2021届高考数学椭圆曲线的知识总结

高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：

平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若

1212

PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （222a b c =+）⇔{

cos sin x

a y

b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以

122

22

=+b

y

a x （0a

b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)

c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④离心率：c e a

=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，

椭圆越扁。⑥

（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔22

00

221x y a b

+>；

②点00

(,)P x y 在椭圆上⇔220

220b

y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；

（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则

m 的取值范围是

_______；

4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）

5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB

12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝

212

1

1y y k -+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，

则AB

12y -。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点

差法”求解。在椭圆122

22=+b

y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的

斜率k=－0202y a x

b ；

如（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点

A （4，2）平分，那么这条弦所在

的直线方程是； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于

A 、

B 两点，

且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为

_______； （3）试确定m

的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关

于直线m x y +=4对称；

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！ 椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222

c b a +=。

可借助右图理解记忆：

c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中

a 是斜边，

b 、c

为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2

2=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax

=+2

2

可化为

122=+C

By C Ax ，即12

2=+B

C By A C x ，所以只有

A 、

B 、

C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当

B

C

A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当

B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。 5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c

相同。与椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可

设为122

2

2=+++m

b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称； ③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算

问题？

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式

2121sin 2

1

21PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=

∆相结合的方法进行计算解题。