矩阵分解PPT课件

则 ALU ~为 Crout 分解
而 AL ~U为 Doolittle 分解
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为Crout 分解。
为L ~单位下三角阵而 为U 一般上三角阵的分解称为
Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
1 0 2 1 A 1 2 4 5
2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
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§4.2 矩阵的QR分解
组正[ 交1 向,量2 , 组,再m 单] 位[ 化1 ，,这2 , 样,得m 到] R 一组标准正交
向量其组中: R1C ,m m 2,m (R ,m mrm)为正线上三角阵.
由前面学的定理有： A(1,2,,r)R
记: U(1,2,,r),则 UHUI
于是: AU,R U U rnr,下面证明分解是唯一的
unn
min( i , j )
ai j
lik uk j
k 1
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推论: 设ACnn,且 k0k 1 ,2 ,L,n 1则
A唯一分解成: AL ~DU ~ 其中, D为对角阵
定理:(Cholesky分解 )
正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为:
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
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由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
l1u 1 1 20 u 1 20,u132, u141
l 2 u 1 1 2 l 2 2 2 l 2 2 2 l 2 u 1 1 2 2
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
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思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21 a22 a2nl21 1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
u23
4u13l21 l22
1
l3 2a 3 2u 1l3 2 21 0 1 l3 3a 3 3u 1l3 3 1u 2l3 3 21
u34a34l3u 1l3134l32 u241 l42 a42 u 1l2 41 2 l4 3a 4 3u 1l4 3 1u 2l4 3 2 2 l44 5
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定义1: 设 ACrnr(Crrn),若 AHAI(AH A I) 则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为：Urnr(Urrn) 定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。 称为A的UR分解
定理2: 设ACrnr ，那么 A 可唯一地分解为
AUR
其中：UUrnr ， R 为正线上三角阵
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假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的 形式：A LU 其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
这样,我们可以把线性方程组 Axb 写成
A ( x L)x U L (U ) x b
令 Ux y ,则原线性方程组 Ux y
Axb Lyb
于是可首先求解向量 y使 Lyb
ALL H
其中, L为正线下三角,即对角线的元素均为正的
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例1:求A的Crout分解和 L~DU~分解
1 0 2 1
解答:设 A LU%,即:
A
1
2
4
5
2 1 6 5
1
2
2
8
1 0 2 1 l11 0 0 01 u12 u13 u14
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
1 0 2 1 1 0 0 01 0 2 1 A1 2 4 51 2 0 00 1 1 2LU ~
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
1 0 0 0
将L
1
2
0
0
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继续分解成
L~D得出:
2 1 1 0
1
2
2
5
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unn
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定理
:
A
C nn n
可作唯一三角分解
ALU的充要条件为:
k0k1,2,L,n
其中: k det Ak 为 A的顺次主子式
记:
1
l
21
1
L~
...
.
l n 1 ...
1 u12 u1n
U~
1
u
2
n
1
1
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矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第四章
矩阵的分解
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§4.1矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解 成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵， 和求解联立方程组。
然后求解Ux y ,
从而达到求解线性方程组 Axb的目的.
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定义：设 ACnn若 LCnn UCnn
使得:ALU称 A可以作三角分解
其中: l11
L
l21 M
l22 M
O
u11 u12 u1n
U
u22
u2
n
ln1 ln2 L lnn
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证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块
得到 A (1,2,,r)
由设于 A1,C2,rnL r ，,所m欧以氏(1酉,)2空,间,Vr的是线线性性无无关关组的,。
则 V 中利存用在Sc标hm准id正t正交交向化量与组单位1,化2方,法,，m先,使得得到一