行列式按行(列)展开及计算
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
2_3行列式按一行或一列展开及行列式的计算
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
Page 4
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
0 2 0 0 0
解
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
Page 22
5 3 −1 2 −2 3 1 3 1 r2 + (− 2 )r1 2+ 5 0 − 2 = (− 1) 2 − 2⋅ 5− 4 −1 4 0 − 4 − 1 4 r3 + r1 2 3 5 0 2 3 5 −2 3 1 −7 2 = −10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) 6 6 0 6 6
Page 9
aij aij M M anj aij aij M = ( − 1)
i+ j
L
0 M M
L
0 M M
(− 1)i + j − 2 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n =
L L a n , j −1 0 M M L a n , j −1 L L L ann 0 M M ann
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
行列式按行展开
4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式 乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式 对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
线性代数课件14行列式按行列展开
111
1
a1 a2 a3
an
Dn a12 a22 a32
an2
a a a n1
n1
n1
1
2
3
a n 1 n
(a j ai )
1i jn
第 i 行乘以 a1 加到第 i + 1 行
1
1
1
Dn 0
a2 a1 a2 (a2 a1)
a3 a1 a3(a3 a1)
0
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
1 4 N
1 2
02 M
0 3
进一步，N的代数余子式
A (1)1224 M 0
例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式
121 012 310
121 划去 2 所在的行和列，0 1 2
310
得子式 0 2 ，注意2在第一行第二列 30
所以，2 的代数余子式= (-1)1+2 0
2 6
30
121 划去 1 所在的行和列 ， 0 Dn 2 0 0
10 21
01 00
0 0 2 10 0 0 1 21
2 1 0 01 1 2 0 00
00 00
21 12
注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：
(a3
a1
)
按第一列展开
a2 a1 Dn a2 (a2 a1)
a3 a1 a3 (a3 a1)
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
(a3
a1)
每列依次提出公因子，得到
1 an a1 an (an a1)
an2 n
(an
a1 )
行列式按行(列)展开
行列式按行（列）展开
a11 a12
定义1 在n 阶行列式 D a21 a22
a1n
ain 中，划去元素aij 所在的
an1 an2
ann
第i 行和第j列，余下的(n-1)2 个元素按原来的排列构成的n-1阶行 列式，称为元素aij 的余子式，记作Mij。在Mij前面加上符号(-1)i+j 后，得到(-1)i+jMij，称它为aij的代数余子式，记作Aij，即
Aij=(-1)i+jMij
436
例1 已知三阶行列式 D 5 2 1 ，分别求元素a21，a32的余子式和代
数余子式。
728
解 根据定义知，元素a21的余子式和代数余子式分别为
3 6 M 21 =12
2 8
A21 (-1)21
3 6
= -12
2 8
元素a32的余子式和代数余子式分别为
46
bn1
b1n
bnn
分析 对D1 作行运算，相当于对D 的前k 行作相同的行运算，且D 的后n 行不变;对D2作列运算，相当于对D 的后n 列作相同的列运算， 且D 的前k 列不变。
证 因为对D1 作适当的运算ri+krj，可将D1 化为下三角形;同理，对D2 作适当的列运算ci+kcj，可将D2 化为下三角形，分别设为
bnn
D (-1)(i-1)( j-1) D1 (-1)i j b11M11 (-1)i j aijMij aij Aij
定理1 n 阶行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子 式乘积之和，即
D ai1Ai1+ai2 Ai2 + +ain Aini 1, 2, n)
行列式按一行或一列展开及行列式的计算
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
行列式按行按列展开
... a1n ... ... ... 0 . ... ... ... ann
把D转化为(1)的情形
· · · · · ， 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，·
第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j 1 列， 第 j 2 列，· · · · · · ， 第2列，第1列交换，这样共经过
an ( 1)n 1 1 0 x 1 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1
Dn x 0 an 1
x
an 2 a2
于是，得递推公式
Dn xDn1 an
而由递推公式，得
继续递推公式，得
Dn1 xDn 2 an1 D1 x a1
(1) ( j2 j3 ... jn ) a2 j2 a3 j3 ...anjn 恰是 M 11 的一般项。
D a11 M11
a11 (1)11 M11
a11 A11
13
(2) 设 D 的第 i 行除了 aij 外都是 0 。
