信号与系统第四章(陈后金)3
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信号与系统ch04-(3)
所以 f (− t ) ↔ F (− jω )
又 所以
F (− jω ) = R (− ω ) + jX(− ω ) = R (ω ) − jX(ω ) = F * ( jω )
f (− t ) ↔ F (− jω ) = F ( jω )
∗
24
Signals & Systems
奇偶函数的傅里叶变换
离散谱
再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对 大小仍有区别，引入频谱密度函数。令 Fn F (jω ) = lim = lim FnT (单位频率上的频谱） T →∞ 1 / T T →∞ 称为频谱密度函数。
4
Signals & Systems
傅里叶变换的导出
由傅里叶级数 Fn T =
∫ −∞ F (jω ) e
∞
jω t
dt
sgn (t) e
–α|t|
⎛ω τ τ Sa⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 jω
2α
α 2 +ω 2
19
Signals & Systems
§4.5
傅里叶变换的性质
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性
• 频移特性 • 卷积定理 • 时域微分和积分 • 频域微分和积分 • 相关定理
∞
关于 ω 的偶函数 R (ω ) = R (− ω ) | F ( j ω ) |= | F ( − j ω ) |
| F ( jω ) |= R (ω ) + X (ω )
2
2
⎛ X (ω ) ⎞ ϕ (ω ) = arctan⎜ ⎜ R (ω ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
关于 ω 的奇函数 X (ω ) = − X (− ω ϕ (ω ) = − ϕ ( − ω )
《信号与系统》陈后金
《信号与系统》是一门重要的工科基础课程，涉及到信号处理以及系统分析等多个方面。
此书由陈后金编写，是中国工程教育领域中
的经典教材之一。
本书系统地介绍了信号与
系统的基础知识，是学习这门学科必不可少
的参考书。
本书的内容从信号开始，首先介绍了信号的
基本概念，包括连续和离散信号、周期信号
和非周期信号、信号的幅值、频率和相位等
基本参数。
接着，本书介绍了信号的表示和
处理方法，包括采样、量化、编码以及滤波等，这些都是信号处理的基础操作。
此外，
本书还介绍了时域和频域分析方法，如傅里
叶变换、傅里叶级数以及拉普拉斯变换等，
这些方法可以帮助我们更好地理解信号和系统的性质。
在系统方面，本书涵盖了线性时不变系统的基本知识，包括单位采样响应、冲激响应和频率响应等。
此外，本书还介绍了系统稳定性的判别方法和数字信号处理的基本知识。
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当 选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于 0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
0
β
σ
第5-7页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
第5-10页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
令s0 0
第5-12页
(t )
■
1
s
, 0
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) f (t ) e st d t
0
Re[s]>0
F (j ) f (t ) e
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
Ä ¿ Ð µ
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« Ð ´ · ð Å
Ð Â Ä ¢ Ó Ó Ð Ï
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A/D
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D/A
¼ ¬ Ë Å º Á ¨ð ² Å
2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统第四章(陈后金)3
则ax1 (t ) bx2 (t ) F aX1 ( j) bX2 ( j)
其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
X(j)为复数，可以表示为
cos 0t 1
( π)
X ( j )
( π)
t
- 0
0
0
余弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0 t 1 j0t (e - e - j0t ) F - jπ[d ( - 0 ) - d ( 0 )] 2j
sin 0 t 1
3. 时移特性
若x(t ) F X ( j) 则x(t - t0 ) F X ( j) e- jt0
式中t0为任意实数 证明：
F[ x(t - t0 )]
-
x(t - t0 )e
- jt
dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ x(t - t0 )]
信号与系统信号与系统signalssystemssignalssystems普通高等教育十一五国家级规划教材普通高等教育十一五国家级规划教材信号与系统信号与系统高等教育出版社高等教育出版社20072007年年连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样信号的时域抽样和频域抽样连续时间信号的傅氏变换及其频谱连续时间信号的傅氏变换及其频谱常见连续时间信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间傅氏变换的性质连续时间傅氏变换的性质常见非周期信号的频谱常见非周期信号的频谱频谱密度频谱密度单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号eeaatt单位冲激信号单位冲激信号ddtt直流信号直流信号符号函数信号符号函数信号单位阶跃信号单位阶跃信号uutt常见周期信号的频谱密度常见周期信号的频谱密度虚指数信号虚指数信号正弦型信号正弦型信号单位冲激串单位冲激串单边指数信号单边指数信号幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号幅度频谱幅度频谱cossin相位频谱相位频谱单位冲激信号单位冲激信号dt单位冲激信号及其频谱直流信号直流信号xxtt11tt直流信号不满足绝对可积条件可采用极限的方法求出其傅里叶变换
