轴对称的性质
轴对称、中心对称图形的性质及应用
轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。
轴对称的性质
(2)
喜喜
(3)
(4)
轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 图形 轴对称
区别
轴对称图形是一个具有 特殊形状的图形,只对 一个图形而言;对称轴 不一定只有一条
轴对称是指两个图形 的位置关系,必须涉 及两个图形;只有一 条对称轴.
联系
如果把轴对称图形沿对 称轴分成两部分,那么这 两个图形就关于这条直 线成轴对称.
则AED1 __________ __
轴对称的性质:
m
A
C B
A1
C1 B1
1.成轴对称的两个图
形全等（对应角相
等,对应边相等）．
2.如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 对称点所连的线段的垂直平分线． 3.成轴对称的两个图形，对称点所连的 线段平行（或在同一条直线上）．
定义: 垂直并且平分一条线段的直线，
课堂精炼70页：
4.正方形ABCD的边长为4cm, 则图中阴影部分的面积 为 __________ cm2 ___
5.如果一个直角三角形是轴对称图形,那 么它的两个锐角的度数是_______, _________
6.如图所示， l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论： ①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC 其中正确的结论有____________________________
3、点 A’ 就是点A关于 l 的对称点.
基础训练
l
A’
如何画线段AB关于直线 l 的 A 对称线段A’B’?
找关键点作出其对称点！ 然后连结线段.
B
B’
基础训练
l
如何画 ⊿ABC关于直线 l 的
A A’
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中，轴对称是一种特殊的对称形式，是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换，使得物体的每一个点与镜像点相关联，二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称，对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合，对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状，例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换：通过将图形投影到一个平面上，并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受，常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计：许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则，例如古代的宫殿、寺庙等，可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学：许多生物体的结构具有轴对称性，例如动物的身体结构，植物的花朵等都存在轴对称现象，这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究：轴对称是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中，轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中，例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现，这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
轴对称图形知识点
轴对称图形知识点轴对称图形是初中数学中一个很重要的知识点，也是应用十分广泛的一个概念。
轴对称图形可以用于建模、美术、建筑等领域，是我们生活中不可或缺的一部分。
一、轴对称图形的定义及性质轴对称图形，顾名思义，就是指如果平面上一个图形经过一条直线对称后，得到的图形与原来的图形完全一致，那么这个图形就是轴对称图形。
这条直线就被称为轴对称线或对称轴。
轴对称图形的一个显著性质是：对于图形上的任意一对点，它们关于轴对称线是对称的。
我们可以通过画出一条虚线，把两个关于它对称的点连起来，以此获得轴对称图形的对称性。
二、轴对称图形的制作方法制作轴对称图形的方法有几种。
其中一种方法是通过“折纸法”制作轴对称图形。
我们可以把待制作的图形剪下来，然后将其沿着轴对称线对折，再将两部分黏在一起，就可以得到轴对称的图形。
另一种制作轴对称图形的方法是通过使用计算机绘图软件，例如Photoshop、Illustrator等。
这些软件可以帮助我们轻松地制作各种轴对称图形，并且可以灵活地改变图形的颜色、大小等因素。
三、轴对称图形的应用轴对称图形在各个领域中都有很重要的应用。
例如，在美术领域中，我们经常使用轴对称图形进行将来建构，特别是在双面画和复合画中，更是少不了轴对称图形。
建筑领域中，轴对称图形被广泛应用于大厦、广场、宫殿等建筑的设计和建造中。
此外，在语言和文字领域，轴对称图形也被用于设计会标、字体等。
四、轴对称图形的实例以下是一些常见的轴对称图形实例：1. 五角星五角星是一个非常常见的轴对称图形。
它由两个重叠的正五角形所组成。
2. 心形心形是一个非常常见的轴对称图形。
它由两个相似的弧形线条组成，以轴对称线为轴对称。
3. 十字架十字架也是一个经典的轴对称图形，由一个直线和一条相交的线段组成。
它在基督教和天主教中有着非常深厚的象征意义。
总的来说，轴对称图形是一个非常重要的初中数学知识点，也是不可或缺的一个概念，可以应用于各个领域。
这个概念的掌握对我们日常生活和工作中的许多方面都会产生巨大的影响。
轴对称的性质
轴对称的性质：
轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等。
