福建省中考数学试卷【含答案及解析】
2023年福建省中考数学真题(答案解析)
数学试题一、选择题1.【答案】D【解析】解：正数大于0，正数大于负数，且21>，所以1012-、、、中最大的实数是2．故选：D2.【答案】D【解析】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：由题意，得4343m -<<+，即17m <<，故m 的值可选5，故选：B ．4.【答案】C【解析】解：91040000000 1.0410=⨯，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：A 选项，()23236a a a ⨯==，故A 选项计算正确，符合题意；B 选项，62624a a a a -÷==，故B 选项计算错误，不合题意；C 选项，34347a a a a +==⋅，故C 选项计算错误，不合题意；D 选项，2a 与a -不是同类项，所以不能合并，故D 选项计算错误，不合题意．故选：A ．6.【答案】B【解析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程243903.89(1)53109.85x +=，故选：B ．7.【答案】A 【解析】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM==∵DM DM=∴()SSS COM DOM ≅ ,∴12∠=∠∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．8.【答案】B【解析】解：A 选项，平均数为6567270757988737+⨯++++=（分钟），故选项错误，不符合题意；B 选项，在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；C 选项，7个数据按照从小到大排列为：65,67,67,70,75,79,88，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；D 选项，平均数为6567270757988737+⨯++++=，方差为()()()()()()222222657367732707375737973887341077-+-⨯+-+-+-+-=，故选项错误，不符合题意．故选：B ．9.【答案】A 【解析】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在3y x=上，∵OB OA =，90AOB BDO ACO ∠=∠=∠=︒∴90CAO AOC BOD∠=︒-∠=∠∴AOC OBD≌∴32AOC OBD S S == 2n =，∵A 点在第二象限，∴3n =-故选：A ．10.【答案】C【解析】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30︒，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA ⊥交OA 于点于点C ，∵30AOB ∠=︒，∴1122BC OB ==，则1111224OAB S =⨯⨯= ，故正十二边形的面积为1121234OAB S =⨯= ，圆的面积为113π⨯⨯=，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3π=，故选：C ．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.【答案】5-【解析】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5-．故答案为：5-．12.【答案】10【解析】解：∵ABCD Y 中，∴,DC AB DC AB =∥，∴,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠，∵OD OB=∴()AAS DOF BOE ≅ ，∴DF EB =，∴DC DF AB BE -=-,即10FC AE ==．故答案为：10．13.【答案】10【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴10AB BC ==，∵=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴10AC =．故答案为：10．14.【答案】乙【解析】解：52375808077.5101010x =⨯+⨯+⨯=甲，52385807079.5101010x =⨯+⨯+⨯=乙，52370787071.6101010x =⨯+⨯+⨯=丙，∵71.677.579.5<<∴被录用的是乙，故答案为：乙．15.【答案】1【解析】解：∵121a b+=∴21b a ab +=，∴2b a ab +=，即ab a b a -=+．∴1ab a a b a b a b-+==++．16.【答案】10n -<<【解析】解：∵22y ax ax b =-+，0a >∴抛物线的对称轴为直线212a x a-=-=，开口向上，∵()()1223,,1,A n y B n y +-分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点B 在对称轴的右侧，则11n ->，解得2n >，∴()23140n n n +--=+>∴A 点在B 点的右侧，与假设矛盾，则点A 在对称轴的右侧，∴23111n n +>⎧⎨-<⎩解得：12n -<<又∵12y y <，∴()()23111n n +-<--∴222.n n +<-解得：0n <∴10n -<<，故答案为：10n -<<．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】3【解析】解：原式311=-+3=．18.【答案】31x -≤<【解析】解：213,13 1.24x x x +<⎧⎪⎨-+≤⎪⎩①②解不等式①，得1x <．解不等式②，得3x ≥-．所以原不等式组的解集为31x -≤<．19.【答案】见解析【解析】证明：AOD COB ∠=∠ ，,AOD BOD COB BOD ∴∠-∠=∠-∠即AOB COD ∠=∠．在AOB 和COD △中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOB COD∴ ≌AB CD ∴=．20.【答案】11x -+，2-【解析】解：22111x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭22111x x x x x +-⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()1111x x x x x x x -+-=⋅+-11x x x =-⋅+11x =-+．当1x =-时，原式2==-．21.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明AF 是O 的切线，AF OA ∴⊥，即90OAF ∠=︒．CE 是O 的直径，90CBE ∴∠=︒．∴90OAF CBE ∠=∠=︒．AF BC ∥，BAF ABC ∴∠=∠，OAF BAF CBE ABC ∴∠-∠=∠-∠，即OAB ABE ∠=∠，AO BE ∴∥．（2）解：ABE ∠ 与ACE ∠都是»AE 所对的圆周角，ABE ACE ∴∠=∠．OA OC = ，ACE OAC ∴∠=∠，ABE OAC ∴∠=∠．由（1）知OAB ABE ∠=∠，OAB OAC ∴∠=∠，AO ∴平分BAC ∠．22.【答案】（1）14（2）应往袋中加入黄球，见解析【解析】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．记“首次摸得红球”为事件A ，则事件A 发生的结果只有1种，所以()14P A =，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．（2）他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：第二球第一球红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③共有20种等可能结果．（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率182205P ==；（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率2123205P ==；因为2355<，所以12P P <，所作他应往袋中加入黄球．23.【答案】（1）①C C ∠=∠；②3c（2）相似三角形的判定与性质（3）最大宽度为sin cos m tan a a ααβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，见解析【解析】（1）∵AC a =，BC b =，3a CM =，3b CN =，∴13CM CN CA CB ==，又∵C C ∠=∠，∴CMN CAB ∽△△，∴13MN AB =．又∵MN c =，∴()3m AB c =．故小水池的最大宽度为3c m ．（2）根据相似三角形的判定和性质求得33AB MN c ==，故答案为：相似三角形的判定与性质．（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图，用测角仪在点B 处测得ABC α∠=，在点A 处测得BAC β∠=；（ⅱ）用皮尺测得m BC a =．求解过程：由测量知，在ABC 中，ABC α∠=，BAC β∠=，BC a =．过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．在Rt CBD △中，cos BD CBD BC∠=，即cos BD a α=，所以cos BD a α=．同理，sin CD a α=．在Rt ACD △中，tan CD CAD AD∠=，即sin tan a ADαβ=，所以sin tan a AD αβ=．所以()sin cos m tan a AB BD AD a ααβ=+=+．故小水池的最大宽度为sin cos m tan a a ααβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．24.【答案】（1）243y xx =-+（2）见解析（3）ABP 的面积为定值，其面积为2【解析】（1）解：因为抛物线23y ax bx =++经过点()()1,0,3,0A B ，所以30,9330.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以抛物线的函数表达式为243y xx =-+；（2）解：设直线CE 对应的函数表达式为()0y kx n k =+≠，因为E 为AB 中点，所以()2,0E ．又因为()4,3C ，所以4320k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得323k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线CE 对应的函数表达式为332y x =-．因为点3,4D m ⎛⎫-⎪⎝⎭在抛物线上，所以23434m m -+=-．解得，32m =或52m =．又因为2m <，所以32m =．所以33,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为3333224⨯-=-，即33,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足直线CE 对应的函数表达式，所以点D 在直线CE 上，即,,C D E 三点共线；（3）解：ABP 的面积为定值，其面积为2．理由如下：（考生不必写出下列理由）如图1，当,C D 分别运动到点,C D ''的位置时，,C D '与,D C '分别关于直线EM 对称，此时仍有,,C D E ''三点共线．设AD '与BC '的交点为P '，则,P P '关于直线EM 对称，即PP x '∥轴．此时，PP '与AM 不平行，且AM 不平分线段PP '，故P ，P '到直线AM 的距离不相等，即在此情形下 AMP 与AMP ' 的面积不相等，所以 AMP 的面积不为定值．如图2，当,C D 分别运动到点11,C D 的位置，且保持11,,C D E 三点共线．此时1AD 与1BC 的交点1P 到直线EM 的距离小于P 到直线EM 的距离，所以1MEP △的面积小于MEP △的面积，故MEP △的面积不为定值．又因为,,AMP MEP ABP △△△中存在面积为定值的三角形，故ABP 的面积为定值．在（2）的条件下，直线BC 对应的函数表达式为39y x =-，直线AD 对应的函数表达式为3322y x =-+，求得7,23P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时ABP 的面积为2．25.【答案】（1）见解析（2）135ABF ∠=︒（3）见解析【解析】（1）解：DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的，45DFC ∴∠=︒，,AB AC AO BC =⊥ ，12BAO BAC ∴∠=∠．90BAC ∠=︒ ，45BAO ABC ∴∠=∠=︒．BAO DFC ∴∠=∠．90,90EDA ADM M ADM ︒∠+∠︒=∠+∠= ，EDA M ∴∠=∠．ADE FMC ∴ ．（2）解：如图1：设BC 与DF 的交点为I ，45,DBI CFI BID FIC ︒∠=∠=∠=∠ ，BID FIC ∴ ，BI DI FI CI ∴=，BI FI DI CI ∴=．BIF DIC ∠=∠ ，BIF DIC ∴ ，IBF IDC ∴∠=∠．又90IDC =︒∠ ，90IBF ∴∠=︒．45,ABC ABF ABC IBF ∠=∠︒=∠+∠ ，135ABF ∴∠=︒．（3）解：如图2：延长ON 交BF 于点T ，连接,DT DO ，90FBI BOA ∠︒∠== ，BF AO ∴∥，FTN AON ∴∠=∠．N Q 是AF 的中点，AN NF ∴=．又TNF ONA ∠=∠ ，TNF ONA ∴≅ ，,NT NO FT AO ∴==．90,,BAC AB AC AO BC =︒∠=⊥ ，AO CO ∴=，FT CO ∴=．由（2）知，BIF DIC ，DFT DCO ∴∠=∠．DF DC =，DFT DCO ∴≅ ，,DT DO FDT CDO ∴=∠=∠，FDT FDO CDO FDO ∴∠+∠=∠+∠，即ODT CDF ∠=∠．90CDF ∠=︒ ，90ODT CDF ∴∠=∠=︒，12ND TO NO ∴==．。
2023福建省数学中考真题及答案
2023年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列实数中，最大的数是（ ）A．﹣1B．0C．1D．22．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A．B．C．D．3．（4分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）A．1B．5C．7D．94．（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）A．104×107B．10.4×108C．1.04×109D．0.104×1010 5．（4分）下列计算正确的是（ ）A．（a2）3＝a6B．a6÷a2＝a3C．a3•a4＝a12D．a2﹣a＝a6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）A．43903.89（1+x）＝53109.85B．43903.89（1+x）2＝53109.85C．43903.89x2＝53109.85D．43903.89（1+x2）＝53109.857．（4分）阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM8．（4分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为67分钟D．方差为09．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）A．﹣3B．﹣C．D．310．（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2023年福建省中考数学真题(含解析)
