2021届高考数学椭圆曲线的知识总结
高中数学椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2(5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
椭圆曲线的相关知识点总结
椭圆曲线的相关知识点总结一、椭圆曲线的定义1.1 椭圆曲线的代数定义椭圆曲线可以通过以下的代数方程来定义：y^2 = x^3 + ax + b其中a和b是定义在一个域上的常数，并且满足4a^3 + 27b^2 != 0，这个条件是为了保证方程在定义域上是非奇异的。
在实数域上，这个方程描述了一个具有两个分离点的曲线。
在有限域上，方程描述了一个有限个点的集合，这些点组成了有限域上的椭圆曲线。
1.2 椭圆曲线的几何特性从几何的角度来看，椭圆曲线在定义域上呈现出一些有趣的特性。
首先，由于方程中的二次项和三次项，椭圆曲线在原点附近有一个尖锐的曲线，这个点称为奇点。
椭圆曲线还有一个重要的特性是它在x轴上有两个交点，这两个点对应着方程中的根。
这些几何特性对于后续的加法和离散对数问题都具有重要的意义。
1.3 椭圆曲线的群结构椭圆曲线在有限域上可以构成一个有限阿贝尔群。
这个群的元素是椭圆曲线上的点，而群操作是通过定义中的加法来进行的。
具体来说，给定椭圆曲线上的两个点P和Q，通过定义中的加法运算可以得到第三个点R。
同时，椭圆曲线还有一个特殊的点O，称为无穷远点，它在群运算中相当于零元素。
椭圆曲线上的点满足结合律、交换律和存在逆元素等群的基本性质，因此可以构成一个群结构。
二、椭圆曲线的加法2.1 仿射坐标系下的加法在椭圆曲线上，我们通常使用仿射坐标系来描述点的位置。
假设有两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，它们之间的加法运算定义为：P1 + P2 = P3具体的加法规则可以通过椭圆曲线的方程来获得，这个规则可以由椭圆曲线的几何特性来推导而来。
2.2 项目ive坐标系下的加法除了仿射坐标系，我们还可以使用项目ive坐标系来进行椭圆曲线上的加法运算。
在项目ive坐标系下，点的位置由三个坐标来描述，而加法规则也有所不同。
具体来说，项目ive 坐标系下的加法方法更加简洁和高效，因此在实际应用中经常会使用到。
2.3 加法的几何解释从几何的角度来看，椭圆曲线上点的加法运算可以通过直线的交点来进行解释。
椭圆高考必会知识点
椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。
本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。
另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。
椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。
椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。
二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。
2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。
当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。
三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。
根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。
焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。
2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。
准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。
四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。
椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。
高考椭圆曲线经典性质(非常推荐)
椭圆的对偶性质（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.椭圆的对偶性质（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠= , 12PF F β∠= ,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠= ,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.。
高中数学---椭圆知识点小结
- 1 -椭圆知识点1、椭圆的第一定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1)．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2)．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=;3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1)对称性:对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
(3)顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B . ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4)离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
(完整版)椭圆曲线知识点总结(经典版)
(完整版)椭圆曲线知识点总结(经典版)
1. 椭圆曲线简介
椭圆曲线是一种特殊类型的曲线，可以用于加密和签名算法中。
它的数学性质使得椭圆曲线加密成为一种强大且安全的加密方法。
2. 关键概念
2.1 椭圆曲线方程
椭圆曲线的方程一般形式为：y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b
是方程中的常数。
2.2 基点
基点是椭圆曲线上的一个固定点，用于构建密码算法中的公钥
和私钥。
2.3 椭圆曲线运算
椭圆曲线运算包括点的加法和乘法操作。
点的加法操作用于构
建公钥，点的乘法操作用于构建私钥。
3. 椭圆曲线加密算法
3.1 密钥生成
在椭圆曲线加密算法中，首先需要生成公钥和私钥。
公钥是基
点经过多次乘法运算得到的点，私钥是一个随机生成的整数。
3.2 加密和解密
加密过程中，需要选择一个随机数作为加密的短期私钥，并使
用公钥进行点乘操作。
解密过程中，需要使用私钥进行点乘操作以
还原加密文本。
4. 安全性和优势
