概率论_特征函数
概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt
类似地有下列若干性质
（1）(t1, t2 , , tn )在 Rn 中一致连续，且
(0, ,0) 1, (t1,t2, ,tn) 1 (t1, t2, , tn) (t1,t2, ,tn)
（2）若 (t1, t2 , , tn ) 为 (X1, X 2, , X n ) 的特征函数，则
Y c1X1 cn X n 的特征函数为
Y (t) (c1t1, c2t2 , , cntn )
（3）若矩
E
(
X
k1 1
X
kn n
)
存在，则
E
(
X k1 1
n
kn
kj
j1
k1 kn f (t1 ,t2 ,
X ) i [ n
t1k1 tnkn
] ,tn ) t1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
1 2
lim lim
y T
特征函数及其应用
特征函数及其应用
特征函数是概率论中一种重要的工具，用于描述随机变量的分布。
它是一个复数函数，定义为随机变量的各个值对应的指数函数的期望值。
特征函数具有许多有用的性质，例如可以用它来计算随机变量的矩、导数和卷积等。
特征函数在统计学、信号处理、物理学等领域中有着广泛的应用。
在统计学中，特征函数可以用于推导估计量的分布，检验假设以及构造置信区间等。
在信号处理中，特征函数可以用于对信号进行谱分析和滤波。
在物理学中，特征函数可以用于描述粒子的动力学特性和相互作用。
除了普通的特征函数，还有一些特殊的特征函数，例如矩母函数和累积分布函数的特征函数等，它们也具有广泛的应用。
在实际应用中，研究人员还可以根据需要构造自己的特征函数来解决特定的问题。
总之，特征函数是一种非常有用的工具，它不仅可以描述随机变量的分布，还可以用于推导估计量的分布、信号处理、粒子动力学等方面的应用。
- 1 -。
概率论课件 特征函数
e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t
)
e itk
k0
ke
k!
e
（e it ）k
k0 k!
e e eit
e（eit -1）
例4.1.5 设随机变量X 服从 [a,a]的均匀分布, 求其特征函数.
(t) E(e jtX )
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
e jtX cos tX j sintX
(t) E(e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
3. 特征函数的计算 e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X 构造出来的复值随机变量的期望。
例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即
求X 的特征函数.
P{X c} 1
( t ) E( e jtX ) e jtxk k
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
特征函数的概念及意义
特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()()itXe t E =ϕ, +∞<<∞-t ,为X 的特征函数.因为＝１Ｘit e ，所以()itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为()∑+∞==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x1x =-==-，，其特征函数为()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.3、泊松分布()λP ：()λλ-==e k k X P k！，k=0,1， ，其特征函数为()()∑+∞=---===0k 1e e kiktitit e e e e k et λλλλλϕ！. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,0,1其他b x a a b x p所以特征函数为()()⎰--=-=b aiatibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为()2221x e x p -=π， +∞<<∞-x .所以特征函数为()()⎰⎰∞+∞-∞+∞-----∞==dxit x t x itx e edx e x 2222222121πϕ=⎰-∞+-∞----=ititt t t edz ee22222221π.其中⎰-∞+-∞--=ititx dz eπ222 .三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求()2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2t i 22et σμϕ=,于是由()k k k i 0ξϕE =得，()μϕξi 0i ′==E , ()22″220i σμϕξ--==E , 由此即得()222D σξξξμξ=E -E ==E ，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为()()()∑==n 1i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n1i i t t ϕϕ.设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()2N j j a σ，的正态随机变量.试求∑==n1j j ξξ的分布.由于j ξ的分布为()2N j j a σ，，故相应的特征为()222tia j j je t σϕ=.由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==nj j t t 1的特征函数为()()21212221112t t a i n j nj tia j nj j nj j j jeet t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑=====∏∏σσϕϕ.