2.2轴对称的性质(1)
2.2轴对称的基本性质1
L
3、画出轴对称图形
C B
（1）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为 什么？ （2） AE与BG平行，能说明轴对称图形对 称点的连线一定互相平行吗？
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
感谢同学们的积极参与！
B′
B
C
C′
●
B′
2、如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连 线． △ABC 与△A′B′C′有什么关系？
说一说
A
轴对称的性质
A
轴对称的性质： 1．成轴对称的两个图形．对应线段相等，对应角相等 2．成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对 应点的连线。
1、如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1 ＝110°,∠2＝46°,则x＝ .
x 1
2. 下图是轴对称图形，相等的线段 是 ，相等的角 A E G D A K C B H F B C E 3.已知长方形按如图方式折叠，则∠E=( ),图中GD = ( ) DC=( ) CH=( )
2
D
例1
如图成轴对称的两个图形，你能否画出对称轴的位
置？并说出你是怎样画的． (1)图中两个“4”有什么关系？
2.2 轴对称的基本性质（1）
青岛版 《数学》八年级（上）
学习目标
1. 探索轴对称的图形的性质,并能熟记轴对称 图形的性质 2.熟练运用轴对称基本的性质，画出 已知图 形的轴对称图形。
实验与探究一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把 纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l ；
初中数学青岛版八年级上2.2《轴对称的基本性质》
1、选关键点， 2、作垂线， 3、取相等， 4、对称点顺次连。
B
l
A
D
CE
对应线段 所在直线 的交点在 对称轴上 F 或与对称 轴平行
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
如何寻找对称轴？
A
D
CE B
F
①取中点，做垂线
②过对应线段所在直线的两个交点作 直线。
思考：
校训：立德树人 求实创新
情景 回扣
轴对称的基本性质
实践探究 理解记忆
应用作图 拓展生成
校训：立德树人 求实创新 实践 探究
做一做
（1）把一张纸片对折，扎一个小孔，然后展开铺平，记得到的两个
小孔为点A与A′，折痕为MN，连接AA′交MN于点O。
猜一猜，说一说
（2）如果将纸片沿MN重新折 叠，线段OA与OA′有怎样的
M
数量关系？
（3）线段AA′与直线MN有怎 样的位置关系 ？猜想一下。并
l
A
O
A′
请总作结垂关线键，步 骤可取分相几等步。。
点A′就是所求点。
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
（2）已知点A和A′是对称点，如何确定点A和A′的对称 轴？
M
A O A′ N
取中点， 作垂线
校训：立德树人 求实创新 应用 作图
如何作直线l关于直线MN 的对称直线l ′
M
作法：
l
l′
1、在直线l 取不重合的两点A,B,
M
（5）连接DD′，交MN于点P， 你发现线段DD′与直线MN具 有怎样的关系？
A
A′
E
B
F
B′
D
P
D′
C G C′ N
2-2 轴对称的性质(解析版)
姓名： 班级2.2 轴对称的性质本课重点（1）轴对称的性质 本课难点 （2）利用轴对称解决最值问题（将军饮马）全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分） 1．（2021·江苏八年级专题练习）如图，若平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在直线对称，90ABE ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠ABC ＝∠EBC ，然后求出∠EBC ，再根据平行四边形的对角相等解答．【详解】∵平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在的直线对称，∴∠ABC ＝∠EBC ， ∵∠ABE ＝90°，∴∠EBC ＝45°，∵四边形EBCF 是平行四边形，∴∠F ＝∠EBC ＝45°．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 2．（2021北京市 八年级期中）下列说法中正确的是（ ）①对称轴上没有对称点；②如果ABC ∆与△A B C '''关于直线L 对称，那么ABC A B C S S ∆'''=；③如果线段AB A B =''，直线L 垂直平分AA '，则AB 和A B ''关于直线L 对称；④射线不是轴对称图形．A ．②B ．①④C ．②④D ．②③ 【答案】A【分析】根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案．【详解】①对称轴上有对称点，错误；②如果ABC ∆与△A B C '''关于直线L 对称，那么ABC A B C S S ∆'''=，正确； ③如果线段AB A B =''，直线L 垂直平分AA '，由于位置关系不明确，则AB 和A B ''不一定关于直线L 对称，错误；④射线是轴对称图形，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．3．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt △ACB 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B ’，若∠B’AC ＝14°，则∠B 的度数为 （ ）A ．38°B ．48°C ．50°D ．52°【答案】D 【分析】由对称的性质得=BAD B AD '∠∠，根据∠BAC ＝90°可得38BAD ∠=︒，再根据直角三角形两锐角关系求解即可．【详解】解：∵△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，∴=BAD B AD '∠∠∵∠BAC ＝90°，∠B’AC ＝14°∴90BAD B AD B AC ∠+∠+'∠='︒∴38BAD ∠=︒ ∴903852B ∠=︒-︒=︒ 故选D ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键． 4．（2020·河南郑州市·八年级月考）如图所示，在四边形ABCD 中，边AB 与AD 关于AC 对称，则下面结论错误的是（ ）A ．AC 平分BAD ∠B ．BD AC ⊥ C ．CA 平分BCD ∠ D ．BD 平分AC【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得直线AC 是BD 的垂直平分线，然后对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵边AB 与AD 关于AC 对称，∴直线AC 是BD 的垂直平分线，∴①AC 平分∠BAD 正确；②BD ⊥AC 正确；；③AC 平分∠BCD ，正确④BD 平分AC 错误；故选：D ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟记性质是解题的关键．5．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念和全等三角形的概念求解即可．【详解】解：选项A：如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，所以选项A 不正确；选项B：如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，所以选项B正确；选项C：三角形的中线是线段，而对称轴是直线，应该说等边三角形是关于一条边上的中线所在直线成轴对称的图形，所以选项C不正确；选项D：一条线段是关于经过该线段中垂线成轴对称的图形，所以选项D不正确；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形，轴对称和轴对称图形的性质，熟练掌握：①如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③线段、等腰三角形、等边三角形等都是轴对称图形．5．（2020·江苏汇文实验初中八年级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴最后落入2号球袋,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键． 6．（2020·江苏省常熟市梅李中学八年级月考）如图，OAB ∆和''OA B ，关于直线OP 对称，则下列说法错误的是（ ）A ．'OA OA =B ．线段'AA 被直线OP 垂直平分C ．'A A ∠=∠D ．OP 不是'BB 的垂直平分线【答案】D 【分析】根据轴对称图形的性质分别判断得出即可．【详解】解：∵△OAB 和△OA′B′，关于直线OP 对称，∴OA=OA′，故A 选项正确，不符合题意； 线段AA′被直线OP 平分，故B 选项正确，不符合题意；∠A=∠A′，故C 选项正确，不符合题意； OP 是BB′的垂直平分线，故D 选项不正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练根据轴对称图形的性质得出是解题关键．7．（2021·安徽九年级一模）如图，在四边形ABCD 中，请在所给的图形中进行操作：①作点A 关于BD 的对称点P ：②作射线PC 交BD 于点Q ；③连接AQ ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（ ）A ．PCB AQB ∠=∠ B ．PCB AQB ∠<∠C ．PCB AQB ∠>∠D ．以上三种情况都有可能【答案】C 【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图，∵A ，P 关于BD 对称，∴∠AQB =∠PQB ，∵∠PCB ＞∠PQB ，∴∠PCB ＞∠AQB ，故选：C ．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2021·台湾九年级模拟）如图，ABC 中，D 、E 、F 三点分别在AB 、BC 、AC 上，且四边形BEFD 是以DE 为对称轴的线对称图形，四边形CFDE 是以FE 为对称轴的线对称图形．若=40C ∠︒，则DFE ∠的度数为何？（ ）A ．65B ．70C ．75D ．80【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得BED DEF CEF ∠∠∠＝＝，据此可得60DEF ∠︒＝，40EDF C ∠∠︒＝＝，再根据三角形的内角和定理可得DFE ∠的度数． 【详解】四边形BEFD 是以DE 为对称轴的线对称图形，四边形CFDE 是以FE 为对称轴的线对称图形， 180603BED DEF CEF ︒∴∠∠∠︒＝＝＝＝，40EDF C ∠∠︒＝＝， 18080DFE DEF EDF ∴∠︒-∠-∠︒＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．9．（2021·河北中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】连接112221,,,,OP P OP PP PP P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接112221,,,,OP P OP PP PP P ，如图，∵1P 是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是1PP 的垂直平分线，∴1 2.8OP OP ==∵2P 是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是2PP 的垂直平分线，∴2 2.8OP OP ==当12,,P O P 不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<当12,,P O P 在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键10．