行列式按行(列)展开
线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
(简)1.5行列式按行展开定理
1 −1 0 例 2： D = ⋮ 0 0
a 1− a
1
0
1
⋯
2
0 0 0 ⋮
0 0 0 ⋮
−1 ⋮ 0 0
a 1− a
⋮ 0 0
⋯
2
⋯ ⋱
求D=?
⋯ 1 − a n−2 a n −1 −1 1 − a n −1 ⋯
0 0 0
分析：特点是 行作和为 分析：特点是n行作和为 0，0，0……1，再展开 ， ， ， 即可降阶！ 即可降阶！
或 D , 当i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0, 当i ≠ j; k =1 1, 当i = j , δ ij = 其中 0, 当 i ≠ j ;
n
例1
设
3 −5 2 1 1 1 0 −5 D= , −1 3 1 3 2 −4 −1 − 3
D的( i , j )元的余子式和代数余子 式依次记作 M ij 和Aij， 求
调，这样数 aij 就调成(1, j )元，调换的次数为 i − 1. ⋯ 列调换， 再把第 j列依次与第 j − 1列、第 j − 2列、 、第1列调换， 这样数 aij 就调换成(1,1)元，调换的次数为 j − 1 .
总 ， i + j − 2次 换 把 aij调 (11)元 所 之 经 调 ， 数 成 , ， 得 的 列 D = (−1)i+ j−2 D1 = (−1)i+ j D1， D中1,1)元 行 式 而 1 ( 的 余 式 是 中 i, j)元 余 式 ij . 子 就 D ( 的 子 M
⋯
0 0 0
1 0 0
解：D
1 × r 2 + r 1 , ⋯ ,1 × r n + r 1
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x y yxO O； 2)111111121n n----O OL ； 3)121111n n n a a x D a x a x---=-M O O .解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n nn xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-.2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=L L 按展开. 3)法1 按1r 展开得法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x xM x x xx-----==---O OO O. 将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O OL L L12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，11220i j i j in jn a A a A a A +++=L ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++=L δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++=L δ，其中为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数显然(,)xy f x y =δ. 2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯=L δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =.1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号例3.5 1)若正整数i j ≠，则2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列 中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑L τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcdbb acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++O OO .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫⎪⎝⎭L L 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=-L L ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵； 2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++L .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =ONN O；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=ONN O.。
行列式按行展开
4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式 乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式 对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
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3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式按行展开
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
行列式按行(列)展开
a21 a22 a2 n 证 当 aij 位于首位时,即 D 即有 D a11 M11 . an1 an 2 ann
又
A11 1
11
M 11 M 11 ,
从而
D a11 A11 .
命题得证
a11 a1 j a1n
下证一般情形, 此时 D 0
aij
0
an1 anj ann
把 D 的第i 行依次与第 i 1 行，第 i 2行，…第1行对调 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n a n1
D 0
aij
0
中的余子式 M ij .
an1 anj ann
aij anj aij
故 D 1
i j
0
0
于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij Mij ,
a n , j 1 0
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT D . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不 变．
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
行列式按一行(列)展开
a1n L 0 +L+ L ann
= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
(i = 1,2,L, n )
例1.计算行列式 .
3 −5 D= 2 1
1 1 0 −5
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
解：
5 1 D = −11 1 0 0 −5 −5
k= k =1
n
或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = ∑ akj Akj
k =1
n
j = 1,2,L , n
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
证：
a11 a12 L L D = ai 1 + 0 + L + 0 0 + ai 2 + L + 0 L L a n1 an 2
由行列式的定义， 由行列式的定义，有
D=
=
∑j j jL
1 2
1 n −1
( −1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 anjn
( −1)τ ( j1L jn−1n ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 ann ( −1)τ ( j1L jn−1 ) a1 j1 L an−1, jn−1
1 a1 = ( −1)
1+ n
1 a2
2 a2
L 1 L a n −1
2 L a n −1
(a1 − an )(a2 − an )L (an−1 − an )
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的基本概念，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中的几种方法。
1.按行（列）展开法按照行或列来展开行列式是一种基本的计算方法。
假设行列式为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$按第1行展开，得到：按照任意一行或一列展开，都可以得到同样的结果。
展开的过程中，每个元素前面加上正负号的符号与其对应的行数和列数有关。
这种方法适用于$3\times 3$的行列式，对于更高维的行列式，效率会大大降低。
2.三角行列式求法如果一个$n\times n$的行列式中有某一行或某一列的元素都是0，那么通过消元可以化简为一个更小的$n-1$阶行列式，然后递归地运用同样的方法求解，最终可以化简为一阶行列式。
这种方法叫做三角行列式求法。
例如，对于$3\times 3$的行列式：将第1列乘以$a_{23}$，再将第2列乘以$a_{11}$，用第2行减去第1行，用第3行加上第1行，得到：继续化简：3.性质计算法行列式有一些性质，可以通过这些性质来计算行列式。
其中最基本的性质是行列式的行列互换性质：将行列式的一行或一列互换，行列式的值反号。
例如：$$\begin{vmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4 &5 &6 \\1 &2 &3 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0$$如果行列式某一行可以表示为其他行的线性组合，那么行列式的值为0。
线性代数-行列式按行(列)展开
2
证明 用数学归纳法
x n1 n
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
减去前行的 x1倍：
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
一、引言
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 35
02 35
2 r2 (2)r110 0
3 7
1
7
2 10 (2)
2
r3 r1
66
0 66
20 (42 12) 1080.