2023年福建省中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中，最大的数是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若某三角形的三边长分别为3，4，m ，则m 的值可以是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．94．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）A ．710410⨯B ．810.410⨯C ．91.0410⨯D ．100.10410⨯5．下列计算正确的是（ ）A ．()326a a =B ．623a a a ÷=C ．3412a a a ⋅=D ．2a a a-=6．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ．()43903.89153109.85x +=B ．243903.89(1)53109.85x +=C ．243903.8953109.85x =D ．()243903.89153109.85x +=7．阅读以下作图步骤：A．12∠=∠且CM DM=C．12∠=∠且OD DM=8．为贯彻落实教育部办公厅关于要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为9．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数则实数n的值为（ ）A．3-B．1 -A．3二、填空题13．如图，在菱形ABCD中，AB=14．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目综合知识工作经验应聘者三、解答题20．先化简，再求值：1⎛- ⎝(1)求证：AO BE ∥；(2)求证：AO 平分BAC ∠．任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度AB 远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的P ，Q 两点，可测得POQ ∠的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3bCN =；测得m MN c =．求解过程：由测量知，AC a =， BC b =，3aCM =，3b CN =，∴13CM CN CA CB ==，又∵①___________，∴CMN CAB ∽△△，∴13MN AB =．又∵MN c =，∴AB =②___________()m ．；(1)求证：ADE FMC(2)求ABF∠的度数；= (3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND NO参考答案：1．D【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且21>，所以1012-、、、中最大的实数是2．故选：D【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．2．D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．3．B【分析】根据三角形的三边关系求解即可．【详解】解：由题意，得4343m -<<+，即17m <<，故m 的值可选5，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．4．C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：91040000000 1.0410=⨯，故选：C ．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．A【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．【详解】解：A ．()23236a a a ⨯==，故A 选项计算正确，符合题意；B ．62624a a a a -÷==，故B 选项计算错误，不合题意；C ．34347a a a a +==⋅，故C 选项计算错误，不合题意；D ．2a 与a -不是同类项，所以不能合并，故D 选项计算错误，不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．6．B【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程243903.89(1)53109.85x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．7．A【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，再结合DM DM =可得()SSS COM DOM ≅ ，由全等三角形的性质可得12∠=∠即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ==∵DM DM=∴()SSS COM DOM ≅ ,∴12∠=∠∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．8．B∵OB OA =，AOB BDO ACO ∠=∠=∠∴90CAO AOC BOD ∠=︒-∠=∠∴AOC OBD≌【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5-．故答案为：5-．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．12．10【分析】由平行四边形的性质可得,DC AB DC AB =∥即,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠，再结合OD OB =可得()AAS DOF BOE ≅ 可得DF EB =，最进一步说明10FC AE ==即可解答．【详解】解：∵ABCD Y 中，∴,DC AB DC AB =∥，∴,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠，∵OD OB=∴()AAS DOF BOE ≅ ，∴DF EB =，∴DC DF AB BE -=-,即10FC AE ==．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．13．10【分析】由菱形ABCD 中，=60B ∠︒，易证得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴10AB BC ==，∵=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴10AC =．故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三【分析】（1）由切线的性质可得90OAF ∠=︒，由圆周角定理可得90CBE ∠=︒，即90OAF CBE ∠=∠=︒，再根据平行线的性质可得BAF ABC ∠=∠，则根据角的和差可得OAB ABE ∠=∠，最后根据平行线的判定定理即可解答；（2）由圆周角定理可得ABE ACE =∠∠，再由等腰三角形的性质可得ACE OAC ∠=∠，进而得到ABE OAC ∠=∠，再结合OAB ABE ∠=∠得到OAB OAC ∠=∠即可证明结论．【详解】（1）证明AF 是O 的切线，AF OA ∴⊥，即90OAF ∠=︒．CE 是O 的直径，90CBE ∴∠=︒．∴90OAF CBE ∠=∠=︒．AF BC ∥，BAF ABC ∴∠=∠，OAF BAF CBE ABC ∴∠-∠=∠-∠，即OAB ABE ∠=∠，AO BE ∴∥．（2）解：ABE ∠ 与ACE ∠都是»AE 所对的圆周角，ABE ACE ∴∠=∠．OA OC = ，ACE OAC ∴∠=∠，ABE OAC ∴∠=∠．由（1）知OAB ABE ∠=∠，OAB OAC ∴∠=∠，AO ∴平分BAC ∠．（ⅱ）用皮尺测得m BC a =．求解过程：由测量知，在ABC 中，ABC α∠=，BAC ∠过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．设直线CE 对应的函数表达式为y =因为E 为AB 中点，所以()2,0E ．又因为()4,3C ，所以4320k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得所以直线CE 对应的函数表达式为因为点3,4D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上，所以35如图2，当,C D 分别运动到点11,C D 的位置，且保持11,,C D E 三点共线．此时点1P 到直线EM 的距离小于P 到直线EM 的距离，所以1MEP △的面积小于故MEP △的面积不为定值．又因为,,AMP MEP ABP △△△中存在面积为定值的三角形，故ABP 的面积为定值．在（2）的条件下，直线BC 对应的函数表达式为39y x =-，直线AD 对应的函数表达式为3322y x =-+，求得7,23P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时ABP 的面积为2．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．45,∠=∠=∠DBI CFI︒∴ ，BID FICBI DI∴=，FI CIBI FI∴=．DI CI，∠=∠BIF DIC∴ ，BIF DIC，∠︒∠==90FBI BOA∴∥，BF AO∴∠=∠．FTN AONQ是AF的中点，N。
2023年福建省中考数学试卷(含答案)
2023年福建省中考数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.下列实数中，最大的数是()A.-1B.0C.1D.22.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是()A. B.C. D.3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是()A.1B.5C.7D.94.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1,040,000,000用科学记数法表示为()A.104×107B.10.4×108C.1.04×109D.0.104×10105.下列计算正确的是()A.a2 3=a6B.a6÷a2=a3C.a3⋅a4=a12D.a2-a=a6.根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43,903.89亿元，2022年的地区生产总值为53,109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程()A.43,903.891+x=53,109.85B.43,903.89(1+x)2=53,109.85C.43,903.89x2=53,109.85D.43,903.891+x2=53,109.857.阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②分别以C,D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM,DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是()A.∠1=∠2且CM=DMB.∠1=∠3且CM=DMC.∠1=∠2且OD=DMD.∠2=∠3且OD=DM8.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是() A.平均数为70分钟 B.众数为67分钟C.中位数为67分钟D.方差为09.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为()A.-3B.-13C.13D.310.我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作_________．12.如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD于点E,F．若AE=10，则CF的长为_________．13.如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°，则AC的长为_________．14.某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目应聘者综合知识工作经验语言表达甲758080乙858070丙707870如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5:2:3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_________．15.已知1a +2b =1，且a ≠-b ，则ab -aa +b的值为_________．16.已知抛物线y =ax 2-2ax +b (a >0)经过A 2n +3,y 1 ,B n -1,y 2 两点，若A ,B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且y 1<y 2，则n 的取值范围是_______．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(8分)算：9-20+-1 ．18.(8分)解不等式组：2x +1<3,①x2+1-3x 4≤1.②19.(8分)如图，OA =OC ,OB =OD ,∠AOD =∠COB ．求证：AB =CD ．20.(8分)先化简，再求值：1-x +1x ÷x 2-1x 2-x ，其中x =2-1．21.(8分)如图，已知△ABC 内接于⊙O ,CO 的延长线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，交⊙O 的切线AF 于点F ，且AF ∥BC ．(1)求证：AO ∥BE ；(2)求证：AO 平分∠BAC ．22.(10分)为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由23.(10分)阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P,Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC=am,BC=bm；(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM=a3m,CN=b3m；测得MN=cm．求解过程：由测量知，AC=a,BC=b,CM=a3,CN=b3，∴CMCA =CNCB=13，又∵①_________，∴△CMN∽△CAB,∴MNAB =13．又∵MN=c,∴AB=②_________(m)．故小水池的最大宽度为_________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是_________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a,b,c⋯表示，角度用α,β,γ⋯表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分)．24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．25.(14分)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．2023年福建省中考数学参考答案1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．C 11．-512．1013．1014．乙15．116．-1<n <017．解：原式=3-1+1=3．18．解：解不等式①，得x <1．解不等式②，得x ≥-3．所以原不等式组的解集为-3≤x <1．19．证明：∵∠AOD =∠COB ，∴∠AOD -∠BOD =∠COB -∠BOD,即∠AOB =∠COD ．在△AOB 和△COD 中，OA =OC,∠AOB =∠COD,OB =OD,∴△AOB ≌△COD ∴AB =CD ．20．解：原式=1-x +1x ⋅x 2-xx 2-1=x -x +1 x ⋅x x -1 x +1 x -1 =-1x ⋅x x +1=-1x +1．当x =2-1时，原式=-12-1+1=-22．21．解：(1)∵AF 是⊙O 的切线，∴AF ⊥OA ，即∠OAF =90°．∵CE 是⊙O 的直径，∴∠CBE =90°．∴∠OAF =∠CBE ．∵AF ∥BC ，∴∠BAF =∠ABC ，∴∠OAF -∠BAF =∠CBE -∠ABC ，即∠OAB =∠ABE ，∴AO ∥BE ．(2)∵∠ABE 与∠ACE 都是AE所对的圆周角，∴∠ABE =∠ACE ．∵OA =OC ，∴∠ACE =∠OAC ，∴∠ABE =∠OAC ．由(1)知∠OAB =∠ABE ，∴∠OAB =∠OAC ，∴AO 平分∠BAC ．22．解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．记“首次摸得红球”为事件A ，则事件A 发生的结果只有1种，所以P A =14，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．(2)他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：第二球第一球红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③共有20种等可能结果．(ⅰ)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 1=820=25；(ⅱ)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 2=1220=35；因为25<35，所以P 1<P 2，所作他应往袋中加入黄球．23．解：(1)①∠C =∠C ；②3c ；(2)相似角形的判定与性质；(3)测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC=β；(ⅱ)用皮尺测得BC=am．求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a．过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△CBD中，cos∠CBD=BD BC，即cosα=BDa，所以BD=acosα．同理，CD=asinα．在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD AD，即tanβ=asinαAD，所以AD=asinαtanβ．所以AB=BD+AD=acosα+asinαtanβm．故小水池的最大宽度为acosα+asinαtanβm．24．解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+3经过点A1,0,B3,0，所以a+b+3=0, 9a+3b+3=0.解得a=1, b=-4.所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3．(2)设直线CE对应的函数表达式为y=kx+n k≠0，因为EC为AB中点，所以E2,0．又因为C4,3，所以4k+n=3,2k+n=0,解得k=32,n=-3.所以直线CE对应的函数表达式为y=32x-3．因为点D m,-3 4在抛物线上，所以m2-4m+3=-34．解得，m=32或m=52．又因为m<2，所以m=32．所以D32,-34．因为32×32-3=-34，即D32,-34满足直线CE对应的函数表达式，所以点D在直线CE上，即C,D,E三点共线．(3)△ABP的面积为定值，其面积为2．理由如下：(考生不必写出下列理由)如图1，当C,D分别运动到点C ,D 的位置时，C,D 与D,C 分别关于直线EM 对称，此时仍有C ,D ,E三点共线．设AD 与BC 的交点为P ，则P,P 关于直线EM对称，即PP ∥x轴．此时，PP 与AM不平行，且AM不平分线段PP ，故P，P 到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP与△AMP 的面积不相等，所以△AMP的面积不为定值．如图2，当C,D分别运动到点C1,D1的位置，且保持C1,D1,E三点共线．此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值．又因为△AMP,△MEP,△ABP中存在面积为定值的三角形，故△ABP的面积为定值．在(2)的条件下，直线BC对应的函数表达式为y=3x-9；直线AD对应的函数表达式为y=-32x+32，求得P73,-2，此时△ABP的面积为2．25．解：(1)∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，∴∠DFC=45°，∵AB=AC,AO⊥BC，∴∠BAO=12∠BAC．∵∠BAC=90°，∴∠BAO=∠ABC=45°．∴∠BAO=∠DFC．∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°，∴∠EDA =∠M ．∴△ADE ∽△FMC ．(2)设BC 与DF 的交点为I ，如图1．∵∠DBI =∠CFI =45°,∠BID =∠FIC ，∴△BID ∽△FIC ，∴BIFI =DICI ，∴BI DI =FICI ．∵∠BIF =∠DIC ，∴△BIF ∽△DIC ，∴∠IBF =∠IDC ．又∵∠IDC =90°，∴∠IBF =90°．∵∠ABC =45°,∠ABF =∠ABC +∠IBF ，∴∠ABF =135°．(3)延长ON 交BF 于点T ，连接DT ,DO ，如图2．∵∠FBI =∠BOA =90°，∴BF ∥AO ，∴∠FTN =∠AON ．∵N 是AF 的中点，∴AN =NF ．又∵∠TNF =∠ONA ，∴△TNF ≌△ONA ，∴NT =NO ,FT =AO ．∵∠BAC =90°,AB =AC ,AO ⊥BC ，∴AO =CO ，∴FT =CO ．由(2)知，△BIF ∽△DIC ，∴∠DFT =∠DCO ．∵DF =DC ，∴△DFT ≌△DCO ，∴DT =DO ,∠FDT =∠CDO ，∴∠FDT +∠FDO =∠CDO +∠FDO ，即∠ODT =∠CDF ．∵∠CDF =90°，∴∠ODT =∠CDF =90°，∴ND =12TO =NO ．·11·。
