第一章量子力学基础习题
chapter1 量子力学基础知识习题解答
λ/nm
v /1014 s−1
312.5 9.59
365.0 8.21
404.7 7.41
546.1 5.49
Ek/10-19J
3.41
2.56
1.95
0.75
由表中数据作图，示于图 1.2 中
由式 hν = hν 0 + Ek 推知
E /10-19J k
4 3 2 1 0
4 5 6 7 8 9 10 ν/1014g-1
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
4
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【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。 线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算 符。
1
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Aˆ (c1ψ1 + c2ψ 2 ) = c1Aˆψ1 + c2 Aˆψ 2
∫ ∫ 自厄算符：满足
ψ
* 2
(
Aˆψ
1
)dτ
=
ψ 2 ( Aˆψ1)*dτ 的算符。
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为 1000V，电子运动速度的不确定度 ∆v
为 v 的 10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
∆x = h =
量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第一章量子力学基础例题与习题
第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题⼀、练习题1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。
( )解：光⼦波长⾃由电⼦300g⼩球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。
解：6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。
其值是多少？若⽆，求其平均值。
解：⾓动量⾓动量平均值7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。
(2)⼆维势箱中的10个电⼦。
(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。
当，⼏率P怎样变？解：10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？解：12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。
chapter1 量子力学基础知识习题解答
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
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【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
图 1.2 金属的 Ek ~ ν 图
3
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h = Ek = ∆Ek ν −ν 0 ∆ν
即 Planck 常数等于 Ek − v 图的斜率。选取两合适点，将 Ek 和 v 值带入上式，即可求出 h 。
例如：
h
=
(2.7 −1.05) ×10−19 J (8.50 − 6.00) ×1014 s−1
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01.量子力学基础知识
本章主要知识点
一、微观粒子的运动特征
1.
波粒二象性： E
= hν , p =
h λ
2. 测不准原理： ∆x∆px ≥ h, ∆y∆py ≥ h, ∆z∆pz ≥ h, ∆t, ∆E ≥ h
3. 能量量子化
二、量子力学基本假设
1. 假设 1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ (x, y, z,t) 来
相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反
对称的。
三、箱中粒子的 Schrödinger 方程及其解
1. 一维无限势阱的 Schrödinger 方程：
− 2 d2ψ 2m dx2
= Eψ
其解为：ψ n (x) =
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题(一) 单项选择题1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是A. 1.2. B. 1.5. C. 2.1. D. 2.5.2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是A.1.3. B. 0.9. C. 0.5. D. 1.8.3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是A.1.4. B.1.9.C.1.17. D. 2.0.4.温度T=1k时，具有动能(为Boltzeman常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8. B. 5.6. C. 10. D. 12.6.5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（）A.. B..C.. D..6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是A.5.2. B. 7.1. C. 8.4. D. 9.4.7.钾的脱出功是2ev，当波长为3500的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25J. B. 1.25J.C. 0.25J. D. 1.25J.8.当氢原子放出一个具有频率的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A.. B.. C.. D..pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.10.Davisson 和Germer 的实验证实了A. 电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱中运动，设粒子的状态由描写，其归一化常数C为A.. B.. C.. D..12. 设，在范围内找到粒子的几率为A.. B.. C.. D..13. 设粒子的波函数为，在范围内找到粒子的几率为A.. B..C.. D..14.设和分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态的几率分布为A..B.+.C.+.D.+.15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数,,,.其中定态波函数是A.. B.和. C.. D.和.18.若波函数归一化，则A.和都是归一化的波函数.B.是归一化的波函数，而不是归一化的波函数.C.不是归一化的波函数，而是归一化的波函数.D.和都不是归一化的波函数.(其中为任意实数)19.波函数、(为任意常数)，A.与描写粒子的状态不同.B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:.C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是.D.与描写粒子的状态相同.20.波函数的傅里叶变换式是A..B..C..D..21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6).22.两个粒子的薛定谔方程是A.B.C.D.23.几率流密度矢量的表达式为A..B..C..D..24.质量流密度矢量的表达式为A...C..D..25. 电流密度矢量的表达式为A..B..C..D..26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B., D..28. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A., B., C., D..29. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B., C., D..30. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A., B., C., D..31. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是 A., B., C., D..32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.33.