线性代数习题1.5行列式按行(列)展开
线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
1-5行列式按行列展开ppt课件
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子
行列式按行(列)展开-线性代数
矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以计算矩阵的 逆矩阵。
矩阵求行列式
行列式按行(列)展开是计算矩阵行列式的基 本方法之一。
在特征值与特征向量中的应用
1 2
特征值求解
行列式按行(列)展开可以用于求解矩阵的特征值。
特征向量求解
通过行列式按行(列)展开，可以求解矩阵的特征 向量。
3
判断特征值的个数
通过行列式不为0的条件，可以判断特征值的个 数。
替换元素
将选定列中的其他元素替换为零。
03
02
提取因子
将选定列中的元素按照对应行提取 出来，作为新的因子。
计算行列式
根据二阶行列式的计算方法，计算 得到新的行列式。
04
计算实例
假设有一个三阶行列式|A|，其元素如下
| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 |
计算实例
01
| a31 a32 a33 |
$|a_{21} quad a_{22}|$
行列式的定义
三阶行列式：由三个元素 $a_{11}$，$a_{12}$， $a_{13}$和$a_{21}$， $a_{22}$，$a_{23}$以及 $a_{31}$，$a_{32}$， $a_{33}$构成的二阶行列式， 记作
$|a_{11} quad a_{12} quad a_{13}|$
03
2023
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
定义与性质
定义
行列式按列展开是将行列式中的元素 按照某一列的对应行进行展开，得到 一个与原行列式等价的二阶行列式。
性质
行列式按列展开后，其值不变，即 |A|=|A|'，其中A为原行列式，A'为按列 展开后的行列式。
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式按行列展开定理
00 00
x 1 a2 a1 x
1 0 x 1 an (1)n1 0 x
00
于是, 得递推公式 而由递推公式, 得 继续递推公式, 得
Dn xDn1 an Dn1 xDn2 an1 D1 x a1
第18页，共48页。
00 00 00 x 1
18
故 Dn x( xDn2 an1 ) an x2 Dn2 an1 x an
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
第20页，共48页。
20
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开,再把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出,
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1阶行 列式来计算？
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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THANKS
某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式按行展开
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则
练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则一、填空题:1. 已知,表示第行第列元素的余子式, 则 . 解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, 方程组有非零解.解：方程组有非零解，由于，所以或.故应填或.二、选择题：1．设, 则多项式次数最高可能为 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，将其按第一行展开，得.若，则是常数；若，则是一次多项式，故应选(A).2. 设,且其每列元素之和为, 则的第一行元素的代数余子式之和 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：, 显然，与第一行元素的代数余子式相同，所以，故应选(B).3. 行列式非零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素非零； (B) 的任意两行元素之间不成比例；(C) 至少有个元素非零； (D) 以为系数行列式的齐次线性方程组有唯一解.解：选项(A),(B),(C)均不是非零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性方程组只有零解, 则应满足的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：齐次线性方程组只有零解, 而，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2) ，得证.四、计算下列行列式:(1) ； (2) .解：(1)将的第行经次行的调换调至第一行，第行经次行的调换调至第二行,…, 第2行经1次行的调换调至第行, 于是经过次行调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于小于阶的行列式均成立，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.。
线性代数 北京理工大学出版社 习题解答
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载线性代数北京理工大学出版社习题解答地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一章行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解阶行列式的概念和阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的阶行列式；4. 掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式：(5)2．计算三阶行列式：(2)3．求解方程解故原方程的解为4．用行列式解下列方程组：(1) (2)解(1)故所求的方程组有唯一解：(2)，，故所求的方程组有唯一解：6. 当取何值时，解解得§1.3 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子的项.解利用阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为和.又因为，，所以四阶行列式中含有因子的项为和，即和.3. 已知，用行列式的定义求的系数.解的展开式中含的项只有一项：，故的系数为.4. 利用行列式的定义计算下列行列式:(2);解析由阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取，那么行列式的结果为;补充练习1. 