2024年福建省中考真题数学试题(含答案)
数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.下列实数中，无理数是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．【详解】根据无理数的定义可得：无理数是故选：D．2.据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题关键．【详解】故选：C．3.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个矩形．故选：C．4.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，则，∴，故选：A．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．【详解】解：，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B．6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是，故选：B7.如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．【详解】∵，为的中点，∴∵∴∵直线与相切，∴，∴故选：A．8.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可．【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：，故选：A．9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断；B.不一定等于，即可判断；C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；D.过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断；掌握性质是解题的关键．【详解】解：A.，，由对称得，点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，，，，，结论正确，故不符合题意；B.不一定等于，结论错误，故符合题意；C.由对称得，，结论正确，故不符合题意；D.过作，，，，由对称得，，同理可证，，结论正确，故不符合题意；故选：B．10.已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（）A.可以找到一个实数，使得B.无论实数取什么值，都有C.可以找到一个实数，使得D.无论实数取什么值，都有【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，当时，，，当时，，，故A、B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知，，当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．【答案】【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【详解】解：12.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．【详解】解：，，，故答案为：．13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分）【答案】90【解析】【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．根据中位数的定义（排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；【详解】解：∵共有12个数，∴中位数是第6和7个数的平均数，∴中位数是；故答案为：90．14.如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．【详解】解：正方形的面积为4，，，点，，，分别为边，，，的中点，，，同理可得，四边形的面积为．故答案为：2．15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．详解】解：如图：连接∵反比例函数的图象与交于两点，且∴设，则∵∴则∵点在第一象限∴把代入得∴经检验：都是原方程的解∵∴故答案为：16.无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）【答案】128【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．【详解】解：如图，∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，∵，∴，在中，，，∴，由题意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分。
福建省福州市中考数学真题试题(带解析)
数学试卷答案解析一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂) 1．3的相反数是A ．－3B ．13C ．3D ．－13考点：相反数．专题：存在型．分析：根据相反数的定义进行解答．解答：解：由相反数的定义可知，3的相反数是－3．故选A ．点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．今年参观“5·18”海交会的总人数约为489000人，将489000用科学记数法表示为A ．48.9×104B ．4.89×105C ．4.89×104D ．0.489×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：解：489000＝4.89×105．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是考点：简单组合体的三视图．分析：从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．解答：解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行中间是一个正方体．故选C ．点评：本题考查了三种视图中的主视图，比较简单． 4．如图，直线a ∥b ，∠1＝70°，那么∠2的度数是A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°考点：平行线的性质．分析：根据两角的位置关系可知两角是同位角，利用两直线平行同位角相等即可求得结果． 解答：解：∵ a ∥b ，∴ ∠1＝∠2， ∵ ∠1＝70°， ∴ ∠2＝70°．第3题图A B C D a 第4题图 1 2 b点评：本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等即可得到答案，比较简单，属于基础题．5．下列计算正确的是A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题：计算题．分析：分别根据合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A 、a ＋a ＝2a ，故本选项正确；B 、b 3•b 3＝b 6，故本选项错误；C 、a 3÷a ＝a 2，故本选项错误；D 、(a 5)2＝a 10，故本选项错误． 故选A ．点评：本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．6．式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 解答：解：∵ 式子x －1在实数范围内有意义，∴ x －1≥0，解得x ≥1． 故选D ．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环)记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是A ．8，8B ．8.4，8C ．8.4，8.4D ．8，8.4 考点：中位数；算术平均数．分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．解答：解：8，9，8，7，10的平均数为：15×(8＋9＋8＋7＋10)＝8.4．8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，故中位数为8． 故选B ．点评：本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．8．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是3cm 和4cm ，如果O 1O 2＝7cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．相交 C ．外切 D ．外离 考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，若O 1O 2＝7cm ，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出⊙O 1和⊙O 2的位置关系． 解答：解：∵ ⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，O 1O 2＝7cm ，又∵ 3＋4＝7，∴⊙O 1和⊙O 2的位置关系是外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：① 两圆外离⇔d ＞R ＋r ；② 两圆外切⇔d ＝R ＋r ；③ 两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r (R ≥r )；④ 两圆内切⇔d ＝R －r (R ＞r )；⑤ 两圆内含⇔d ＜R －r (R ＞r )．9．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是 A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A ＝30°，∠B ＝45°，CD ＝100，∵ CD ⊥AB 于点D ．∴ 在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD， ∴ AD ＝CDtan A ＝10033＝100 3在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠B ＝45°， ∴ DB ＝CD ＝100米，∴ AB ＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)米． 故选D ．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长． 10．如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是A ．2≤k ≤9B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8 考点：反比例函数综合题． 专题：综合题．分析：先求出点A 、B 的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC 相交于点C 时k 的取值最小，当与线段AB 相交时，k 能取到最大值，根据直线y ＝－x ＋6，设交点为(x ，－x ＋6)时k 值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4，∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，第9题图AB CD 30° 45°第10题图∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大， 此时交点坐标为(3，3)，因此，k 的取值范围是2≤k ≤9． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置)11．分解因式：x 2－16＝_________________． 考点：因式分解——运用公式法．分析：运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．解答：解：x 2－16＝(x ＋4)(x －4)．点评：本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．12．一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为__________________． 考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：① 全部情况的总数；② 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解；布袋中球的总数为：2＋3＝5，取到黄球的概率为：35．故答案为：35．点评：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P (A )＝mn．13．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________________． 考点：二次根式的定义． 专题：存在型．分析：20n 是正整数，则20n 一定是一个完全平方数，首先把20n 分解因数，确定20n 是完全平方数时，n 的最小值即可．解答：解：∵ 20n ＝22×5n ．∴ 整数n 的最小值为5． 故答案是：5．点评：本题考查了二次根式的定义，理解20n 是正整数的条件是解题的关键．14．计算：x －1x ＋1x＝______________．考点：分式的加减法． 专题：计算题．分析：直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．解答：解：原式＝x －1＋1x＝1． 故答案为：1．点评：本题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 15．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号) 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值．解答：解：∵ △ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A2＝72°．∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°．∴ ∠A ＝∠DBC ＝36°， 又∵ ∠C ＝∠C ， ∴ △ABC ∽△BDC ， ∴ AC BC ＝BCCD， 设AD ＝x ，则BD ＝BC ＝x ．则1x ＝x1－x ，解得：x ＝5＋12(舍去)或5－12． 故x ＝5－12． 如右图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， ∵ AD ＝BD ，∴E 为AB 中点，即AE ＝12AB ＝12．在Rt △AED 中，cos A ＝AE AD＝125－12＝5＋14． 故答案是：5－12；5＋14． 点评：△ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cos A 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分)(1) 计算：|－3|＋(π＋1)0－4．