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。
在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
轴对称图形具有以下的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
④对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
初中数学知识点归纳 轴对称
初中数学知识点归纳：轴对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
初中数学知识点——轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
二维几何中的轴对称关系
二维几何中的轴对称关系在二维几何中，轴对称是一种重要的几何关系，它描述了一个图形相对于某条直线的对称性。
轴对称关系不仅在数学中有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。
本文将探讨轴对称关系的定义、性质以及一些实际应用。
一、轴对称关系的定义轴对称关系是指一个图形在某条直线上的对称性。
具体来说，如果一个图形中的每个点关于某条直线对称，那么我们就说这个图形具有轴对称关系。
这条直线被称为轴线或对称轴。
二、轴对称关系的性质1. 对称性：轴对称关系具有对称性，即图形中的每个点关于轴线对称。
这意味着如果一个点P关于轴线对称得到点P'，那么点P'也关于轴线对称得到点P。
换句话说，图形中的每个点都有一个对应的对称点。
2. 轴线上的点：轴对称关系中，轴线上的点保持不变。
这意味着轴线上的点与其对称点重合。
例如，如果一条直线与轴线平行且与轴线上的一点相交，那么它与轴线上的对称点也会相交。
3. 图形的性质：轴对称关系可以保持图形的某些性质不变。
例如，如果一个图形是等边三角形，并且具有轴对称关系，那么它的对称图形也是等边三角形。
三、轴对称关系的实际应用1. 艺术设计：轴对称关系在艺术设计中被广泛应用。
许多艺术品、建筑物和装饰品都利用轴对称关系来创造美感和平衡感。
例如，许多古代建筑物的立面设计中常常使用轴对称来达到对称美。
2. 几何构图：在摄影和绘画中，轴对称关系也被用于构图。
通过将主题或元素放置在轴线两侧，可以创造出平衡和稳定感。
这种构图方法常用于风景摄影和肖像画中。
3. 工程设计：轴对称关系在工程设计中也起到重要的作用。
例如，在建筑设计中，对称结构可以提供更好的力学稳定性和均衡负荷分布。
在机械设计中，对称部件可以减少制造和装配的难度。
4. 数学推理：轴对称关系在数学推理中也有广泛的应用。
通过利用图形的轴对称性，我们可以推导出一些性质和定理。
例如，根据轴对称关系，我们可以证明一个图形的对角线长度相等。
总结：轴对称关系是二维几何中的重要概念，它描述了一个图形相对于某条直线的对称性。
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作业：
课本第199页习题1、2。
H
A B
G
2．连结A′B交EF于 点C则沿AC撞击黑球A ，必沿CB反弹击中白 E 球B。
C
A′
F
小结：
1．轴对称是 两个 图形关于某条直线对 称。轴对称图形是 一个 图形关于某条直 线对称。 2.轴对称的性质： (1).对应点连线段被对称轴垂直平分
(2).对应线段相等，对应角相等。
3．如何把实际问题抽象或转化为几何模 型。
练一练:
1、在下列图形中，找出轴对称图形，并 找出它的两组对应点。
2.在下面的每个图形中找到轴对称图形, 并找出它的两组对应线段.
试一试：
如图，EFGH是矩形的台球桌面， 有两球分别位于A、B两点的位置，试 问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞 台边EF反弹后再击中B球？
解：1．作点A关于EF 的对称点A′
教学目标 探索轴对称的基本性质，理解对 应点所连的线段被对称轴垂直平分、对 应线段相等、对应角相等的性质。 教学重点 理解“对应点所连的线段被对 称轴垂直平分、对应线段相等、对应角 相等”的性质。 教学难点 运用对称轴的性质
教学方法
பைடு நூலகம்
探索、归纳总结。 教学工具
一些对称图形的实物，投影仪。 准备活动
议一议
7 6
5
1
2 3 4
如图: 你能求出 这七个角 的和吗?
试一试
1、一次晚会上，主持人出了一道题目： “如何把 变成一个真正的等式"， 很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了 一面镜子，就很快解决了这道题目，你 知道她是怎样做的吗？
小结：
1、对应点所连的线段被对 称轴垂直平分
2、轴对称图形对应线段相 等，对应角相等。
将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎 出“14”这个数字，将纸打开后铺平。
一：如图将一张矩形纸对折，然后用笔尖
扎一个点，将纸打开后铺平。
想一想：(1)点A与点B关于直线m有什么 样的位置关系? (2)连结AB，请 同学们用量角 器、刻度尺度 量并判断线段 AB与直线m有 什么关系？
m A B
二、把自己用笔尖扎出“ 14” 这个 数字，将纸打开后铺平。（1）图中的两 个“14”有什么关系？
m A C
A1
B
D
E
E1
D1
B1
（2）在扎字中找出两组对应点，并连接， 你连接的线段与对称轴有什么关系？（3） 在扎字中找出两组对应线段，对应线段 是什么关系？
m A C A1
B D
E
E1
D1
B1
（4）在扎字中找出两组对应角，对应角 是什么关系？
m A C
A1
B
D
E
E1
D1
B1
轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平 分； （2）对应线段相等，对应角相等
思考题
如图，在俯南河L边的空地上，房屋开发商准备建 一个三角形住宅小区，A、B两幢建筑物恰好建在 三角形住宅小区的两个顶点处，现要求小区大门C 建在俯河边且小区周边最短。如果你是这个项目 的总设计师，请确定出小区大门C的最佳位置。并 在图中标出。
A
提示 1．小区的周边，哪 B 一条边的长度是固 l 定不变的？ 2．要使小区周边最短，只需哪两边的和最短？