《信号与系统》第04章
, −∞ < t < ∞ −a t 解：它可以看作是双边指数函数 x ( t ) = e
x ( t ) = li m e
a→ 0 −a t
x(t ) = 1
不满足 绝对可积的条件 中
a → 0 的极限情况，即
T
T = 4T1
2π ω = k ω0 = k T
T = 8T1
ω0 = 2π / T ,当 T → ∞
时,
ω0 → 0 )。
是单位间隔
T = 16T1
这说明，可以把非周期 信号当作周期信号在周期 任意大时的极限来看待。
x 2、再看一个信号 x ( t ) ,它具有有限持续期，即满足： (t) =0
∧
1 x(t ) = 2π
∧
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt d ω
1、若x ( t )能量有限，即x ( t )平方可积 1)
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
∫
傅立叶级数时 2
T
x(t ) dt < ∞
则x ( t )的傅里叶变换存在。 2) 其中
∫
+∞
−∞
e(t ) dt = 0
2
∧
傅里叶变换时，周期为 无穷大。
T1 − jωt
πθ ωT1 sin( π) sin(ωT1 ) ωT1 π )] ∴ = = sin c( ωT1 ωT1 π π π
[Q sin c(θ ) =
sin πθ
sinc函数
例4.5 已知信号的傅里叶变换为
X ( jω )
(4.18) -W 1
⎧1 , ⎪ X ( jω ) = ⎨ ⎪0 , ⎩
信号与系统 完美 (4)
[例] 画出信号f (t) 的奇、偶分量
解：
f(t) 2 1
0.5 fe(t) 1.5
-1
0
f(-t) 2 1
1
t
-1
0
1
t
fo(t) 0.5 -1
1
t
-1
0
1
t
-0.5
3．信号分解为实部分量与虚部分量
连续时间信号
f (t ) f r (t ) j f i (t )
实部分量 虚部分量
y[k ]
f1[k ]
n -
f [ n]
1 k
k
n -
f [ n]
1
k
3 2
1 0
k
0
单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示
u[k ]
n -
[ n]
k
信号的分解
1．信号分解为直流分量与交流分量 2．信号分解为奇分量与偶分量之和 3．信号分解为实部分量与虚部分量 4．连续信号分解为冲激函数的线性组合 5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合
f (t)
f ( k )
- 0 2
k (k 1)
t
¬ ø Å º í ¾ ª å ¤Ð Å Ä ü Ó Á Ð Ð Å ±Ê Î ³ ¼ Å º µ µ ¼ f (t ) f (0)[u(t ) - u(t - )] f ()[u(t - ) - u(t - 2)] f (k)[u(t - k) - u(t - k - )]
4．连续信号分解为冲激函数的线性组合
[u (t ) - u (t - )] [u (t - ) - u (t - 2)] f (t ) f (0) f () [u (t - k) - u (t - k - )] f (k)
信号与系统第四章
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
信号与系统课件第四章
2）．奇函数
波形相对于纵坐标是反 对称的：f (t ) f (t ) 1 T f (t ) 2 a0 T f ( t ) d t = 0 1 T 2
2 an T
T t
T 2 T 2
f ( t ) cosn 1t d t 0
T
O 1
2 T 4 T2 bn f ( t ) sinn 1t d t f ( t ) sinn 1t d t 0 T 0 T 0
3. 其他形式
余弦形式:因为
an cos n1t bn sin n1t An cos(n1t n )
所以：
f (t ) a0 An cosn1t n
n 1
2 2 An an bn
an An cos n
bn n arctan a n bn An sin n
欧拉公式与三角函数的关系
2
4
6
三角函数可表示为 e j e j cos 2
e j e j sin 2j
5. 内容介绍
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
4．函数的对称性与傅里叶级数的关系
偶函数
奇函数
奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
1）．偶函数
信号与系统第四章3
§4.1 信号分解为正交函数信号的分解与矢量分解具有相似之处，为对照分析，先看矢量分解。
一、矢量分解平面内矢量A 作分解 y x v C v C A 21+=y x v v为单位矢量，若其相互垂直，则满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=•=•==•10cos 1102cos y y x x yx y x v v vv v v v v π（矢量的点乘），分量之间的这种关系称为正交关系。
二维空间用二维矢量集{}y x v v,表示，缺少一个分量则不能完整地表达矢量，多一个则必可用{}y x v v,表示；同理三维空间用三维矢量集{}z y x v v v ,,表示，其关系为 ⎪⎩⎪⎨⎧=•=•=•=•=•=•10z z y y x xz y z x y x v v v v v v v v v v v v推而广之，n 维空间用n 个两两正交的分量组成的n 维矢量集表示，多少均不可，称为完备矢量集，n 维空间中的任一矢量均可表示为n 维正交矢量的线性组合。
即n n v C v C v C A +++=2211分量的正交性表示为⎪⎩⎪⎨⎧==•≠=•ji v vj i v v j i j i 10 若y x vv不为单位矢量，则⎪⎩⎪⎨⎧==•≠=•ji K v vj i v vi j i j i 0二、正交的时间函数集1）定义：若有n 个时间函数)(),(,)(21t t t n ϕϕϕ构成一个时间函数集，当这些函数在区间(t 1,t 2)内满足⎩⎨⎧=≠=⎰ji K ji dt t t ij i t t 0)()(21ϕϕ 则称此函数集为在区间(t 1,t 2)上的正交函数集，除这些函数外，不再存在任何函数与集内的每一函数正交，则此函数集称为完备正交函数集。
