初中数学《位似》知识全解
初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
九年级下册位似的知识点
九年级下册位似的知识点位似是九年级下册数学学习的一个重要知识点。
位似是指两个多边形的形状相似，但是大小不同。
在本文中，将探讨位似的定义、性质以及其在实际生活和其他学科中的应用。
一、位似的定义位似，即位置似相似。
在数学中，当两个多边形的对应角相等，并且对应边的比例相等时，我们可以说这两个多边形是位似的。
位似的概念是相似三角形的推广，它不仅适用于三角形，也适用于其他形状的多边形。
二、位似的性质1.对应角相等：两个位似的多边形的对应角是相等的，即对应角的度数相等。
2.对应边比例相等：两个位似的多边形的对应边的长度比例相等，即对应边的比值相等。
3.面积比例相等：两个位似的多边形面积的比例等于对应边的长度比例的平方。
三、位似的应用1.建筑设计：在建筑设计中，位似的概念可以用来设计不同比例的建筑物。
例如，在设计一个模型房屋时，需要按照实际房屋的尺寸比例缩小或放大建模，以便更好地展示设计效果。
2.地图制作：地图是我们生活中常用的工具之一。
在制作地图时，为了让地图更加美观和实用，会使用位似的概念将真实地貌比例缩小到地图上。
3.计算测量：在实际测量中，我们可以利用位似的性质估算无法直接测量的距离或高度。
通过已知的尺寸比例，我们可以推算出未知物体的尺寸。
4.数学推理：位似的概念也在数学推理中得到应用。
利用位似的性质，我们可以推导出多边形的各种性质和公式，从而解决实际问题。
总结：位似作为数学中的一个重要概念，可以帮助我们了解和解决各种实际问题。
通过对位似的定义和性质的掌握，我们可以在实际生活和其他学科中更好地应用数学知识，提高问题解决能力。
同时，位似也是几何学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握位似的概念和性质是非常重要的，将会为他们以后的学习打下坚实的基础。
因此，我们应该通过实际问题的解决和推理，将数学知识与实际应用相结合，以帮助我们更好地理解和应用位似的概念。
通过不断的学习和实践，我们可以在数学学习的道路上取得更好的成绩。
图形的位似—知识讲解--初中数学【名校学案+详细解答】
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O 到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（）.A. 3倍B.21C.31D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比 为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1 A B DE【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△A BC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB ′C ′D ′；（2）填空：△AC ′D ′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB 到B ′，使AB ′=2AB ，得到B 的对应点B ′，同样得到C 、D 的对应点C ′，D ′，再顺次连接即可； G F F'B C G'（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【答案与解析】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【总结升华】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。
九年级数学位似图形知识点
九年级数学位似图形知识点九年级数学的学习内容十分广泛，其中位似图形是一个重要的知识点。
位似图形是指形状、大小不同，但是对应部分之间有相似关系的图形。
它在日常生活中的应用非常广泛，如建筑设计、地图制作等领域。
下面我们将详细了解九年级数学里的位似图形知识点。
一、位似图形的定义和性质位似图形的定义是指两个图形的对应部分之间的边长比相等。
而位似图形的性质主要包括以下几个方面：1. 位似图形的对应角相等：对于两个位似图形，其对应的角一定相等。
这是因为位似图形是通过放缩或旋转得到的，边长比相等就意味着对应的角度不变。
2. 位似图形的各边之间的比例相等：对于位似图形来说，任意两边之间的比例都是相等的。
这是因为位似图形的边长比相等。
3. 位似图形的面积比等于边长比的平方：位似图形的面积比等于边长比的平方。
这是因为放缩一个图形，面积会按照边长比的平方进行缩放。
二、位似图形的判定方法判定两个图形是否位似的方法主要有以下几种：1. 判断边长比例是否相等：如果两个图形的对应边长之间的比例相等，则这两个图形位似。
2. 判断对应角是否相等：如果两个图形的对应角之间的大小相等，则这两个图形位似。
3. 利用面积比相等判定位似：如果两个图形的面积比等于边长比的平方，则这两个图形位似。
三、位似三角形的证明方法位似三角形是位似图形中最常见的一种。
位似三角形的证明方法主要有以下几种：1. AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形位似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形位似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两边夹角相等，并且它们的夹角边对应相等，则这两个三角形位似。