线性谐振子的能级为A..B..C..D..34.线性谐振子的第一激发态的波函数为,其位置几率分布最大处为A.. B.. C.. D..35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.36.线性谐振子的能量本征方程是A..B..C..D..37.氢原子的能级为A..B..C.. D..38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.. B..C.. D..39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.. B..C.. D..40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符为厄密算符的定义是A..B..C..D..41.和是厄密算符,则A.必为厄密算符. B.必为厄密算符.C.必为厄密算符.D.必为厄密算符.42.已知算符和,则A.和都是厄密算符. B.必是厄密算符.C.必是厄密算符.D.必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)A.. B..C.. D.45.角动量Z分量的归一化本征函数为A.. B..C.. D..46.波函数A. 是的本征函数,不是的本征函数.B. 不是的本征函数,是的本征函数.C. 是、的共同本征函数.D. 即不是的本征函数,也不是的本征函数.47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是 A.. B.. C.. D..51.设体系处于状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.. B..C.. D..52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.. B.. C.. D..53. 接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为A.. B..C.. D..54. 接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为A.. B.. C.. D..55. 接51题,该体系的能量的平均值为A..B..C.. D..56.体系处于状态,则体系的动量取值为A.. B.. C.. D..57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3.58.接56题, 体系的动量平均值为A.. B.. C.. D..59.一振子处于态中,则该振子能量取值分别为A.. B..C.. D..60.接上题,该振子的能量取值的几率分别为A.. B.,.C.,. D..61.接59题,该振子的能量平均值为A. .B..C.. D..62.对易关系等于(为的任意函数) A..B..C.. D..63. 对易关系等于A.. B..C.. D..64.对易关系等于A.. B.. C.. D..65. 对易关系等于A.. B.. C.. D..66. 对易关系等于A.. B.. C.. D..67. 对易关系等于A.. B.. C.. D..68. 对易关系等于A.. B.. C.. D..69. 对易关系等于A.. B.. C.. D..70. 对易关系等于A.. B.. C.. D..71. 对易关系等于A.. B.. C.. D..72. 对易关系等于A.. B.. C.. D..73. 对易关系等于A.. B.. C.. D..74. 对易关系等于A.. B.. C.. D..75. 对易关系等于A.. B.. C.. D..76. 对易关系等于A.. B.. C.. D..77.对易式等于A.. B.. C.. D..78. 对易式等于(m,n为任意正整数) A.. B.. C.. D..79.对易式等于A.. B.. C.. D..80. .对易式等于(c为任意常数) A.. B.. C.. D..81.算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A.. B..C.. D..82.已知,则和的测不准关系是 A.. B..C.. D..83. 算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A..B..C..D..84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A..B..C..D..85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.. B..C.. D..86. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子,其状态为,则在此态中体系能量的可测值为A., B.,C., D..87.接上题,能量可测值、出现的几率分别为A.1/4,3/4.B. 3/4,1/4.C.1/2, 1/2.D. 0,1.88.接86题,能量的平均值为A., B., C., D..89.若一算符的逆算符存在,则等于A. 1.B. 0.C. -1.D. 2.90.如果力学量算符和满足对易关系, 则A.和一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.B.和一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C.和不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D.和不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值A. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.92.对易关系式等于A.. B..C.. D..93.定义算符, 则等于A.. B.. C.. D..94.接上题, 则等于A.. B.. C.. D..95. 接93题, 则等于A.. B.. C.. D..96.氢原子的能量本征函数A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.97.体系处于态中,则A.是体系角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z分量算符的本征函数.98.对易关系式等于A.. B.C.. D..99.动量为的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是,它在动量表象中的表示是A.. B.. C.. D..100.力学量算符对应于本征值为的本征函数在坐标表象中的表示是A.. B.. C.. D..101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为,其中、是其能量本征函数,则在能量表象中的表示是A..B..C..D..102.线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A.. B.. C.. D..103. 线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A.. B..C.. D..104.在()的共同表象中,波函数,在该态中的平均值为A.. B.. C.. D. 0.105.算符只有分立的本征值,对应的本征函数是,则算符在表象中的矩阵元的表示是A..B..C..D..106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是A. 以本征值为对角元素的对角方阵.B. 一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符在动量表象中的微分形式是A.. B.. C.. D..108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 A.. B..C.. D..109.在表象中,其本征值是A.. B. 0. C.. D..110.接上题,的归一化本征态分别为 A.. B..C.. D..111.幺正矩阵的定义式为 A.. B.. C.. D..112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢. 113.算符,则对易关系式等于A.. B..C.. D..114.非简并定态微扰理论中第个能级的表达式是(考虑二级近似)A..B..C..D..115. 非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为A.. B.. C.. D..116. 非简并定态微扰理论中第个能级的二级修正项为A.. B..C.. D..117. 非简并定态微扰理论中第个波函数一级修正项为A..B..C..D..118.