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 边上的动点，则△DEF 的周长的最小值是（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．6【答案】C 【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．由∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，推出∠MCD +∠NCD =180°，可得M 、B 、N 共线，由DF +DE +EF =FM +EN +EF ，FM +EN +EF ≥MN ，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值=2CD ，求出CD 的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4， ∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·江苏泰州市·八年级期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是“”，那么它的实际车牌号是：___．【答案】苏2737L X ．【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．【详解】解：它的实际车牌号是：苏2737L X ，故答案为：苏2737L X ． 【点睛】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．12．（2021·河南七年级期末）如图，点P 在AOB ∠内部，点E ，F 分别是点P 关于直线OA ，OB 的对称点，若40AOB ∠=︒，则E F ∠+∠=______．【答案】140°【分析】连接OP ，根据轴对称的性质得80EOF ∠=︒，,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠，再利用四边形内角和是360°计算可得答案．【详解】解：连接OP ，如图：∵E ，F 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，∴,EOA AOP POB BOF ∠=∠∠=∠∵AOB AOP POB ∠=∠+∠∴280EOF AOB ︒∠=∠=∵E ，F 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，∴,PE OA PF OB ⊥⊥∵40,AOB ︒∠=∴140EPF ︒∠=∴36080140140E F ︒︒︒︒∠+∠=--=故答案为：140°【点睛】本题考查了轴对称的性质，四边形的内角和性质，证得80EOF ∠=︒，,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠是解答本题的关键．13．（2021·甘肃八年级期末）如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A 与B 之间夹角为120°，光线经平面镜A 反射到平面镜B 上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为_____【答案】30°【分析】如图（见解析），先根据镜面反射的特点可得13,24∠=∠∠=∠，从而可得34∠=∠，再根据三角形的内角和定理即可得．【详解】如图，由镜面反射的特点得13,24∠=∠∠=∠ 12∠=∠34∴∠=∠又34120180∠+∠+︒=︒33120180∴∠+∠+︒=︒，解得330∠=︒则130∠=︒故答案为：30．【点睛】本题考查了镜面反射的特点、三角形的内角和定理，掌握平面镜的特点是解题关键．14．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．15．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．【答案】对应点到对称轴的距离相等【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．故答案为：对应点到对称轴的距离相等．【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．16．（2021·广东九年级模拟）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB BC ==，一发光电子开始置于AB 边的点P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB 边的碰撞次数是_________．【答案】674【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P ，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示：由图可知发光电子经过六次回到点P ，则发光电子与AB 边碰撞的次数为2次，∴202163365÷=⋅⋅⋅⋅， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB 边的碰撞次数是33622674⨯+=（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．17．（2021·河北天津·）如图，∠ABC=50°，BD 平分∠ABC ，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF=DE ，则∠DFB 的度数为_____．【答案】50°或130°．【分析】由题意可知，点F 的位置存在如下图所示的两种情况（在点F 处或点F′处），根据图形结合“已知条件”利用“角的两边关于角平分线对称和等腰三角形的性质”进行分析解答即可.【详解】如下图，∵DE ∥AB ，∴∠DEC=∠ABC=50°，∴∠DEB=180°-50°=130°，（1）当点F 在AB 边上的F 处时，由DF=DE 和BD 平方∠ABC 可知，此时△BDF 和△BDE 关于BD 对称，∴△BDF ≌△BDE ，∴∠DFB=∠DEB=130°；（2）当点F 在AB 边上的F′处时，∵DF′=DE=DF ，∴∠DF′B=∠DFF′，又∵∠DFF′=180°-∠DFB=50°，∴∠DF′B=50°；综上所述，∠DFB=50°或130°.故答案为：50°或130°. 【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）知道点F 的位置在AB 上存在两种情形，并能画出对应的图形；（2）知道当点F 在AB 边上的F 处时，△DFB 和△DEB 是关于∠ABC 的角平分线BD 对称的.18．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．【答案】50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，，∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒，∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下图，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）【答案】见解析【详解】作出A 镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B ，根据轴对称确定最短路线问题，A′B 与燃气管道的交点即为所求的点P 的位置．解析：作点A 关于燃气管道的对称点A′，连接A′B 交燃气管道于点P ，即点P 即为所求．20．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将四边形沿对角线BD折叠，点A 恰好落在DC 边上的点E 处，若∠EBC =20°，求∠EBD 的度数．【答案】25︒【分析】根据AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∠EBC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB 的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD ，继而求得∠EBD 的度数．【详解】解：∵AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∴∠C=90°，∵∠EBC=20°，∴∠DEB=∠EBC +∠C=20°+90°=110°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEB =110°，∠ABD=∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，∴∠EBD=70202522ABCEBC ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．21．（2021·湖北八年级期中）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.（1）如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，画出四边形ABCD 的对称轴m ； （2）如图②，ABC ∆中，AB AC =，D ，E 分别在AB ，AC ，且AD AE =，画出BC 边的垂直平分线n .【答案】见解析.【分析】（1）连接AC ，AC 所在直线即为对称轴m ．（2）连接CD ，BE 交于一点，连接A 与交点即可获得垂直平分线n ． 【详解】（1）如图①，直线m 即为所求（2）如图②，直线n 即为所求【点睛】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．22．（2021·浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量．问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断．问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图（2）中作出这一点．问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了次．【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．【详解】（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论；（2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求；（3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论．解：（1）如图，∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE，∴∠PAB=180°﹣2∠BAE．同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°．∴BC∥PA．