第15讲 位似图形

第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。

2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。

3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。

知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。

知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。

（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。

知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。

2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。

（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。

（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。

（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。

（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。

3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。

2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。

旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。

位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。

相似变换（放大、缩小或不变）考法01 位似多边形【典例1】如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）能力拓展A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．MO∥BC且BM＝CO【即学即练】如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【典例2】在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．【即学即练】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMRC．四边形NHMQ D．四边形NHMR考法02 位似图形的性质【典例3】下列三个关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；其中正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【即学即练】下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似．A．1个B．3个C．4个D．2个【典例4】按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（）A．点O为位似中心且位似比为1：2B．△ABC与△DEF是位似图形C．△ABC与△DEF是相似图形D．△ABC与△DEF的面积之比为4：1【即学即练】如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（）A．23B．43C．83D．163考法03 平面直角坐标系中的位似变换【典例5】如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（）A ．﹣2aB ．2aC ．12a -D ．12a【即学即练】如图，ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是()1,0，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''△，使A B C ''△与ABC 的位似比为2:1，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ′的横坐标是( )A ．22a --B ．21a -+C ．22a -+D ．23a -+【典例6】如图，在ABC 中，点A 的坐标为()3,6，以原点O 为位似中心，将ABC 位似缩小后得到A B C '''．若点A '的坐标为()1,2，A B C '''的面积为1，则ABC 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【即学即练】如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（ ）A ．4B ．6C ．9D ．16题组A 基础过关练1．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6），B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣3，1）C ．（﹣3，﹣1）或（3，1）D ．（﹣1，2）或（1，﹣2）3．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1C 1∥AC ，C 1为OC 的中点，△A 1B 1C 1面积是5，则△ABC 的面积为（ ）A ．10B ．20C ．25D ．504．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中:1:2OA OD =，若4AB =，则DE 的长为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．如图，ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 在x 轴上．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形11A B C ，并把ABC 的边长放大到原来的2倍．设点A 的纵坐标是a ，则点1A 的纵坐标是（ ）分层提分A ．12a -B ．12aC ．2a -D ．2a6．如图，四边形1111D C B A 和四边形是以点O 为位似中心的位似图形，若1:5:3OA OA =，则四边形ABCD 与四边形1111D C B A 的面积比为（ ）A ．5:3B ．5:3C ．5:9D ．5:97．如图，以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD ，OA ＝2，OC ＝5，则ABCD＝___．8．如图，△ABC 与△111A B C 是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A （1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是______．9．如图，△EFD 和△CFB 是以点F 为位似中心的位似图形，EF ：FC ＝1：2，若S △EFD ＝1，求四边形EBCD 的面积．10．如图、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （2，3），C （1，2）．(1)画出与△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，在第三象限内画一个△A 2B 2C 2，使它与△ABC 的相似比为2:1，并写出点B 2的坐标．题组B 能力提升练1．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．902．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中:2:1OA OD =，若4AB =，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．163．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ） A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：14．如图，以C (0，1)为位似中心，在y 轴右侧作ABC 位似图形A B C ''，使所作图形与原图形位似比为1：2，设点A 的坐标为(-3，4)，则点A '的坐标为（ ）A ．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫⎪⎝⎭5．如图，以点O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的2倍得到A B C '''，以下说法正确的有（ ）个①:1:2ABC A B C S S '''=△△ ②:1:2AB A B ''=③点A ，O ，A '三点在同一条直线上 ④BC B C ''∥ A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6）、B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣9，1）或（9，﹣1）D ．（﹣3，﹣1）或（3，1）7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为13．点A 、B 、E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为 ________．8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．9．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．10．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．(1)求证：△ADP∽△BCP；(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．题组C 培优拔尖练1．如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB:OB1=1:2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（）A ．6B ．9C ．12D ．182．在平面直角坐标系中，已知点E （－4，2），F （－3，－3），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（－8，4）C ．（－8，4）或（8，－4）D ．（－2，1）或（2，－1）3．如图，在网格图中，以O 为位似中心，把△ABC 缩小到原来的12，则点A 的对应点为（ ）A ．D 点B ．E 点C ．D 点或G 点 D ．D 点或 F 点4．如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233////A B A B A B ，213243////A B A B A B ．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．10.5故选D ．5．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝8，DC ＝7，则AB 的值为（ ）A．15 B．20 C．22+7 D．22+76．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形A B C D''''与正方形ABCD是以AC的中点O'为中心的位似图形，已知32AC=，若点A'的坐标为(1,2)，则正方形A B C D''''与正方形ABCD的相似比是（）A．16B．13C．12D．237．如图，已知ABC和EDC△是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线AB同侧ABC和EDC△的周长之比为1:2，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．8．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=12CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=__．9．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC的顶点都在格点上．(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将ABC放大为原来的2倍后的位似图形111A B C△；(2)已知ABC的面积为72，则111A B C△的面积是多少？10．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．(1)当DE∥BC时，如图1．①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．。