四、位似图形的应用位似图形在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计中，我们经常会使用位似图形来将设计图缩小或放大；在地图制作中，位似图形可以帮助我们将实际距离转化为纸上的距离；在工程测量中，位似图形可以帮助我们计算难以测量的距离和面积。
九年级位似图形知识点
九年级位似图形知识点位似图形是几何学中的一个重要概念，旨在描述两个图形在平面上的相似关系。
在九年级的学习中，位似图形是一个重要的知识点，需要我们对其特性和性质进行深入了解。
下面将对九年级位似图形的相关知识进行详细介绍。
一、位似图形的定义位似图形是指两个图形在形状上相似，但它们的大小可能不同。
也就是说，如果两个图形的相应角度相等，并且对应边的长度之比相等，那么这两个图形就是位似图形。
二、位似图形的性质1. 角度相等性质：两个位似图形的相应角度是相等的，也就是说，它们的对应角度是相等的。
这是因为位似图形的定义中要求相应角度相等。
2. 边比例性质：位似图形的对应边的长度之比相等。
比如，如果两个位似三角形的某两条边之比为a:b，那么这两个位似三角形的所有对应边的长度之比都是a:b。
3. 面积比例性质：位似图形的面积之比等于任意一对相应边的长度之比的平方。
这是因为面积是长度的平方，所以位似图形的面积比例由边的长度比例的平方决定。
三、位似图形的判定方法在九年级的学习中，我们需要掌握一些判定位似图形的方法，以便在做几何题目时能够准确判断图形的相似关系。
1. 角度判定法：当两个图形的所有相应角度均相等时，这两个图形是位似图形。
2. 边比例判定法：当两个位似图形的对应边长度之比相等时，这两个图形是位似图形。
3. 边角比例判定法：当两个位似图形的两对相应边的比例均相等时，这两个图形是位似图形。
四、位似图形的应用位似图形有着广泛的应用，尤其是在几何题目的解答中经常会用到。
以下是一些位似图形的应用场景：1. 尺规作图：利用位似图形的性质可以进行尺规作图，即通过已知图形的位似图形来构造目标图形。
2. 相似比例问题：位似图形常常与比例的概念联系在一起。
在解决相似比例问题时，我们可以利用位似图形的性质来求解未知量。
3. 解决实际问题：位似图形的概念可以帮助我们解决一些实际问题，比如测量高度无法直接测量的物体等。
总结：九年级位似图形是一个重要的几何学知识点，需要我们掌握位似图形的定义、性质、判定方法以及应用。
初中数学知识点精讲精析 位似图形
第五节 位似图形要点精讲（1）位似图形的定义：如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（2）位似图形的性质：如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）位似图形是相似图形的一种特殊情况，利用位似，可以将一个图形放大或缩小。
（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或。
典型例题【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．【答案】解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）【解析】未似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．【例1】 把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的21．【答案】（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如下图。
【解析】：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．。
位似-课件
辅助线构造
在几何证明或解题过程中，有时需要构造辅助线 来帮助解决问题。利用位似变换的性质，可以构 造出具有特殊性质的辅助线，从而简化问题的求 解过程。
解决几何问题
在解决一些几何问题时，可以利用位似变换来简 化问题或找到问题的解决方案。例如，在求解三 角形中的角或边长时，可以通过构造与已知三角 形位似的三角形来找到未知量。
。
案例二
利用位似变换进行图像压缩。介 绍如何利用位似变换进行图像压 缩的原理和步骤，并通过实例展
示其效果和应用价值。
案例三
利用位似思想解决实际问题。通 过具体案例说明如何利用位似思 想解决实际问题，如利用位似分 析物理现象、利用位似设计建筑
结构等。
THANK YOU
02 1. 对应角相等
位似图形中，对应角的大小相 等。
03
2. 对应边成比例
04
位似图形中，对应边的长度之比 等于相似比。
3. 位似中心
在位似变换中，存在一个固定点 （称为位似中心），使得任意一 对对应点与位似中心的连线段之 比等于相似比，且方向相同。
位似变换与相似变换关系
相似变换
相似变换是一种保持形状不变的变换，包括旋转、反射、缩放等。在相似变换下，图形的形状保持不变，但大小 和方向可能发生变化。
位似变换与相似变换的关系
位似变换是相似变换的一种特殊情况。在相似变换中，如果两个图形不仅形状相似，而且大小也成比例，并且存 在一个固定点（位似中心），使得任意一对对应点与位似中心的连线段之比等于相似比且方向相同，则称这两个 图形是位似的。因此，位似变换是相似变换的一个子集。
初三数学位似知识点
初三数学位似知识点
1、位似图形：
如果两个图形不仅是相似的图形，而且每组对应点的连接线在一个点相交，则这两个图形称为位置图形。
连接类位置图中相应点的直线的交点就是类位置中心。
此时，相似性比率也称为类位置比率。
