矩阵分解PPT课件
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第五章 矩阵分解64页PPT文档
矩阵的LU分解最常应用于求解线性方 程组 Axb，首先我们作分解 PALU ，然 后求解方程组 LUxP，b 求解过程分两步 进行：
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即 求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中
x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变 换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的 情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进 解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的 解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收 敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可 以得到很精确的解。
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即 求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中
x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变 换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的 情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进 解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的 解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收 敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可 以得到很精确的解。
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
《矩阵谱分解》课件
图像处理：用于图像去噪、图像增强等 信号处理：用于信号分析、信号处理等 机器学习：用于特征提取、模型优化等 网络科学：用于网络分析、网络优化等
矩阵谱分解的方法
添加标题 添加标题 添加标题
概念：将矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、对角矩 阵和右奇异向量矩阵
步骤：首先计算矩阵的奇异值和奇异向量，然后根据奇异值和奇异向量 构建左奇异向量矩阵、对角矩阵和右奇异向量矩阵
计算复杂度高：矩阵谱分解的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。 数值稳定性差：矩阵谱分解的数值稳定性较差，容易受到数值误差的影响。 适用范围有限：矩阵谱分解只适用于对称矩阵和正定矩阵，对于非对称矩阵和负定矩阵不适用。 难以解释：矩阵谱分解的结果难以解释，需要一定的数学背景和知识才能理解。
谱分解在数值计算 、信号处理等领域 有广泛应用
矩阵谱分解是将矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，这些矩阵的乘积等于原矩阵。
矩阵谱分解的目的是为了简化矩阵运算，提高计算效率。
矩阵谱分解可以分为实矩阵谱分解和复矩阵谱分解。
实矩阵谱分解可以将矩阵分解为两个实对称矩阵的乘积，而复矩阵谱分解可以将 矩阵分解为两个复对称矩阵的乘积。
应用：在数据压缩、图像处理、自然语言处理等领域有广泛应用
添加标题
优点：计算简单，易于实现，适用于大规模矩阵分解
特征值分解：将矩阵分解为特征值和特征向量的形式 特征值：矩阵的特征值是矩阵的特征方程的解 特征向量：矩阵的特征向量是满足矩阵乘以向量等于特征值乘以向量的向量 应用：特征值分解法在矩阵分析、数值计算、信号处理等领域有广泛应用
步骤四：计算矩 阵A的谱分解结果
确定矩阵A的奇异值或特征 向量
计算矩阵A的奇异值或特征 值
计算矩阵A的逆矩阵
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
数值分析(09)用矩阵分解法解线性代数方程组ppt课件
l31
l32
1
j1
1
ln1 ln2 ln,n1 1 yn bn
数值分析 2
数值分析
第 二 步: 求 解 上 三 角 方 程 组Ux Y ,向 后 回 代 求 出x
xn yn unn
n
xk ( yk ukj x j ) ukk j k 1
(k n 1, n 2, ,1)
x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
数值分析10
数值分析
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b Ax b PAQT (Qx) Pb LU(Qx) Pb
lupqdsv.m
%功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A)
1 2 0
1
2 7
1
1 2 17 0 1
数值分析 6
数值分析
P为排列阵，在计算机中用向量表示
例 P (1 2 3 4)T , P1 (3 2 1 4)T ,
P2 (3 4 1 2)T ,
P (3 4 1 2)T
Ax b, PA LU ,
PAx Pb,
LUx Pb f
f (i) b(P(i))
1
2
0
1
数值分析 8
数值分析
lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数 [LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量）
y1
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的优缺点
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分解ppt课件
2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
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1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
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0
0
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0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
《矩阵的分解》课件
矩阵分解的算法实 现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
添加标题
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添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
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高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
添加标题
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
添加标题
矩阵的标准型分解课件
详细描述
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
7矩阵分解
§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
§5.1 求解线性方程组的 矩阵分解方法
1
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
一、利用矩阵的三角分解求线性方程组的解
2
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
14
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10
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
12
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
二、利用矩阵的正交三角分解求矛盾方程的最 小二乘解
7
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
8
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§5.