3 5 2 1 例 设 D 1 1 0 5 , D的(i, j) 元的余子式和
1 3 1 3 2 4 1 3
10 0
M11 M21 M34 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 2 1
1 5 2 1
1
1
0 5 r4 r3 1
1 0 5
1313
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
1 1
2 0
1 5
1 r1 2r3 1
x3
xn
n−1阶范德蒙德行列式
高等代数课件：第五课 行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
1
二、行列式按行（列）展开法则
定义1 在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后， 剩下的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
把 Aij 1 称i j为M元ij 素 的代a数ij 余子式
a31 a32 a33
a11 a12 a13
0 a11 a12 a13 a11 A21 a12 A220
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2
ain Ajn 0, i j.
a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
b11 b12 b13
a21 a22 a23 b11 A11 b12 A12 b13 A13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
0 a21 a22 a23 a21 A11 a22 A12 a23 A13
i j i j i j i j
12
3 5 2 1 例5 设 D 1 1 , 0的 5元的余D子式(i,和j)
1 3 1 3 2 4 1 3
代数余子式依次记作 M和ij A，ij求
A11 A12 A13 A14 及 M11 M21 M31 M41 .
分析 利用
a11 a12 a13 a14
a11 A11 a12 A12
a13 A13
a14 A14
a11 a12
a1n
ai1 ai 2 ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn
行列式按行展开
行列式按行展开本文使用创作并发布答案是——有的。
下面我们来介绍这样一种策略，即行列式按一行展开。
由于行列式的行和列是等价的，因此其可以按行展开，也可以按列展开。
根据行列式的定义，有n阶行列式由于r(i,1,\cdots,n) = i - 1, r(k,j_1,\cdots, j_n) = k - 1因此其中M_{ik}是除去第i行第k列的元素后，行列式剩下的元素组成的n - 1阶子行列式，称为余子式；A_{ik} = (-1)^{i+1}M_{ik}称为代数余子式。
借助三阶行列式的例子，我们阐释行列式按行展开。
下面将一个一般的三阶行列式按第一行展开：\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ = (-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}通过行列式按行展开，我们可以把一个n阶行列式转化成任意一行n 个元素与其代数余子式乘积的和；反过来，我们也可以把n个元素与n-1阶行列式的乘积的和转化成一个n阶行列式。
例如：(-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}如果将代数余子式前的元素换成矩阵中其他行的元素，则有：(-1)^{1+1}a_{21}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{22}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{23}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = 0于是，一般地，我们有：\sum\limits_{k=1}^n{a_{jk}A_{ik}} = \begin{cases} |A|, i = j\\ 0, i ≠ j \end{cases}根据这个定理，我们可以推导出克莱姆法则：如果含n个方程的n元线性方程组的系数矩阵的行列式|A| ≠ 0，则该线性方程组有且仅有一个解，该解为：\frac{|B_j|}{|A|}, i = 1, 2, \cdots, n，其中B_j是用常数项替换系数矩阵A中的第j列得到的矩阵。
行列式按一行列展开
an1
an2
ann
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1 0
0 0 ai2
0 0 0
ain
an1 an2
ann an1 an2
ann
an1 an2
ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,,n
3 1 1 2
例如.计算行列式
D
5 2
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
可见，三级行列式可通过二级行列式来表示．
一 余子式、代数余子式
定义 在 n 级行列式 det(aij ) 中将元素 aij所在的
第 i 行与第 j 列划去，剩下 (n 1)2个元素按原位置
次序构成一个n 1 级的行列式，
i j i j
k 1
3 5 2 1
例如.设D
1 1
1 3
0 1
5 3
,
求
2 4 1 3
A11 A12 A13 A14 和M11 M21 M31 M41.
解：
1111
A11
A12
A13
A14
1 1
1 3
0 1
5 3
4.
2 4 1 3
M11 M21 M31 M41
A11 A21 A31 A41
引入
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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【练习】计算
3
1
1 3 1 3 1
2 4 1 3
解
5 1 D 2 0 1 5 1 1 0 5 1 3 1 3
c1 2c3 11 D c4 c3 0
5
5
r2 r1
1 ( 1) 3 3 11 1 1 0 5 5 0 0
D中项 aij a1 j1 ai 1 ji1 ai 1 ji1 anjn 符号为
(1)
( i 1( i 1)( i 1)n) ( jj1 ji 1 ji 1 jn )
i 1
(1)
(1)
(1)
j 1 ( j1 ji 1 ji 1 jn )
Aij 1
i j
M ij， 称为元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a11 a12 a14 a 24 M 23 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 a 34 a 44 A 12 3 M M . 23 23 23
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
选1、3行，2、4列，得到D的一个2阶子式 M M的余子式 N
1
8
i j
(1)
( j1 ji 1 ji 1 jn )
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
1 x2
n 2 x2
1 x3
1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 1
0 Dn 0 0
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
x3 x1 x3 ( x3 x1 )
xn x1 xn ( xn x1 )
n 2 n 2 x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
，称为 M 的代数余子式.