2、位似图形的性质：
段落的任何一对对应点与段落中心在同一条线上，它们与段落中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位置图形的相应角度相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.拟图形的面积比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位置图形的相应边相互平行或在同一条直线上。
3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位
似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
4、位似变换：
把一个几何图形转换变成与之位似的图形,叫作位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用领域极为广为，特别就是可以证明三点共线等问题。
初中数学 人教版九年级下册27.3 位似 课件
OA OB OC OD 2
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
A
B
D
A'
B'
D' C
y A
C. (3，2)
D. (3，1)
C
B
D x
随堂演练
2. 如图，线段CD的两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐
标为(5，0)，则点A的坐标为( B )
A．(2，5)
B．(2.5，5)
C．(3，5)
D．(3，6)
随堂演练
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大 鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大 鱼上的点 (－2a，－2b) .
y 6
B
4 C
2
A″ O
－2
B″ －4
A 6x 4
C″
课堂总结
1.图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等变换
包括平移、旋转、轴对称． (2)相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状，
位似是相似的特殊情况． 2. (1)当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k(k＞0)，对应点为 （kx，ky）；当位似图形在原点两侧时， 其对应顶点的坐标的比为－k，对应点为（﹣kx，﹣ky）.
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1
练习.如图， △ABC三个顶 点坐标分别为 A(2,3)B(2,1)， C(6,2)，以点O 为位似中心， 相似比为2，将 △ABC放大,观 C″ 察对应顶点坐
标的变化，你 有什么发现？
6
4A
2 B
0
B″
A′
B′ C
4
8
C′ 12
A″
探究
如图，△ABC三个顶点坐 标分别为A（2，3），B（ 2，1），C（6，2），以点 O为位似中心，相似比为2 ，将△ABC放大，观察对 应顶点坐标的变化，你有 什么发现？
4 A．(－2，3) B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
4．(5 分)某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，
则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是 (－0.5a，－0.5b)_
．
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1（PPT优秀课件）
A. 2∶1 B．1∶ 2 C．1∶4 D．4∶1
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1（PPT优秀课件）
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1（PPT优秀课件）
8．如图，原点 O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点 A(1，0)与 A′(－2，0)是对应点， △ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是_ 6 _．
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1（PPT优秀课件）
人教版数学九年级下册 . 位似课件-ppt1（PPT优秀课件）
思考题：
1．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，－4)，(－2，b)，则 b 的的 取值为( C )
A．－9 B ．9 C.8 D．－8
初中数学位似变换知识点总结(共6篇)
初中数学位似变换知识点总结第1篇11 有向直线在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l12 数轴我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值上面的内容是初中数学知识点之数轴，相信同学们看过以后都可以很好的掌握了吧。