由行列式的定义写出的展开式中包含和的项.解的展开式中含的项只有一项，而含的项有两项和，从而展开式中含的项为：.§1.4 行列式的性质1. 利用行列式的性质计算下列行列式：(2)(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.(4)2. 证明下列等式：（2）;（3）; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.;(3) 由性质4，将的第1列拆开，得,将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取，得，将第1个行列式第2、3列提取，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，;3. 计算下列阶行列式.(1); (2);解 (1)把第列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子，提取公因子之后，再给第1行乘以加到第行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得;4. 求方程的根.解第1行乘以加到第行，得如下行列式:再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.即可求出根:.补充练习2. 已知行列式，求行列式的值.解=.§1.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式中元素5与2的代数余子式.解元素5的代数余子式为元素2的代数余子式为2. 已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解由行列式按行（列）展开定理，得3. 求下列行列式的值（2）（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得4. 讨论当为何值时，行列式.解所以，当，且，且时，.5. 计算阶行列式(3)按第1列展开，得上式右端的行列式再按第一行展开，得移项，得，递推，得从而得把上面个等式相加，得7．设四阶行列式试求的值，其中（）为行列式的第4列第行的元素的代数余子式. 解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有即§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法则解线性方程组（3）解：所以方程组有唯一解. 又所以方程组的解为，，， .2．满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解由克莱姆法则知，当系数行列式，线性方程组有唯一解，当时，，即当时，题设的线性方程组有唯一解.3．当为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：，.4．和为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：或.即当或时，方程组有非零解.5．求二次多项式，使得，，.解由，，，得要求二次多项式需要求出系数，即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式所以可用克莱姆法则求解.由于从而，，.即所求的二次多项式为.补充练习2．系数满足什么条件时，四个平面相交于一点（）？解把平面方程写成如下形式，（，），于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组有一非零解（）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式，即四个平面相交于一点的条件为3．设平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），求系数.解由平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），得我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数.，又，，，从而，，，.第二章矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。
1-5行列式按行(列)展开
将高阶行列式转化为低阶行列式
定义1.7 (余子式，代数余子式) 在Dn aij 中（n 2), 划去 aij 所在的第 i 行和第 j 列，
剩余的 n 1 阶行列式称为 aij 的余子式，记作 M ij , 而把 Aij det ( 1) i j M ij 称为 aij 的代数余子式.
k 3 2 k 2 2
xk 1 xk xk 1 ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk )
k 3 1 k 2 k 1
x ( x1 xk ) x ( x2 xk ) x ( x1 xk ) x ( x2 xk )
1 x1 1 k =（1 ） ( x1 xk )( x2 xk ) ( xk 1 xk ) x12
a21 a12 M12 a31 a11 a22 M 22 a31
Hale Waihona Puke a23 1 2 a21 , A12 ( 1) a33 a31 a13 2 2 a11 , A22 ( 1) a33 a31
a23 a33 a13 a33
定理1.3 D aij n 等于其任一行（列)
yi xi
系数 行列式为
1 1 D 1 1
x1 x2 x3 x4
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4
3 x1 3 x2 3 x3 3 x4
1 x1 T D 2 x1 3 x1
1 x2 2 x2 3 x2
1 x3 2 x3 3 x3
1 x4 2 x4 3 x4
证明：用数学归纳法 （1）当 n = 2 时，D2 1 1 x2 x1 ，公式成立。 x1 x2
线性代数第一章§1.4-1.6,习题
互换 i, j (i < j)两行得到
a11 a j1 D1 ai1 an1
a1 p a jp aip anp
a1n a jn ain ann
b11 bi1 b j1 bn1
b1 p bip b jp bnp
r4 – 3r1
1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 0 2 1 5
r2 r3
1 0
1 2
2 0
3 4
0 0 1 0 0 2 1 5
1 0 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 3 4 0 1
r4 + r2
r 4 + r3
1 1 2 3 0 2 0 4 2 0 0 1 0 0 0 0 1
n
更一般的有
1 0 Dn 1 0 0 an
（形如
1 0 0 0
1 0
1 a1 0 0 0
a0 1 1 1 1
(a1a2 an 0)
a2 0 0
an 1
，称为箭形（或爪形）行列式）
另外还有
§1.6 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
定义：
0 b11 b1n bn1 bnn ,
a11 a1k b11 b1n D1 , D2 , a k 1 a kk bn1 bnn 证明: D = D1D2.