椭圆曲线加密算法相较于其他加密算法具有更高的安全性和更
小的密钥长度要求。
其安全性取决于基点的选择和曲线参数的选取。
5. 应用领域
椭圆曲线加密算法广泛应用于网络通信、数字签名、支付系统
等安全领域。
6. 总结
椭圆曲线是一种数学上的强大工具，其在加密和签名领域有着广泛的应用。
了解椭圆曲线的基本概念和运算规则，可以帮助我们更好地理解和应用椭圆曲线加密算法。
(2021年整理)高中数学---椭圆知识点小结
高中数学---椭圆知识点小结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学---椭圆知识点小结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B 。
2021高考椭圆知识点
2021高考椭圆知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，广泛应用于数学和物理学等领域。
在2021年高考中，椭圆也是一个重要的考点。
本文将对2021年高考椭圆知识点进行详细介绍，包括定义、性质、标准方程、焦点、离心率等内容。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
其中，两个定点的连线称为椭圆的主轴，主轴的长度为2a；主轴的中点称为椭圆的中心；与主轴垂直的线段称为椭圆的次轴，次轴的长度为2b；a和b之间的关系为a>b>0。
二、椭圆的性质1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即对于椭圆上的点P(x,y)，有PF1 + PF2 = 2a，其中PF1和PF2分别表示点P到两个焦点F1和F2的距离。
2. 椭圆的离心率e定义为焦距与主轴长度之比，即e = c/a，其中c表示两个焦点之间的距离。
3. 椭圆的离心率满足0<e<1，当e=0时，椭圆为圆；当e趋近于1时，椭圆趋近于无穷远，变为两条平行直线。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的主轴和次轴的长度。
四、椭圆的焦点和准线1. 椭圆的焦点为两个定点F1和F2，焦点位于椭圆的主轴上，与椭圆的中心对称。
2. 椭圆的准线为平行于次轴的两条直线，使得椭圆的两个焦点和两个准线上的任意一点构成平行四边形，且平行四边形的对角线相等。
五、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
六、椭圆的相关性质1. 椭圆的面积为πab，其中π为圆周率。
2. 椭圆的周长可通过积分公式求解，但一般情况下无法用有限的初等函数表示。
3. 椭圆在对称轴上具有对称性，即椭圆关于主轴和次轴的对称轴对称。
综上所述，椭圆是一个重要的解析几何概念，在2021年高考中也是一个重要的考点。
通过掌握椭圆的定义、性质、标准方程、焦点和离心率等知识点，我们能够更好地理解和应用椭圆，提升解题能力，为高考取得好成绩奠定坚实的基础。
高三数学椭圆双曲线知识点
高三数学椭圆双曲线知识点椭圆和双曲线是高中数学中重要的曲线类型，对于高三学生来说，掌握椭圆和双曲线的基本知识点是必不可少的。
本文将详细介绍椭圆和双曲线的定义、性质和相关的解题方法。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和与两个定点到一条定直线的距离之差的绝对值等于常数的轨迹。
可以用以下方程表示：$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$（a>b>0）其中，a为椭圆的长半轴，b为短半轴。
椭圆有以下性质：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，且e的取值越小，椭圆越扁平。
2. 椭圆的焦点到准线的距离等于短半轴的长度。
3. 椭圆的长轴与短轴之间的关系为2a=2b。
二、椭圆的方程与基本图形1. 标准方程当椭圆的中心为原点（0,0）时，椭圆的方程为$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$。
2. 图形特征椭圆是一个封闭曲线，具有关于x轴和y轴对称的性质。
它在x轴和y轴上都有两个顶点，分别是(±a,0)和(0,±b)，其中a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。
三、双曲线的定义与性质双曲线是平面上一点到两个定点的距离之差与两个定点到一条定直线的距离之和的绝对值等于常数的轨迹。
可以用以下方程表示：$\frac{{x^2}}{{a^2}}-\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$（a>0，b>0）其中，a为双曲线的长半轴，b为短半轴。
双曲线有以下性质：1. 双曲线的离心率e满足e>1，且e的取值越大，双曲线越扁平。
2. 双曲线的焦点到准线的距离等于短半轴的长度。
3. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
四、双曲线的方程与基本图形1. 标准方程当双曲线的中心为原点（0,0）时，双曲线的方程为$\frac{{x^2}}{{a^2}}-\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$。
高中数学知识点椭圆双曲线抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （23．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于BA ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2（3①求双曲线12222=-by a x的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by ax ，因式分解得到0x y a b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
高考数学椭圆知识点总结
高考数学椭圆知识点总结在高考数学中，椭圆是一个重要的几何图形，掌握椭圆的相关知识点对于解题非常有帮助。
下面将对高考数学中与椭圆相关的知识点进行总结。
一、椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上的封闭曲线，其定义是到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点所构成的集合。
椭圆具有以下性质：1. 焦点和准线：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，准线则是连接两个焦点并且垂直于长轴的直线。
2. 焦距和半长轴：椭圆的两个焦点之间的距离称为焦距，焦距的一半称为半焦距。
椭圆的长轴是过焦点的直线，长轴的一半称为半长轴。
3. 直径：椭圆的直径是通过椭圆两个焦点的直线段，并且垂直于长轴的。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
