行列式按行 列 展开法则
行列式按行(列)展开
当i≠j时,上式右端行列式中有两行对应元素相同, ≠ 时 上式右端行列式中有两行对应元素相同, 故行列式为零, 故行列式为零,即得
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + + ain A jn = 0(i ≠ j )
上述证法若按列进行, 上述证法若按列进行,即可得
a1i A1 j + a2i A2 j + + ani Anj = 0(i ≠ j )
j2
+ +a
jn
A
jn
a 11 a i1 = a j1 a n1
a 1n a in a jn a nn
在上式中把
a换成 a jk (k = 1, , n) ,可得 可得 ik
a 11 a i1 a 1n a in a in a nn
Байду номын сангаас
a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = a i1 a n1
行列式按行(列 展开 第四节 行列式按行 列)展开
一般说来, 一般说来,低阶行列式的计算要比高阶行列式的 计算要简便, 计算要简便,于是我们自然地考虑到用低阶的行列式 来表示高阶的行列式的问题.为此, 来表示高阶的行列式的问题.为此,先引入余子式和 代数余子式的概念. 代数余子式的概念. 定义 在n阶行列式 D = (a中,把元素 aij 阶行列式 所在的 ij ) 列划去, 第i行,第j列划去,剩下的元素按原来的相对位置形 行 列划去 成的n-1阶行列式叫做元素 aij 余子式,记作 M ij 称 成的 阶行列式叫做元素 的余子式, ; Aij = ( 1) i + j M ij 叫做元素 a的代数余子式. ij 例如 四阶行列式
第六节 行列式按行(列)展开
依次代替 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 b1 ai1,1
ai 1, n bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain . ai 1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 代替 det(aij)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的 第 j 列，可得
第六节 行列式按行(列)展开
主要内容
余子式和代数余子式 引理 行列式按行(列)展开法则 三阶行列式的几何意义 行列式的计算方法
一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式 的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是, 如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高 阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解 决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.
于用 1 , 1 , 1 , 1 代替a11D 的第 1a1n行所得的行列式，即
五、行列式的计算方法
到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式. 行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必 须掌握的基本技能.
行列式有以下三种计算方法: 1. 直接用定义公式计算; 2. 利用性质化为三角行列式; 3. 利用展开式定理降阶.
在这三种方法中,方法1 主要用于理论分析,
很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式 (如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,
有时也可用此方法来计算; 方法2 适用于行列式 的阶不确定的高阶行列式的计算; 方法3 主要用
于阶为已知的高阶行列式的计算. 当然在计算一个 行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.
或 D = a1jA1j + a2jA2j + ···+ anjAnj (j = 1,2, ···,n).
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x y yxO O； 2)111111121n n----O OL ； 3)121111n n n a a x D a x a x---=-M O O .解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n nn xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-.2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=L L 按展开. 3)法1 按1r 展开得法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x xM x x xx-----==---O OO O. 将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O OL L L12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，11220i j i j in jn a A a A a A +++=L ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++=L δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++=L δ，其中为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数显然(,)xy f x y =δ. 2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯=L δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =.1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号例3.5 1)若正整数i j ≠，则2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列 中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑L τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcdbb acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++O OO .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫⎪⎝⎭L L 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=-L L ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵； 2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++L .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =ONN O；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=ONN O.。
行列式按行列展开定理
行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
第1章 1.4 行列式按行按列展开法则
aaiijj ! 0 ! 0
"
"
"
( ) ( ) D =
- 1 i-1 ×
-1
a j-1 i-1, j
!
ai-1, j-1
!
ai -1,n
"
"
"
anj ! an, j-1 ! ann
aij ! 0 ! 0
"
"
"
( ) = - 1 i+ j-2 ai-1, j ! ai-1, j-1 ! ai-1,n
a21 a22 a23 a24
a21 aa2242a24aa2213a21aa2224a22a23 a23
a41 a42 a43 a44
a41 aa4442a44aa4413a41aa4424a42a43 a43
a11 a12 a13
= (-1)53+4aa3344 a21 a22 a23
a41 a42 a43
2 -2 1
ab c
2.行列式 d e f 元素 f 的代数余子式是？
ghk
A、 d e
gh
B、b a
hg
ab
ed
C、
D、
gh
hg
引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行i 所有元
素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij与它的代 数余子式的乘积，即 D = aij A．ij
a11 a12 a13 a14
§4 行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •n阶行列式的定义更适合0元素较多的高阶行列式 •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
一、引言
行列式性质按行(列)展开法则
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
行列式按行(列)展开
a21 a22 a2 n 证 当 aij 位于首位时,即 D 即有 D a11 M11 . an1 an 2 ann
又
A11 1
11
M 11 M 11 ,
从而
D a11 A11 .