(2) 化简：a (1－a )＋(a ＋1)2－1．ABCD 第15题图ABCD E考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂． 专题：计算题．分析：(1) 原式第一项根据绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数进行化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用a 2＝|a |化简，合并后即可得到结果； (2) 利用乘法分配律将原式第一项括号外边的a 乘到括号里边，第二项利用完全平方数展开，合并同类项后即可得到结果．解答：解：(1) 解：|－3|＋(π＋1)0－4＝3＋1－2＝2．(2) 解：a (1－a )＋(a ＋1)2－1＝a －a 2＋a 2＋2a ＋1－1＝3a ．点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，零指数公式，二次根式的化简，完全平方公式，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17．(每小题7分，共14分)(1) 如图，点E 、F 在AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：△ABF ≌△CDE ． (2) 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． ① 画出将Rt △ABC 向右平移5个单位长度后的Rt △A 1B 1C 1；② 再将Rt △A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt △A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．考点：作图——旋转变换；全等三角形的判定；扇形面积的计算；作图——平移变换． 分析：(1) 由AB ∥CD 可知∠A ＝∠C ，再根据AE ＝CF 可得出AF ＝CE ，由AB ＝CD 即可判断出△ABF ≌CDE ；(2) 根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于以点C 1为圆心，以A 1C 1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可． 解答：证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠A ＝∠C ． ∵ AE ＝CF ，∴ AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即 AF ＝CE ． 又∵ AB ＝CD ， ∴ △ABF ≌△CDE ．(2) 解：① 如图所示； ② 如图所示；在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于90·π·42360＝4π．点评：本题考查的是作图－旋转变换、全等三角形的判定及扇形面积的计算，熟知图形平移及旋转不变性的性质是解答此题的关键．18．(满分12分)省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部A B C D E F第17(1)题图 第17(2)题图A B C分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示)，请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1) m ＝_______%，这次共抽取__________名学生进行调查；并补全条形图； (2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人最多？(3) 如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：(1) 用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m 的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数； (2) 从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果；(3) 用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可．解答：解：(1) 1－14%－20%－40%＝26%；20÷40%＝50； 条形图如图所示；(2) 采用乘公交车上学的人数最多；(3) 该校骑自行车上学的人数约为： 150×20%＝300(人)．点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．19．(满分11分)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．分析：(1) 设小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x 的方程，解方程即可求解； (2) 小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于x 的不等式组，从而求得x 的范围，再根据x 是非负整数即可求解． 解答：解：(1) 设小明答对了x 道题，依题意得：5x －3(20－x )＝68． 解得：x ＝16．答：小明答对了16道题．(2) 设小亮答对了y 道题，学生上学方式扇形统计图步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式依题意得：⎩⎨⎧5y －3(20－y )≥705y －3(20－y )≤90．因此不等式组的解集为1614≤y ≤1834．∵ y 是正整数，∴ y ＝17或18．答：小亮答对了17道题或18道题．点评：本题考查了列方程解应用题，以及列一元一次不等式解决问题，正确列式表示出最后的得分是关键．20．(满分12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 若∠B ＝60º，CD ＝23，求AE 的长．考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题：几何综合题．分析：(1) 连接OC ，由CD 为⊙O 的切线，根据切线的性质得到OC 垂直于CD ，由AD 垂直于CD ，可得出OC 平行于AD ，根据两直线平行内错角相等可得出∠1＝∠2，再由OA ＝OC ，利用等边对等角得到∠2＝∠3，等量代换可得出∠1＝∠3，即AC 为角平分线；(2) 法1：由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD 的长求出AC 的长，在直角三角形ABC 中，根据cos30°及AC 的长，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，进而得出半径OE 的长，由∠EAO 为60°，及OE ＝OA ，得到三角形AEO 为等边三角形，可得出AE ＝OA ＝OE ，即可确定出AE 的长；法2：连接EC ，由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC 中，由CD 及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，由∠DEC 为圆内接四边形ABCE 的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC ＝∠B ，由∠B 的度数求出∠DEC 的度数为60°，在直角三角形DEC 中，由tan60°及DC 的长，求出DE 的长，最后由AD －ED 即可求出AE 的长． 解答：(1) 证明：如图1，连接OC ，∵ CD 为⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CD ，∴ ∠OCD ＝90°． ∵ AD ⊥CD ，∴ ∠ADC ＝90°．∴ ∠OCD ＋∠ADC ＝180°， ∴ AD ∥OC ， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA ＝OC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3， 即AC 平分∠DAB ．(2) 解法一：如图2，∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ACD 中，CD ＝23， ∴ AC ＝2CD ＝43．在Rt △ABC 中，AC ＝43，∴ AB ＝ACcos ∠CAB ＝43cos30°＝8．连接OE ，∵ ∠EAO ＝2∠3＝60°，OA ＝OE ， ∴ △AOE 是等边三角形，∴ AE ＝OA ＝12AB ＝4．解法二：如图3，连接CE ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ADC 中，CD ＝23， ∴ AD ＝CDtan ∠DAC ＝23tan30°＝6．∵ 四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形， ∴ ∠B ＋∠AEC ＝180°． 又∵ ∠AEC ＋∠DEC ＝180°， ∴ ∠DEC ＝∠B ＝60°． 在Rt △CDE 中，CD ＝23，∴ DE ＝CD tan ∠DEC ＝23tan60°＝2．∴ AE ＝AD －DE ＝4．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．21．(满分13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．图2图3考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质． 专题：代数几何综合题． 分析：(1) 根据题意得：CQ ＝2t ，PA ＝t ，由Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，PD ∥BC ，即可得tan A ＝ PD PA ＝BC AC ＝43，则可求得QB 与PD 的值；(2) 易得△APD ∽△ACB ，即可求得AD 与BD 的长，由BQ ∥DP ，可得当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即可求得此时DP 与BD 的长，由DP ≠BD ，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，由要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ，列方程即可求得答案；(3) 设E 是AC 的中点，连接ME ．当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止．设此时PQ 的中点为F ，连接EF ，由△PMN ∽△PQC ．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：(1) QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．(2) 不存在．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴ AB ＝10． ∵ PD ∥BC ，∴ △APD ∽△ACB ，∴ AD AB ＝AP AC ，即：AD 10＝t6， ∴ AD ＝53t ，∴ BD ＝AB －AD ＝10－53t ．∵ BQ ∥DP ，∴ 当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8－2t ＝43t ，解得：t ＝125．当t ＝125时，PD ＝43×125＝165，BD ＝10－53×125＝6，∴ DP ≠BD ，∴ □PDBQ 不能为菱形．第21题图①第21题图②图1设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则BQ ＝8－vt ，PD ＝43t ，BD ＝10－53t ．要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ， 当PD ＝BD 时，即43t ＝10－53t ，解得：t ＝103．当PD ＝BQ 时，t ＝103时，即43×103＝8－103v ，解得：v ＝1615．(3) 解法一：如图2，以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t ≤4，当t ＝0时，点M 1的坐标为(3，0)； 当t ＝4时，点M 2的坐标为(1，4)．设直线M 1M 2的解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎨⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4，解得：⎩⎨⎧k ＝－2b ＝6． ∴ 直线M 1M 2的解析式为y ＝－2x ＋6． ∵ 点Q (0，2t )，P (6－t ，0)，∴ 在运动过程中，线段PQ 中点M 3的坐标为(6－t2，t )．把x ＝6－t 2，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×6－t 2＋6＝t ．∴ 点M 3在直线M 1M 2上．过点M 2作M 2N ⊥x 轴于点N ，则M 2N ＝4，M 1N ＝2． ∴ M 1M 2＝25．∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E 是AC 的中点，连接ME ． 当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止． 设此时PQ 的中点为F ，连接EF ．过点M 作MN ⊥AC ，垂足为N ，则MN ∥BC ． ∴ △PMN ∽△PDC ． ∴ MN QC ＝PN PC ＝PM PQ ，即：MN 2t ＝PN 6－t ＝12． ∴ MN ＝t ，PN ＝3－12t ，∴ CN ＝PC －PN ＝(6－t )－(3－12t )＝3－12t ．∴ EN ＝CE －CN ＝3－(3－12t )＝ 12t ．∴ tan ∠MEN ＝MN EN＝2．∵ tan ∠MEN 的值不变，∴ 点M 在直线EF 上．过F 作FH ⊥AC ，垂足为H ．则EH ＝2，FH ＝4． ∴ EF ＝25．∵ 当t ＝0时，点M 与点E 重合；当t ＝4时，点M 与点F 重合， ∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度．图2AC PN 图3E H点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．22．(满分14分)如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．考点：二次函数综合题．分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2) 根据已知条件可求出OB 的解析式为y ＝x ，则向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标； (3) 综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB 沿x 轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y ＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的P解答：解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3． ∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1． ∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上．∴ 可设D (x ，x 2－3x )． 又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0．第22题图① 第22题图②∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4．此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2， ∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴ 14n ＋3＝n 2－3n ， 解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1， ∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)，∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2， ∴ OP 1ON 2＝OD OB 2＝12， 图1∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(－38，－4532)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．本模板说明1、页眉21世纪教育网 21世纪教育网 黑体 小三号字 加粗 鲜红色 居中 2、背景专注初中教育，服务一线教师 隶书 鲜红色 3、页脚21世纪教育网期待您的投稿！zkzyw@ 宋体（正文） 小五号字 右对齐 鲜红色 4、页码 -1-数字，两遍加横 居中。
2020年福建省中考数学试题(含参考答案与试题解析)
A. 10
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可判断 CD 的长．
【详解】∵ AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线
∴CD=BD=5． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题
6210 3 x
B.
6210 3 x 1
C. 3x 1 6210
D.