而这正是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则dt e x npq np P xt nn ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-2221lim πμ.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且(),,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有dt e x nna P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则∑∑==-=-nk k nk kn anna11σξσξ的特征函数为nn t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式()()()()()()222222112000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.从而对任意的t 有，∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t nt n t tn,2122222οσϕ. 而22t e-是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知dt e x n na P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.成立，证毕.我们知道在n 2221P lim μπμ中dt e x npq np xt n n ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-是服从二项分布.()n k q p C k p kn k k n n ≤≤==-0,μ.的随机变量，dt e x xt ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道⎰+∞-022dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量ξ服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()21x e x p -=π，其特征函数为：()∑⎰∞+=-∞+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=0241!41122i tit x itx i tedx e e t πϕξ， 故 ()()()() +++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!131241!!241212k t k k k t k kkξϕ ，所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k kkk ξϕ,由特征函数的性质 ()()()kk kk k i 2!!120222-=-=E ξϕξ，又 ⎰+∞-=E 0222dx e x x k kξ，故()⎰∞+∞-+--=122!!122k x k k dx e x .即 ()⎰∞++--=0122!!122k x k k dx e x四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。
常见分布的特征函数
常见分布的特征函数特征函数概述特征函数是概率论和数理统计中的常用概念，它是一个复数函数，描述了随机变量的特征信息。
对于一个随机变量X，它的特征函数f(t)定义为：f(t) = E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，E为期望运算符。
特征函数不仅对概率密度函数具有很好的描述和表达作用，还可以描述随机变量的各种性质，比如分布、矩和相关系数等。
下面将具体介绍几种常见的分布的特征函数。
1.正态分布正态分布是自然界中多种现象的分布模式，其概率密度函数在数学上也能很好地描述为高斯函数。
其特征函数如下：f(t) = e^(-t^2/2)该特征函数具有良好的解析性质和奇偶性质，能很好地反映正态分布的对称性和峰态。
2.泊松分布泊松分布是描述单位时间内某个随机事件发生次数的概率分布，例如单位时间内打进一个电话亭电话而来的电话数量、在网球场内接到的球的数量等。
其特征函数如下：f(t) = e^(λ(e^(it)-1))其中λ为单位时间内事件发生的平均次数。
3.指数分布指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，例如寿命、等待时间、顾客到达时间等。
其特征函数如下：f(t) = 1 / (1-it/λ)，其中λ为事件发生的平均速率。
4.卡方分布卡方分布是应用最广泛的概率分布之一，常用于分析样本差异性和偏离程度，例如方差分析、偏度分析、正态性检验等。
其特征函数如下：f(t) = (1-2it)^(-k/2)其中k为自由度。
5. beta分布beta分布是应用广泛的概率分布之一，常用于贝叶斯统计、假设检验、数据挖掘等领域。
其特征函数如下：f(t) = B(a+it,b-it) / B(a,b)其中B(a,b)表示beta函数，a,b为形状参数。
上述几种分布是常见的概率分布，它们的特征函数形式各不相同，但都能很好地反映分布的各种性质和特点，为进一步分析和研究提供了便利。
常用分布函数及特征函数
常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
特征函数与分布函数的关系
特征函数与分布函数的关系
特征函数是概率论与数理统计中的一种重要工具，用于描述随机变量的性质。
它与分布函数密切相关，二者之间有着紧密的联系。
特征函数是指随机变量的复数形式的期望函数，即
E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，t为实数。
