清华大学结构力学第7章位移法107.
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学位移法
FP
M BC -3iZ1
A
M BA M BC 0
1 Z1 56i FPl
3 M BA 56 FPl 当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的
平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形
常数和载常数绘出各杆的内力图。
25
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转 角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
B 结点位移状态的一
致性。
18
P
A θA
C
θA
实现位移状态可分两步完成
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B 分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
19
位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
βA
Z1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A θA
Z1P
q ql2/12
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
C
Z1P
ql 2 Z1P - 12
l
EI=常数
B l
Z1=0
A A
26
2.典型方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
结构力学课后答案第7章位移法
(d)
解：（1）确定基本未知量
两个位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
(e)
解：（1）确定基本未知量
两个角位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则 ，得 个单位。
习题
7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a)(b) (c)
1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移
位移3个角位移，2个线位移
(g)(h)(i)
一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解：（1）确定基本未知量
两个位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
(e)
解：（1）确定基本未知量
两个角位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则 ，得 个单位。
习题
7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a)(b) (c)
1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移
位移3个角位移，2个线位移
(g)(h)(i)
一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
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（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
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11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
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27
固端剪力
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
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LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
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LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学第七章位移法
几何不变体系
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
结构力学第7章位移法讲解
内力与位移的关系式；整体分析（组合）建立位 移法基本方程，解方程求出基本未知量; （4）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。
关于刚架的计算思路
A
P C
q
A
A
M AB
P A
A
M AB
A
C
B
B
第一种位移法的基本思路：
将结构拆成杆件，推导各杆件的内力和位 移的关系；再把杆件组装成结构，通过各 杆件在结点处的受力平衡列基本方程。
l
l
(1)
l FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
M M
AB BA
4i A 2i A
M BA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A 2 B 2
A2 B2 l
以上两过程的叠加
A
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M AB M BA
4i A 2i A
B
2iB 6i
4iB 6i
FQAB
1
1
6i
M AB
3i
M BA
BA
8
8
关于刚架的计算思路
A
P C
q
A
A
M AB
P A
A
M AB
A
C
B
B
第一种位移法的基本思路：
将结构拆成杆件，推导各杆件的内力和位 移的关系；再把杆件组装成结构，通过各 杆件在结点处的受力平衡列基本方程。
l
l
(1)
l FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
M M
AB BA
4i A 2i A
M BA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A 2 B 2
A2 B2 l
以上两过程的叠加
A
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M AB M BA
4i A 2i A
B
2iB 6i
4iB 6i
FQAB
1
1
6i
M AB
3i
M BA
BA
8
8
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
结构力学第七章
结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
• 为了说明位移法的基本概念,我们来分析图 ( d )所示刚架的位移.它在 均布荷载 q 作用下将发生虚线所示的变形,在刚结点 C 处两杆的杆端 均发生相同的转角 c (这个位移本章统一用 Z1 来表示).我们用位移
本章目录
7.1 基本概念 7.2 等截面直杆的转角位移方程 7.3 基本未知量数目的确定和基本结构 7.4 位移法典型方程及计算步骤 7.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 7.6 对称性的利用
基本要求
1.了解结构含义及结构的分类 2. 了解荷载的各种分类 3 .掌握结构计算的三个方面 4 .了解结构力学研究的具体内 容和任务
法分析内力时可略去各杆的轴向变形,即认为两杆长度不变,因而结点
C 没有线位移.下面就来讨论根据 C 点的位移 Z1 来确定各杆内力.
结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第 2 节 等截面直杆的转角位移方程
7.2.3 一端固定、另一端定向支撑的单跨超静定梁
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 桥梁支座 结构力学课件
第 3 节 基本未知量数目的确定和基本结构
7.2 等截面直杆的转角位移方程
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
结构力学(龙驭球)第7章_位移法
(1)
B FQBA
C FQCD
Fx 0 FQBA FQCD 0
(2a)
q=3kN/m
如何求杆端剪力?