x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为 6210 文”、“每件椽的运费为 3 文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱”列出方程解答．
故选：C
【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确 m 和 n 的范围，然
后再确定 m n 的范围即可．
7.下列运算正确的是（ ）
A. 3a2 a2 3
B. (a b)2 a2 b2
C. 3ab2 2 6a2b4
D. a a1 1(a 0)
【答案】D
【解析】
等于（ ）
A. 40
【答案】A 【解析】 【分析】
B. 50
C. 60
D. 70
根据 AB CD ，A 为 BD 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得
到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵ A 为 BD 中点，
∴ AB AD ,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
6.如图，数轴上两点 M , N 所对应的实数分别为 m, n ，则 m n 的结果可能是（ ）
2024福建省三明市中考数学试题及答案(Word解析版)
2024福建省三明市中考数学试卷一、单项选择题（共10题，每题4分，满分40分）1．（4分）（2024•三明）的相反数是（）C． 3 D．－3A．B．－分析：依据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．解答：解：－的相反数是．故选A．点评：本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（4分）（2024•三明）下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a6÷a3＝a2C．（ab）2＝a2b2D．（a＋b）2＝a2＋b2考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．分析：依据幂的乘方，可推断A，依据同底数幂的除法，可推断B，依据积的乘方，可推断C，依据完全平方公式，可推断D．解答：解：A、底数不变指数相乘，故A错误；B、底数不变指数相减，故B错误；C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：C．点评：本题考查了幂的乘方与积的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘．3．（4分）（2024•三明）下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（4分）（2024•三明）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表示为（）A．0.25×10－5B．2.5×10－5C．2.5×10－6D．2.5×10－7考点：科学记数法—表示较小的数．分析：肯定值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定．解答：解：0.000 002 5＝2.5×10－6；故选：C．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定．5．（4分）（2024•三明）不等式组的解集是（）A．x≥－1 B．x≤2 C．1≤x≤2 D．－1≤x≤2考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x≥－1，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：－1≤x≤2．故选D．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目经常要结合数轴来推断．还可以视察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．6．（4分）（2024•三明）如图是由5个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：由三视图推断几何体；简洁组合体的三视图．分析：先细心视察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．解答：解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列．故选B．点评：本题考查了由三视图推断几何体及简洁组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象实力．7．（4分）（2024•三明）小亮和其他5个同学参与百米赛跑，赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，选手以随机抽签的方式确定各自的跑道．若小亮首先抽签，则小亮抽到1号跑道的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式．分析：由赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，干脆利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，∴小亮首先抽签，则小亮抽到1号跑道的概率是：．故选A．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的学问点为：概率＝所求状况数与总状况数之比．8．（4分）（2024•三明）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点：多边形内角与外角．分析：此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．解答：解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n－2）•180°＝360°×2解得n＝6．则这个多边形是六边形．故选C．点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n－2）•180°．9．（4分）（2024•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．D E＝BE B．＝C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形考点：垂径定理．分析：依据垂径定理推断即可．解答：解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE＝CE，弧BD＝弧BC，依据已知不能推出DE＝BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选B．点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理实力和辨析实力．10．（4分）（2024•三明）已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：先依据抛物线的性质得到其对称轴为直线x＝b，且当x＞b时，y随x的增大而减小，由于已知当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则可得推断b≤1．解答：解：∵抛物线y＝－x2＋2bx＋c的对称轴为直线x＝－＝b，而a＜0，∴当x＞b时，y随x的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点式为y＝a（x－）2＋，的顶点坐标是（－，），对称轴直线x＝－b2a，当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，x＜－时，y随x的增大而减小；x＞－时，y随x的增大而增大；②当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向下，x＜－时，y随x的增大而增大；x＞－时，y随x的增大而减小，二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2024•三明）计算：×＝6．考点：二次根式的乘除法．分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．解答：解：原式＝2×＝6．故答案为：6．点评：本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，驾驭运算法则是关键．12．（4分）（2024•三明）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲＝0.9，S2乙＝1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲（填“甲”或“乙”）．考点：方差．分析：依据方差的意义可作出推断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解答：解：∵S2＝0.9，S2乙＝1.1，甲∴S2甲＜S2乙，∴甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲；故答案为：甲．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13．（4分）（2024•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB＝AD（答案不唯一）（写出一个即可）．考点：菱形的判定．分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．解答：解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB＝AD（答案不唯一），故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．14．（4分）（2024•三明）如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是2π．考点：旋转的性质．分析：首先计算出圆的面积，依据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．解答：解：∵AB＝4，∴BO＝2，∴圆的面积为：π×22＝4π，∴阴影部分的面积是：×4π＝2π，故答案为：2π．点评：此题主要考查了旋转的性质，关键是驾驭圆的面积公式．15．（4分）（2024•三明）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块运用原品种，其次块运用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知其次块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则依据题意列出的方程是＝．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设第一块试验田每亩的产量为x千克，则其次块试验田每亩的产量为（x＋200）千克，依据两块地的面积相同，列出分式方程．解答：解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，则其次块试验田每亩的产量为（x＋200）千克，由题意得，＝．故答案为；＝．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．16．（4分）（2024•三明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB 于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是－1．考点：勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短；等腰直角三角形．分析：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1＋EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再依据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．解答：解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1＋EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE＝＝，P2E＝1，∴AP2＝－1．故答案为－1．点评：本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．三、解答题（共9小题，满分86分）17．（7分）（2024•三明）解不等式2（x－2）＜1－3x，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：去括号得，2x－4＜1－3x，移项得，2x＋3x＜1＋4，合并同类项得，5x＜5，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示为：．点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．18．（7分）（2024•三明）先化简，再求值：（1＋）•，其中x＝＋1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式＝•＝，当x＝＋1时，原式＝＝．点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．19．（8分）（2024•三明）如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，1），与x轴交于点B．（1）求k和b的值；（2）连接OA，求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）分别把A点坐标代入y＝x＋b和y＝中即可计算出b和k的值；（2）先确定B点坐标，然后依据三角形面积公式求解．解答：解：（1）把A（2，1）代入y＝x＋b得2＋b＝1，解得b＝－1；把A（2，1）代入y＝（x＞0）得k＝2×1＝2；（2）一次函数解析式为y＝x－1，把y＝0代入y＝x－1得x－1＝0，解得x＝1，则B点坐标为（1，0），所以△AOB的面积＝×1×1＝．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满意两函数解析式．20．（8分）（2024•三明）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3－5.7范围内即可．解答：解：由题意得：Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB•cos∠A≈6×0.94＝5.64，∴在5.3～5.7米范围内，∴符合要求．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是弄清题意，并整理出直角三角形．21．（10分）（2024•三明）某学校在开展“书香校内”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查（每人只选一种书籍），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，依据图中的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为15；（2）补全条形统计图；（3）假如这所学校要添置学生课外阅读的书籍1500册，请你估计“科普”类书籍应添置多少册比较合适？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用文学的人数和所占的百分比求出总人数，用整体1减去文学、科普、军事所占的百分比，即可求出m的值；（2）用200乘以科普所占的百分比，求出科普的人数，再补全统计图几即可；（3）用课外阅读的书籍的册数乘以科普所占的百分比，即可得出答案．解答：解：（1）这次调查的学生人数为＝200（人），扇形统计图中军事所占的百分比是：1－35%－20%－30%＝15%，则m＝15；故答案为：200，15；（2）科普的人数是：200×30%＝60（人），补图如下：（3）依据题意得：1500×＝450（册），答：“科普”类书籍应添置450册比较合适．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图干脆反映部分占总体的百分比大小．22．（10分）（2024•三明）为了激励居民节约用水，某市采纳“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x吨时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？考点：一次函数的应用．分析：（1）因为月用水量不超过20吨时，按2元/吨计费，所以当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y ＝2x；因为月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按2元/吨收费，超过部分按2.8元/吨计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y＝2×20＋2.8（x－20），即y＝2.6x－12；（2）由题意可得：因为五月份缴费金额不超过40元，所以用y＝2x计算用水量；四月份缴费金额超过40元，所以用y＝2.8x－16计算用水量，进一步得出结果即可．解答：解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y＝2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是y＝2×20＋2.8（x－20）＝2.8x－16；（2）因为小颖家五月份的水费都不超过40元，四月份的水费超过40元，所以把y＝38代入y＝2x中，得x＝19；把y＝45.6代入y＝2.8x－16中，得x＝22．所以22－19＝3吨．答：小颖家五月份比四月份节约用水3吨．点评：此题考查一次函数的实际运用，依据题目蕴含的数量关系解决问题．23．（10分）（2024•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．考点：直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD＝90°，由OC＝CD，得出∠ODC＝∠COD，即可求得．（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE＝OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．解答：解：（1）如图①，连接OC，∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD，∴∠ODC＝∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ODC＝45°；（2）如图②，连接OE．∵CD＝OA，∴CD＝OC＝OE＝OA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵AE∥OC，∴∠2＝∠3．设∠ODC＝∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x．∴∠AOE＝∠OCD＝180°－2x．①AE＝OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE＝OD．②∠6＝∠1＋∠2＝2x．∵OE＝OC，∴∠5＝∠6＝2x．∵AE∥OC，∴∠4＋∠5＋∠6＝180°，即：x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°．∴∠ODC＝36°．点评：本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出协助线是解题的关键．24．（12分）（2024•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE＝∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相像？考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；相像三角形的判定与性质．专题：综合题；分类探讨．分析：（1）易证∠OCB＝∠B，由条件∠DOE＝∠B可得∠OCB＝∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．（2）题中要求“△OMN与△BCO相像”，并没有指明对应关系，故需分状况探讨，由于∠DOE＝∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种状况探讨：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．解答：解：（1）∵∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝0B＝OA＝5．∴∠OCB＝∠B，∠ACO＝∠A．∵∠DOE＝∠B，∴∠FOC＝∠OCF．∴FC＝FO．∴△COF是等腰三角形．过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，∵FC＝FO，FH⊥OC，∴CH＝OH＝，∠CHF＝90°．∵∠HCF＝∠B，∠CHF＝∠BCA＝90°，∴△CHF∽△BCA．∴＝．∵CH＝，AB＝10，BC＝6，∴CF＝．∴CF的长为．（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，则有∠NMO＝∠OCB．∵∠OCB＝∠B，∴∠NMO＝∠B．∵∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB．∴＝．∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8．∵AO＝5，AC＝8，AB＝10，∴AM＝．∴CM＝AC－AM＝．②若△OMN∽△BOC，如图3，则有∠MNO＝∠OCB．∵∠OCB＝∠B，∴∠MNO＝∠B．∵∠ACO＝∠A，∴△CON∽△ACB．∴＝＝．∵BC＝6，AB＝10，AC＝8，CO＝5，∴ON＝，CN＝．过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，∵∠MNO＝∠B，∠MON＝∠B，∴∠MNO＝∠MON．∴MN＝MO．∵MG⊥ON，即∠MGN＝90°，∴NG＝OG＝．∵∠MNG＝∠B，∠MGN＝∠ACB＝90°，∴△MGN∽△ACB．∴＝．∵GN＝，BC＝6，AB＝10，∴MN＝．∴CM＝CN－MN＝－＝．∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相像．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、相像三角形的判定与性质、勾股定理等学问，考查了分类探讨的思想，而将等腰三角形的三线合一与三角形相像相结合是解决本题的关键．25．（14分）（2024•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，干脆写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）解析式已存在，y＝ax2＋bx＋4，我们只须要依据特点描述求出a，b即可．由对称轴为－，又过点A（－2，0），所以函数表达式易得．（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN＝BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，－x2＋x＋4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC＝BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．解答：解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A（－2，0），∴0＝4a－2b＋4，∵对称轴是x＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，两关于a、b的方程联立解得a＝－，b＝，∴抛物线为y＝－x2＋x＋4．（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC＝MN．①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．设M（x，－x2＋x＋4），则N（x＋2，－x2＋x），∵N在x轴上，∴－x2＋x＝0，解得x＝0（M与C重合，舍去），或x＝6，∴x M＝6，∴M（6，4）．②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．设M（x，－x2＋x＋4），则N（x－2，－x2＋x＋8），∵N在x轴上，∴－x2＋x＋8＝0，解得x＝3－，或x＝3＋，∴x M＝3－，或3＋．∴M（3－，－4）或（3＋，－4）综上所述，M的坐标为（6，4）或（3－，－4）或（3＋，－4）．（3）∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5．假如△PBD≌△PBC，那么BD＝BC＝5，∵D在x轴上，∴D为（－2，0）或（8，0）．①当D为（－2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，∵BC＝BD，∴E为CD的中点，即E（－1，2），设过E（－1，2），B（3，0）的直线为y＝kx＋b，则，解得，∴BE：y＝－x＋．设P（x，y），则有，解得，或，则P1（4＋，），P2（4－，）．②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，∵BC＝BD，∴F为CD的中点，即E（4，2），设过E（4，2），B（3，0）的直线为y＝kx＋b，则，解得，∴BF：y＝2x－6．设P（x，y），则有，解得或，则P3（－1＋，－8＋2），P4（－1－，－8－2）．综上所述，点P的坐标为（4＋，）或（4－，）或（－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）．点评：本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义，平移及二元一次方程求解等学问，本题难度适中，但想做全答案并不简洁，是道特别值得学生练习的题目．2024福建省三明市中考数学试题满分：150分，考试时间：120分钟。
