行列式按行(列)展开

a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1
x1 a x1 a x1 a x1
x1 x a ( x1 a )( x2 a ) 1 1 ( x3 a )( x4 a ) 1 1
1 x2
2 x2

2 xn


n i j 1
( x x ).
i j
(1)
n n x 2 1 x n 1
15
证明： 用数学归纳法 (1) 当n=2时, D2
1 x1
1 x2
x 2 x1
2 i j 1
( x x ),
i j
结论成立。
(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。
c1 c2 c3 c4
4
a x2 a 1 0 0
a x3 a 0 1 0
a x4 a 0 0 1
( x a)
i i 1
一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,
变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或
二阶行列式。
13
例1:
计算行列式
3 D 5 2 1 1 1 0 0
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
c1 2c3 11 c4 c 3 0
5
1 1 0 5
1 3 1 3
5
5 ( 1) 3 3 11 5
1 1 5
1 1 0
14
r2 r1
5 6
1 2
1 0
5 5 0
( 1) 8 0
1 xn
1 3
6
2
5 5 2 5

40.
例2: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1 Dn x12 x1n1
7
(3)
一般情形
a11 D ai 1
a12 a1n a11 an1 a12 an 2 a1n ann
8
ai 2 ain
an1 an 2 ann
ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
n
1 0 0 n
c1
1 1 1 c2 c3 cn 2 3 n
1 1 1 1 1 i2 i 0 2 0 0 0 0

1 ) 0 3 0 n!(1 i2 i 0 0 n
22

n
例4：
a1 b a1 D a1 a1
a2 a2 b a2 a2
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0, k i .
证明： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。
a11 ai 1 a12 ai 2 a1 n
10
ain
n x2 2
1 x3

1 xn
n n x3 2 xn 2
n-1阶范德蒙德行列式
17
( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
n i j 2
(x x )
i j
n i j 1
( x x ).
i j
证毕。
练习：用降阶法 （按行按列展开） 计算行列式的值。
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。
12
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简
化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某
1 2 1
1 1 2 4 6 1 2 4 2
=57
18
1 1 4 1
五（加）. 利用性质及展开定理计算行列式的例题：
例1：
1 4 1 2 1 4 2 3 0 4 9
4 3 2
r1 4r2
r3 2r2
7 0 17 8 2 1 0 0 3 0
c2 c3
4 5 9
3 5 2
把D转化为(1)的情形
an1 anj
·· ·· 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，··，
第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j 1 列， 第 j 2 列，··，第2列，第1列交换，这样共经过 ·· ··
( i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤。
a11 D a21 an1
0

0
4
a22 a2 n an 2 ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
a11a2 j a3 j anj
2 3
n
a11 ( 1) ( 1, j
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )

1 xn x1 xn ( xn x1 )
n n x3 2 ( x3 列展开，并把每列的公 因子 ( xi x1 ) 提出,
1 ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 ) x2
五. 行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a23 a11 a33
a13
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式 来计算？
a3 a3 a3

an an an
a3 b
an b
r2 r1 r3 r1 rn r1
a1 b b b b
a2 b 0 0
a3 0 0

an 0 0
b
c1 c2 cn
b 箭形行列式
23
(a1 a2 an ) b 0 0 0
2 3
n
其中 ( 1) ( 1, j2 , j3 ,, jn ) a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项。 2 3 n 所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
5
(2)
设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 。
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
a2 b 0 0
a3 0 0

an 0 0
b
b
[(a1 a2 an ) b]( b)n1
24
x1
例5： D
a x2 a a
a a x3 a a x2 a 0 0
a a a x4 a 0 x3 a 0 a 0 a x4 a
25
1
定义1： 在 n 阶行列式中，把元素
a ij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
a ij 的 余子式。 记为 M ij
称
Aij 1 M ij
i j
为元素 a ij 的代数余子式。
a11
例如： D
a12 a22 a32 a42
2 3
a13 a23 a33 a43
在 D ak 1 an1
ak 2 akn an 2 ann
中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素
则，
a11 an1
a12
a1 n
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain ak 1 ak 2 akn 第i行
a14 a24 a34 a44
a21 a31 a41
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
2
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a12 a22 a32
3
定理1： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
证明： （先特殊，再一般）
i 1,2,, n
分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 。
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2

1 xn x
2 n
rn x1rn1
rn1 x1rn 2 r2 x1r1
16
x1n1


n n x 2 1 x n 1
1 0 0 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n x2 2 ( x2 x1 )
6
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij

0

0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj a n , j 1 ann
( 1)i j aij M ij ( 1)i j Aij
a x 2a 0 0
a 0 0

a 0 0
x 2a
x 2a
[ x ( n 2)a ]( x 2a )n1
21
例3： 1
1 1 1
箭形行列式 目标：把第一列化为 成三角形行列式
a11 0 0
1 2 0 0 D1 0 3 0
an1 an 2 ann
证毕。
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
3 5 3
例如，行列式 D 0
i 1,2,, n
按第一行展开，得
1 0 7 2
7
D 3
1 0 7 2
5
0 0 7 2
3
0 1 7 7
9
定理2： 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应