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初中数学位似变换知识点总结第2篇一、角的定义“静态”概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
“动态”概念：角可以看作是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做钝角;大于0小于直角的角叫做锐角。
二、角的换算：1周角=2平角=4直角=360°;1平角=2直角=180°;1直角=90°;1度=60分=3600秒(即：1°=60′=3600″);1分=60秒(即：1′=60″).三、余角、补角的概念和性质：概念：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。
说明：互补、互余是指两个角的数量关系，没有位置关系。
性质：同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等。
四、角的比较方法：角的大小比较，有两种方法：(1)度量法(利用量角器);(2)叠合法(利用圆规和直尺)。
五、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线。
把这个角分成相等的两部分，这条射线叫做这个角的平分线。
常见考法(1)考查与时钟有关的问题;(2)角的计算与度量。
误区提醒角的度、分、秒单位的换算是60进制，而不是10进制，换算时易受10进制影响而出错。
人教版九年级下册数学 27.3 位似图形概念 (共24张PPT)
相似
对应点的连 线相交一点
对应边平行，（或 者在同一条直线上）
1. 判断下列各对图形是不是位似图形. （1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′； 是 （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 是
思考：是否相似图形都是位似图形？
判断下面的正方形是不是位似图形？
A
D
不是
E
F
（1）
下面请欣赏如下图形的变换
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四 边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你 发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么 特征？
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所 在的直线都经过同一点,对应边互相平行 （或者在同一条直线上）,那么这样的两个 图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.此 时的相似比叫做位似比。
B
C
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不 一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
2. 位似图形的性质 A〞(-2,-1),B(-2,0)
A〞(-2,-1),B(-2,0)
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
OA
你还有其从他第办法吗(?1试)试，看.(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O
以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
A′B′,则OA′
＝
A〞(-2,-1),B(-2,0)
OB AB A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
AF AP AE EP FP
如在O何平B把 面′三直角角＝形坐标AAB系C′中放,大B△′为A原BC来三.的从个2倍顶第?点的（坐标3）分别图为A中(2,3同),B(样2,1)可,C(6以,2),以看原点到O为AD位似＝中心A,C相似＝比为A2B画它＝的位BC似图＝形. DC
位似的概念
动手操作 探究新知
利用位似，可以将一个图形放大或缩小． 怎样把四边形 ABCD 缩小到原来的1 呢？ 2
A
B
D
D＇ C
用
动手操作 探究新知
1．在四边形外任选一点 O ．
2．分别在线段 OA，OB，OD＇，使得
OOAA＇=
OOBB＇=
OOCC＇=
OODD＇=
1 2
展
观察猜想 提出问题
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，它 们有什么特征？
学
认真学习 归纳新知
观看视频
学
细心辨析 归纳定义
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交 于一点，对应边平行（或在同一条直线上），那么这样 的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这时 的相似比又叫位似比.
相似
明 平行 确
对应顶点的连线相交于一点
学
活学活用
判断下列各对图形是不是位似图形.
用
思考：是否相似图形都是位似图形？
活学活用
A
（1） B
D
E
F
C
G
不是
展
活学活用
用
如何确定下列位似图形的位似中心？
活学活用
若△ABC与△ A＇B＇C＇的相似比为1:2，则OA：OA=
A’
A
B
B’
O
C
C’
用
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比相 似比.
