行列式按行列展开法则

解 A11 + A12 + A13 + A14 等于用1，1，1，1
代替 D 的第 1 行所得的行列式，即
A 11A 12A 13A 14 1 A 1 1 1 A 1 2 1 A 1 3 1 A 1 4
1111 1 1 0 5 1 3 1 3 2 4 1 3
=4 .
M11 + M21 + M31 + M41 = A11 - A21 + A31 - A41 = 1A11 +（-1） A21 + 1A31 +（–1） A41
参考：法三：利用二阶行列式（补充）
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a a a1 3 23 3 3定 义 aa 111a1a222a 3a3332aa 121a 2a232a 1a3133aa131a 3a212a2a3231
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 1 2 ( a 2 3 a 3 1 a 2 1 a 3 3 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 ) a 1a a 1 3 22 2a a 3 2 3 3a 1a a 2 3 21 1a a 3 2 3 3a 1a a 3 3 21 1a a 3 22 2 ( 1 ) 1 1 a 1 1 a a 3 2 2 2 a a 3 2 3 3 ( 1 ) 1 2 a 1 2a a 3 2 1 1a a 3 2 3 3 ( 1 ) 1 3 a 1 3 a a 3 2 1 1a a 3 2 2 2 a 1 1 A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3 A 1 3
M
a nn
行列式按i行的展开式
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或 = a1jA1j + a2jA2j + ···+ anjAnj (j = 1,2, ···,n).
（证明略）
行列式按j列的展开式
重要定理
行列式某一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0 , i j ,
1 5 2 1 1 1 0 5 1313 1 4 1 3
=0 .
练 习 ：
abc d
设 四 阶 行 列 式 D4d c
b b
d c
a a,则 A14A24A34A44
abd c
§5 行列式按行(列)展开法则
行列式按行(列)展开法则
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即
a11 a12 L a21 a22 L M ML an1 an2 L
a1n
a 2 n = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ···+ ainAin (i = 1,2, ···,n)
（按列类似)
例设
3 5 2 1
1 1 0 5
D
,
1 3 1 3
2 4 1 3
D 的（i , j）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij 和 Aij ，求
A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M41 .
思考：2A11-4A12-A13-3A14 =？ A11 + A12 + A13 =？
或
a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0 , i j .
证明 （证明略）
设
a11 L a1n
M
M
a11 a12 L a1n 设D a21 a22 L a2n
MM an1 an2 L ann
则 a i1 A j1 a i2 A j2 L a in A jn D , ij(i,j 1 ,2 ,L ,n ) 0 , ij