：
a11
a12
L
M
M
D ai1 0 L 0 0 ai2 L 0 L
a1n M ai1 , n ai1 ,n M ann
(1)i j2 aij Mij (1)i j aij Mij
aij (1)i j Mij aij Aij . 结论成立.
§3 行列式的展开定理
例1.计算行列式
解：
3 1 1 2
D
5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
5 1 1 1
D
11 0
MMM
an, j1 anj an, j1 L
0
a1n M ai 1,n ai1,n M ann
aij 0 L a1 j a11 L MM (1)i1(1) j1 ai1, j ai1,1 L ai1, j ai1,1 L MM anj an1 L
0
0L
a1, j1 a1, j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1, j1 ai1, j1 L
MM an, j1 an , j1 L
a1n M ai1 , n ai1 ,n M ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
a11 0 L 0
D
a21 M
a22 M
L
a2n M
an1 an2 L ann
由行列式的定义，有
D
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2L jn
a11
(1) ( j2L
a L jn ) 2 j2
anjn
j2L jn
§3 行列式的展开定理
a22 L a11 M
M
M
an1
an2
L
a1n M 0 L 0 ain M ann
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n MM M MM M
a11 a12 L a1n MM M
ai1 0 L 0 0 ai2 L 0 L 0 0 L ain
MM M MM M
MM M
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5Baidu Nhomakorabea0
§3 行列式的展开定理
二 、行列式按行(列)展开法则
1.引理
若n 阶行列式 D = det(aij ) 中的第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0，则
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 11 1 1
5 5 0
5 11 6 2 0
5 5 0
(1)13
6 5
2 5
40
§3 行列式的展开定理
2.定理 行列式按行（列）展开法则
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
n
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 L ain Ain aik Aik
D aij Aij .
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5 0
D a33 A33 1 (1)33 M33 .
§3 行列式的展开定理
证： 先证 aij a11 的情形，即
MM an, j1 an, j1 L
0
a1n M ai 1,n ai1,n M ann
§3 行列式的展开定理
a11 L
M
(1)i j2 aij
ai1, 1 ai1 ,1
L L
M
an1 L
a1, j1 a1 , j1 L MM
ai1, j1 ai1, j1 L ai1 , j1 ai1, j1 L
MM an, j1 an , j1 L