（2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF，过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N，；（3）如图，母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次；设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B 点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C 点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．23．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝70°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝8，则求△PMN的周长．【答案】（1）①140°；②∠COD＝2α；（2）△PMN的周长为8．【分析】（1）①由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=140°即可；②由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2α；(2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN可求△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CD＝8即可；【详解】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=2×70°=140°，故答案为：140°，②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α，(2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN 的周长为：PM +PN +MN ＝CM +DN +MN ＝CD ＝8． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，角的和差，掌握轴对称性质是解题关键．24．（2021·三河市第二实验中学八年级期末）如图，ABC 与ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若4cm ED =，1cm FC =，76BAC，58EAC ∠=︒．（1）求出BF 的长度；（2）求CAD ∠的度数．【答案】（1）BF ＝3cm ；（2）CAD ∠＝18°【分析】（1）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC ＝ED ，即可求出BF 的值；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD ＝∠BAC ，即可解决问题；【详解】解：（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∴BC ＝ED ＝4cm ，∴BF ＝BC −FC ＝3cm ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°，∴∠EAD ＝∠BAC ＝76°，∴∠CAD ＝∠EAD −∠EAC ＝76°−58°＝18°． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．（2021·浙江九年级一模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是BC 边上的点，连接AD ，AE ，以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△AD 'E ，连接D 'C ，若BD ＝CD '．（1）求证：△ABD ≌△ACD '．（2）若∠BAC ＝100°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）50︒．【分析】（1）由对称得到AD AD ='，再证明ABD △≅ACD '△ ()SSS 即可；（2）由全等三角形的性质，得到BAD CAD '∠=∠，∠BAC ＝DAD '∠=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．【详解】解：（1）以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△A D E '，AD AD '∴=在△ABD 与ACD '△中，AB AC BD CD AD AD ''=⎧⎪=⎨⎪=⎩ABD ∴≅ACD '△ ()SSS （2）ABD ≅ACD '△ ()SSSBAD CAD '∴∠=∠，∠BAC ＝DAD '∠=100°，以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△A D E '， 111005022DAE D AE DAD ''∴∠=∠=∠=⨯︒=︒∴∠DAE 50=︒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．附加题（1-3题，每题5分，共15分）1．（2021·黑龙江八年级期末）如图所示，45MON ∠=︒，点P 为MON ∠内一点，点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、，连接11212OP OPPP PP PP 、、、、，12PP 分别与OM ON 、交于点A B 、，连接AP BP 、，则APB ∠的度数为【答案】90︒【分析】由45MON ∠=︒，根据三角形的内角和定理可得到OAB OBA ∠+∠的值，再根据对顶角相等可以求出12PAM P BN ∠+∠的值，然后由点P 与点1P 、2P 对称的特点，求出MAP NBP ∠+∠，进而可以求出PAB PBA ∠+∠的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出APB ∠．【详解】∵45MON ∠=︒∴180********OAB OBA MON ︒︒︒︒∠+∠=-∠=-=∵1PAM OAB ∠=∠，2P BN OBA ∠=∠∴12135PAM P BN ︒∠+∠= 又∵点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、∴1MAP PAM ∠=∠，2NBP P BN ∠=∠∴135MAP NBP ︒∠+∠= ∴360135290PAB PBA ︒︒︒∠+∠=-⨯=∴()1801809090APB PAB PBA ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-= 【点睛】本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.2．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．【答案】20．【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PEPB PC BC ，最后求PEB∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20． 【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．3．（2021·清远市清新区凤霞中学）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，即可得出∠BOD =∠BOD ′，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠ODF ′，由∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠ODF ′+∠ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB +∠GDF =180°．【详解】解：作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．。
1.2 轴对称的性质(一)
学案初二1.2 轴对称的性质（一）——提前自学班级姓名一、自学目标：1、知道线段的垂直平分线的概念,掌握轴对称图形的性质。
2、会画简单的图形关于对称轴的对称图形。
自学重点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形等。
自学难点：准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用性质解决实际问题。
二、自学过程：1、完成课本第10页的操作,即图1—7，并将你完成的操作带到课堂上来。
2、思考：（1)、针孔A、A’折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（2)、线段AA’与折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（3)、且一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（4)、成轴对称的两个图形。
（5)、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是的垂直平分线。
3、自学、相信自己：1．下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系。
图 1 图 22、（1）如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半（2）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?（3）作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这个图形的对称轴．1.2 轴对称的性质（一）——作业（一）回顾与检测：1、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .23、右图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴。
（二） 拓展：1、如上图，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9， 你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。
2、如图，△ABC 中，∠C=900⑴在BC 上找一点D ，使点D 到AB 的距离等于DC 的长度；⑵连结AD ，画一个三角形与△ABC 关于直线AD 对称.3、（1）实践与运用:将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过 点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．（2）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、思考题：如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S 的位置，并将光路图补充完整.（三）自我反思与整理我的收获与困惑：A 图① A 图② F E E D C FB A图③ E D C A B F G ' D ' A D E C B F α 图④ 图⑤。
2.2轴对称的性质(1)
l E●
解：(1) 图中两个“4”关
C●
● D H●
●F
于直线 l 成轴对称.
●B
G●
(2) 图中点A、B、C、D
的对称点分别是 E、G、F、H ,
线段AC、AB的对应线段分别是 EF、EG ， FH
例1 小明取一张纸对折，然后用小针在对折的
纸上扎出“4”，将纸打开后铺平．
(3) 连接AE、BG，则 折痕 l 与线段AE、BG
轴对称的性质：
A
l
A′
C B
C′ ● B′
1.成轴对称的两个图形全等． 2.成轴对称的两个图形中，对应点的连
线被对称轴垂直平分．
做一做 请试着画出下面两图所示图形的对称轴.