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
3
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1 求解线性方程组的 矩阵分解方法
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一、利用矩阵的三角分解求线性方程组的解
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二、利用矩阵的正交三角分解求矛盾方程的最 小二乘解
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§5.
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2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
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由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
l1u 1 1 20 u 1 20,u132, u141
l 2 u 1 1 2 l 2 2 2 l 2 2 2 l 2 u 1 1 2 2
1 0 2 1 1 0 0 01 0 2 1 A1 2 4 51 2 0 00 1 1 2LU ~
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
1 0 0 0
将L
1
2
0
0
继续分解成
L~D得出:
2 1 1 0
1
2
2
5
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1 0 2 1 A 1 2 4 5
2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
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§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 ACrnr(Crrn),若 AHAI(AH A I) 则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为：Urnr(Urrn) 定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。 称为A的UR分解
定理2: 设ACrnr ，那么 A 可唯一地分解为
AUR
其中：UUrnr ， R 为正线上三角阵
unn
min( i , j )
ai j
lik uk j
k 1
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推论: 设ACnn,且 k0k 1 ,2 ,L,n 1则
A唯一分解成: AL ~DU ~ 其中, D为对角阵
定理:(Cholesky分解 )
正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为:
则 ALU ~为 Crout 分解
而 AL ~U为 Doolittle 分解
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为Crout 分解。
为L ~单位下三角阵而 为U 一般上三角阵的分解称为
Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
组正[ 交1 向,量2 , 组,再m 单] 位[ 化1 ，,这2 , 样,得m 到] R 一组标准正交
向量其组中: R1C ,m m 2,m (R ,m mrm)为正线上三角阵.
由前面学的定理有： A(1,2,,r)R
记: U(1,2,,r),则 UHUI
于是: AU,R U U rnr,下面证明分解是唯一的
u23
4u13l21 l22
1
l3 2a 3 2u 1l3 2 21 0 1 l3 3a 3 3u 1l3 3 1u 2l3 3 21
u34a34l3u 1l3134l32 u241 l42 a42 u 1l2 41 2 l4 3a 4 3u 1l4 3 1u 2l4 3 2 2 l44 5
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Department of Mathematics
证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块
得到 A (1,2,,r)
由设于 A1,C2,rnL r ，,所m欧以氏(1酉,)2空,间,Vr的是线线性性无无关关组的,。
则 V 中利存用在Sc标hm准id正t正交交向化量与组单位1,化2方,法,，m先,使得得到一
unn
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定理
:
A
C nn n
可作唯一三角分解
ALU的充要条件为:
k0k1,2,L,n
其中: k det Ak 为 A的顺次主子式
记:
1
l
21
1
L~
...
.
l n 1 ...
1 u12 u1n
U~
1
u
2
n
1
1
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U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
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思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21 a22 a2nl21 1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
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假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的 形式：A LU 其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
这样,我们可以把线性方程组 Axb 写成
A ( x L)x U L (U ) x b
令 Ux y ,则原线性方程组 Ux y
Axb Lyb
于是可首先求解向量 y使 Lyb
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第四章
矩阵的分解
Department of Mathematics
§4.1矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解 成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵， 和求解联立方程组。
ALL H
其中, L为正线下三角,即对角线的元素均为正的
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例1:求A的Crout分解和 L~DU~分解
1 0 2 1
解答:设 A LU%,即:
A
1
2
4
5
2 1 6 5
1
228ຫໍສະໝຸດ 1 0 2 1 l11 0 0 01 u12 u13 u14
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
然后求解Ux y ,
从而达到求解线性方程组 Axb的目的.
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定义：设 ACnn若 LCnn UCnn
使得:ALU称 A可以作三角分解
其中: l11
L
l21 M
l22 M
O
u11 u12 u1n
U
u22
u2
n
ln1 ln2 L lnn