第三讲 行列式按行按列展开
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第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
第三讲 行列式按行按列展开
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准：日期：年月日任课教员：刘静课程名称：线性代数章节名称：第一章行列式课题：第三讲行列式按行按列展开目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。
器材设备：多媒体设备课前检查教学内容课堂组织教学内容： 本讲主要介绍：1. 行列式的按行（列）展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
教学方法与思路：1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；2. 对于三阶行列式，容易验证：111213222321232123212223111213323331333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。
教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。
教学步骤：教学内容、方法、步骤教学内容课堂组织1. 介绍余子式和代数余子式的概念；2. 引理；3. 行列式的按行（列）展开法则；4. 应用举例。
5. 小结并布置作业。
21222120n n n nna a a a中仅含下面形式的项232323,,)(1,,,,)11231123(1)n n n nj j j j j j nj j j nj a a a a a a a a τ=-2323(1,,,,)23n nj j j j j nj a a a 恰是11M 的一般项，所以1111111111(1)D a M a M a A +==-=的第 i 行除了ij a 外都是111110j n ij n njnna a a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行进行交换；再将第j 列与第1j -列，第2j -列，……，列交换，这样共经过(1)(1)i j i j -+-=+-交换行与交换列的步骤。
行列式按行按列展开
... a1n ... ... ... 0 . ... ... ... ann
把D转化为(1)的情形
· · · · · ， 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，·
第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j 1 列， 第 j 2 列，· · · · · · ， 第2列，第1列交换，这样共经过
an ( 1)n 1 1 0 x 1 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1
Dn x 0 an 1
x
an 2 a2
于是，得递推公式
Dn xDn1 an
而由递推公式，得
继续递推公式，得
Dn1 xDn 2 an1 D1 x a1
(1) ( j2 j3 ... jn ) a2 j2 a3 j3 ...anjn 恰是 M 11 的一般项。
D a11 M11
a11 (1)11 M11
a11 A11
13
(2) 设 D 的第 i 行除了 aij 外都是 0 。
a11 ... a1 j ... D 0 ... an1 ... ... ... aij ... ... ... anj
... ... ... an 2 ... ann
12
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
D
a11 (1) (1 j2 j3 ... jn ) a2 j2 a3 j3 ...anjn
其中 所以，
1 j2 j3 ... jn
(1) (1 j2 j3 ... jn ) a11a2 j2 a3 j3 ...anjn
... ai 1, j 1 ... ai 1,n
(1)i j aij Mij aij Aij
1-3行列式按行列展开
ab ab 0 D4 (a b)(1)11 a b a b 0
0 0 ab 0 ab ab
(a b)(1)14 0 a b a b ab 0 0
对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得
D4
[(a
b)2
(aБайду номын сангаас
b)2 ]
a a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a32
中元素 a23 的余子式为
M 23
a11 a31
a12 a32
元素 a23 的代数余子式为 A23 (1)23 M 23 M 23
例2 四阶行列式
1 0 1 1
0 2 5 1
1x 23
03 01
中元素 x 的代数余子式为
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
i 1,2,,n. j 1,2,, n
证 因为
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
第三节 行列式按行（列）展开
在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构成的 n − 1 阶行列式, 记成 Mij , 称为元素 aij 的余子式.
记 Aij = ( −1 ) i+j Mij
称它为元素 aij 的代数余子式. 例1 三阶行列式
0 0 ab 0 ab ab
(a b)(1)14 0 a b a b ab 0 0
对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得
D4
[(a
b)2
(aБайду номын сангаас
b)2 ]
a a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a32
中元素 a23 的余子式为
M 23
a11 a31
a12 a32
元素 a23 的代数余子式为 A23 (1)23 M 23 M 23
例2 四阶行列式
1 0 1 1
0 2 5 1
1x 23
03 01
中元素 x 的代数余子式为
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
i 1,2,,n. j 1,2,, n
证 因为
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
第三节 行列式按行（列）展开
在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构成的 n − 1 阶行列式, 记成 Mij , 称为元素 aij 的余子式.