A
B
C
E
F
D （1）
（2）
例1 小明取一张纸对折，然后用小针在对折的
纸上扎出“4”，将纸打开后铺平．
(1)图中两个“4”有什么关系？
而是在同一条直线上， 成轴对称的两个图形中，对应点的连线互相平
行或在同一条直线上．
例1 小明取一张纸对折，然后用小针在对折的
纸上扎出“4”，将纸打开后铺平．
(6) 延长线段CA、FE，
连接CB、FG并延长，
●A
l E●
作直线AB、EG，你有 C ●
● D H●
●B
G●
●F
什么发现吗？
成轴对称的两个图形中，对应线段所在直线
所以 l⊥AE ，l⊥BG．
所以 AE ∥BG．
例1 小明取一张纸对折，然后用小针在对折的
纸上扎出“4”，将纸打开后铺平．
(5) AE与BG平行，能说 明轴对称图形对称点的
●A
苏教版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》教学设计及课堂练习
苏教版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》教学设计及课堂练习2.1 轴对称与轴对称图形一、自主先学1. 观察下列各种图形，判断是否为轴对称图形？如果是，并找出该轴对称图形的对称轴。
2. 下列图片有什么共同特性？二、合作助学3. 折纸印墨迹：在纸的一侧滴一滴墨水后，对折，压平．（1）你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？为什么？（2）两边墨迹的位置与折痕有什么关系？（3）归纳：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形，那么称这两个图形关于这条直线，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做.4. 观察下列图案，它们有什么共同特征？（1）归纳：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相，那么称这个图形是图形，这条直线叫做.（2）画出上面各图的对称轴.5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系.如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个；如果把一个轴对称图形位于轴对称两旁的部分看成两个图形，那么这两部分就成.三、拓展导学6. (1) 正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？（2）在图中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？(3 ) 如果在图②中再画一条对角线，那所得的图形有几条成轴对称？①②四、检测促学7. 下列图形中，是．轴对称图形的为（）A. B. C. D.8. 如图，由4个全等的正方形组成L形图案，（1）请你在图案中改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图案；（2）请你在图中再添加一个小正方形，使它变成轴对称图案.五、反思悟学9. （1）剪两个全等的三角形，并把它们叠合在一起；（2）把其中的一个三角形沿一边翻折，所得的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴；（3）再改变其中一个三角形的位置，使这两个三角形成轴对称.lA'B'C'A BCCBAAA'B'苏教版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》教学设计及课堂练习2.2 轴对称的性质(1)一、自主先学1. 操作：把一张纸折叠后，用针扎一个孔，再把纸展开，两针孔分别记为点A 、点A ’，折痕记为l . (1) 在下面空白处画出你得到的图形 . （2）连接AA ’, AA ’与 l 相交于点O , 线段AA ’与 l 有什么关系？（可以从位置、数量两个角度考虑）二、合作助学2. 操作：将一张长方形的纸片对折；在纸上画△ABC ；用针尖沿△ABC 各顶点扎小孔将纸展开，连接AA ’、BB ’、CC ’ .① ② ③（1）线段AA ’、BB ’、CC ’与折痕l 有什么关系？（2）图中，线段AB 与''A B 有什么关系？BC 与''B C 呢？（3）图中ABC ∆与'''C B A ∆有什么关系？（4）归纳：垂直并且 一条线段的直线，叫做这条线段的 .如图，直线l 交线段AB 于点O ，∠1 = 90º ， AO = BO ，直线l 是线段AB 的垂直平分线. （5） 轴对称的性质：成轴对称的两个图形 ， 对应点的连线被对称轴 .3. 如图，线段AB 与''A B 关于直线l 对称. 连接AA ’、BB ’，设它们分别与l 相交于点P 、Q.（1）在所画的图形中，相等的线段有： ； （2）AA ’与BB ’ 平行吗？为什么？三、拓展导学4. 你能求出这7个角的和吗？321BCDA 第5题第6题四、检测促学5．下列说法中，正确的是 （ ） A ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； B ．两个全等的三角形是关于某直线对称的；C ．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧；D ．若点A 、B 关于直线MN 对称，则AB 垂直平分MN ．6．如图，所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°，∠2＝46°则∠3＝_ __°． 7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积是 cm 2． 8．分别画出下列各图中成轴对称的两个图形的对称轴．① ② ③五、反思悟学9．如何画成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴？lAlllBAABABl ABC苏教版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》教学设计及课堂练习2.2 轴对称的性质(2)一、自主先学1. 思考：如图，点 A 、B 、C 都在方格纸的格点上． 请你再找一个格点D ，使点 A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形．小结：画轴对称图形，应先确定 ，再找出 ．2. 如果直线l 外有一点A ，那么怎样画出点A 的对称点A ’？画法图形1. 画AO ⊥l , 垂足为O.2. 在AO 的延长线上截取OA ’，使 OA ’ =AO.点A ’ 就是点A 关于直线l 对称的点.二、合作助学3. 操作：（1）在图①中，用三角尺画线段AB 关于直线l 对称的线段A ’B ’； （2）在图②中，用三角尺画△ABC 关于直线l 对称的△A ’B ’C ’.① ②小结：画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定 .4. 讨论：在图中，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称．连接AC 、BD ．设它们相交于点P ．怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？C ABll BCAOA'B'BAl 第6题第7题DACB小结：成轴对称的两个图形的 也成轴对称． 三、拓展导学5. 如图，三角形Ⅰ的2个顶点分别在直线上1l 和2l 上 ，且1l ⊥2l .画三角形Ⅱ，使它与三角形Ⅰ关于直线2l 对称； 画三角形Ⅲ，使它与三角形Ⅱ关于直线1l 对称； 画三角形Ⅳ，使它与三角形Ⅲ关于直线2l 对称． 所画的三角形Ⅳ与三角形Ⅰ成轴对称吗？ 四、检测促学6. 用三角尺画△ABC 关于直线l 对称的三角形.① ②7. 如图，线段AB 与A ’B ’关于对称，AA ’ 交直线 l 于点O.（1）把线段AB 沿直线 l 翻折，重合的线段有： .（2）因为 △OAB 与 △O ’A ’B ’关于直线 l ，所以△OAB ≌△O ’A ’B ’，直线 l 垂直平分线段 ，∠ABO = ，∠AOB ’= . 五、反思悟学8. 如图，长方形的台球桌CDEF 内有黑、白两 球分别位于A 、B 两点，试问怎样撞击白球 A 才能使A 先碰到桌边DE ，反弹后再击中 黑球B?苏教版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》教学设计及课堂练习2.3设计轴对称图案一、自主先学观察、欣赏课本上的绿色食品标志、中国环境标志、国家免检产品标志等，说出这些标志的含义，判断它们是否是轴对称图形，它们是怎么样设计的？你还见过哪些在生活中见过的图案，成轴对称的？（可从一些商标、会徽、车标等方面去发挥）二、合作助学1．对称的美术图案，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
2.2轴对称的基本性质(第1课时)
生活中的方程模型11.4一元一次方程的应用（1）七年级数学上册青岛版: 巍巍宝塔高七层, 点点红灯倍加增。
灯共三百八十一, 请问顶层几盏灯。
学习目标:2、会列一元一次方程解决有关实际问题,总结运用方程解决实际问题的步骤；3、通过列一元一次方程解决实际问题提高分析问题、解决问题的能力。
1.能找出实际问题中的已知量、未知量及等量关系1.兴华学校距青云双语7.5千米,老师今天开车以60千米每小时的速度行驶,x小时到达；2.牛牛的爸爸今年35岁了,是牛牛年龄的2倍多7岁,牛牛的年龄是x 岁；3.小红买10本练习本和3只笔共花了20元,已知练习本每本1.4元,每只笔x元；体验身边的方程:（找出已知量、未知量及等量关系）一座雄伟壮丽的七层宝塔,层层飞檐上闪烁着红灯,下层红灯数目是相邻上层的2倍。