a11 ... a1 j ... D 0 ... an1 ... ... ... aij ... ... ... anj
... ... ... an 2 ... ann
12
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
D
a11 (1) (1 j2 j3 ... jn ) a2 j2 a3 j3 ...anjn
其中 所以，
1 j2 j3 ... jn
(1) (1 j2 j3 ... jn ) a11a2 j2 a3 j3 ...anjn
... ai 1, j 1 ... ai 1,n
(1)i j aij Mij aij Aij
线性代数1.6行列式按行(列)展开
感谢您的观看
THANKS
某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式按一行或一列展开及行列式的计算
VS
三阶行列式
由三个元素构成的方阵，其计算公式为： $D = a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} + a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} - a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31} - a_{12} cdot a_{21} cdot a_{33} - a_{11} cdot a_{23} cdot a_{32}$。
行列式乘法
两个行列式相乘时，可以将一个行列式的行元素作为 另一个行列式的列元素，从而简化计算。
利用分块矩阵简化计算
01
分块矩阵的性质
将一个大的行列式分成若干个小 行列式，利用分块矩阵的性质， 可以简化计算。
02
矩阵分块求逆
03
分块矩阵的行列式
将一个矩阵分成若干个小矩阵， 利用逆矩阵的性质，可以求出原 矩阵的逆矩阵。
计算步骤
按照定义，将行列式中的元素按照排列顺序展开，得到n个代数余 子式，将它们相乘并求和，得到行列式的值。
注意事项
定义法是最基本的行列式计算方法，适用于所有阶数的行列式。
代数余子式法
定义
对于n阶行列式A，去掉第i行和第 j列后得到的(n-1)阶行列式称为代 数余子式。
计算步骤
将代数余子式乘以(-1)^(i+j)，得 到余子式的值，再将所有余子式 的值相加，得到行列式的值。
注意事项
范德蒙德行列式法适用于计算某些特殊形式的行列式，如三对角线行列 式等。
04
行列式在数学中的应用
在线性方程组中的应用
求解线性方程组
行列式可以用来求解线性方程组，通过计算系数矩阵的行列式，可以判断方程组是否有解，以及解的个数。
行列式按行列展开法则
行列式按行列展开法则1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列于）的公因子，可以明确提出放在行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行（列于）全然一样，则行列式为0；可以推断，如果两行（列于）成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在解代数余子式有关问题时，可以对行列式展开值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称作齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定存有零求解，但不一定存有非零求解。
当d=0时，存有非零求解；当d!=0时，方程组无非零求解。
行列式性质①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。
②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。
④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。
⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的基本概念，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中的几种方法。
1.按行（列）展开法按照行或列来展开行列式是一种基本的计算方法。
假设行列式为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$按第1行展开，得到：按照任意一行或一列展开，都可以得到同样的结果。
展开的过程中，每个元素前面加上正负号的符号与其对应的行数和列数有关。
这种方法适用于$3\times 3$的行列式，对于更高维的行列式，效率会大大降低。
2.三角行列式求法如果一个$n\times n$的行列式中有某一行或某一列的元素都是0，那么通过消元可以化简为一个更小的$n-1$阶行列式，然后递归地运用同样的方法求解，最终可以化简为一阶行列式。
这种方法叫做三角行列式求法。
例如，对于$3\times 3$的行列式：将第1列乘以$a_{23}$，再将第2列乘以$a_{11}$，用第2行减去第1行，用第3行加上第1行，得到：继续化简：3.性质计算法行列式有一些性质，可以通过这些性质来计算行列式。
其中最基本的性质是行列式的行列互换性质：将行列式的一行或一列互换，行列式的值反号。
例如：$$\begin{vmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4 &5 &6 \\1 &2 &3 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0$$如果行列式某一行可以表示为其他行的线性组合，那么行列式的值为0。
行列式按行列展开法则
行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。
行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。
本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。
1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。
一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。
对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。
2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。