它的意义在于，对于任意的t，特征函数都能唯一地描述随机变量X的各种特性，如分布、均值、方差、偏度、峰度等。
特别地，当t=0时，特征函数的值为1，表示随机变量的期望为1。
分布函数是指随机变量取值不超过某个数值时的概率，即
F(x)=P(X<=x)。
它描述了随机变量的取值范围及其概率分布情况。
在统计分析中，分布函数经常用于推断某个事件发生的可能性大小。
特征函数与分布函数的关系可以用逆傅里叶变换来描述。
具体来说，若X的特征函数为φ(t)，则X的分布函数为
F(x)=1/2π∫φ(t)e^(-itx) dt。
反之，若X的分布函数为F(x)，则X的特征函数为φ(t)=∫e^(itx) dF(x)。
这表明，特征函数和分布函数是一一对应的关系，可通过逆傅里叶变换相互转换。
在实际应用中，特征函数与分布函数的关系可用于求解各种随机变量的概率密度函数、累积分布函数、期望值、方差等等。
它对于统计分析和数据建模具有重要的作用，是概率论与数理统计中不可或缺的基础工具。
第3章 特征函数(20110826)
第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。
对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。
因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。
随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。
● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。
求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
特征函数证明中心极限定理
特征函数证明中心极限定理中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它给出了在大样本条件下，随机变量的和服从正态分布的性质。
在证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数这一重要工具。
本文将详细介绍特征函数的定义，性质及其在证明中心极限定理中的应用。
一、特征函数的定义及性质1. 定义特征函数指的是一个随机变量的复数函数，定义为：φ(t) =E(e^(itX))，其中X为随机变量，i为虚数单位。
特征函数是一个对随机变量的完全描述，可以唯一地确定随机变量的分布函数。
2. 性质特征函数具有以下性质：（1）φ(0) = 1，即特征函数在t=0时等于1；（2）φ(t)是连续的，且具有线性性，即对任意实数a、b，有φ(at+b) = e^(ibt)φ(t)；（3）若随机变量X和Y相互独立，则它们的特征函数之积等于它们的和的特征函数之积，即φX+Y(t) = φX(t)φY(t)。
二、特征函数在证明中心极限定理中的应用中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的和Sn = X1 + X2 + ... + Xn在n很大时，服从正态分布。
证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数。
设X1，X2，...，Xn为独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，则它们的和Sn的特征函数为：φS(t) =φX1(t)φX2(t)...φXn(t) = [φ(t)]^n，其中φ(t)为每个随机变量的特征函数。
将特征函数经过复数域上的变换可以得到一个新的特征函数：φ((t-nμ)/σ√n)，即将Sn与其期望nμ和标准差σ√n标准化。
这个函数在n很大时趋近于e^(-t^2/2)，也就是标准正态分布的特征函数。
因此，Sn在n很大时近似于正态分布，其期望为μn，方差为σ^2n。
三、总结特征函数是描述随机变量的重要工具，它唯一地确定了随机变量的分布函数。
在证明中心极限定理中，我们将随机变量的特征函数相乘后通过变换得到新的特征函数，并以此证明了Sn在n很大时服从正态分布的性质。
概率论习题及解答-第四章特征函数
的一个新分割, 且
∑n ∑ m
ξ +η =
(xi + yj )1AiBj .
i=1 j=1
所以由数学期望的定义和概率的有限可加性得
∑n ∑ m
∑n ∑ m
∑n ∑ m
E(ξ + η) =
(xi + yj)P(AiBj) =
xiP(AiBj) +
yj P(AiBj )
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
概率论习题解答
李勇 张余辉
May 30, 2018
1 第四章 数字特征与特征函数
§4.1.4 练习题
练习4.1.1 设 ξ 和 η 均为简单随机变量, 试证明 E(ξ + η) = E(ξ) + E(η).
证明: 不妨假设
∑n ξ = xi1Ai ,
i=1
∑ m η = yj 1Bj ,
j=1
其中 {Ai} 和 {Bj} 均为样本空间的分割. 记 Cij = AiBj, 则 {Cij : 1 i n, 1 j m} 构成样本空间
解: 记 ξ = min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, η = max{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, 则 (ξ, η) 的联合密度函数
p(ξ,η)(x, y) = n(n − 1)(y − x)n−2, 0 < x < y < 1,
所以 ξ 和 η 的边缘密度函数分别为 ∫∞
∑n
∑ m
= xiP(Ai) + yjP(Bj) = E(ξ) + E(η).
i=1
j=1
练习4.1.2 假设简单随机变量 ξ 和 η 相互独立, 试证明
概率论 4.1 特征函数
i 1 i 2
r1 r2
e
i (1 2 )
e
a bi
e (cos b i sin b)
a
一、定义
定义1 设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为
2
复随机变量，这里 i
1, 称
为ζ的数学期望.