如果共有381盏灯,请问顶层有几盏灯?列一元一次方程解应用题的一般步骤是: 1.审:分析题中已知量、未知量各是什么,明确各量之间的关系；4.列:根据相等关系列出方程；5.解并检验方程的解是否正确、符合题意；6.答:写出答案. 3.设:设未知数,用代数式表示其他量；2.找:根据题意找出等量关系；关键为响应安丘市政府“文明城市”的号召,青云山购进A,B两种树苗共12棵,已知A种树苗每棵20元,B种树苗每棵10元,若购进A,B两种树苗刚好用去了140元,问购进A,B两种树苗各多少棵?等量关压缩包中的资料: 一元一次方程的应用（1）课件.ppt 教学设计.doc。
2. 2轴对称的性质教案(2013年秋苏科版八年级上)
预 习 导 航
探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？ 问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？ ，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？ 问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？ 一、概念探究： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。 将长方形纸片对折，折痕为 l， （1）在纸上画△ABC； （2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔 （3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结： 画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
； ，再画出对称线段； ，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。 问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好 。 2．找准图形中的关键 。 3．作对关键 的对称 ，完成轴对称图形。 例 2 ． 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 关 于 直 线 l 对 称 。 连 接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？
轴对称与坐标变化教学设计教案
轴对称与坐标变化教学设计-教案第一章：引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生理解和掌握轴对称与坐标变化的概念，通过实例分析和练习，使学生能够熟练运用这些概念解决实际问题。
1.2 教学目标通过本章的学习，学生将能够：(1) 理解轴对称的定义和性质；(2) 理解坐标变化的概念；(3) 运用轴对称和坐标变化解决实际问题。
第二章：轴对称2.1 轴对称的定义本节将通过实例介绍轴对称的概念，使学生能够理解轴对称的定义。
2.2 轴对称的性质本节将通过几何图形来说明轴对称的性质，使学生能够熟练运用这些性质。
2.3 轴对称的实际应用本节将通过实例分析，使学生能够运用轴对称解决实际问题。
第三章：坐标变化3.1 坐标变化的定义本节将通过实例介绍坐标变化的概念，使学生能够理解坐标变化的定义。
3.2 坐标变化的性质本节将通过几何图形来说明坐标变化的性质，使学生能够熟练运用这些性质。
3.3 坐标变化的实际应用本节将通过实例分析，使学生能够运用坐标变化解决实际问题。
第四章：轴对称与坐标变化的关系4.1 轴对称与坐标变化的关系本节将通过实例分析，使学生能够理解轴对称与坐标变化之间的关系。
4.2 运用轴对称与坐标变化解决实际问题本节将通过实例分析，使学生能够综合运用轴对称和坐标变化解决实际问题。
第五章：总结与练习5.1 总结本节将通过总结本章内容，使学生能够巩固所学的知识。
5.2 练习本节将通过练习题，使学生能够检测自己的学习效果，并加深对轴对称与坐标变化的理解。
第六章：轴对称在几何中的应用6.1 轴对称与几何图形的对称性本节将通过几何图形来说明轴对称在几何中的应用，使学生能够理解轴对称与几何图形的对称性。
6.2 轴对称与几何图形的变换本节将通过实例分析，使学生能够运用轴对称与几何图形的变换。
第七章：坐标变化在数学中的应用7.1 坐标变化与函数图像的变换本节将通过函数图像的变换来说明坐标变化在数学中的应用，使学生能够理解坐标变化与函数图像的变换。
苏科版数学八年级上册 2.2 轴对称的性质 教案
第一章轴对称图形轴对称和轴对称图形班级姓名学号教学目标：1、认识轴对称与轴对称图形；2、会画出对称轴，找出对称点；3、能设计简单轴对称图案、标志；教学重点：正确辨认轴对称图形，画出它们的对称轴；教学难点：设计简单轴对称图案；教学过程：一、情境创设：活动一：将一张矩形的纸对折，用针在纸上扎出简单的图形或数字，将纸打开铺平.仔细观察回答下列问题：1.纸上的图案有什么关系？2.找出图形中的两组对应点，并连接，看看你连接的的线段与对称轴之间有什么关系？3.在扎字中的对应线段，对应角又有什么样的关系？由此可得：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点做一做1用一张半透明的纸描出图所示的星形图，然后用不同的方式对折，用直尺画出折痕，看看这颗星有多少条对称轴.做一做2请你标出图中A、B、C三点的对称点A1、B1、C1.我们再看图中的两组图形．试一试把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想展开后会是一个什么样的图形？观察图10.1.1中的各个图形，它们都是对称图形．这些图形有什么特点呢？如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．图10.1.1轴对称与轴对称图形的区别与联系.区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分能完全重合.联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点.二、例题示范：例1 下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？大小口中朋木三、课堂小结：1、什么是轴对称和轴对称图形；2、如何画出对称轴、如何找对称点？3、生活中的轴对称和轴对称图形.四、课后作业：P9 1,2,3五、教学后记：【课后作业】1.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形2．观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形.3、下列图形中，哪一些是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．（1）（2）（3）4、图中三角形4与哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？5、 下面图形中，哪些是轴对称图形，哪些不是轴对称图形？6、下面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？A.B. C.7、在图形中标出点A 、B 和C 关于直线l 的对称点．8、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .8题）。
2.2(1)日日清
P P P GP GG G 2.2轴对称的性质（1）班级： 姓名：一、填空题：1．下列图形中，不是轴对称图形的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图所示的两位数中，是轴对称图形的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列图形中，有无数条对称轴的是 （ ）A ．长方形B ．正方形C ．圆D ．等腰三角形 4．下列图形中，点P 与点G 关于直线对称的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．轴对称图形的对称轴的条数 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．至少有1条 二、填空题：6．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ， ∠A=40°.将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，连接BF ，则∠CBF= ．7．如图，AB=AC=4cm ，BC=2cm ，点A 和点B 关于直线l 对称，AC 与l 相交于点D ，则△BDC 的周长是________cm.第6题图l A B CD第7题图8．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝125°，∠2＝35°，则x ＝ °.请在图上画出该图的对称轴.三、解答题：9．如上图所示，两图形关于直线AB 对称，则在图中标出M 、N 、S 三点关于直线AB 的对称点M ＇、N ＇、S ＇，直线AB 是哪些线段的垂直平分线？（不再添加其他字母）10．如图所示，在图形中标出点A 、B 、C 关于直线l 的对称点D 、E 、F.若M 为AB 的中点，在图中标出它的对称点N.若AB=5，AB 边上的高为4，则△DEF 的面积为多少？11．如图表示长方形纸片ABCD 沿对角线BD 进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如有，请作出对称轴，图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角．书写评价 优 良 中 差 成绩评价优 良 中 差 批改时间B。