沿方向加一均匀外电场,带电为且质量为的线性谐振子的哈密顿为A..B..C..D..119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.. B..C.. D..120.转动惯量为I，电偶极矩为的空间转子处于均匀电场中,则该体系的哈密顿为A.. B..C.. D..121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A..B..C..D..122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态跃迁到终态的几率为A..B..C..D..124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是A. 写出体系的哈密顿.B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋. 126.为自旋角动量算符,则等于A.. B.. C..D..127.为Pauli算符,则等于A.. B.. C.. D..128.单电子的自旋角动量平方算符的本征值为A.. B.. C.. D..129.单电子的Pauli算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.130.Pauli算符的三个分量之积等于A. 0.B. 1.C.. D..131.电子自旋角动量的分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..132. 电子自旋角动量的y分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..133. 电子自旋角动量的z分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..134.是角动量算符,,则等于A.. B.. C. 1 . D. 0 .135.接上题,等于A.. B.. C.. D. 0.136.接134题,等于A.. B.. C.. D. 0.137.一电子处于自旋态中,则的可测值分别为A.. B..C.. D..138.接上题,测得为的几率分别是A.. B.. C..D..139.接137题,的平均值为A. 0.B..C.. D..140.在表象中,,则在该态中的可测值分别为A.. B.. C.. D..141.接上题,测量。
第一章量子力学基础习题
第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
第一章 量子力学基础习题1
sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
结构化学习题
第一章 量子力学基础重点：De Broglie 公式 p =h /λ不确定度关系 ΔχΔp x >=h合格波函数的要求：单值、连续、平方可积本征值、本征态、本征方程一维势箱的处理（离域）1. │ψ│2对一个电子来说，其物理意义为___电子在某一空间出现的概率密度_______。
2. 测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。
当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子h ν， 若激发态的寿命为10-9 s ，试问ν的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少(单位cm -1)∆E =π2h /∆t = ∆(h ν) = h ∆ν ∆ν = 1/(2π∆t ) = 1/(2π×10-9) = 1.59×108 s -1∆ν~ = ∆ν/c = 1.59×108 s -1/3×1010 cm·s -1= 5.3×10-3 cm -13. 下列函数中(A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2ekx - (1) 哪些是dxd 的本征函数；--------------------------------------------------------- (B C) (2) 哪些是的22dxd 本征函数； ---------------------------------------------------- (A B C) (3) 哪些是22dxd 和dx d 的共同本征函数。
----------------------------------------- ( B C ) 4. 一个在一维势箱中运动的粒子，(1) 其能量随着量子数n 的增大：-------------------------------------------------------- ( B)(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变(2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-----------------------------------------( A )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变第二章 原子结构和性质重点：ψ（x,y,z,t ）--- ψ（x,y,z ）---ψ（r,θ,φ）---()()()r θφR ⋅⋅ΘΦ四个量子数的意义电子云图形屏蔽效应 钻穿效应基态电子排布式元素周期律 1. H 原子的()φr,θψ,可以写作()()()φθr R ΦΘ,,三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数 n ，l ， m 来规定。
第一章 量子力学基础习题20111019
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无 确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。 解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解： ＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a
第一章 量子力学基础课后习题
第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。
黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。
况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。
实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。
这一结果用经典理论无法解释。
（2）光电效应。
光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。
实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。
（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。
经典物理学不能解释原子的稳定性问题。
原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。
定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。
这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。
评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。
对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。
但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。
由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。
量子化学习题集
(2) x, x2, 3x21; (3) sinx, cosx;
(4) sinx, cosx, tanx;
(5)
sin2x, cos2x, 1;
(6) sinx, cosx, eix (7) sin2x, cos2y, 1
2.2 三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？
ˆ x (2)p ˆx (1) p
2ˆ2 ˆ2ˆ2ˆ2 ˆ xS ˆ y, S ˆy ˆ xS (2) 化简下面算符：S S z, S xS yS z
3.7 计算下列积分: ˆ z|0,0; (1)0,0|M ˆ +M ˆ |2,0; (4) 2,0|M 3.8 计算下列积分: ˆ z|py; (1) px|M ˆ +|py; (2) px|M ˆ y|px; (3) pz|M ˆ x|py (4)pz|M ˆ x|px (5) pz|M ˆ +|2,0; (2)2,1|M ˆ +|2,0 ˆ M (5) 2,0|M
x e
0
n qx
dx
n! q n 1
n 1, q 0 b0 b 0, n 1, 2,3... a 0, n 0,1, 2, ...