记 Aij = ( −1 ) i+j Mij
称它为元素 aij 的代数余子式. 例1 三阶行列式
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
第三节行列式按行展开
2 n
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
山东财政学院统计与数理学院
（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
山东财政学院统计与数理学院
a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
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a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
行列式性质按行(列)展开法则
|a31 a32 a33|，可以选择第一行进行展开，得到其值等于a11*(a22*a33-a23*a32) - a12*(a21*a33a23*a31) + a13*(a21*a32-a22*a31)。
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
第三节 行列式按行(列)展开
−2 2 −3 −1 4 − 5 c2 − c1 = −4 × 1 1 −1 (−4) × 1 0 0 c3 + c1 8 −2 7 8 − 10 15 = (−4) × (−1)
2 +1
4 −5 = 4 × (60 − 50) = 40 − 10 15
三、行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和，即
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
b
要特别注意按照第一 行展开后剩余的2n-1 阶行列式的写法，并 注意其特点。
+ b ( − 1)1+ 2 n 0 c c 0
d 0
a ⋱ a b D = a × ( −1)1+1 ⋰ c 0 c d ⋱ ⋰
b
0
d 0 0 d
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
1 2 3 D= 2 0 7 2 3 1
解：第二行（列)有一个零元，可以利用展开定理， 化三阶行列式为2个二阶行列式的计算（这里按照第 2列展开）：
1 2 3 7 3 1+ 2 2 3+ 2 1 D = 2 0 7 = 2 × (−1) + 3 × (−1) 2 1 2 7 2 3 1
= − 2 ( 2 − 14 ) − 3( 7 − 6 ) = 24 − 3 = 21
第三节 行列式按行（列）展开
本节介绍的主要内容 余子式和代数余子式 行(列)只有一个非零元的展开引理 按行（列）展开定理 利用展开定理求范德蒙德行列式 利用展开定理求行列式
一、余子式和代数余子式 余子式 在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j 列划去后，留下的元素按照原来的位置构成的n-1 阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，即作Mij.
行列式按行列展开综述课件
代数余子式在行列式中的应用
代数余子式在行列式中的 应用
通过代数余子式，可以将n阶行列式展开为n 个n-1阶行列式的和，从而简化计算过程。
代数余子式在矩阵运算中 的应用
在矩阵运算中，代数余子式也具有重要的作 用，如计算矩阵的逆、求矩阵的秩等都需要
用到代数余子式的性质。
PART 04
行列式按行列展开的应用
03
n阶行列式的展开
• a{n1} & a{n2} & \cdots & a_{nn} \
n阶行列式的展开
end{vmatrix}$
按照从左上角到右下角的顺序，依次展开每一行和每一列，可以得到n个二阶行列式的乘积之和，即 $a_{11}(a_{22}a_{33}cdots a_{nn}) + a_{12}(a_{23}a_{34}cdots a_{n1}) + cdots + a_{1n}(a_{21}a_{31}cdots a_{n2})$。
行列式的性 质
总结词
行列式具有一些重要的性质，包括交换律、结合律、分配律等。
详细描述
行列式具有交换律，即行列式的值与元素的排列顺序无关，即det(A)=det(A')； 行列式具有结合律，即对于任意常数c和矩阵A，有det(cA)=c^n*det(A)；行列 式具有分配律，即对于任意两个矩阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
三阶行列式可以通过按照主对角线、 副对角线以及平行于主对角线和副对 角线的线进行展开。
详细描述
对于三阶行列式，我们可以将其表示 为
三阶行列式的展开
a&b&c d&e&f g&h&i
行列式按行(列)展开
11
a21 a22 a2 n 证 当 aij 位于首位时,即 D 即有 D a11 M11 . an1 an 2 ann
又
A11 1
11
M 11 M 11 ,
从而
D a11 A11 .
命题得证
a11 a1 j a1n
下证一般情形, 此时 D 0
aij
0
an1 anj ann
把 D 的第i 行依次与第 i 1 行，第 i 2行，…第1行对调 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n a n1
D 0
aij
0
中的余子式 M ij .
an1 anj ann
aij anj aij
故 D 1
i j
0
0
于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij Mij ,
a n , j 1 0
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT D . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不 变．
a21 a22 a2 n 证 当 aij 位于首位时,即 D 即有 D a11 M11 . an1 an 2 ann
又
A11 1
11
M 11 M 11 ,
从而
D a11 A11 .