专题2.2轴对称的性质(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 游戏中的轴对称】 (1)【题型2 利用轴对称的性质求角度】 (3)【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 (4)【题型4 在格点中作轴对称图形】 (6)【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 (8)【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 (11)【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 (13)【题型8 轴对称图案的设计】 (18)【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；…．（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是．【变式11】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【变式12】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）【变式13】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于．【变式21】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式22】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是度．【变式23】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R 是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．【变式31】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【变式32】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式33】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．（1）求AE的长；（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．【变式41】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．【变式42】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1【变式43】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若△A2B2C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标．【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式51】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．（1）求线段CN长．（2）连接FN，并求FN的长．【变式52】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于．【变式53】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；？试说明理由；（2）问△MNK的面积能否小于12（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【变式61】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【变式62】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边BC上的一个动点．E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是．【变式63】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为﹒（用含有α和β的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度数为.（用含有γ的代数式表示）【变式71】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．【变式72】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．【变式73】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角．以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不是”）．（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角．【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式81】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．【变式82】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式83】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）。
《轴对称的性质(1)》教学案
1.2轴对称的性质（1） 教学案班级 姓名 日期 【学习目标】知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线.【学习重点】掌握轴对称图形的相关性质 【学习难点】掌握轴对称图形的相关性质 一、自学指导阅读课本P43-44内容.思考下列问题：1. 叫做线段的垂直平分线.2. 轴对称的性质： ⑴ 成轴对称的两个图形 .⑵ 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 . 二、自主练习 1.A B C D 上列图形中，点P 与点G 关于直线对称的是 （ ） A.0个 B.1个 C.2个D.3个 2.如图所示的两位数中，是轴对称图形的有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、合作探究例1.如图，等腰△ACB 中，直线AD 是它的对称轴；DE ⊥AC 于E ， DF ⊥AB 于F ，则图中直角三角形有______个，全等三角形有 ________对，F 点关于AD 成轴对称的对应点是_____点.例2．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB=CD ，有下面的结论：①AB ∥CD ；②AC ⊥BD ；③AO=OC ；④AB ⊥BC.其中正确的结论有__________（填写序号）四、变式拓展下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系．（提示：注意每一个数字可能有不同的镜面对称）五、回扣目标例3. 如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DN ，其中正确的结论是 （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．图3.2-1BDCE1．什么叫线段的垂直平分线？ 2. 轴对称有什么性质？ 六、课堂反馈1. 成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __.如果两个图形关于某直线对称，那么连结 的线段被 垂直平分.2. 如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°，∠2＝46°，则x ＝ .3. 如图所示，两图形关于直线AB 对称，则M 、N 、S 三点关于直线AB 的对称点是什么？直线AB 是哪些线段的垂直平分线？（不再添加其他字母）M'AB4. 如右图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.课堂作业ClAB'BA组1．下列图形中，不是轴对称图形的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）3. 如图，在正方形网格上有一个△ABC.（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC的面积.4.如图，线段AB与A’B’关于直线l对称，⑴连接AA’交直线l于点O，再连接OB、OB’ ．⑵把纸沿直线l对折，重合的线段有：．⑶因为△OAB和△OA’B’关于直线l ，所以△OAB △OA’B’，直线l垂直平分线段，∠ABO=∠，∠AOB =∠．B组O AB·P已知：如图，在∠AOB 外有一点P ，试作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 1关于直线OB 的对称点P 2.⑴试探索∠POP 2与∠AOB 的大小关系；（画图并简要说明）⑵若点P 在∠AOB 的内部，或在∠AOB 的一边上，上述结论还成立吗？ （画出对应的图形）1.2轴对称的性质（2） 教学案班级 姓名 日期 【学习目标】会画已知点关于直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形.会画已知图形的对称图形. 