福州市中考数学试卷含答案解析
福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4=．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣）0．20．化简：a﹣b﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市﹣常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，比增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB 上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y 轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=． 故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r 上=r 下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x 3y+xy 3的值是 98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy （x 2+y 2），又因为x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy ，然后将x+y 与xy 的值代入即可．【解答】解：x 3y+xy 3=xy （x 2+y 2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市﹣常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，比增加了7万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将人数减去人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，比增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知增加：×100%≈0.98%，增加：×100%≈0.97%，增加：×100%≈1.2%，增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD 的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H 重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2023福建省中考数学试卷及答案
2023福建省中考数学试卷及答案本试卷共分为两部分：选择题和非选择题，满分100分。
考试时间为120分钟。
选择题本部分共20小题，每小题2分，共40分。
1. 甲乙两个园子，甲园占地面积的$40\%$，乙园占地面积的$60\%$。
如果两个园子的面积相等，且甲园比乙园的边长长1米，则甲园的面积是（）。
A. 100$ m^2$ $\quad$B. 120$ m^2$ $\quad$C.150$ m^2$ $\quad$D. 200$ m^2$2. 关于方程$x^2+mx+n=0$，下列命题正确的是（）。
A. 当$m^2<4n$时，它有两个相等的实数根；B. 当$m^2=4n$时，它有两个相等的实数根；C. 当$m^2>4n$时，它有两个相等的实数根；D. 总成立。
3. 某车站有不同的旅游集散地$A_1,A_2,\cdots,A_n$，所有旅行团都从这个车站出发，到若干个旅游集散地点游览，所有旅游集散地都可以到达。
有一个旅行团计划从车站出发，到不重复地游览若干个旅游集散地，它们之间的路程用1到$n$之间的整数表示，集合$S$表示这些行程的集合，则$S$中小于10的最大元素是（）。
A. 2 $\quad$B. 3 $\quad$C. 4 $\quad$D. 54. 若$\sin x>\cos y$，$\cos x<0,\sin y<0$，则$\tan x$与$\coty$的大小关系是（）。
A. $\tan x< \cot y$ $\quad$B. $\tan x= \cot y$ $\quad$C. $\tan x>\cot y$ $\quad$D.无法确定。
5. 20条等长钢管要用火车运送到工地，车厢的长度比钢管多0.2米。
如果每个车厢可以装4条钢管，则至少需要多少个车厢（）。
A. 3车厢 $\quad$B. 4车厢 $\quad$C. 5车厢 $\quad$D. 6车厢6. 已知由$n(n\geqslant 3)$个不在同一直线上的点，任取三点不共线，它们围成的三角形是等边三角形的概率为$\frac{1}{4}$，则$n=$（）。
福建中考数学试题及答案解析
福建中考数学试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正整数？A. -2B. 0C. 1.5D. π答案：B解析：正整数是指大于0的整数，选项B中的0不是正整数，因此正确答案应为选项C，即1.5。
2. 已知一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边长x的取值范围是？A. 1cm < x < 7cmB. 0cm < x < 7cmC. 1cm < x < 10cmD. 0cm < x < 10cm答案：A解析：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，第三边x的取值范围为1cm < x < 7cm。
3. 计算下列表达式的值：(-3)^2A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A解析：负数的偶数次幂结果为正数，因此(-3)^2 = 9。
4. 一个圆的半径为5cm，其面积是多少？A. 25π cm^2B. 50π cm^2C. 75π cm^2D. 100π cm^2答案：B解析：圆的面积公式为A = πr^2，将半径r=5cm代入公式，得到面积A = π(5cm)^2 = 25π cm^2。
5. 若a和b互为相反数，则a+b的值为？A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A解析：相反数是指两个数的和为0，因此若a和b互为相反数，则a+b=0。
6. 下列哪个函数是一次函数？A. y = 2x^2B. y = 3x + 4C. y = 5/xD. y = x^3 - 2答案：B解析：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数，且k≠0。
选项B中的函数y = 3x + 4符合一次函数的定义。
7. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为5cm，其周长是多少？A. 16cmB. 21cmC. 26cmD. 无法确定答案：B解析：等腰三角形的两腰相等，因此周长为底边长加上两倍的腰长，即6cm + 2*5cm = 21cm。
2022年福建省中考数学试卷(含答案)
1 / 4福建省中考数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．下列各数是无理数的是 A ．0B ．31 C ．2D ． 3-2．我国南海某海域探明可燃冰储量约为19 400 000 000立方米，19 400 000 000用科学记数法表示为 A ．19.4×910 B ．1.94×1010 C ．0.194×1010 D ．1.94×9103．下列计算不正确．．．的是 A ．a a a =-232 B ．632)(a a -=- C ．426a a a =÷ D ．963632a a a =⋅4．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．下列调查适合普查的是A ．调查202X 年5月份市场上某品牌饮料的质量B ．了解电视台某一频道的全国收视率情况C ．环保部门调查202X 年5月份黄河某段水域的水质量情况D ．了解全班同学本周末参加社区活动的时间6．如图，ABC ∆内接于⊙O ，︒=∠30C ，2=AB ，则⊙O 的半径为A ．3B ．2C ．23D ．4 7．下列事件中，属于不可能事件的是A ．某班45位同学，其中有2位同学生日相同B ．在装只有10个红球的布袋中摸出一球，这球一定是红球C ．今天是星期五，明天就是星期日D ．同号两个实数的积一定是正数8．如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，那么在原正方体中，与数字6相对面上的数字是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．5作)(x f y =．如9．通常情况下，若y 是关于x 的函数，则y 与x 的函数关系式可记321+=x y 记作321)(+=x x f ，当2=x 时，43221)2(=+⨯=f . 下列四个函数中，满足)()()(b f a f b a f +=+的函数是A ．xy 3=B ．62--=x yC ．x y 3=D ．43212++=x x y10．如图，函数xk y 11=（01≠k ）与x k 22y =（02≠k ）的图象 交于A 、B 两点，且)3,1(-A . 若21y y <，则x 的取值范围是A ．01<<-xB ．1-<x 或10<<xC ．11<<-xD ．01<<-x 或1>x二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元一次不等式023>+x 的解集是 ．12．两个不透明的袋子，一个装有两个球（1个黄球，1个红球），另一个装有3个球（1个白球，一个红球，一个绿球），小球除颜色外，其余完全相同. 现从两个袋子中各随机摸出1个球，两球颜色恰好相同的概率是 ．13．若代数式2432--x x 的值为0，则=+-34342x x ．14．在ABC ∆中，9013,5,C AB BC ∠=︒==，若将ABC∆绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积=S ． 15．如图，在ABC ∆中，︒=∠60ACB ，点D ,E 分别是AB ，AC 的中点，点F在线段DE 上，连结CF AF ,. 若CF 恰好平分ACB ∠，则FAC ∠的度数为 ． 16．如图，ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠30B ，点D 在BC上，过点D 作BC DE ⊥，交BA 或其延长线于点E ，过点E 作BA EF ⊥交AC 或其延长线于点F ，连接DF . 若AC DF ⊥，则=BD ．三、解答题（本大题共9小题，共92分） 17．（本题满分6分）计算：20150318|2|(1)()2cos 455+-+--+︒. 18．（本题满分6分）化简：)(2))((22b a b a b a ++-+． 19．（本题满分8分）解方程：42312+-=+x xx x .20．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的点，ADE DAC ∠=∠，AC 交DE 于点F ，且DE AC =．（1）求证：C E ∠=∠；（2）判断四边形ABDE 与三角形ABC 的面积是否相等， 并说明理由．21．（本题满分11分）某县为选派一个代表队（10名选手）参加市举办的纪念胜利70周年知识竞赛，现有甲、乙两支代表队（各10名选手）参加县里预选，预选时选手得分满分为10分，且选手得分均为整数，成绩达6分及以上为合格，9分或10分为优秀．各队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下：（1）请依据图表中的数据，求出条形图中a 的值；（第21题图）成绩 队别 平 均 分 中 位 数 方 差 合 格 率 % 优秀 率 %甲队 6.7 m 3.41 90 n 乙队 7.3 7.25 2.03 80 10成绩统计分析表 成绩分布条形图 （第6题图）O B A （第8题图）2 3 4 561（第10题图）A ByxO（第15题图）AD FEB（第16题图）E ADB CF （第20题图） E FD A CB2 / 4（2）写出表中m 、n 的值；（3）有人说甲队的合格率、优秀率均高于乙队，所以应选派甲队参加市赛，但也有人认为乙队成绩比甲队好．请给出两条支持乙队代表县里参加市赛的理由． 22．（本题满分12分）有如图所示的直角边分别为1，2和2，2的直角三角形各2个.（1）请你利用这4个三角形，分别在8×8的网格纸上拼成2个周长不等的平行四边形；（2）利用这样的4个三角形，你最多可以拼成多少个周长不等的平行四边形，其中最大的周长是多少（本小题只要求直接写出结果）．23．（本题满分12分）某通讯公司推出了A 、B 两种不同上网计费方式如下表：项目计费方式月租费（元） 限流量（MB ） 超流量计费（元/MB ）A5 30 0.5 B10 70 1 设一个月内移动电话的流量为t MB (0≥t )，根据要求回答下列问题． （1）用含t 的式子填写下表：流量计费方式30≤t 7030≤<t 70>tA 种计费（元）5 B 种计费（元）10 10 （2）当t 为何值时，两种计费方式的费用相等； （3）当10050<<t 时，你认为选择哪种计费方式更省钱，并说明理由． 24．（本题满分13分）如图，已知点)6,(n A ，),6(m B 在双曲线x y 6=的图象上，以AB 为直径的M与x 轴交于点)0,3(E 和点F ，抛物线)0(122≠++=a bx ax y 的图象经过点A 、E 、F ．（1）填空：=n ，=m ；（2）求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y 轴交于点C ，与M 的另一交点为G ，连结CG ，试证明直线CG 与M 相切． 25．（本题满分14分） 我们在初中物理已经学了光的反射定律：①入射光线、反射光线、法线都在同一个平面上；②入射光线、反射光线分居于法线两侧；③入射角等于反射角．请你利用这一定律及初中数学知识解决以下问题：（1）如图1，在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是其三边的中点，一条光线由点D 出发，经DE →EF →FD 反射回到D 点，则图1中∠1+∠2+∠3= ；（2）如图2，在正n 边形123n A A A A 中，点1P 、2P 、3P n P 分别是正n 边形各边上的中点，一条光线从1P 点出发，经点2P 、3P n P 反射回到点1P ，则图2中221A P P ∠= （用含n 的代数式表示）； （3）如图3，在矩形ABCD ，若3=AB ，4=BC ，点E 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），一条光线从点E 出发，入射光线EF 与对角线AC 平行，经BC 、CD 、AD 上的点F 、G 、H 反射回到E 点，得四边形EFGH ．①求AEH ∠tan 的值；②问：四边形EFGH 的周长是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由．（第24题图）ACG M E BO x y F（图1）（图2）（图3）E C B D AF 321n A nP 1A 1P 2A 2P 3A 3P 4A n 12A H D CFBE G （第22题图）3 / 4数学试题参考答案说明：评分最小单位为1分，若学生解答与本参考答案不同，参照给分．一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBADDBCACB二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分．注：答案不正确、不完整均不给分） 11．32->x 12．6113．2 14．65π 15．60︒ 16．536三、解答题（本大题共8题，共89分）17．（6分）解：原式=11122+--+ ···················· 5分 = 3 ·························· 6分 18．（6分）解：原式=222222b a b a ++- ·················· 4分 223b a += ······················· 6分 19. （8分）解：方程两边同时乘以)2(2+x ，得x x x 3)2(22-+= ····················· 4分34=x ··························· 7分 经检验：34=x 是原方程的解. ················ 8分20．（10分） 解：（1）证明：,,AD DA DAC ADE DE AC =∠=∠=ADC ∆∴≌DAE ∆ …………………………4分 C E ∠=∠∴ ………………………………5分（2）相等. …………………………………………6分理由如下：由（1）得ADC ∆≌DAE ∆∴ADC DAE S S ∆∆= ························· 7分∴ABD ADE ABDE S S S ∆∆=+四边形ABD ADC S S ∆∆=+ABC S ∆= ········· 10分 注：若用AEF ABDE ABDF S S S ∆=+四边形四边形，并证明AEF ∆≌DCF ∆也行，参照给分。
2022福建中考数学试卷+答案解析
2022年福建中考数学一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 1. ―11的相反数是 ( )A.―11B.―111C.111D.112. 如图所示的圆柱，其俯视图是( )A B C D3. 5G 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变。
截至2021年底，全省5G 终端用户达1 397.6万户。
数据13 976 000用科学记数法表示为 ( )A.13 976×103B.1 397.6×104C.1.397 6×107D.0.139 76×1084. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是( )A B C D 5. 如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是( )A.―√2B.√2C.√5D.π6. 不等式组{x −1>0,x −3≤0的解集是( )A.x >1B.1<x <3C.1<x ≤3D.x ≤37. 化简(3a 2)2的结果是 ( )A.9a 2B.6a 2C.9a 4D.3a 48. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列。
下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图。
综合指数越小，表示环境空气质量越好。
依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是()A.F1B.F6C.F7D.F109.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44 cm，则高AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) ()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD.22.44 cm10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB=8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是()A.96B.96√3C.192D.160√3二、填空题(每小题4分，共24分)11.四边形的外角和度数是.12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点。
2022年福建省中考数学真题(含答案解析)