命题得证
a11 a1 j a1n
下证一般情形, 此时 D 0
aij
0
an1 anj ann
把 D 的第i 行依次与第 i 1 行，第 i 2行，…第1行对调 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n a n1
D 0
aij
0
中的余子式 M ij .
an1 anj ann
aij anj aij
故 D 1
i j
0
0
于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij Mij ,
a n , j 1 0
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT D . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不 变．
行列式按行(列)展开
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6
行列式按行(列)展开
b
0 M M M
0 a M + b(−1)1+2n M M M 0 c
2( n−1)
b O a c N b d O d N
M c d 0 0 L L L L 0 d 14442 443 4 4 4
2( n−1)
c 0 L L L L 0 1 442 443 4 4 4 4
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= adD2( n−1) − bc(−1)2n−1+1 D2( n−1)
上式右端行列式中有两行对应元素相等， 当 i ≠ j 时，上式右端行列式中有两行对应元素相等， 故行列式为 0 ，即得
= an − an−2 = an−2 (a2 − 1).
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由定理3 可得下列推论： 由定理 可得下列推论： 行列式任一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 即
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L+ ain Ajn = 0, i ≠ j,
A32 = (−1)3+2 M32 = − M32 .
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阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0 ，那么这个行列式等于aij 与它 的代数余子式的乘积， 的代数余子式的乘积，即
D = aij Aij
证 先证aij 位于第 1 行、第 1 列的情形，此时 列的情形，
阶行列式中， 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 列的元素划去， 第 j 列的元素划去，留下来的 n-1 阶行列式叫做 元素 aij 的余子式，记作 Mij ； 余子式， 记 Aij =(－1)i+j Mij , － Aij 称为元素 aij 的代数余子式。 代数余子式。
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
3.行列式按行按列展开解读
( i 1, 2,3).
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 它对应的代数余子式乘积之和，即
det(aij ) ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
a12 ai2 an2
a1n a11 ain bi1 ann an1
a12 bi2 an2
a1n bin ann
性质5引申若行列式的某一行(列)的元素都是n个数之和 则行列式等于n个行列式之和
同理
ain Asn 0, i s .
a1 j A1t a2 j A2t
anj Ant 0,
j t.
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 它对应的代数余子式乘积之和，即 或 det(aij ) ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
a11 a21 D a31 a41
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
A44 1
4 4
M 44 M 44 .
注1: 行列式的每个元素分别对应着一个余子式 与一个代数余子式. 注2: 行列式的某个元素的余子式与代数余子式, 只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关.
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
第1章行列式1.4行列式的展开
=
n − 1 ×( −1) n − 2 ×( −1) 2行减去第1行 第 行减去第1 n − 3 ×( −1) 3行减去第2行 第 行减去第2 行减去第3 第4行减去第3行 n−4 ⋯ ×( −1) 第 行减去第n 1 ×( −1) n-1行减去第n-2行 行减去第n 第n行减去第n-1行 0 0 1 2 3 ⋯n− 2 n−1 0 1 2 3 ⋯ n− 2 n−1 1 0 0 0 ⋯ 0 1 −1 −1 −1 ⋯ −1 −1 0 0 1 1 −1 −1 ⋯ −1 −1 第1列加到 1 2 0 0 ⋯ 0 0 1 1 1 −1 ⋯ −1 −1 其他每一列 1 2 2 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a⋯= 0, a =⋯ ⋯ = 2, ..., a = n − 1 ⋯ ⋯ 1, a13 11 1n 12 0 1 2 2 2⋯ 0 1 a 1 = 1, a1 =⋯ −1 −1 1 0, 22 21 0 1 2 2 2⋯ 2 1 a 1 = n−2 ⋯ 1 1 1 −1 + − n −1,1 = ( n − 1) A1n = ( n − 1)( −1)n+1 2n− 2 最后1 最后1列递减
1 1 0 b −a = 0 b (b−a) b2(b−a) 0
1 c −a c (c−a) 2 c (c −a) 1 1 = (b−a) (c−a) (d −a) b c
1 d −a d (d −a) 2 d (d −a) 1 1 1 1 0 c −b d −b d 2 0 c (c−b) d (d−b) c2 d 2 b = (b−a) (c−a) (d −a) (c−b) (d−b) (d −c)
行列式的每个元素 都有一个余子式 代数余子式. 行列式的每个元素 都有一个余子式 和代数余子式.