【学习重点】画已知图形的对称图形. 【学习难点】利用轴对称解决一些实际问题. 一、自学指导预习45---46页，完成以下问题：画轴对称图形的一般步骤是：（1）定好 ；（2）找准 ；（3）画对 ，完成轴对称图形． 二、自主练习1. 在图中，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称.连接AC 、BD.设它们相交于点P.怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？2. 如图，C B A 、、3点都在方格纸的格点位置上.请你再找一个格点D ，使图中的4点组成一个轴对称图形.三、合作探究例1.如图，三角形Ⅰ的两个顶点分别在直线a 和b ，且a ⊥b ， ⑴画三角形Ⅱ与三角形Ⅰ关于a 对称； ⑵画三角形Ⅲ与三角形Ⅱ关于b 对称； ⑶画三角形Ⅳ与三角形Ⅲ关于a 对称； ⑷所画的三角形Ⅳ与三角形Ⅰ成轴对称吗？例2.如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A 、B 到它的距离之和最短？街道居民区B ·居民区A ·abBE ACBD四、变式拓展如图，M 、N 分别是△ABC 的边AC 、BC 上的点，在AB 上求作一点P ，使△PMN 的周长最小，并说明你这样作的理由.五、回扣目标1.怎么画一个图形的轴对称图形？2.利用轴对称的知识你解决了什么样的问题？六、课堂反馈1．下列语句中正确的有（ ）.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④一个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个2．在镜子中看到时钟显示的时间是 ，则实际时间是 . 3．如图,在四边形ABCD 中，边AB 与AD 关于AC 对称，则下面结论正 确的是( )⑴CA 平分∠BCD ； ⑵AC 平分∠BAD ； ⑶DB ⊥AC ； ⑷BE=DE.A ．⑵B ．⑴⑵C ．⑵⑶⑷D ．⑴⑵⑶⑷DB4.如图所示，在图形中标出点A 、B 、C 关于直线l 的对称点D 、E 、F.若M 为AB 的中点，在图中标出它的对称点N.若AB=5，AB 边上的高为4，则△DEF 的面积为多少？课堂作业 A 组1．下列说法正确的是（ ）． A ．任何一个图形都有对称轴 B ．两个全等三角形一定关于某直线对称C ．若△ABC 与△A′B′C′成轴对称，则△ABC ≌△A′B′C′D ．点A 、点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，若AO=BO ，则点A 与点B •关于直线l 对称2．文文把一张长方形的纸对折了两次，如图所示：使A 、B 都落在DA /上，折痕分别是DE 、DF ，则∠EDF 的度数为（ ）．A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°3.画出△ABC 关于直线MN 成轴对称的图形.LB4.如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点SB 组1.已知:如上图,四边形CDEF 是一个长方形的台球面，有黑白两球分别位于点A 、B 两点，试问怎样撞击黑球A ，使A 先碰到台边EF,反弹后再碰到台边CF,然后反弹后再击中白球B ？2.如图，要在两条街道AB 、CD 上设立两个邮筒，邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，则邮筒应设在何处，才能使邮递员所走的路程最短？请画图说明.BFED典型例题：轴对称的性质例1 把下面的图补充完整．（1）如图甲是轴对称图形的一部分，其中l 是对称轴，请把另一部分画出来． （2）如图乙，是轴对称中的一个图形，其中l 是对称轴，请把另一个画出来．例2 如图所示，填空：（1）线段AB 的对应线段是__________ （2）点C 的对应点是__________ （3）ABC ∠的对应角是_________ （4）连接BE ，则BE 被直线_____m例3 如图，在ABC ∆中，AD AC AB ,=平分BAC ∠，点P 在DA 的延长线上，你能利用轴对称的性质证明PB PC =吗？例4 作出下列图形的对称轴或者对称图形图1 图2例5分析下列图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，作出对称轴．（1）线段；（2）角；（3）任意三角形；（4）等腰三角形知识点解读：轴对称的基本性质知识点1轴对称的性质（重点）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
《轴对称的性质》精品教案
课题：2．2 轴对称的性质教学目标：1、知道线段的垂直平分线的概念，知道“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线”等性质。
2、会画已知点关于已知直线l的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形。
3、经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力。
教学重点与难点：准确理解成轴对称的两个图形的基本性质，并会简单应用它解决一些实际问题。
教学过程：一、创设氛围，激发求知的欲望上一节课我们研究了轴对称和轴对称图形的基本特征，并会找出它们的对称轴和成轴对称的两图形上的一些对称点。
试问：成轴对称的两个图形具有哪些性质呢它们的大小和位置有什么关系（让学生温故而知新，从以前看过的图形中找出新的东西，激发学习兴趣；在解决问题中的过程中，创设学生们互相讨论，合作交流的氛围。
）二、展开活动，点燃探究新知的热情活动一课本中第43页操作“画点、折纸、扎孔”。
探索成轴对称的点的性质。
（可先用画板动画演示过程，再让学生操作。
）（一定要让学生真正动手操作，同时教师要引导学生通过观察、分析、发现、归纳得出相应的结论，努力让学生用自己的语言说清道理：即折痕l为什么垂直平分AA 课本中从轴对称的特性----重合出发，给了有根有据的说明，这有利于加强在活动中对学生进行有条理地说理和表达的训练。
）引出线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
活动二继续进行“画点、折纸、扎孔”的操作活动，自主探索成轴对称的线段、三角形的性质。
（可先用画板动画演示过程，再让学生操作。
提高合作学习意识，由“学数学”向“做数学”过渡，重在提高“做数学”的兴趣和能力。
）问题1 图2-7（2）中，线段AB与A B''有什么关系BC与B C''呢线段BB'与l有什么关系AA'与l呢说说你的理由。
问题2 图2-7（2）中，∠A与∠A'有什么关系∠B与∠B'呢'''有什么关系为什么△ABC与△A B C问题3 轴对称有哪些性质（连续不断的提问使问题不断深化，促使学生不断思考，点燃探究的热情，让学生感受教材、解决问题的过程中增加自信，合理的进行思考和讨论是解决这一串问题的关键。
2.2轴对称的性质(1)
课题：2.2 轴对称的性质（1）课型：新授主备：李祥备课组长：丁虎平教研组长：吴进【学习目标】1．知道线段的垂直平分线的概念，知道轴对称的有关性质；2．经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念及有条理地思考和表达能力.【温故知新】1. 叫做这条线段的垂直平分线.2.成轴对称的两个图形，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的 .3.成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __. 【新知应用】操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A,A’思考：（1）两针孔A,A’与折痕之间有什么关系？线段AA’呢？（2）什么是线段的垂直平分线？操作2：在纸上再任意画一点B，同样地，折纸、穿孔、展开，并连接AB,A’B’、BB’，线段BB’与l有什么关系？线段AB与A’B’有什么关系？操作3：再在纸上任画一点C ，并仿照上面进行操作，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’有什么关系？你能得出什么结论？结论： . 练习：1.画出图中成轴对称的两个图形的对称轴,并标出两对对称点,说说你是怎么画的？2.画出图中的对称轴,并把该图形在对称轴上的点用字母标注出来.3. 如图，线段AB 与A ′B ′关于直线l 对称.连接AA ′ 、BB ′，设它们分别与l 相交于点P 、Q.(1)在所画的图形中,相等的线段有:__________; (2) AA ′与 BB ′平行吗?为什么?C【变式训练】1.如图，哪些是轴对称图形？如果是，请画出轴对称图形的所有对称轴．2.如果△ABC 与△A ′B ′C′关于直线l 对称,且∠A=40°,∠B ′=35°,那么∠C=_______.3.如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上.请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形.【随堂检测】1.如果ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A=50°，∠B ’=70°，那么∠C ’=2. ∠2＝46°,则x ＝ .3.如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DB （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．方法 1 方法 2【课后作业】1．如下图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：2．（1）观察图中点A 和点A ’的对称轴，点B 和B ’的对称轴，点C 和C ’的对称轴，你有什么发现？（2）图中的△ABC 和△A ’B ’C ’成轴对称吗？如果成轴对称，请画出它们的对称轴。