其中 i1 , i2 , , ik , j1 , j2 ,, jk分别为 k 阶子式在 D 中的 行标、列标,记 A (1)( i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) N
例如
2 1 0 8 4 3 0 0 D 0 2 1 5 0 4 7 0
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0, (i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ). 命题得证.
二、行列式按某k行(列)展开(Laplace定理)
定义2 在 n 阶行列式D中,任意取定 k 行, k 列 (1 k n),
位于这些行和列交叉处的 k 2个元素，按照原来的顺序
构成一个 k 阶行列式 M ，称为 D 的一个 k 阶子式. 定义3 划去这 k 行 k 列，余下的元素按照原来的顺序 构成一个 n k 阶行列式N，称为 M 的余子式.在其前面 冠以符号(1)
( i1 i2 ik )( j1 j2 jk )
( 1)n1 ... ... 0 0 a n 1 a a n 2
a n ( 1)n 1 ( 1)1 n1
a n a n 2
例3
证明范德蒙 (Vandermonde)行列式(n≥2)
1 x1 1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1
n 1
aij Aij中每一项可写成
aij ( 1)i j M ij aij ( 1)i j [( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn ] ( 1)i j ( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) aij a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn
1 3
5
1
1
5
1
1
6 2 0 ( 1) 5 5 0
6
2
5 5
40.
【注】 直接应用按行(列)展开定理计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式, 因此, 计算行列式时,一般选择行(列) 中零元素多的行(列)展开; 或者先利用行列式性质将某行(列)化为仅含一个非零 元素, 再按此行(列)展开, 化为低一阶行列式, 如此继续 下去, 直到化为三阶或二阶行列式求解.
1 0 1 5 0
0 4 1 4 0
0 2 3 1 2 0 4 1 4 0 2 3 5
2 3 1 2 3 1 r2 2r1 2 5 4 1 4 10 0 7 2 r3 r1 2 3 5 0 6 6
10 2 7 2 6 6
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
即 i 行元素与 j 行对应元素的代数余子式乘积之和为0. i 列元素与 j 列对应元素的代数余子式乘积之和为0.
【注】本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂， 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需 要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次 序等)将此行列式化成范德蒙行列式, 然后根据公式计算 出结果.
推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
证 用数学归纳法
1 D i x j ), 2 i j 1 x2
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立，要证明 对于n阶范德蒙行列式，结论也成立. 对于n阶范德蒙行列式，从第n行开始依次减去上一行的 x1倍，得到 1 1 1 1
2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn 1 1 2 3 n 1 22 32 n2 1 2n 1 3n 1 . n n 1
解 每一行提取各行的公因子，于是得到
1 Dn n ! 1 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范 德蒙行列式知 D n n ! ( i j ) n !(2 1)(3 1)(4 1)( n 1) n i j 1 (3 2)(4 2) ( n 2) (4 3) ( n 3) [n ( n 1)] n !( n 1)!( n 2)! 2!1!.
往证 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain () 证明思路: ① (*)式两端所含项数相同, 并且各项互不相同; ② 右端 aij Aij 每一项都是D中的项, 并且带有相同的符号. a11 a1 j 1 a1 j 1 a1n
M ij ai 11 ai 1 j 1 ai 11 ai 1 j 1 a n1 anj 1 ai 1 j 1 ai 1 n ai 1 j 1 ai 1 n anj 1 ann
j 1, 2, , n
【说明】行列式按某行(列)展开是“降阶”简化计算行 列式的重要方法.
例1 计算行列式
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
解
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3
5
2 5
3
1 2
D 0 2 0 2
§1.3 行列式按行(列)展开
分析三阶行列式的一个规律： 现以第二行元素为标准, 将 各项分组 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
( xi x j ).
1 5 25 125
n i j 2
( xi x j )
【练习1】计算
1 1 1 2 4 3 (2 5)(4 5)(3 5) 4 16 9 (4 2)(3 2)(3 4) 12 8 64 27
【练习2】 计算
1
1
1
证明
det( aij ) 按第 把行列式 D a aik ( kj行展开有 1, , n) 可得 把行列式中的 jk 换成 a11 a1n
第i 行 ai 1 ain 相同 ai 1 A A a A Dj 1 aa A a A =0 i 2 j 1j 2 in jn jn j1 jn aij11 aajn 第j行 in an1 ann
a21 (a12a33 a13a32 ) a22 (a11a33 a13a31 ) a23 (a11a32 a12a31 )