1-4行列式按行(列)展开
, j1 , j 2 , , j k
M
，则称
A (1)
i1 i2 ik j1 j2 jk
为 N 的代数余子式。
例 四阶行列式 D 中，我们选定第一、二两行和 第二、四两列，则得二阶子式 N。再从D中划去 第一、二两行和第二、四两列得余子式M，
3 D 2 0 0 1 1 6 0 2 1 2 3 4 2 1 3 N 1 1 4 2 M 0 0 2 3
0 3
2 0
6
1 划去 1 所在的行和列 ， 0 3
2 1 1
1 2 0
2+ 2
1 在 第 二 行 第 二 列 ， 代 数 余 子 式 = (-1)
1 3
1 0
2 1 1 1 2 0
3
1 划 去 第 二 列 第 三 个 元 1 所 在 的 行 和 列 ，0 3
代 数 余 子 式 = (-1)
a
k 1
ki
推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行） 对应元素相同，则行列式的值等于零。
a i1 ai2 a i1 ai2 a in a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 a in
定理4（Laplace展开定理)： 在行列式 D 中任意 取k（1 k n－1）行，则由这 k 行元素所组成 的所有 k 阶子式与它们的代数余子式乘积之和 等于行列式 D .
注意这是一个递推公式，递推的首项，也就是一阶 和二阶行列式的值分别为：
D1 2
,
D2 3
D n 2 D n 1 D n 2
D n D n 1 D n 1 D n 2 D 2 D1 1
行列式按行列展开定理
一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D=,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1......................j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
行列式按行(列)展开定理
a1l A1 j a2l A2 j L
anl Anj
D, 0，
（当l j） （当l j）
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式
并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n
－1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中
某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
9
a11
a12
L
a1n
M MMM
ai1
ai2 L
a in
在行列式 D M M M M
ak1 M
ak 2 M
L
a kn
MM
an1
an2
L
ann
中, 如果令第 i 行的元素等则
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 L akn Ain
1
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
意义，但展开定理在理论上是重要的．
第三节行列式按行列展开
a c
b d
(ad bc) n
例7 : 设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
解 由 于 第 一 行 各 元 素 的数 代余 子 式 与 其 它 行 相 应 元 素 乘 积 之 和 为因 零此 有 1 A11 2 A12 0 A13 0 A1n 0 A12 A11 2 1 A11 0 A12 3 A13 0 A1n 0 A13 A11 3 A11 0 A12 0 A13 nA1n 0 A1n 1 A11 n
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
1 1 xy x 0
2
1 0 x
2
y
1 y 1
1 1 y
0 0 y
xy 2 xy 2 x 2 [(1 y 2 ) 1] x 2 y 2
用递推法计算
a a 例5 : D2 n c c a b d c d b
b
d
a a D2 n a c 0 c b d
3
1
7 2 6
20 42 12 1080.
1 x 例4 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 y 1
1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
1 1 1 1 y x 0 0
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=0 .
练习：
abc d
设四阶行列式D4dc
b b
d c
aa,则A14A24A34A44
abd c
M
a nn
行列式按i行的展开式
或 = a1jA1j + a2jA2j + ···+ anjAnj (j = 1,2, ···,n).
（证明略）
行列式按j列的展开式
重要定理
行列式某一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0 , i j ,
a1a a 13 22 2a a3 23 3 a1a a 23 21 1a a3 23 3 a1a a 33 21 1a a3 22 2
( 1 )1 1 a 1 1a a 3 2 2 2
a a 3 2 3 3 ( 1 )1 2 a 1 2a a 3 2 1 1
a a 3 2 3 3 ( 1 )1 3 a 1 3a a 3 2 1 1
参考：法三：利用二阶行列式（补充）
a11 a21 a31
a12 a22 a32
aaa132333定 义aa111a1a222a3a3332aa121a2a232a1a3133aa131a3a212a2a3231
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 1 2 ( a 2 3 a 3 1 a 2 1 a 3 3 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 )
（按列类似)
例设
3 5 2 1
1 1 0 5
D
,
1 3 1 3
2 4 1 3
D 的（i , j）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij 和 Aij ，求
A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M41 .
思考：2A11-4A12-A13-3A14 =？ A11 + A12 + A13 =？
解 A11 + A12 + A13 + A14 等于用1，1，1，1
代替 D 的第 1 行所得的行列式，即
A 11A 12A 13A 14
1 A 1 1 1 A 1 2 1 A 1 3 1 A 1 4 1111 1 1 0 5
1 3 1 3 2 4 1 3
=4 .
M11 + M21 + M31 + M41 = A11 - A21 + A31 - A41 = 1A11 +（-1） A21 + 1A31 +（–1） A41
或
a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0 , i j .
证明 （证明略）
设
a11 L a1n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
M
a11 a12 L a1n 设D a21 a22 L a2n
MM an1 an2 L ann
则 a i1A j1 a i2A j2 L a inA jn D , ij(i,j 1 ,2 ,L,n ) 0 , ij
a 2 2 a 3 2
a 1 1A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3A 1 3
§5 行列式按行(列)展开法则
行列式按行(列)展开法则
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即
a11 a12 L a21 a22 L M ML a n1 a n2 L
a1n
a 2 n = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ···+ ainAin (i = 1,2, ···,n)