求剪力的通用公式：
MMABBA
q
FQBA
6iB 3.75i 24 0
3 42 12
4iB
1.5i 4
M BC 3(2i)B 6iB
3i M DC 4 0.75i
M AB 2iB 1.5i 4
⑶ 位移法方程：
M BA 4iB 1.5i 4
M DC 0.75i
B MBC M B 0
M BA M BC 0
(1a)
MBA
10iB 1.5i 4 0
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
① 用观察的方法判定：
2
C
C
D
D
1
A
B
② 用几何构造分析的方法确定：
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的 几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联 系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移 数。
2、基本方程的建立
用位移法分析图示刚架：
结构力学第7章课后答案全解
解：（1）画出 图
由图可知，得到各系数：
求解得：
（2）求解最终弯矩图
7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
(a)
解：（1）确定基本未知量和基本结构
有一个角位移未知量，基本结构见图。
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(b)
解：（1）确定基本未知量
1个角位移未知量，各弯矩图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(c)
解：（1）确定基本未知量
一个线位移未知量，各种M图如下
7-12试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。
(a)
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解得：
（3）最终弯矩图
(b)
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
由图可知，得到各系数：
求解得：
（2）求解最终弯矩图
7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
(a)
解：（1）确定基本未知量和基本结构
有一个角位移未知量，基本结构见图。
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(b)
解：（1）确定基本未知量
1个角位移未知量，各弯矩图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(c)
解：（1）确定基本未知量
一个线位移未知量，各种M图如下
7-12试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。
(a)
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解得：
（3）最终弯矩图
(b)
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
结构力学第七章位移法
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
结构力学第七章-位移法(二)
C
t1
t1 40 D t2 20
Z1
l t1 2
B
C
t1
t1 40 D t2 20
Z2
C’ C
30 l 30 l
D’ D
t1
15 l
A
l
l 2
A
B 基本结构
B
基本结构只承 受t0时的变形
EI l
A
2个基本未知量。 【解】 几个基本未知量？
位移法方程
r11Z1 r12 Z 2 R R 0 r21Z1 r22 Z 2 R R 0
' 1t ' 2t '' 1t '' 2t
R1't
180 EI l 45
' R2 t
基本结构只承受温度变化t0=30° 基本结构只承受温度变化Dt=20°
R1't 135
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§ 7-7 广义荷载作用下的位移法计算
二、温度改变时的位移法
关于表7-2中端弯矩的理解：
t t
2l
①
利用对称性 取半结构
l
t t
温度变化情况 下，原直杆的 形状有何变化？
②
t t
端弯矩方向： 温度低的一侧受拉
力法和位移法作为超静定结构求解的两种基本方法， 各自的最适用范围如何？ 判别原则：基本未知量数量尽可能少。 力法：超静定次数少而结点位移多的结构。 位移法：超静定次数多而结点位移少的结构。
Strucural Analysis
Байду номын сангаас
t1
t1 40 D t2 20
Z1
l t1 2
B
C
t1
t1 40 D t2 20
Z2
C’ C
30 l 30 l
D’ D
t1
15 l
A
l
l 2
A
B 基本结构
B
基本结构只承 受t0时的变形
EI l
A
2个基本未知量。 【解】 几个基本未知量？
位移法方程
r11Z1 r12 Z 2 R R 0 r21Z1 r22 Z 2 R R 0
' 1t ' 2t '' 1t '' 2t
R1't
180 EI l 45
' R2 t
基本结构只承受温度变化t0=30° 基本结构只承受温度变化Dt=20°
R1't 135
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§ 7-7 广义荷载作用下的位移法计算
二、温度改变时的位移法
关于表7-2中端弯矩的理解：
t t
2l
①
利用对称性 取半结构
l
t t
温度变化情况 下，原直杆的 形状有何变化？
②
t t
端弯矩方向： 温度低的一侧受拉
力法和位移法作为超静定结构求解的两种基本方法， 各自的最适用范围如何？ 判别原则：基本未知量数量尽可能少。 力法：超静定次数少而结点位移多的结构。 位移法：超静定次数多而结点位移少的结构。
Strucural Analysis
Байду номын сангаас
结构力学第7章位移法
第 7 章位移法一. 教课目标掌握位移法的基本观点；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟习等截面杆件的转角位移方程；娴熟掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法认识位移法基本系统与典型方程的物理观点和解法。
二. 主要章节§7-1位移法的基本观点§7-2杆件单元的形常数和载常数—位移法的先期工作§7-3位移法解无侧移刚架§7-4位移法解有侧移刚架§7-5位移法的基本系统§7-6对称构造的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法剖析（选学内容）§7-8小结§7-9思虑与议论三. 学习指导位移法解超静定构造的基础是确立构造的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不单能够解超静定构造，同时还能够求解静定构造，此外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参照资料《构造力学(Ⅰ )-基本教程第 3 版》 P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定构造的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把构造的剩余力作为基本未知量，将超静定构造转变成将定构造，依据位移条件成立力法方程求解的；而我们今日开始学的这一章位移法例是以构造的某些位移作为未知量，先想法求出他们，在据以求出构造的内力和其余位移。