三、椭圆的参数方程和焦点坐标椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ是0到2π的参数。
椭圆的焦点坐标为(h+c, k)和(h-c, k)，其中c是半焦距的长度。
四、椭圆的离心率和短焦距椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的重要指标，计算公式为e = c/a，其中c是焦距的长度，a是半长轴的长度。
离心率小于1的椭圆被称为椭圆形，离心率等于1的椭圆被称为抛物线，离心率大于1的椭圆被称为双曲线。
椭圆的短焦距的长度可以通过短焦距的平方等于长焦距的平方减去椭圆的半长轴的平方来计算。
五、椭圆和直线的方程椭圆的方程和直线的方程可以相交、相切或者相离。
椭圆和直线相交时，可以通过联立椭圆的方程和直线的方程求解交点的坐标。
六、椭圆的面积和周长椭圆的面积可以通过公式A = πab来计算，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的周长近似于公式C ≈ 2π√(2a²+b²)/2。
综上所述，掌握高考数学中与椭圆相关的知识点对于解题至关重要。
椭圆曲线知识点总结
椭圆曲线知识点总结1. 椭圆曲线的定义和基本性质椭圆曲线是平面上满足特定形式方程的点的集合。
一般而言，椭圆曲线的方程可以写作y^2 = x^3 + ax + b，其中 a 和 b 是常数，并且满足某些约束条件。
椭圆曲线上的点还包括一个特殊的“无穷远点”，它在几何意义上代表曲线的所有切线的交点。
椭圆曲线还具有群结构，因此可以定义点的加法操作。
加法操作满足交换律、结合律和存在单位元素等性质，这使得椭圆曲线成为密码学中的重要工具。
2. 椭圆曲线上的离散对数问题椭圆曲线上的离散对数问题是密码学中的重要问题之一。
给定椭圆曲线上的点 P 和 Q，求解离散对数问题就是找到整数 k，使得 kP = Q。
这个问题在椭圆曲线密码学中起到非常重要的作用，例如在椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）和椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换协议中都有应用。
3. 椭圆曲线密码学的应用椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学结构构建的密码学体系，它比传统的RSA和DSA等密码体系具有更高的安全性和更小的密钥尺寸。
椭圆曲线密码学广泛应用于数字签名、加密通信、身份认证、以及访问控制等领域。
其中，椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）和椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换协议是最为著名和重要的应用之一。
4. 椭圆曲线密码系统的安全性椭圆曲线密码系统的安全性主要依赖于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性。
目前尚未找到对该问题的高效解法，因此椭圆曲线密码系统被认为是安全的。
然而，随着量子计算机的发展，当前的椭圆曲线密码系统可能会受到威胁，因此研究基于椭圆曲线的抗量子密码系统变得越来越重要。
5. 椭圆曲线的参数选择在实际应用中，选择合适的椭圆曲线参数对安全性至关重要。
一般来说，椭圆曲线的安全性与参数的选择密切相关。
通常采用标准的椭圆曲线参数，比如NIST标准的曲线参数，以确保系统的安全性和互操作性。
6. 椭圆曲线验算算法椭圆曲线验算算法是一种在椭圆曲线上进行点验证的算法。
高三椭圆知识点归纳总结
高三椭圆知识点归纳总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于一定值（2a）的动点P的轨迹所组成的曲线。
两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，而线段F1F2的长度为主轴的长度。
二、椭圆的基本性质1. 半长轴与半短轴- 半长轴a：半长轴是椭圆中心到椭圆的边界的最大距离。
- 半短轴b：半短轴是椭圆中心到椭圆的边界的最小距离。
2. 焦距与半长轴的关系- 焦距c：焦距是椭圆的两个焦点之间的距离。
根据焦距和半长轴的关系，可以得出关系式：c^2 = a^2 - b^2。
3. 离心率- 离心率e：离心率是用来衡量椭圆形状的一个参数。
离心率e的值介于0到1之间，离心率越接近于0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆形状越扁平。
4. 椭圆的焦点和准线- 焦点F1和F2：椭圆的焦点是定义中的两个定点，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。
- 准线L1和L2：准线是与椭圆的焦点平行且通过椭圆中心的两条直线。
5. 椭圆的方程- 标准方程：以椭圆中心为坐标原点，长轴与x轴平行，且焦点在x轴上的椭圆方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
- 带有倾斜角度的方程：如果椭圆的长轴与x轴的夹角为α，则椭圆的方程为[(x-h)cosα + (y-k)sinα]^2/a^2 +[(x-h)sinα - (y-k)cosα]^2/b^2 = 1，其中(h, k)表示椭圆中心的坐标。
三、椭圆的相关公式1. 离心率的计算离心率e = c / a，其中c为焦距，a为半长轴的长度。
2. 焦点到直角椭圆弧的距离对于直角椭圆弧的焦点到椭圆上任意一点的距离d，有以下关系：d = a(1 - e*cosθ)，其中θ为焦点与椭圆上某点P的连线与半长轴的夹角。
3. 焦半径公式椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1或F2的距离为r，有以下关系：r = |PF1| + |PF2| = 2a。
四、椭圆的相关定理1. 切线与法线- 切线：过椭圆上任意一点的切线与该点与两个焦点的连线之间的夹角等于这两条线段的夹角的一半。
椭圆曲线知识点与讲义
圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长= （2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、例题讲解。
例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例2、 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例3、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PFRt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例4、已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 三、习题讲解。