命题得证
a11 a1 j a1n
下证一般情形, 此时 D 0
aij
0
an1 anj ann
把 D 的第i 行依次与第 i 1 行，第 i 2行，…第1行对调 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n a n1
D 0
aij
0
中的余子式 M ij .
an1 anj ann
aij anj aij
故 D 1
i j
0
0
于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij Mij ,
a n , j 1 0
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT D . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不 变．
行列式按行(列)展开
例
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6
行列式按行(列)展开
b
0 M M M
0 a M + b(−1)1+2n M M M 0 c
2( n−1)
b O a c N b d O d N
M c d 0 0 L L L L 0 d 14442 443 4 4 4
2( n−1)
c 0 L L L L 0 1 442 443 4 4 4 4
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= adD2( n−1) − bc(−1)2n−1+1 D2( n−1)
上式右端行列式中有两行对应元素相等， 当 i ≠ j 时，上式右端行列式中有两行对应元素相等， 故行列式为 0 ，即得
= an − an−2 = an−2 (a2 − 1).
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返回
由定理3 可得下列推论： 由定理 可得下列推论： 行列式任一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 即
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L+ ain Ajn = 0, i ≠ j,
A32 = (−1)3+2 M32 = − M32 .
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阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0 ，那么这个行列式等于aij 与它 的代数余子式的乘积， 的代数余子式的乘积，即
D = aij Aij
证 先证aij 位于第 1 行、第 1 列的情形，此时 列的情形，
阶行列式中， 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 列的元素划去， 第 j 列的元素划去，留下来的 n-1 阶行列式叫做 元素 aij 的余子式，记作 Mij ； 余子式， 记 Aij =(－1)i+j Mij , － Aij 称为元素 aij 的代数余子式。 代数余子式。
线性代数-行列式按行(列)展开
2
证明 用数学归纳法
x n1 n
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
减去前行的 x1倍：
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
一、引言
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 35
02 35
2 r2 (2)r110 0
3 7
1
7
2 10 (2)
2
r3 r1
66
0 66
20 (42 12) 1080.
3 5 2 1 例 设 D 1 1 0 5 , D的(i, j) 元的余子式和
1 3 1 3 2 4 1 3
10 0
M11 M21 M34 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 2 1
1 5 2 1
1
1
0 5 r4 r3 1
1 0 5
1313
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
1 1
2 0
1 5
1 r1 2r3 1
x3
xn
n−1阶范德蒙德行列式
1.3行列式按行展开
例2 求四阶行列式
0 1 0 2
3 1 2 7 D
1 3 1 3
4 1 5 1
解 把行列式的第2列乘以2加到第4列上，有
0100
3 1 2 9
D
（按第1行展开）
1 3 1 3
4 1 5 1
3 2 9 1(1)12 1 1 3 11
4 5 1
例3 计算n阶（n>1）行列式
x y 0 00
0 x y 0 0
。
1项：xn xn1
习作题
11 1 1 21 3 4 D 4 1 9 16 8 1 27 64
( 1 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 2 ) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4 ( 3 ) 12
12 4 8
11 1 D
1 ? 12
1 3 9 27
1 4 16 64
(a1)3 D (a1)2
( a n d n b n c n ) a n 1 ( d n 1 b n 1 c n 1 ) ( a 2 d 2 b 2 c 2 ) D 2
(a n d n b n c n)a (n 1 d n 1 b n 1 c n 1 ) (a 2 d 2 b 2 c 2)a (1 d 1 b 1 c 1 )
a1
(a2)3 (a2)2 a2
(a3)3 (a3)2
a3
(a4)3 (a4)2
a4
1
1
1
1
解 将行列式的第四行与第一行调换，再将行列式的第二行和
第三行调换，得
1
1
1
1
D(1)2(aa11)2 (a1)3
a2 (a2)2 (a2)3
a3 (a3)2 (a3)3
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
线性代数 1.3按行(列)展开
23
行列式的计算 提取因子法： 提取因子法：
常用技巧
•行(列)和相等时，各行 列)加到第一行 列) ， 行 列 和相等时 各行(列 加到第一行 和相等时， 加到第一行(列 提取公因子，再继续化简。 提取公因子，再继续化简。
拆分法： 拆分法：A=B+C 数学归纳法（不讲） 数学归纳法（不讲） 递推法
5 −6 0 5 6 = × 1 5 6 = −5735 −1 5 0 1 −5
19
计算2n阶行列式 例6：计算2n阶行列式
a a O D2 n = N b b a b b a O a a N b b
第n行 行 n+1行 第n+1行
= (a 2 − b 2 ) n
20
计算n+m阶行列式 例7 计算 阶行列式
a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 + a12(−1) + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32
1
一、定义 n阶行列式 阶行列式
a11 a 21 Dn = ⋅⋅⋅ a n1
a12 a 22 ⋅⋅⋅ an2
⋅ ⋅ ⋅ a1n ⋅ ⋅ ⋅ a2n ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a nn
1 x3
2 x3
... . ... ...