由位移法的基来源理能够衍生出其余几种在工程实质中应用十分广泛的计算方法，比如力矩分派法和迭代法等。
所以学习本章内容，不单为了掌握位移法的基来源理，还未此后学习其余的计算方法打下优秀的基础。
别的，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章议论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的均衡条件成立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写均衡返程的形式（便于认识和计算）② 基本系统典型方程的形式（利于与力法及后边的计算机计算为基础的矩阵位移法相对照，加深理解）§ 7-1位移法的基本观点1.对于位移法的简例为了详细的认识位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
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上述方法既可用于超静定结构（n>3），又可用于静 定结构（n=2）。
位移法要点如下：
1.基本未知量是结构的结点位移 2.基本方程是平衡方程 3.建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行 杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到 基本方程。 4.杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）
4
二．位移法计算刚架基本思路
6
§7-2 等截面直杆的刚度方程
两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷
载作用下求固端弯矩。
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定顺时针方向为正， 逆时针方向为负。 杆端弯矩的双重身份：
B
C
MBC
MBA
MCB
A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。 2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
以上就是弯曲杆件的刚度方程。 以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
11
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B
M AB
3i 3i A l
F AB
l/2
M
l/2
ql 2 8
F AB
3FP l 16
17
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql 2 3 A
l
M
M
F AB
FPl 2
Fp B
B A ql 2 6
l
F M AB
FPl 2
FP l 2
ql 2 3
ql 2 6
F BA
M
F BA
FP l 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
6i 2i A 4i B l
1 ( M AB M BA ) l
此外，可得杆端剪力为
FQAB FQBA
即为:
FQAB FQBA
6i 6i 12i A B 2 l l l
10
为紧凑起见，可写成矩阵形式
4i M AB M BA 2i F QAB 6i l 2i 4i 6i l 6i l A 6i B l 12i l2
7
2．结点转角 顺时针为正，逆时针为负。 Fp A B C 3．杆件两端相对侧移
D
B( )
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。 l B A A B l
8
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁
A
EI
ql 12 A
ql 2 24 l
M
F AB
2
ql 12 B
2
FPl 8 A
l/2
Fp F l 8 P B
FPl 8
M
l/2
Fp l 8
16
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
F BA
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
q
ql 8
2
A
ql 2 16
3FPl 16
Fp
5FPl 32
B
A
B
l
M
（刚度方程）
2
第二步，组装结构
i Δ sin i 变形协调条件： u n 节点平衡条件： FNi sin i FP
i 1
(n 5)
即 于是得
EAi 2 sin i FP i 1 li
FP 5 EAi 2 sin i i 1 l i
3
5
基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。
第七章 位移法
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 位移法的基本概念 等截面直杆的刚度方程 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 位移法的基本体系 对称结构的计算
§7-1 位移法的基本概念
一、关于位移法的简例
只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然 后进一步可以求出杆件内力
EAi 第一步，分析单杆 FNi ui li
M BA
6i 2i A l
14
2)
MAB EI A i l
MAB
A
M AB
MAB i EI
B
A
A
EI i l
B
3i 3i A l
MAB
3)
MBA
A
l
A
B
A
EI i l
MBA
A
B
M AB i A M BA i A
15
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。 1. 两端固定梁 q
12
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
13
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1)
A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
18
在既有荷载作用，又有端点位移情况下，
F M 4 i 2 i 6 i M A B AB AB l 杆端弯矩为： F M BA 2i A 4i B 6i M BA l
6i 6i 12i F F F A B QAB 2 杆端剪力为： QAB l l l 6i 6i 12i F FQBA A B 2 FQBA l l l
分别分析杆AB和AC. 相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座. 杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
5
结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算；
其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
EI i l B
M AB 4i A M BA 2i A
AAຫໍສະໝຸດ iABl B
MAB
M AB 2i B M BA 4i B
MBA
A
i
MAB
B
i
MBA
B
A
A
EI
B
l
B
A
B
9
M AB M BA
6i l
由上图可得：
M AB
M BA
6i 4i A 2i B l