证明: 对D1作行运算 ri + t rj , 把D1化为下三角形 行列式: p 0
11
D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
则D = D1D2.
理1.5行列式的按行按列展开-28页精选文档
22Leabharlann 例题 已知5阶行列式求
和
其中
为 的第4行第
23
列元素的代数余子式.
23
解答 将行列式按第4行展开有
第2行元素与第4行元素的代数余子式乘积之和为零
联立以上两式可解得
24
24
课堂练习：行列式的计算
练习 计算行列式
25
25
课后作业
习题1.5 （第48-49页）
1， 3（1， 2）
26
谢谢你的阅读
练习 计算行列式
答案 该题答案为4.
19
19
定理 设 阶行列式
表 中元素 的代数余子式， 表
表 的第 行的元素
被
换为
后的行列式，则
20
20
即
21 提醒 对阶行列式的列，有类似的结论成立！
21
定理 行列式某一行的元素与另一行的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
提醒 行列式某一列的元素与另一列的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
个元素排成 行 列； 个数 排成 行 列；
提醒 由行列式性质1
15
及以上公式有
15
提醒 由行列式的性质3及前面两个公式有
其中 是 个元素排成 行 列； 是 个元素排成 行 列；
16
16
例题 计算行列式 解答 直接由以上公式有
原行列式
17
17
例题 计算行列式
解答
18
上面 公式
18
课堂练习：行列式的计算
1
2
3
§1.5.1 余子式及代数余子式
设
在 阶行列式 中，划掉元
素 所在的行与列后所得到的
1.5.11.4行列式按行列展开学习资料
ann1
证
数学归纳法.当
n
2
时,
1 a1
1 a2
a2 a1，
结论成立．
假设对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立．
下证对于n 阶范德蒙行列式 Dn 结论也成立. 把 Dn 从第n-1行开始，每行乘以 (a1) 后加到下一行，得
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
n aik Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj2
ain Ajn
D 0
i i
j j
,
k 1
n aki Akj a1i A1 j a2i A2 j
ani Anj
D 0
i j i j.
k 1
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
推 论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
1.4 行列式按行（列）展开 02 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则
定 理 4 在一个 n 阶行列式 D 中，如果第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这个行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积,即
D aij Aij .
a11 例 如 : D a21
a12 a22
a13 a23
a11 a12
a1n
相同
第i行 第 j行
ai1 ai2 ai1 ai2
线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理
第一章 行列式
1.5 行列式按 k 行(列)展开 ——拉普拉斯(Laplace)定理
一、 拉普拉斯定理 二、 小结、思考题
. #;
一、拉普拉斯定理
定义（见课本 P32-33）
方阵的 k 阶子式
k 阶子式的余子式
k 阶子式的代数余子式
例如:
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
A 为 5 阶方阵, | A | a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
比较元素 aij 的余子式、代数余子式.
. #;
再例:
a11 a12 a13 | A | a21 a22 a23
a31 a32 a33
A 的第1, 2行元素 组成的 2 阶子式:
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
a12 a13 a22 a23
a11 a13 a21 a23
a11 a12 a21 a22
2 阶子式的余子式:
a31
a32
a33
2 阶子式的 代数余子式:
(1)(12)(23) a31 a31 (1)(12)(13) a32 a32 (1)(12)(12) a33 a33
. #;
观察 3 阶行列式 aij 按第三行展开式 :
. #;
1.5 行列式按行(列)展开
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1, 2 n) D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2 n)
---行列式按行(列)展开法则
a11 a12 a1n
D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
a11 ( 1)
a12 ( 1)
1 1
a23 a33
a22 a32
a21 a31 a21 a31
a23 a33
a23 a33 a22 a32
1 2
代 数 余 子 式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
18
1 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 ( x3 x1 ) x 3 ( x 3 x1 )
1 ( x n x1 ) x n ( x n x1 )
Dn 0
n 2 n 2 n 2 0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
行列式按行(列)展开
按第1行展开
a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33
a22 a11 ( 1) a32 A11
1 1
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11
线性代数试题 - 湖北工业大学
《线性代数》课程考试要点及样卷一、课程概况先修课程：高等数学课程目的和主要内容：通过本课程学习，使学生初步掌握线性代数的基本内容、理论与方法，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力,以及解决实际问题的能力, 也逐渐培养学生提出问题和解决问题的创新思维能力。