符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。
通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。
行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开分布图示★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ 或 ⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ其中，⎩⎨⎧≠==ji ji ij ,0,1δ二、行列式的计算直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例1 设有5阶行列式: 1513131200011231452013101-----=D .(1),111=a 其余子式,151331200112145211----=M 其代数余子式.)1()1(11112111111M M M A =-=-=+(2),134=a 其余子式113132001520110134---=M , 其代数余子式.)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+例2求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例3 (E01) 试按第三列展开计算行列式.5021011321014321---=D解 将D 按第三列展开，则有,4343333323231313A a A a A a A a D +++= 其中,313=a ,123=a ,133-=a ,043=a13A 31)1(+-=521013201--,19= 33A 33)1(+-=521201421-,18= 23A 32)1(+-=521013421-- ,63-= 43A 34)1(+-=013201421-,10-=所以 )63(1193-⨯+⨯=D )10(018)1(-⨯+⨯-+.24-=例4 (E02) 计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----527211417)1()1(23---⨯-=+21232r r r r -+ 10921126-.241861926)1(122-=--=--⨯=+例5 (E03) 计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++66027013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例6 (E04) 求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x x x x x x n x x n xn n .证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ----.)1(11000000010001000010000)1(211-++-=-----=n n n x xxx x x x x x例7 (E05) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121∏≥>≥----==j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法. 2D 2111x x =12x x -=,)(12∏≥>≥-=j i jix x∴当2=n 时(1)式成立. 假设(1)式对于1-n 时成立，则)()()(0)()()(0011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---=)())((11312x x x x x x n --- 2232232111---n nn n n x x x x x xn D ∏≥>≥----=211312)()())((j i n jin x x x x x x x x ∏≥>≥-=1).(j i n jix x例8 设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A3413r r r r +-11202250111111---11222511---= 12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M34r r +311501121)1(010313150111251---=----312r r - .0311501501=-----例9 用拉普拉斯定理求行列式 2100321003210032 的值.解 按第一行和第二行展开 2100321003210032=2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+ 0121+-=.11-=例10 计算n 2阶行列式.22nn dc d c b a ba D =(其中未写出的元素为0).解 把n D 2中的第n 2行依次与第12-n 行,…,第2行对调(作22-n 次相邻对换),再把第n 2列依次与第12-n 列, …,第2列对调,得.)(0000000)1()1(2)1(21)22(22----==-=n n n n D bc ad D D dcdc b a ba d cb a D以此作递推公式,得.)()()(21)1(22n n n n bc ad D bc ad D bc ad D -=-==-=--课堂练习1. 计算行列式 .3351110243152113------=D2. 讨论当k 为何值时.02002000110011≠kkk3.设n 阶行列式 ,0010301021321n n D n=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++。
高等代数课件：第五课 行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
1
二、行列式按行（列）展开法则
定义1 在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后， 剩下的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
把 Aij 1 称i j为M元ij 素 的代a数ij 余子式
a31 a32 a33
a11 a12 a13
0 a11 a12 a13 a11 A21 a12 A220