2.2轴对称的基本性质(1)
M
A
E O
A′ F
N
分析：假设A点的对称点是A′，根据刚才的复习内容，我 们知道，线段AA′会被直线MN垂直且平分。那么如何做 出点A′？
作法：过点A做直线MN的垂线EF，设垂足为O， 在射线OF上截取
OA′=OA。
则点A′就是点A关于直线MN的对称点。
例题
例1 如图，做出△BCD关于直线l的对称图形。
B C
课堂小结 通过本节课学习，我们知道了 轴对称图形的基本性质
如果两个图形关于一条直线成轴对称，那么连 接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段 相等，对应角相等。
作业
习题2.2A组1（2，4），2
（2）在△ABC的一条边上
M A A′
任取一点D,你能说出与点 D关于直线MN成轴对称的 点D'的位置吗？用轧孔的 方法验证你的结论。 （3）连接DD',交于点，你 发现DD'与直线MN有怎样 的位置关系，说明理由。
B
基本性质：
如果两个图形关于一条直线成轴对称，那么连 接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段 相等，对应角相等。 一定要记
1、轴对称：
2、对称轴： 3、两个图形关于这条直线成轴对称
如图：把一张对折后扎一个孔， 然后展开铺平。
连接得到的两个小孔A和A′ 线段AA′与折痕MN交点为O
线段AA′与直线MN的位置关系？ 垂直，即AA′⊥MN 你还发现了哪些等量关系？ 平分，即AO=A′O
A′ o N A M
小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得到了右 下图，其中直线MN为折痕。思考并交流。 (1)线段AB与线段A′B′的长度及各内角有什么关系？ AB=A′B′ △ABC与△A′B′C′,各内角相等
苏科版数学八年级上册 2.2 轴对称的性质 教案
《轴对称的性质1》教学设计教材说明：本节课的内容是轴对称的性质。
轴对称是对称中非常重要的一种，小学时期就已经对此有所了解。
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。
因此，在教学时，要先让学生操作-观察-归纳得出其中潜在的规律，归纳出轴对称图形的性质。
为后面的轴对称图形的学习奠定基础，所以本节课内容起到了承上启下的作用。
学情分析：学生的知识技能基础：在本章前面几节课中学生已经认识了轴对称现象，学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中学生已经经历了一些认识轴对称以及轴对称图形的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础，同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作学习的能力。
教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点、难点重点：探索并理解轴对称的性质.难点：轴对称性质的简单应用.课前准备1.教师准备：数学课件.2.学生自备：长方形纸、剪刀.教学过程设计(一)创设情境1.创设氛围，激发求知的欲望师：上一节课我们看到了好多好多生活中美丽的轴对称图案，给我们的视觉带来了美的享受.我们已经研究了轴对称和轴对称图形的基本特征.请问：成轴对称的两个图形具有哪些性质呢？这一节课我们就一起来探究轴对称的性质设计说明：给学生一个宽松的课堂气氛，让学生有感就发，有想就问；体会生活中处处是数学，增强学生学习数学的兴趣.2.展开活动，点燃探究新知的热情活动一操作“画点、折纸、扎孔”.师：请同学们拿出老师课前要求准备的长方形纸，用笔在纸上任意画一个点，标上字母A，然后把纸对折，用笔尖在点A处扎孔，再把纸展开，并连接两孔A、'A.同学们观察手中的长方形纸思考讨论以下问题：连接两孔A、'A的线段'AA与折痕l之间有什么关系？学生观察思考讨论片刻后，请学生回答.生1：折痕l平分两孔组成的线段'AA.生2：折痕l垂直两孔组成的线段'AA.老师肯定学生的回答，并引出线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也称线段的中垂线)；（一定要让学生真正动手操作，同时教师要引导学生通过观察、分析、发现、归纳得出相应的结论，努力让学生用自己的语言说清道理：即折痕l为什么垂直平分A A' ？课本中从轴对称的特性----重合出发，给了有根有据的说明，这有利于加强在活动中对学生进行有条理地说理和表达的训练。
苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》教学设计
苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》这一节的内容是在学生已经掌握了轴对称的概念和性质的基础上进行进一步的深入学习。
本节课的主要内容是引导学生探究轴对称图形的性质，并通过实例来加深学生对轴对称图形性质的理解和应用。
教材中提供了丰富的素材和例题，以及相应的练习题，有助于学生通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，自主探索和学习轴对称图形的性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，包括对轴对称概念的理解和对一些基本性质的认知。
但是，学生对轴对称图形的性质的理解还可能存在一些模糊的地方，需要通过实例和操作来进一步明确。
同时，学生可能对如何运用轴对称图形的性质来解决实际问题还不够熟练，需要通过练习来加强。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握轴对称图形的性质，并能运用性质来解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的性质。
2.难点：如何运用轴对称图形的性质来解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和实例教学法。
通过提出问题，引导学生观察、操作、思考和交流，从而发现和总结轴对称图形的性质。
同时，通过实例来展示轴对称图形的性质在解决实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等。
2.准备一些练习题，包括基础题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等，引导学生回顾轴对称的概念和性质。
然后提出问题：“你们认为轴对称图形有哪些性质呢？”让学生思考并发表自己的看法。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示一些轴对称图形的性质，如对称轴上的点关于对称轴对称，对称轴两侧的图形完全重合等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)
2.2轴对称的性质
教学目标
1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．
教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．
教学难点轴对称性质的运用
教学过程
开场白
同学们，你们喜欢照镜子吗
你知道“你与镜中的你”有什么关系吗
引入
【
一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）
同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．
需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．
实践探索一
1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．
2．探究：你有什么发现
（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．
（2）线段的垂直平分线
你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义
%
线段的垂直平分线的特征是什么
实践探索二
指导学生完成活动二（投影要求）．
仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现
实践探索三（投影要求）
如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．
你又有什么发现
引导学生观察，形成结论．
返回情景导入题（投影图片）
开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．
投影例题
&
例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．
（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗
（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，
∠CAB＝，∠ACD＝.
（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么
（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结
轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。