为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的代数基础。
主要内容为行列式、矩阵、初等变换、向量与矩阵秩、线性方程组的求解、特征值与特征向量、二次型。
二、课程内容第一章：行列式1.1排列理解逆序数定义,会求逆序数1.2 n阶行列式了解行列式的概念1.3 行列式的主要性质掌握行列式的性质1.4 行列式按行（列）展开会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式1.5 克莱姆法则掌握克莱姆法则重要考点：行列式的计算第二章：矩阵2.1 矩阵的概念理解矩阵的概念。
了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及他们的性质2.2 矩阵的运算掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算法则，了解方阵的幂，方阵乘积的行列式2.3 逆矩阵理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆2.4 分块矩阵掌握分块矩阵的运算重要考点：矩阵的各种运算，方阵逆矩阵的求法第三章：消元法与初等变换3.1消元法与线性方程组的初等变换了解线性方程组的初等变换3.2 矩阵的初等变换掌握矩阵的初等变换3.3 初等矩阵了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念3.4 初等变换法求逆阵掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法3.5 消元法求解线性方程组掌握用行初等变换求线性方程组解的方法重要考点：矩阵的初等变换，初等变换法求逆矩阵第四章：向量与矩阵秩4.1 向量的概念理解n维向量的概念及其运算4.2 n维向量空间理解n维向量空间4.3 向量的线性相关性理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论4.4 向量组等价了解向量组等价的概念4.5极大无关组了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念4.6矩阵的秩会求向量组的极大线性无关组及秩。
中国农业大学2016-2017(春)《线性代数》期末考试试题解析
2016~2017学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第3列的元素分别为1,-3,2，其对应的余子式为3,1,2，则||A =10．．解析：313233||(1)13+(1)3)1+(1)2210(-A +++=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=注释本题知识点：行列式按行按列展开答案：102．设矩阵1223135()4()2()αααααα-+-=+，其中1=(3,-1,0,1)Tα，2=(3,-3,6,3)Tα则3=α(1,0-1,0)T，解析：由1223135()4()2()αααααα-+-=+得到12336ααα-=所以31211=3-=(9-303)(3-36,3)(10-10)66（），，，，，，，，T T T ααα⎡⎤-=⎣⎦注释本题知识点：向量的运算答案：0（1，0，-1，）T3.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12-2=(2,1,1,1)T ηη，3=(0,2,1,1)T η，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2),T k k R∈．解析：因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，所以其对应的齐次线性方程组的基础解系中只包含一个解量，而123-2+=(2,3,2,2)Tηηη为齐次线性方程组0Ax =的解，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2)()Tk k R ∈注释本题知识点：（1）齐次线性方程组的基础解系所包含的向量个数n r-（2）齐次线性方程组的通解1122+++(,1,2,)n r n r i k k k k R i n r ξξξ--∈=-L L 答案：(2,3,2,2)()T k k R ∈4．设矩阵123(,,)A ααα=有三个不同的特征值，且312=+ααα，则矩阵的秩()R A =2．解析：由312=+ααα知向量123,,ααα线性相关，而三个特征值不同，所以12,αα线性无关，故()2R A =注释本题知识点：矩阵的秩等于矩阵中行向量组或者列向量组的最大无关组的秩，即最大无关组所包含的向量的个数。
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线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
现在假设结论对于 n 1 阶范德蒙德行列式成 立，要证结论对 n 阶范德蒙德行列式也成立，为 此，要将 Dn 降阶， 将前一行乘以 x1 加到后一行上 （从后往前）
1 x1
1 x2 x x
2 2
1 x3 x x
1
例1. 设D
2 3 0 5
4
1 0 6
按第二列展开得
D 2
4
5
1 6
0
1
3
1 6 5
0
1 3 4 5 0
首页
2 29 58
按第一行展开得
D 1
线性代数
0 5 0 6
2
4
1 6
3
4
1 0
2 29 58
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§1.5 行列式按行（列）展开
n
D ,当 i j , aik A jk k 1 0 ,当 i j;
n
3. 牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
4. 行列式的计算方法：
1).依定义计算行列式; 2).用对角线法则计算行列式; 仅适用于二、三阶行列式 3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式． 三角形行列式 一行（列）全为零的行列式 两行（列）成比例的行列式 范德蒙行列式
a11 a1 j a1n i 1 D 1 ai 1,1 ai 1, j ai 1,n ai 1,1 ai 1, j ai 1,n an1
线性代数
anj
首页
ann
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§1.5 行列式按行（列）展开
再把第j列依次与第 j 1列，第j 2列， ，第 1列对调，得
n 2 x2
1 x3