..
1 x n −1
2 x n −1
1 xn
2 xn
..
n −1 x1
..
n −1 x2 n −1 x3
..
n −1 x n −1
..
nห้องสมุดไป่ตู้−1 xn
...
12
1 0 = 0 M 0
1 x 2 − x1 x 2 ( x 2 − x1 ) M n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
行列式的计算 提取因子法： 提取因子法：
常用技巧
•行(列)和相等时，各行 列)加到第一行 列) ， 行 列 和相等时 各行(列 加到第一行 和相等时， 加到第一行(列 提取公因子，再继续化简。 提取公因子，再继续化简。
拆分法： 拆分法：A=B+C 数学归纳法（不讲） 数学归纳法（不讲） 递推法
5 −6 0 5 6 = × 1 5 6 = −5735 −1 5 0 1 −5
19
计算2n阶行列式 例6：计算2n阶行列式
a a O D2 n = N b b a b b a O a a N b b
第n行 行 n+1行 第n+1行
= (a 2 − b 2 ) n
20
计算n+m阶行列式 例7 计算 阶行列式
a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 + a12(−1) + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32
1
一、定义 n阶行列式 阶行列式
a11 a 21 Dn = ⋅⋅⋅ a n1
a12 a 22 ⋅⋅⋅ an2
⋅ ⋅ ⋅ a1n ⋅ ⋅ ⋅ a2n ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a nn
1 x3
2 x3
... . ... ...
..
1 x n −1
2 x n −1
1 xn
2 xn
..
n −1 x1
..
n −1 x2 n −1 x3
..
n −1 x n −1
..
nห้องสมุดไป่ตู้−1 xn
...
12
1 0 = 0 M 0
1 x 2 − x1 x 2 ( x 2 − x1 ) M n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
第三节 按行(列)展开定理
列式的和。 则此行列式等于两个行 列式的和。
性质五：行列式某一行 (列)的所有元素的 k 倍加到另一行 (列) 性质五：
的对应元素上， 的值不变。 的对应元素上，行列式 的值不变。
余子式与 余子式与代数余子式
a11 ⋮ a i −11 ∆= a12 ⋮ ⋯ a1 j −1 ⋮
a1 j ⋮
a1 j +1 ⋮
行列式相等。 即：行列式和它的转置 行列式相等。
），行列式的值改变符 性质二： 互换行列式的两行（ 性质二： 互换行列式的两行（列 ），行列式的值改变行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式 的值为零。 完全相同， 的值为零。
性质三： 性质三：
行列式的某一行（ 式的外面。 行列式的某一行（列） 的公因子可以提到行列 式的外面。
b a a a b a a a = b 2a + b a a 2a + b b a 2a + b a b
2a + b a a
2a + b b a 1 0 b−a 0
2a + b a b 0 0 b−a
1 = ( 2a + b ) a a
1 b a
1 a b
= ( 2a + b ) a a
b−a = ( 2a + b ) 0
n
按第一例元素的展开式
= a11 A11 + a 21 A21 + ⋯ + a n1 An1 = ∑ a i 1 Ai 1
i =1
n
b 例题 1：计算行列式 a a
a b a
a a 的值。 的值。 b
分析： 行列式的特点是每列元 素之和都是 2a + b， 分析： 所以将第二行、第三行 都加到第一行上，得 都加到第一行上， 所以将第二行、
性质五：行列式某一行 (列)的所有元素的 k 倍加到另一行 (列) 性质五：
的对应元素上， 的值不变。 的对应元素上，行列式 的值不变。
余子式与 余子式与代数余子式
a11 ⋮ a i −11 ∆= a12 ⋮ ⋯ a1 j −1 ⋮
a1 j ⋮
a1 j +1 ⋮
行列式相等。 即：行列式和它的转置 行列式相等。
），行列式的值改变符 性质二： 互换行列式的两行（ 性质二： 互换行列式的两行（列 ），行列式的值改变行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式 的值为零。 完全相同， 的值为零。
性质三： 性质三：
行列式的某一行（ 式的外面。 行列式的某一行（列） 的公因子可以提到行列 式的外面。
b a a a b a a a = b 2a + b a a 2a + b b a 2a + b a b
2a + b a a
2a + b b a 1 0 b−a 0
2a + b a b 0 0 b−a
1 = ( 2a + b ) a a
1 b a
1 a b
= ( 2a + b ) a a
b−a = ( 2a + b ) 0
n
按第一例元素的展开式
= a11 A11 + a 21 A21 + ⋯ + a n1 An1 = ∑ a i 1 Ai 1
i =1
n
b 例题 1：计算行列式 a a
a b a
a a 的值。 的值。 b
分析： 行列式的特点是每列元 素之和都是 2a + b， 分析： 所以将第二行、第三行 都加到第一行上，得 都加到第一行上， 所以将第二行、
第三节行列式按行列展开
n 1
a c
b d
(ad bc) n
例7 : 设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
解 由 于 第 一 行 各 元 素 的数 代余 子 式 与 其 它 行 相 应 元 素 乘 积 之 和 为因 零此 有 1 A11 2 A12 0 A13 0 A1n 0 A12 A11 2 1 A11 0 A12 3 A13 0 A1n 0 A13 A11 3 A11 0 A12 0 A13 nA1n 0 A1n 1 A11 n