注：若函数为复函数，则正交关系表示为⎩⎨⎧=≠=*⎰ji K ji dt t t ij i t t 0)()(21ϕϕ5,3,12,4=-==n n A n n πϕπ频谱图 4、吉布斯现象 （P124）二、信号波形的对称性与傅里叶系数的关系波形具有一定对称性的信号，其傅里叶系数的计算有简便之处。
陈后金 信号与系统3 PPT
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零 输入响应yx(t)。
[解]
d2y dy 5 6 y (t ) 4 f (t ) 2 dt dt
t 0
系统的特征方程为 系统 2，s2 3
= 2(1 e 3t )u (t )
t 0 t 0
t 0 t0
连续时间系统的单位冲激响应
• 连续时间系统单位冲激响应的定义 • 冲激平衡法求系统的单位冲激响应 • 连续时间系统的单位阶跃响应
连续时间系统单位冲激响应的定义
在系统初始状态为零的条件下，以单位冲 激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的 单位冲激响应，以符号h(t)表示。
信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在
任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t ) h(t )
由时不变特性 由均匀特性 由积分特性
f (t )
(t ) h(t )
f ( ) (t ) f ( )h(t )
yh (t ) K1e s1t K 2e s2t K n e snt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
yh (t ) K1e s t K 2tes t K nt n1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
1 t e 3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则系 统的完全响应y(t)=？
陈后金信号与系统matlab实验3
第四章周期信号的频域分析作者:卢未来日期:2012年5月10日4.5周期信号频域分析的MATLAB实现例4-10(139页)试用MATLAB计算图4-15所示周期矩形波序列的DFS 系数.%program4_1N=32;M=4;%定义周期矩形波序列的参数f=[ones(1,M+1)zeros(1,N-2*M-1)ones(1,M)];%产生序列F=fft(f);%计算DFS系数m=0:N-1;stem(m,real(F));title('F[m]的实部');xlabel('m');figure;stem(m,imag(F));title('F[m]的虚部');xlabel('m');fr=fft(F);%重建的F[k]figure;stem(m,real(fr));xlabel('k');title('重建的F[k]');例4-11(139页)设A=1,试用MATLAB画出例4-2周期三角波信号的频谱。
%program4_2N=8;%计算n=-N到-1的Fourier系数n1=-N:-1;c1=-4*j*sin(n1*pi/2)/pi^2./n1.^2;%计算n=0时的Fourier系数c0=0;%计算n=1到N的Fourier系数n2=1:N;c2=-4*j*sin(n2*pi/2)/pi^2./n2.^2;cn=[c1c0c2];n=-N:N;subplot(1,2,1);stem(n,abs(cn));ylabel('Cn的幅度');xlabel('\omega/\omega0');subplot(1,2,2);stem(n,angle(cn));ylabel('Cn的相位');xlabel('\omega/\omega0');例4-12(141页)求图4-20所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数表示式。
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则ax1 (t ) bx2 (t ) F aX1 ( j) bX2 ( j)
其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
X(j)为复数，可以表示为
F[ ~(t )] X ( j ) F[ Cn e x
n -
jn0t
n -
F [ ~(t )] 2π Cnd ( - n0 ) x
n -
（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
d T (t )
n -
d (t - nT )
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式 傅里叶级数：
1 jn0t d T (t ) d (t - nT ) e T n - n -
1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n -
（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
( )
π/2
X ( j )
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
（一）常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
1 1 1 1 u (t ) {u (t ) u (-t )} {u (t ) - u (-t )} sgn( t ) 2 2 2 2
F [u (t )] πd ( )
-
x( )e
- j ( t 0 )
d X ( j) e
- jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
例1 试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频 谱函数X1(j)。
x1 (t )
A
A
x (t )
T t
0
-
0
2
2
t
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号x(t) 如图， 其对应的频谱函数为