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2
ain Ajn 0, i j.
a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
b11 b12 b13
a21 a22 a23 b11 A11 b12 A12 b13 A13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
0 a21 a22 a23 a21 A11 a22 A12 a23 A13
i j i j i j i j
12
3 5 2 1 例5 设 D 1 1 , 0的 5元的余D子式(i,和j)
1 3 1 3 2 4 1 3
代数余子式依次记作 M和ij A，ij求
A11 A12 A13 A14 及 M11 M21 M31 M41 .
分析 利用
a11 a12 a13 a14
a11 A11 a12 A12
a13 A13
a14 A14
a11 a12
a1n
ai1 ai 2 ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn
常见行列式计算
一、行列式按行（列）展开定理定理：行列式的值等于其任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即|1230−40−2−7−6|=0∙(−1)2+1∙|23−7−6|+(−4)∙(−1)2+2∙|13−2−6|+0∙(−1)2+3∙|12−2−7|=0+(−4)∙[(−6)−(−6)]+0=01）余子式M ij：在n阶行列式中，把元素a ij所在的第i行第j列划去后，由剩余的元素按原位置顺序所构成的n−1阶行列式，称为元素a ij的余子式，记作M ij。
2）代数余子式：(−1)i+j M ij称为元素a ij的代数余子式，记为A ij，即A ij=(−1)i+j M ij.二、行列式的性质（转置、交换、倍乘、拆分、倍加）性质1 行列式的行与列（按原顺序）互换，行列式的值不变，即D=|a11a12a13a21a22a23 a31a32a33|=|a11a21a31a12a22a32a13a23a33|注：互换后的行列式称为行列式的转置.性质2 行列式的两行（列）互换，行列式的值反号D=|a11a12a13a21a22a23 a31a32a33|=−|a21a22a23a11a12a13a31a32a33|D=|111111245|=0推论如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.性质3 行列式的某行（列）每个元素都乘常数k，则等于用k乘此行列式的值.D=|a11a12a13ka21ka22ka23 a31a32a33|=k|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|推论1) 若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式的值为零；2)若行列式中某行（列）有公因子k，则可将k提到行列式外；3)若行列式中两行（列）对应元素成比例，其值为零.性质4 如果行列式某行(列)元素都写成两数之和，则该行列式可以写成两个行列式之和，即D=|a11a12a13a21+b21a22+b22a23+b23 a31a32a33|=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|+|a11a12a13b21b22b23a31a32a33|性质5 将行列式的某行（列）的每个元素都乘常数k，再加到另一行(列）的对应元素上，行列式的值不变，即D=|a11a12a13a21a22a23 a31a32a33|(r i+kr j)→r3+kr1⇒ |a11a12a13a21a22a23a31+ka11a32+ka12a33+ka13|(i≠j)三、计算行列式的常见题型与方法1. 化零降阶法（坚守原则：“打洞”、“降阶”)方法：先利用性质将行列式的某一行或某一列化到只有一个元素不为0，再用行列式展开定理化为低一阶的行列式（化零降阶法是计算行列式的主要方法）.【例1】计算下列行列式：（1）D =|1210−12101 4130 1 31|=−7（2）D =|ab 00a b 00a 00b b 0 0a|=a 4−b 42. 化三角形行列式类型1 各行（列）元素之和相等的行列式（各行全部加到第一行（列）） 【例2】计算下列行列式：答案（1）x 4（2）D n =[a +(n −1)]|1111a 111a ⋯11⋯11⋯11⋮ ⋮⋮ ⋱ ⋮ ⋮111 ⋯a 1111 ⋯1a |=||1110a −1000a −1 ⋯11⋯00⋯00⋮⋮⋮000000 ⋱⋮⋮⋯a −10⋯0a −1|| ∙[a +(n −1)]=[a +(n −1)](a −1)n−1注：副对角线可通过行列互换到主对角线，即副对角线D =(−1)n (n−1)2D n (主对角线)类型2 爪型行列式（各行倍加到第一行，“消去平爪”，逐行相加）【例3】计算行列式D 4=|1111a 010b 10010 0c|(abc ≠0)=(1−1a −1b −1c )abc【例4】计算行列式a a a a D 43211111111111111111++++==a 1a 2a 3a 4(1+∑1a i 4i=1)3. 范德蒙行列式 定义：形如()∏≤<≤----==nj i i jn n n n n n n x xx x x x x x x x x D 1121112221221111的行列式称为范德蒙行列式. 范德蒙行列式的特点： 1）第一行全为1；2）每列元素1，x i ，x i 2，...，x i n−1按x i 的升幂排列，构成一个以x i 为公比的等比数列；3）行列式的值例如：|ab ca 2b 2c 2111|与|111x 1x 2x 3x 13x 23x 33|都不是标准的范德蒙行列式 【例5】计算行列式D =|ab c a 2b 2c 2b +cc +a a +b| 解：D r 3+r 1⇒ (a +b +c )|ab ca 2b 2c 2111|=(a +b +c )∙(−1)2|111ab c a 2b 2c 2| =(a +b +c )(b −a )(c −a )(c −b )4. 拉普拉斯展开式设A 为m 阶矩阵，B 为n 阶矩阵，则|A 00B |=|A C 0B |=|A 0C B |=|A |∙|B | |0A B 0|=|C A B 0|=|0A B C|=(−1)mn |A |∙|B | 【例5】计算行列式D =|a b c x00y 00 dyx d c b a|解：|a b c x00y 00 dyx d c b a |=|a db x y0y x 0 c 00da c b|=−|y x 0x y 0a d b00cd c b a |=(x 2−y 2)(b 2−c 2)5. 