复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和 性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如 E 具有与实数 学期望类似的性质. 定义2 设ξ为实随机变量，称
性质7
任何特征函数f (t)在 (−∞, ＋∞)
f(t) 是非负定的： 对任意正整数n及任意实数
n
t 1 , t 2 , , t n ， 复数 1 , ,
，有
0
这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有如下的 波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.
则f (t)是特征函数，它的分布列为
P ( x n ) a n , n 1 ,2 ,
关于分布函数的可加性
特征函数有很多重要的应用. 比如, 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便.
回忆: 所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一 类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中 的参数是ξ与η的相应参数之和. 可加性也称再生性.
事实上我们有如下的波赫纳尔辛钦bochnerkhinchine定理函数f四逆转公式与唯一性定理定理1逆转公式设分布函数fx的特征函数为fitxitx分布函数可由特征函数唯一确定定理2唯一性定理定理3逆傅里叶变换则分布函数fx的导数存在且连续此时dt对应的随机变量必为连续型cost是某随机变量的特征函数
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
《概率论与数理统计》45 特征函数(37P)
E(eit ) E(eitg( ) )
e itg (
x)
dF
(
x)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t都有意义.
k 1 j1
n
n
{
ei(tk
t
j
)
x
d
F
(
x)}k
j
k 1 j1
n
n
{ei(tk t j ) x k j }d F ( x)
k 1 j1
n
(
n
eitk x k )(
eit j x j ) d F ( x)
k 1
j 1
n
2
eitk x k
d F(x) 0
k 1
此性质为特征函数的非负定性.
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量.
复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()
复随机变量 1, 2 ,
,
相互独立，则
n
E( 1 2 n ) E( 1 )E( 2 ) E( n )
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
x2
sin tx e 2
1
x2
t cos tx e 2 d x tf (t)
4. 常见分布的特征函数
概率论--特征函数与极限定理
引进特征函数的目的在于有些问题用分布函 数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随 机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便， 在极限理论的研究中也发挥了很大作用。
如以前我们讲过随机变量X＋Y的分布函数求 法过程比较复杂，实际上经常碰到求 X1+X2+X3+…+Xn 的密度函数，重复使用卷极公式， 非常繁杂。
即
定理三（伯努利大数定律） 设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且
在n次重复独立试验中出现的频率为
即
理论上给出了在大量重复实验下,事件A的 频率依概率收敛于它的概率p.