幅度频谱 相位频谱
2a X ( j ) 2 a 2 ( ) 0
（一）、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d (t )] x(t )e
- - jt
dt d (t )e- jt dt 1
-
d (t )
(1)
1
X ( j )
X ( j )
( π)
t
( )
( π)
π/2
- 0
0
0
0
-π/2
正弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
~(t ) x
两边同取傅里叶变换
n -
Cn e
jn0t
2π (0 ) T0 ] Cn F [e jn0t ]
（一）常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
-
x(t ) e u(t )，a 0，
-at
X ( j ) x(t )e - jt dt 0 e -at e - jt dt
e -(a j )t 1 - (a j ) 0 a j
幅度频谱 相位频谱
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
x (t )
1
0
0
t
0
-π/2
（一）、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
X ( j ) 2 x(t ) costdt 2 e-at costdt
0 0
2e
-at
( sin t - a cos t ) 2a 2 2 2 0 a 2 a
u (t )
1
(π)
1 j
( )
π/2
X ( j )
0
0
t
0
-π/2
阶跃信号及其频谱
（二）常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号
由 -1 e - jt dt
e j t (- t )
0
X ( j )
(2π)
2πd ()
0
0
虚指数信号频谱密度
得F[e
x(2t)
x(t/2)
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
d T (t )
n -
d (t - nT )
1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n-
d T (t )
(1)
单位冲激串 及其频谱函数
F[d T (t )]
( 0 )
-T 0 T
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频域分析 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 信号的时域抽样和频域抽样
连续非周期信号的频域分析
0
-
e
- ( j ) t
t -
j
- t
t 0
-1 1 - j j
F[sgn(t )] lim F[sgn(t )e
]
2 j
（一）常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
（一）、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
F[sgn(t )e
- t
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
]
0 -
(-1)e e
( - j ) t 0
t - jt
dt e -t e - jt dt
0
-
e
- j
连续时间信号的傅氏变换及其频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间傅氏变换的性质
二、常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号e-a|t| 单位冲激信号d(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
F
-
证明:
F[ x(at)]
x(at)e - jt dt
令 = at，则 d = adt ，代入上式可得
1 F[ x(at)] a
-
x( )e
-j a
1 d X ( j ) a a
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
4. 展缩特性
若x(t ) X ( j)
3. 时移特性
若x(t ) F X ( j) 则x(t - t0 ) F X ( j) e- jt0
式中t0为任意实数 证明：
F[ x(t - t0 )]
-
x(t - t0 )e
- jt
dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ x(t - t0 )]
t
- 0 0 0
三、傅里叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性
3. 对称互易特性
4. 展缩特性
9. 时域微分特性
10. 积分特性
5. 时移特性
6. 频移特性
11. 频域微分特性
12. 能量定理
1. 线性特性
若x1 (t ) F X1 ( j)； x2 (t ) F X 2 ( j)，
X ( j) X ( j) e
j ( )
X R ( j) jX I ( j)
当x(t)为实函数时，有 |X(j)| = |X(-j)| ， () - (-)
X R ( j) X R (- j), X I (- j) - X I (- j)
2. 共轭对称特性
0
t
0
单位冲激信号及其频谱
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号x(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。 2 - | t| ] 2 πd ( ) F [1] lim F [1 e ] lim[ 2 2 0 0
0 2 lim[ ] 0 2 2
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π 2 2 -
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t )
1 t
0
直流信号及其频谱
X ( j )
(2π)
0
对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
同理:
j0t
]
- j( -0 )t e dt -
- j0t
2πd ( - 0 )
2πd ( 0 )
F[e
]
- j( 0 )t e dt -