1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1 阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
证毕
a1 b1 c1 d1
bn
递推法
dn
bn1 0
0 a n1
a1 b1 c1 d 1
bn1
D2n a n cn1 0
线性代数
( 1)2 n1 bn
d n1 0 0 dn
首页
c n1 cn
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d n1 0
结束
§1.5 行列式按行（列）展开
ai1 ai 2 ain
推论：n 阶行列式 D
i行 s行
a s1 a s 2 a sn
的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的
代数余子式的乘积之和为零，即
ai1 As1 ai 2As 2 ain Asn 0 , i s
a1 j A1t a2 j A2 t anj Ant 0, j t .
1 aij M ij aij Aij
i j
线性代数
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证毕
结束
§1.5 行列式按行（列）展开
定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式乘积之和，即
按i行展开 :
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain i 1,2,, n
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线性代数
§1.5 行列式按行（列）展开
1 2 ex : 2 2 23
1 3 32 33
1 4 42 43
1 5 52 53
(3 2)(4 2)(5 2) (4 3)(5 3)
(5 4)
12
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
a11 a12 a1n ai 1 0 0 a n1 a n 2 a nn
a11 a12 a1n 0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn
n i j 1
x
n1 2
x
n 1 n
1
证: 用数学归纳法 x2 x1 x3 x1 xn x1 1 1 ( x3x x xx D2 x x 2 ni 2 j), x 2 1 x1 x 2 2 i j 1 当 n 2 时（ 1 ）式成立． x x
a11 a12 a1n 0 0 a in ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n a n1 a n 2 a nn
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
an1
D2 n a n cn1 0
a1 b1 c1 d1
bn1 0
( 1)2 n1 bn
0 a n1
a1 b1 c1 d 1
bn1
再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 n a1 b1 a1d1 b1c1 于是 D2 n (ai d i bi ci ) D2 ，而 D2 i 2 c1 d1 n 所以 D2 n (ai d i bi ci )
中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原 来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式. 元素aij的余子式记作Mij ； 元素aij的代数余子式记作Aij=(-1)i+jMij.
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
1
0
4 7 ，求M 32和A32 . 3
3
例2. D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
5
1
1 ( 1)3 3 11 1 1 5 5 0
1 1 1 3 1 11 1 解:D 0 1 0 0 5 5 3 0 1 6 2 0
5
11 1 1 5 5 0
第三行只 有1个非零 的元素， 故按该行 展开
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
3
例5. 设 D
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
5 2 1
1. D 40
; ; .
2.2 A14 4 A24 A34 3 A44 40 3.2 A11 0 A12 A13 A14
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
内容小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式化为低阶行列式计算的重要工具.
D ,当 i j , 2. aki Akj k 1 0 ,当 i j;
19
ex1. 设 D 3 9 2 1
M 32
1 4 3 7
3 2
A32 ( 1)
1 4 3 7
19
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
二、行列式展开定理
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 a ij 外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的
a 22 0 a 42
线性代数
§1.5 行列式按行（列）展开
证： 当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
i 1
线性代数
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d n1 0 0 dn
c n1 cn
d n1 0
§1.5 行列式按行（列）展开
例4. 范德蒙行列式
1 x1
1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
D x1 , x2 , , xn x12 x
n 1 1
( xi x j )
2 3
1 xn x
2 n
x1r1 x1r2
Dn x
x
线性代数
rn x1rn1
r3 x1r2 r2 x1r1
2 1
n1 1
n1 2
n1 3
x
n1 n
x1rn1
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§1.5 行列式按行（列）展开
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 )