传染病的传播及控制分析数学建模

传染病的传播及控制分析摘要 为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。

本文针对该问题建立了SEIR 微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。

我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。

前三者作为传染系统。

我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。

本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。

在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。

在模型建立的基础上，通过Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在=0.4p 时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在=0.3p 时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在=0.6p 时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。

综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。

针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。

关键词：隔离强度潜伏期SEIR 模型一、问题重述：2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。

假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为12a a :天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ(λ为感染率)。

为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。

潜伏期内的患者被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）。

在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。

最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。

二、问题假设：1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。

即：总人口数不变，记为N ；三、符号说明：符号解释说明 S(t)t 时刻正常人（易受感染）人数 E(t) t 时刻疑似患者的人数Q(t)t 时刻处于潜伏期的人数 I(t)t 时刻确诊患者的人数 R(t)t 时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者） β1潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例 β2每日退出传染系统的人数比例 a 3 确诊患者的治愈时间患者的人均日接触人数因接触被感染的概率潜伏期内的患者被隔离的强度 四、问题分析：根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。

我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER 模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。

在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。

再利用matlab 编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。

五、模型的建立和求解：5.1传染病模型的准备不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。

查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I 模型、SI 模型、SIR 模型、SEIR 模型等[2]。

I 模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；SI 模型是I 模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR 模型对SI 模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。

SEIR 模型[3]-[4]对SIR 模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR 模型进行此次建模。

根据题目所给的条件，人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。

根据SEIR 模型重新归类，得到以下结果：（1）健康人群，即易感染（Susceptibles ）人群。

记其数量为S(t)，表示t 时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；（2）确诊患者，即被感染（Infection ）该疾病的人群，记其数量为I(t)，表示t 时刻已经确诊为患者入院的人数；（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E(t)，表示t 时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q(t)表示t 时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。

（5）恢复人群（Recovered ），记其数量为R(t)，表示t 时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。

该传染病的传播流程图如下：图1传染病传播流程图5.2传染病模型的建立[5]传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。

对S 来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S ；对于E 来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；对于I 来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H 中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；对于R 来说，它只有从I 中治愈转化而来的流入者。

以上过程在传染的每一时刻都是相同的。

为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S 、E 、I 、R 取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：1、控制前阶段：前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。

分析控制前t V 阶段时间内，疫情的发展与变化。

（1）正常人-----疑似患者：控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触r 个正常人，假设t 时刻病人人数为()I t ，则新增疑似患者人数为E ∆，()()E I t r t r I t t ∆=⋅⋅∆=⋅⋅∆。

（2）疑似患者-----潜伏期：疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。

设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为λ，假设t 时刻疑似患者人数为()E t ，潜伏期患者人数为()Q t ，则()()Q t E t λ=⋅，故新增潜伏期人数为Q E λ∆=∆⋅。

（3）潜伏期-----确诊患者：因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用1β表示这一特性。

那么新增确诊患者人数为()1I Q t t β∆=⋅⋅∆，现在要确定1β，如果潜伏期天数为1a 到2a ，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有()()21111/t a a e ----概率的人变为猪流感患者，即()()121111/e t a a β-=---。

所以新增患者人数：()()()21111/e t I a a Q t -∆=---⋅∆⋅∆。

（4）确诊患者-----治愈、死亡：设T 为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为3a ，那么3a 天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。

设系统退出率为3a ，则有退出人数()2T I t t β∆=⋅⋅∆。

2β的求解方法与1β相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则()23111/t a e β-=--⋅。

故新退出传染系统的人数()()311/e t T a I t t -∆=-⋅⋅∆。

根据上述:（1）（4）的式子可进一步得出：所以得出以下：2、控制后阶段：两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。

分析控制后阶段t ∆时间内，疫情的发展与变化。

（1）正常人-----疑似患者：控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度p 影响，此时病人每天接触的()'E r I t ∆=⋅⋅∆正常人数目'r 也在变小，假设病人的数目为()I t ，则疑似患者数目。

又因为接触率'r 与隔离强度p 有关，也呈指数分布，所以'pt r r e -=⋅，故新增疑似患者的数目()pt E r e I t t -∆=⋅⋅⋅∆。

（2）疑似患者-----潜伏期：控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例λ不会改变。

假设t 时刻疑似患者人数为()E t ，潜伏期患者人数为()()Q t E t u =⋅，故新增潜伏期人数为Q E u ∆=∆⋅。