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高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin xa yb ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以12222=+bya x （0ab >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
⑥（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______；4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y -。
6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a xb ；如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______； （3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！ 椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。
可借助右图理解记忆：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax=+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。
当BCA C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称； ③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。
将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率)10(<<=e ac e ，因为222b ac -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e abe 。
显然：当ab 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab 越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。
题型1:椭圆定义的运用例1.已知1,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______.例2.如果方程222x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 例3.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为 题型2： 求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点2),(A B --；(2)经过点(2，－3)且与椭圆229436xy +=具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4.题型3:求椭圆的离心率 例1、ABC ∆中，30,2,o ABCA AB S∠===若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1.已知实数,x y 满足22142x y +=,则22x y x +-的范围为例2.已知点,A B 是椭圆22221x y m n+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=,则λ=题型5：焦点三角形问题 例1.已知12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求12PF PF 的值.例2.已知12,F F 为椭圆C:22184x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为.例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1e 2=① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.题型6: 三角代换的应用 例1.椭圆221169x y +=上的点到直线l:90x y +-=的距离的最小值为___________． 例2.椭圆221169x y +=的内接矩形的面积的最大值为题型7：直线与椭圆的位置关系的判断 例1.当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？ 例2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围； 题型8：弦长问题 例1.求直线24y x =-被椭圆224199x y +=所截得的弦长. 例2.已知椭圆2212x y +=的左右焦点分别为F1,F2，若过点P （0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF2的面积； 题型9：中点弦问题例1. 求以椭圆22185x y +=内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例2.中心在原点，一个焦点为1(0,50)F 的椭圆截直线32y x =- 所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例3.椭圆221mx ny +=与直线1x y += 相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点．若22AB = ，OC 的斜率为22（O 为原点），求椭圆的方程． 巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且o 1=90BDB ∠,则椭圆的离心率为2.设12,F F 为椭圆2214x y +=的两焦点，P在椭圆上，当12F PF ∆面积为1时，12PF PF ⋅的值为3.椭圆221369x y +=的一条弦被()4,2A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若12,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若122112::1:2:3PF F PF F F PF ∠∠∠=, 则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)a c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222>>=-babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222>>=-babxay定义定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双曲线。