2022年福建省中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．－11的相反数是（）A．－11B．111-C．111D．112．如图所示的圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．3．5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（）A．31397610⨯B．41397.610⨯C．71.397610⨯D．80.1397610⨯4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）A．B C D ．π6．不等式组1030x x ->⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．1x >B ．13x <<C ．13x <≤D ．3x ≤ 7．化简()223a 的结果是（ ）A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）A ．1FB ．F 6C ．7FD ．10F9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，BC ＝44cm ，则高AD 约为（ ）（参考数据：sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．9.90cmB ．11.22cmC ．19.58cmD ．22.44cm10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A ．96B ．C ．192D ．二、填空题11．四边形的外角和等于_______.12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若BC ＝12，则DE 的长为______．13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．14．已知反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）15．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．△等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．△等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．△等式两边都除以x m -，得x m m +=．△等式两边都减m ，得x ＝0.△所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．16．已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．三、解答题17012022-．18．如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，△B ＝△E ．求证：△A ＝△D ．19．先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a =． 20．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A 组为01t ≤<，B 组为12t ≤<，C 组为23t ≤<，D 组为34t ≤<，E 组为45t ≤<，F 组为5t ≥．(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；(2)该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h 的人数．21．如图，△ABC 内接于△O ，AD BC ∥交△O 于点D ，DF AB ∥交BC 于点E ，交△O 于点F ，连接AF ，CF ．(1)求证：AC ＝AF ；(2)若△O 的半径为3，△CAF ＝30°，求AC 的长（结果保留π）．22．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．23．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．(1)求作△A ，使得△A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设BD 与△A 相切于点E ，CF △BD ，垂足为F ．若直线CF 与△A 相切于点G ，求tan ADB 的值．24．已知ABC DEC ≌△△，AB ＝AC ，AB ＞BC ．(1)如图1，CB 平分△ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于△BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示△ACE 与△EFC 之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于△ABC ），若BAD BCD ∠=∠，求△ADB 的度数．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB 面积是△P AB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：－11的相反数是11故选：D.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．A【解析】【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆．【详解】△圆柱体的顶部是一个圆△圆柱体的俯视图应为一个圆A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图B选项是长方形，不符合题意C选项是长方形，不符合题意D选项不是圆，不符合题意故选：A．【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．3．C【解析】【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积A选项13976不是一个1与10之间的实数B选项1397.6不是一个1与10之间的实数C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合D选项0.13976不是一个1与10之间的实数．故选：C．【点睛】本题考查科学计数法，解题的关键是理解和掌握科学计数法的相关知识．4．A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．5．B【解析】【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，A.221，故本选项不符合题意；B. 12<，故此选项符合题意；C. 23<<，故本选项不符合题意；D. 34π<<，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P 对应的数的大小是解答本题的关键．6．C【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．【详解】解：由10＞x -，得：1x ＞， 由30x -≤，得：3x ≤，则不等式组的解集为13x ≤＜，故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==， 故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到10F 的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是10F ，故选：D ．【点睛】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键． 9．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及BC ＝44cm ，可得1222DC BC ==cm ，根据等腰三角形的性质及27ABC ∠=︒，可得27ACB ABC ∠=∠=︒，在Rt ADC 中，由tan 27AD CD =︒⨯，求得AD 的长度．【详解】解：△等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高， △12DC BC =， △BC ＝44cm ， △1222DC BC ==cm ． △等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，△27ACB ABC ∠=∠=︒．△AD 为BC 边上的高，27ACB ∠=︒，△在Rt ADC 中，tan 27AD CD =︒⨯，△tan 270.51︒≈，22DC =cm ，△0.512211.22AD ≈⨯=cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin602sin60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，△90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12AA '=．2AC AB ∴=△平行四边形ACC A ''的面积=sin602sin60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．11．360°．【解析】【详解】解：n （n≥3）边形的外角和都等于360°．12．6【解析】【分析】利用中位线的性质计算即可．【详解】△D ，E 分别是AB ，AC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，又BC =12， △162DE BC ==， 故答案为：6．本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．13．3 5【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是35．故答案为：35．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．-5（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．【详解】解：由反比例函数kyx的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，△实数k的值可以是-5；故答案为-5（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．15．△【解析】【分析】根据等式的性质2即可得到结论．等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，△第△步等式两边都除以x m -，得x m m +=，前提必须为0x m -≠，因此错误； 故答案为：△．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．16．8【解析】【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可。
2024年福建省中考真题数学试题
2024年福建省中考真题数学试题一、单选题1．下列实数中，无理数是（ ）A ．3-B ．0C ．23D 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A ．696110⨯B ．2696.110⨯C ．46.96110⨯D ．50.696110⨯3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB P CD ，则1∠的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．下列运算正确的是（ ）A ．339a a a ⋅=B ．422a a a ÷=C ．()235a a =D ．2222a a -=6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．237．如图，已知点,A B 在O e 上，72AOB ∠=︒，直线MN 与O e 相切，切点为C ，且C 为»AB 的中点，则ACM ∠等于（ ）A ．18︒B ．30︒C ．36︒D ．72︒8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（ ） A ．()1 4.7%120327x += B ．()1 4.7%120327x -= C ．1203271 4.7%x=+D ．1203271 4.7%x=-9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB V与ODC V 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥ B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒10．已知二次函数()220y x ax a a =-+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <二、填空题11．因式分解：x 2+x =． 12．不等式321x -<的解集是．13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是．（单位：分）14．如图，正方形ABCD 的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与O e 交于,A B 两点，且点,A B 都在第一象限．若()1,2A ，则点B 的坐标为．16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA ∠为70︒，帆与航行方向的夹角PDQ ∠为30︒，风对帆的作用力F 为400N ．根据物理知识，F 可以分解为两个力1F 与2F ，其中与帆平行的力1F 不起作用，与帆垂直的力2F 仪可以分解为两个力1f 与21,f f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；2f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：400F AD ==，则2f CD ==．（单位：N ）（参考数据：sin400.64,cos400.77︒=︒=）三、解答题17．计算：0(1)5-+-18．如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、边上，AEB AFD ∠=∠，求证：BE DF =．19．解方程：3122xx x +=+-． 20．已知A 、B 两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．(1)求A 地考生的数学平均分；(2)若B 地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B 地考生数学平均分一定比A 地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．21．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，其中()()2,0,0,2A C --．(1)求二次函数的表达式；(2)若P 是二次函数图象上的一点，且点P 在第二象限，线段PC 交x 轴于点,D PDB △的面积是CDB △的面积的2倍，求点P 的坐标． 22．如图，已知直线1l P 2l ．(1)在12,l l 所在的平面内求作直线l ，使得l P 1l P 2l ，且l 与1l 间的距离恰好等于l 与2l 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若1l 与2l 间的距离为2，点,,A B C 分别在12,,l l l 上，且ABC V 为等腰直角三角形，求ABC V 的面积．23．已知实数,,,,a b c m n 满足3,b c m n mn a a+==． (1)求证：212b ac -为非负数；(2)若,,a b c 均为奇数，,m n 是否可以都为整数？说明你的理由．24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出ADAB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A ．B ．C ．D ．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE ，EF 的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）25．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交»AD 于点F ．(1)求OEAE的值；(2)求证：AEB BEC△∽△；(3)求证：AD与EF互相平分．。
2022年福建中考数学真题(解析版)
2022年福建省中考数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. －11的相反数是（ ）A. －11B. 111C. 111D. 11【答案】D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：－11的相反数是11故选：D 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆．【详解】∵圆柱体的顶部是一个圆∴圆柱体的俯视图应为一个圆A 选项是一个圆，是圆柱体的俯视图.B 选项是长方形，不符合题意C 选项是长方形，不符合题意D 选项不是圆，不符合题意故选：A ．【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．3. 5G 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G 终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示（ ）A. 31397610⨯ B. 41397.610⨯ C. 71.397610⨯ D. 80.1397610⨯【答案】C【解析】【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积A 选项13976不是一个1与10之间的实数B 选项1397.6不是一个1与10之间的实数C 选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合D 选项0.13976不是一个1与10之间的实数．故选：C ．4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，故此选项符合题意；为.B 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．5. 如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）A. D. π【答案】B【解析】【分析】先根据数轴确定点P 对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．【详解】解：由数轴可得，点P 对应的数在1与2之间，A.21-<-<-，故本选项不符合题意；B. 12<<，故此选项符合题意；C. 23<<，故本选项不符合题意；D. 34π<<故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P 对应的数的大小是解答本题的关键．6. 不等式组1030x x ->⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 1x > B. 13x << C. 13x <≤ D. 3x ≤【答案】C【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．【详解】解：由10＞x -，得：1x ＞，由30x -≤，得：3x ≤，则不等式组的解集为13x ≤＜，故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7. 化简()223a 的结果是（ ）A. 29a B. 26a C. 49a D. 43a 【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==g ，故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）A. 1F B. F 6 C. 7F D. 10F 【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到10F 的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是10F ，故选：D ．【点睛】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键．9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，BC ＝44cm ，则高AD 约为（ ）（参考数据：sin 270.45︒≈，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A. 9.90cmB. 11.22cmC. 19.58cmD. 22.44cm【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及BC ＝44cm ，可得1222DC BC ==cm ，根据等腰三角形的性质及27ABC ∠=︒，可得27ACB ABC ∠=∠=︒，在Rt ADC V 中，由tan 27AD CD =︒⨯，求得AD 的长度．【详解】解：∵等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，∴12DC BC =，∵BC ＝44cm ，∴1222DC BC ==cm ．∵等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，∴27ACB ABC ∠=∠=︒．∵AD 为BC 边上的高，27ACB ∠=︒，∴在Rt ADC V 中，tan 27AD CD =︒⨯，∵tan 270.51︒≈，22DC =cm ，∴0.512211.22AD ≈⨯=cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''V ，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A. 96B.C. 192D. 【答案】B【解析】【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin 602sin 60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12A A '=．2AC AB∴=∴平行四边形ACC A ''的面积=sin 602sin 60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11. 四边形的外角和等于_______.【答案】360°．【解析】【详解】解：n （n≥3）边形的外角和都等于360°．12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若BC ＝12，则DE 的长为______．【答案】6【解析】【分析】利用中位线的性质计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，AC中点，∴DE是△ABC的中位线，又BC=12，∴162DE BC==，故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．【答案】3 5【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是3 5．故答案为：35．=所求情况数与总情况数之比．14. 已知反比例函数kyx=的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）【答案】-5（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．【详解】解：由反比例函数kyx=的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，∴实数k的值可以是-5；故答案为-5（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．的例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．①等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③等式两边都除以x m -，得x m m +=．④等式两边都减m ，得x ＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④【解析】【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，∴第④步等式两边都除以x m -，得x m m +=，前提必须为0x m -≠，因此错误；故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．16. 已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．【答案】8【解析】【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可。