定理四 (马尔可夫大数定律)
设{
X
k
}是随机变量序列，若
lim
n
1 n2
n
D(
k 1
Xk
)
0
则{X k }服从大数定律。
2. 特征函数的性质
设
是X的特征函数，则
2)特征函数
在R上一致连续
3)特征函数
是非负定的，即对任意实数
及复数
证明
4） 设
是常数，
则
5)随机变量
相互独立，则
此性质可推广至多个
随机变量
相互独立，则
6）设随机变量 则它的特征函数可微分n次，且
特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。
7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。
2、 中心极限定理
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
定理2 （德莫佛—拉普拉斯）
经典概率分布特征函数计算
经典概率分布特征函数计算概率分布是用来描述随机变量可能取值的分布情况的数学函数。
特征函数是一种描述概率分布的方法，它是概率密度函数的傅里叶变换。
通过计算特征函数，可以得到概率分布的各种统计特征，如均值、方差、偏度等。
概率分布的特征函数计算起来较为复杂，需要使用傅里叶变换进行求解。
下面将分别介绍几种常见的概率分布的特征函数计算方法。
正态分布是最常见的分布之一，它的特征函数可以通过对概率密度函数进行傅里叶变换得到。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中μ为均值，σ为标准差。
将概率密度函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = exp(μit-σ^2t^2/2)通过特征函数，可以计算正态分布的各种统计特征。
如，均值μ为特征函数在t=1处的值，即μ=φ(1)；方差σ^2为特征函数在t=0处的二阶导数的负值，即σ^2=-φ''(0)。
伽马分布是一种连续概率分布，它的特征函数也可以通过对概率密度函数进行傅里叶变换得到。
伽马分布的概率密度函数为：f(x) = (1/((β^α) * Γ(α))) * x^(α-1) * exp(-x/β)其中α为形状参数，β为尺度参数，Γ(α)为伽马函数。
将概率密度函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = (1 - itβ)^(-α)其中i为虚数单位。
通过特征函数，可以计算伽马分布的各种统计特征。
如，均值μ为特征函数在t=0处的一阶导数，即μ=φ'(0)；方差σ^2为特征函数在t=0处的二阶导数，即σ^2=φ''(0)。
泊松分布是一种离散概率分布，它的特征函数可以通过对概率质量函数进行傅里叶变换得到。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中λ为平均每个时间区间内事件发生的次数。
将概率质量函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = exp(λ*(e^(it) - 1))通过特征函数，可以计算泊松分布的各种统计特征。
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f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx
9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx
这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1
itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）
3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
(1) 复数的共轭： a bi a bi (2) 复数的模：
一、特征函数的定义
定义 1：设 ξ，η 为实值随机变量，称 ζ=ξ+iη 为复随机变量。 称 Eζ=Eξ+iEη 为复随机变量 ζ 的数学期望
定义 2：若随机变量 X 的分布函数为 FX ( x ) ,则称
f ( t ) Ee
itX
e itx dFX ( x )
为 X 的特征函数。
27
例2 若X~P(1 )、Y~P(2 )，且X与Y相互独立
则Z=X+Y~P(1 2 )
解： f X (t ) e
1 ( e it 1)
, fY (t ) e
2 ( e it 1)
( 1 2） ( e it 1)
由性质4知f Z ( t ) f X ( t ) fY ( t ) e
4.5
特征函数
特征函数定义 特征函数性质 逆转公式与唯一性定理 小结
1
问题的引出
随机变量的数字特征只反映了随机变量的某些 特征，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函 数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标 是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随 机变量的分布函数，该指标就是特征函数.
f ( t ) e itx f ( x )dx e itx
a
b
e itb e ita 1 dx it （b a ) ba
7
二 、特征函数的性质与定理
性质1 性质2
即若X，Y独立，Z=X+Y，则有f Z (t ) f X (t ) fY (t )
| f ( t ) | f (0) 1,
a bi a 2 b2
4
特征函数的计算 1、离散型 x1 p 1
x2 p2
... ...
xk pk
... 则其特征函数为 ...
f ( t )=E (e itX )
k 1
pk e itxk
2、连续型
若 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),则其特征函数为
则Z=X+Y~B(n1 n2 , p)
解： f X (t ) ( peit q)n1 , fY (t ) ( peit q)n2
由性质4知f Z (t ) f X (t ) fY (t ) ( pe it q)n1 n2
进而由唯一性定理知Z~B(n1 n2 , p)
进而由唯一性定理知Z~P(1 2 )
28
性质的应用
例：已知X~N(0,1)，且f ( t ) e Y~N(a, ),求Y的特征函数
2 t2 2
，随机变量
解：因为Y a X,由性质3可知：
f Y (t ) e
i at
e
1 2t 2 2
e
1 iat 2 t 2 2
f ( t ) f ( t ).
性质3
设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
8
证明
性质1 | f ( t ) | f (0) 1,
f ( t ) f ( t ).
证明
| f (t ) | | e | dF ( x ) 1 1dF ( x ) f (0).