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
1 1 xy x 0
2
1 0 x
2
y
1 y 1
1 1 y
0 0 y
xy 2 xy 2 x 2 [(1 y 2 ) 1] x 2 y 2
用递推法计算
a a 例5 : D2 n c c a b d c d b
b
d
a a D2 n a c 0 c b d
3
1
7 2 6
20 42 12 1080.
1 x 例4 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 y 1
1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
1 1 1 1 y x 0 0
a c
b d
(ad bc) n
例7 : 设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
解 由 于 第 一 行 各 元 素 的数 代余 子 式 与 其 它 行 相 应 元 素 乘 积 之 和 为因 零此 有 1 A11 2 A12 0 A13 0 A1n 0 A12 A11 2 1 A11 0 A12 3 A13 0 A1n 0 A13 A11 3 A11 0 A12 0 A13 nA1n 0 A1n 1 A11 n
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
1 1 xy x 0
2
1 0 x
2
y
1 y 1
1 1 y
0 0 y
xy 2 xy 2 x 2 [(1 y 2 ) 1] x 2 y 2
用递推法计算
a a 例5 : D2 n c c a b d c d b
b
d
a a D2 n a c 0 c b d
3
1
7 2 6
20 42 12 1080.
1 x 例4 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 y 1
1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
1 1 1 1 y x 0 0
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单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室
批准：日期：年月日任课教员：刘静
课程名称：线性代数
章节名称：第一章行列式
课题：第三讲行列式按行按列展开
目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则；
2. 掌握行列式的计算方法。
难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。
器材设备：多媒体设备
课前检查
教学内容课堂组织
教学内容： 本讲主要介绍：
1. 行列式的按行（列）展开法则；
2. 掌握行列式的计算方法。
教学方法与思路：
1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；
2. 对于三阶行列式，容易验证：
1112132223212321232122231112
13
32
33
31
33
31
33
31
32
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？
3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；
4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。
教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。
教学步骤：
教学内容、方法、步骤
教学内容课堂组织
1. 介绍余子式和代数余子式的概念；
2. 引理；
3. 行列式的按行（列）展开法则；
4. 应用举例。
5. 小结并布置作业。
212
n n n nn
a a a
中仅含下面形式的项
a M =1
0n ij n nj
nn
a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1
(1)i j j
i j i n ij nj
n j nn
a a a M a a a +-----=-
教 学 内 容 课堂组织
1
2121212
11
12111
121111211
21
2
1
2
1
0000
00000000n
i i in i i in n n nn n n nn n
n n i i in n n nn
n n nn
n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++
++
+++++21122nn
i i i i in in
a A a A a A +++
证毕。
行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的1
2121
2
n i i in
k k kn n n nn
a a a a a a a a a 中，如果令第外一行，譬如第 k 行的元素，则
1
2121
2
n k k kn
kn in k k kn n n nn
a a a a A a a a a a a +=
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，
21
1
1112
n n n i j n n n n
x x x ≥>≥---=
证明：用数学归纳法证。
112211
111111100
)
0)
n n n n r x r r x r x r x r x x ------=--2222
3
n
n n n n
x x ---
阶范得蒙行列式，故原式
)(x =
∏
∏
41234
1
n n n n -----0
123
21111111111
1
1
1
1
1
n n --------。