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福建省中考数学试卷一、选择题（每小题4 分，共40 分）1．（4 分）计算22+（﹣1）0 的结果是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（4 分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000 用科学记数法表示为（）A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106 3．（4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形4．（4 分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A． B．C．D．5．（4 分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．66．（4 分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7．（4 分）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝08．（4 分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685 个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝346859．（4 分）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°10．（4 分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c 的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3 的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1二、填空题（每小题4 分，共24 分）11．（4 分）因式分解：x2﹣9＝．12．（4 分）如图，数轴上A、B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是．13．（4 分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100 名学生，其中60 名同学喜欢甲图案，若该校共有2000 人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有人．14．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是．15．（4 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 中心与半径为2 的⊙O 的圆心重合，E、F 分别是AD、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．（4 分）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B、D 两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k ＝．三、解答题（共86 分）17．（8 分）解方程组．18．（8 分）如图，点E、F 分别是矩形ABCD 的边AB、CD 上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．19．（8 分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．20．（8 分）已知△ABC 和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4 倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．21．（8 分）在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D、E．（1）当点E 恰好在AC 上时，如图1，求∠ADE 的大小；（2）若α＝60°时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形．22．（10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12 元．根据记录，5 月21 日，该厂产生工业废水35 吨，共花费废水处理费370 元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．23．（10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000 元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500 元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000 元，但无需支付工时费．某公司计划购买1 台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数8 9 10 11 12频率（台数）10 20 30 30 10（1）以这100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100 机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1 台该机器的同时应一次性额外购10 次还是11 次维修服务？24．（12 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F 在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD 的值．25．（14 分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x 轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2，0），求a、c 满足的关系式；（2）设A 为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k 与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ ABC 为等腰直角三角形．①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C 三点共线．2019 年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共40 分）1．（4 分）计算22+（﹣1）0 的结果是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般．2．（4 分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000 用科学记数法表示为（）A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：将720000 用科学记数法表示为7.2×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合4．（4 分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A． B．C．D．【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】解：几何体的主视图为：故选：C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．5．（4 分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．6．（4 分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D 错误．故选：D．【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．7．（4 分）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意；B、原式＝8a3，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝0，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4 分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685 个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685 D．x+ x+ x＝34685【分析】设他第一天读x 个字，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设他第一天读x 个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，故选：A．【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．（4 分）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB 的度数．10．（4 分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c 的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3 的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B 最远，D 最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．二、填空题（每小题4 分，共24 分）11．（4 分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．（4 分）如图，数轴上A、B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是﹣1 ．【分析】根据A、B 两点所表示的数分别为﹣4 和2，利用中点公式求出线段AB 的中点所表示的数即可．【解答】解：∵数轴上A，B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，∴线段AB 的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．即点C 所表示的数是﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．13．（4 分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100 名学生，其中60 名同学喜欢甲图案，若该校共有2000 人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 1200 人．【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．【解答】解：由题意得：2000×＝1200 人，故答案为：1200．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．14．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是（1，2）．【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（4，2），∴点C 的坐标为（4﹣3，2），即C（1，2）；故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（4 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 中心与半径为2 的⊙O 的圆心重合，E、F 分别是AD、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1 ．（结果保留π）【分析】延长DC，CB 交⊙O 于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB 交⊙O 于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S 圆O﹣S 正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（4 分）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B、D 两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝6+2 ．【分析】连接OC，AC 过A 作AE⊥x 轴于点E，延长DA 与x 轴交于点F，过点D 作DG ⊥x 轴于点G，得O、A、C 在第一象限的角平分线上，求得A 点坐标，进而求得D 点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC 过A 作AE⊥x 轴于点E，延长DA 与x 轴交于点F，过点D 作DG⊥x 轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC 对称，∴O、A、C 三点在同直线上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A 在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AE tan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A 点第一象限的角平分线上．三、解答题（共86 分）17．（8 分）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3 代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（8 分）如图，点E、F 分别是矩形ABCD 的边AB、CD 上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【分析】由SAS 证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF 和△BCE 中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19．（8 分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷＝（x﹣1）•＝，当x＝+1，原式＝＝1+ ．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．（8 分）已知△ABC 和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4 倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC 得△A'B'C'即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F' 【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC 同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．21．（8 分）在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D、E．（1）当点E 恰好在AC 上时，如图1，求∠ADE 的大小；（2）若α＝60°时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE 的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30 度的直角三角形三边的关系得到AB＝AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD 和△BCE 为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC 得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△DEC，点E 恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°；（2）证明：如图2，∵点F 是边AC 中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60 得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD 和△BCE 为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F 为△ACD 的边AC 的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF 是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．22．（10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12 元．根据记录，5 月21 日，该厂产生工业废水35 吨，共花费废水处理费370 元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35 吨废水所需费用，将其与350 比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m 吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x 吨，分0＜x≤20 及x＞20 两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10 元/吨，可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20 吨．（2）设一天产生工业废水x 吨，当0＜x≤20 时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20 时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000 元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500 元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000 元，但无需支付工时费．某公司计划购买1 台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数8 9 10 11 12频率（台数）10 20 30 30 10（1）以这100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100 机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1 台该机器的同时应一次性额外购10 次还是11 次维修服务？【分析】（1）利用概率公式计算即可．（2）分别求出购买10 次，11 次的费用即可判断．【解答】解：（1 ）“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10 ”的概率＝＝0.6．（2）购买10 次时，某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12该台机器维修费用24000 24500 25000 30000 35000此时这100 台机器维修费用的平均数y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300购买11 次时，某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12 该台机器维修费用26000 26500 27000 27500 32500 此时这100 台机器维修费用的平均数y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，∵27300＜27500，所以，选择购买10 次维修服务．【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F 在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD 的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC 垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD 的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．25．（14 分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x 轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2，0），求a、c 满足的关系式；（2）设A 为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k 与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ ABC 为等腰直角三角形．①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C 三点共线．【分析】（1）抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1 过定点（1，1），且当k＝0 时，直线l 变为y＝1 平行x 轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD 表达式中的k 值、直线AC 表达式中的k 值，两个k 值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1 过定点（1，1），且当k＝0 时，直线l 变为y＝1 平行x 轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC 为等腰直角三角形，∴点A 为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，② ，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k ，C，A（1，0），∴直线AD 表达式中的k 值为：k AD＝＝，直线AC 表达式中的k 值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D 三点共线．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．。