递归法（异爪形）：建立D n 与D n−1的关系式，实现递归{元素分布规律相同D n−1只比D n 少一阶【例6】().1101100110014D aa a a a a a D =-------=(A ) a 4+2a 3+6a 2+2a +1 (B ) a 4−2a 3+6a 2+a (C ) a 4+a 3+a 2+a +1 (D ) a 4−a 3+a 2−a +1解：先将其余各行加至第4行，化简整理，再按第4行展开（也可以将其余各列加至第1列，再按第1列展开），得()aa aa aa aa a aa a a aa a aa a a D ---⋅-⋅-=------=-------=+11010011001100110011101100110011441∙(−1)4+4∙|1−aa 0−11−a a 0−11−a|=−(−1)4+1a 4+D 3=a 4−(−1)3+1a 3+D 2 =a 4−a 3−(−1)2+1a 2+D 1=a 4−a 3+a 2−a +1. 四、行列式表示的函数和方程【例7】设关于λ的方程|λ−1−231λ−43−1a λ−5|=0有二重根，求参数a 的值.解：|λ−1−231λ−43−1a λ−5|r 1−r 2⇒ |λ−22−λ01λ−43−1a λ−5|c 2+c 1⇒ |λ−2001λ−33−1a −1λ−5|=(λ−2)[(λ−3)(λ−5)−3(a −1)]=(λ−2)(λ2−8λ+18−3a )=0若λ=2是二重根，则(λ2−8λ+18−3a )|λ=2=4−16+18−3a =0，得a =2，经验证λ=2是二重根.若λ=2不是二重根，则λ2−8λ+18−3a =0有两个不相等的根，故∆=(−8)2−4(18−3a )=0，得a =23.此时λ=4是二重根.综上所述，a =2或a =23.补充：行列式按行（列）展开定理的推论（例10）：其任一行（列）各元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即∑a ik A jk =a i1A j1+a i2A j2+...+a in A jn =0n k=1(i ≠j )五、抽象型行列式的计算【例8】 设a 1 ,a 2 ,a 3,β,γ均为4维列向量，且4阶行列式|γ,a 1 ,a 2 ,a 3|=n ，|a 1 ,β+γ,a 2 ,a 3|=m ，则|a 1 ,a 2 ,a 3,3β|=_________. 解：m =|a 1 ,β+γ,a 2 ,a 3|=|a 1 ,β,a 2 ,a 3|+|a 1 ,γ,a 2 ,a 3| =|a 1,a 2 ,a 3 ,β|−|γ,a 1 ,a 2 ,a 3|=|a 1,a 2 ,a 3 ,β|−n则 |a 1,a 2 ,a 3 ,β|=m +n故|a 1 ,a 2 ,a 3,3β|=3|a 1 ,a 2 ,a 3,β|=3(m +n )【例9】 设a 1 ,a 2 ,a 3均为3维列向量，已知|A |=|a 1 ,a 2 ,a 3|=2，|B |=|a 1−a 2+2a 3 ,2a 1+3a 2−5a 3 ,a 1+2a 2−a 3|，则|B −A |=________. 解：|B −A |=|−a 2+2a 3 ,2a 1+2a 2−5a 3 ,a 1+2a 2−2a 3| (∗)⇒|[a 1 ,a 2 ,a 3][021−1222−5−2]|=|a 1 ,a 2 ,a 3||021−1222−5−2|=2|021−1222−5−2|=2|021−1220−12|=2∙(−1)(−1)2+1|21−12|=2×5=10六、余子式和代数余子式的线性组合的计算 【例10】设|A |=|−2212 −2234112−1 1135| 计算：（1）A 41+A 42+A 43+A 44，其中A 4j 是元素a 4j (j =1,2,3,4)的代数余子式； （2）M 31+M 32+M 33+M 34，其中M 3j 是元素a 4j (j =1,2,3,4)的余子式. 解：（1）方法一 将|A |中第4行元素依次改为1,1,1,1，得 A 41+A 42+A 43+A 44=|−2212 −22341 11 11 11 1|=0 方法二 行列式|A |中第3行元素全为1，根据行列式展开公式知，故A 41+A 42+A 43+A 44=a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+a 34A 44=0（2）余子式和代数余子式有如下关系：A ij =(−1)i+j M ij .两边同乘(−1)i+j ，因(−1)i+j ∙(−1)i+j =(−1)2i+2j =1，故M ij =(−1)i+j A ij (i,j =1,2,⋯,n )从而有M 31+M 32+M 33+M 34=A 31−A 32+A 33−A 34.将|A |中第3行元素依次换成1，-1，1，-1，得M 31+M 32+M 33+M 34=A 31−A 32+A 33−A 34=|−2212−22341−12−11−135|=0。
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第周 星期第节
课次
2
授课方式
（请打√）
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时
安排
2
授课题目（教学章、节或主题）：
第二讲 行列式按行（列）展开及计算
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式.
一般可推广为：
作业：
1．复习 ；
1．预习 ；
3．习题 ：6（5）；8（1）（6）；9
教学后记
（按行（列）展开法则）
推论行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
或
例1、
解法1:
解法2：
例2、设 ，（1）求 ；（2） 。
解：（1）
（2）
二、行列式的计算
例3、例4、证明范德蒙行列式
证明：数学归纳法.
成立.
假如 成立，欲证 也成立，
例5、证明
教学重点及难点：
重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式
难点：行列式的计算
教 学 基 本 内 容
备注
一、行列式按行（列）展开
引理一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积.
定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即