用
归纳小结 自我完善
（1）本节课你学习了哪些知识？ （2）举例说明如何利用位似，将一个图形放大或 缩小． （3）本节课运用了什么样的数学思想方法研究问 题？
布置作业
教科书第 48 页练习 第 1，2 题； 教科书习题 27.3 第 2，4 题．
位似--课件
-6
-8
B"
2. 如图，△ABC三个顶 点坐标分别为A（2，－
2），B（4，－5），C C"
（5，－2），以原点O为
8 6
A" 4
2
位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍．
-12 -10-9-8 -6 -4
-2 O 2 4 6
-2 A
C
-4 A'
-6
B
8 9 101112
C'
-8
解：
B'
A'（ 4 ，－ 4 ），B ' （ 8 ， － 10 ），C ' （ 10 ，－4 ），
（1） 从上面练习第 1(1)(4)题图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,
则 OA OA′
＝ OB OB′
＝ AB A′B′
.从第
2
题的图中同样可以看到AADF
＝AACP
＝AAEB ＝BECP ＝DFPC
一般地，位似图形有以下性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于位似比.
是 （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与 △CDO
是
不是
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
是
是
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（5）反比例函数 y＝6x （x>0）的图像与 y＝x6 （x<0）的图像 （6）扇形ABC与扇形A′B′C′，
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形， 例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏 幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通 过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
初中数学位似变换知识点总结
初中数学位似变换知识点总结初中数学位似变换知识点总结复习中什么要多抓多练,这一点很重要,以下是小编整理的初中数学位似变换知识点总结，欢迎大家学习！初中数学位似知识点总结（一）1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的突破方法（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．初中数学位变换练习题（二）一、选择题1．下列说法正确的是（）．A．相似的两个五边形一定是位似图形B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形C．两个位似图形一定是相似图形D．所有的正方形都是位似图形考查目的'：考查位似图形的概念．答案：C．解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C．2．两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是（）A．16 B．32 C．48 D．64考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：A．解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比．相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64．故答案应选择A．3．如图，以点A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBCE的面积，则S1∶S2=（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3考查目的：考查位似图形的性质和画法．答案：B．解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，△ADE与△ABC相似比为1∶2，则面积比为1∶4，所以△ADE与四边形DBCE的面积比为1∶3，故答案应选择B．二、填空题4．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为1:2．若五边形ABCDE的面积为17 cm2，周长为20 cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________ cm2，周长为________ cm．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：68；40．解析：位似图形必定相似，相似比是1∶2，则面积比是1∶4，故五边形A′B′C′D′E′的面积应是68cm2；周长是40 cm．5．如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为________ cm．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：50．解析：位似图形一定是相似图形，具备相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶5，则周长比是3∶5，故答案应是50．三、解答题6．利用位似的方法把下图缩小到原来的一半，要求所作的图形在原图内部．考查目的：考查位似图形的画法．答案：解析：利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心取在原图内部，（1）在五边形ABCDE内部任取一点O．（2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE．（3）分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′，使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2∶1．（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′．得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．7．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1．6 m，他的影长是2 m．（1）图中△ABC与△ADE是否位似？为什么？（2）求古塔的高度．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：△ABC与△ADE位似；古塔的高度为16 m．解析：根据位似图形的概念，△ABC与△ADE中，BC与DE平行，两个三角形相似，且对应顶点的连线相交于一点，所以△ABC与△ADE 位似．利用相似三角形对应边成比例，可求出DE的长，故古塔的高度是16 m．。
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《位似》知识全解
课标要求
理解位似图形的概念及性质，并会利用位似将一个图形放大或缩小。
知识结构
（1）位似图形：对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个相似图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似形的有关性质：①两个位似形一定是相似形；②各对对应顶点所在的直线都经过同一点；③各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比．（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应的坐标的比等于k或-k．
内容解析
位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的．教科书在本节重点研究了这种变换，教科书在给出位似变换概念的基础上，重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小，以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化．最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结，要求学生在一个图形中辨析这些变换，并能综合利用这些变换进行一些图案设计．
重点难点
利用位似变换将一个图形放大或缩小．
教法导引
教师要引导学生亲自动手按要求画已知图形的位似图形,观察总结规律．教师可以利用《几何画板》等教学软件进行直观演示，培养学生应用数学变换进行绘图的意识．学法建议
注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．。