e
0 0
bx 2
dx
1 2 b
x
t
2 n bx 2
e
dx
(2n)! 2 n 1 2 n 1 2 n! b
判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？
(1) sinx (2) cosx (3) tanx
(4) ex
(5) 12
(6)22x
2.6 对谐振子 v=1 的态，求粒子最可能的位置 2.7 对氢原子的基态，求(1) r 的平均值；(2) r 的最可几值；(3)求 2p 态的r 2.8 证明对于定态，T+V=E 2.9 计算氢原子基态的T，V 2.10 已知,力学量 A 的不确定度为A， A
第一章 量子力学基础知识 (1)
第一章量子力学基础知识1.填空题(1) Ψ是描述的波函数(北京大学1993年考研试题)(2) 实物粒子波动性假设由首先提出来的，实物粒子的波是波。
(3) 德布罗意假设首先由戴维逊和革末用实验证实的。
(4) 在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量。
(5)Planck提出，标志着量子理论的诞生。
(中山大学1998年考研试题)(6) 一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态，在处概率密度最大。
(7) 边长为l的立方势箱中粒子的零点能为。
(北京大学1993年考研试题)(8) 边长为l的一维势箱中粒子的零点能为。
(9) 有一质量为m的粒子在一维势箱中运动，其Schrödinger方程为。
(中山大学1998年考研试题)(10) 一维势箱的长度增加，其粒子量子效应(填增强、不变或减弱)。
2. 选择题(1)粒子处于定态意味着：( )A、粒子处于静止状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子处于概率最大的状态D、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态(2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻t在空间某处发现粒子的概率与下面哪种形式的波函数成正比。
( )A、|Ψ|B、|Ψ |2C、|Ψ |1..5D、xy| Ψ|(3)指出下列条件，哪一个不是态函数的标准化条件？( )A、单值B、正交归一C、有限D、连续(4)微观粒子的不确定关系式，如下哪种表述正确？( )A、坐标和能量无确定值B、坐标和能量不可能同时有确定值C、若坐标准确量很小，则动量有确定值D、动量值越不正确，坐标值也越不正确(5)波长为662.6 pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )A 、546 : 1B 、273 : 1C 、1 : 35D 、106 : 4515(6)一电子被1000 V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？ ( )A 、X 光区(约10-10 m)B 、紫外区(约10-7 m)C 、可见光区(约10-6 m)D 、红外区(约10-5 m)(7)已知一维谐振子的势能表达式V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为： ( )A 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222212 B 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222212 C 、ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-22212 D 、 ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇22212 (8)由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是： ( )A 、可取任一整数B 、与势箱宽度一起决定节点数C 、能量与n 2成正比D 、对应于可能的简并态(9)立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为(中山大学1993年考研试题)： ( )A 、5,20B 、6,6C 、5, 11D 、6, 17(10)质量为2×10-31g 的粒子运动速度为3×106 m/s ，速度不确定度为10%，则其位置的不确定度至少为： ( )A 、1.11 nmB 、11.1 μmC 、111 pmD 、111 Å(11)金属钾的临阈频率为5.46×1015 s -1，把它当作光电池的阴极，下列哪种频率的光能使它产生光电效应？ ( )A 、5.0×1015 s -1B 、4.0×1015 s -1C 、5.64×1014 s -1D 、2.0×1016 s -1(12)运动速度为2.00×105m/s 的电子波长为 ( )A 、3.64 pmB 、36.4 nmC 、3.64 nmD 、34.6 pm(13)一维势箱中粒子的运动波函数φ5的节点数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7(14)长度为a 的一维势箱中粒子(质量为m )从第3个能级跃迁到第4个能级所产生的吸收光谱频率为： ( )A 、28ml hB 、285ml hC 、287ml hD 、2812ml h (15)下列四种波中既不是机械波也不是电磁波的是： ( )A 、声波B 、光波C 、水波D 、实物粒子波(16)比较下列能量哪个最大？ ( )A 、1 cm -1B 、1 eVC 、1 kJ/molD 、1 a.u.(17)已知电子位置的不确定度为5×10-7m ，则电子运动速度的不确定度至少为： ( )A 、1.45×103 m s -1B 、1.45×104 m s -1C 、3.65×104 m s -1D 、3.65×105 m s -1(18)在长L=0.75 nm 的一维势箱中运动的H 原子，其de Broglie 波长的最大值是: ···( )A 、0.75 nmB 、1 nmC 、1.5 nmD 、2.0 nm3. 判断题(1)黑体辐射实验能用于经典物理学来解释。
量子力学第一章习题
第一章 绪论1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即b T m =λ(常量)并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.解: 能量密度公式 581hc kT hc d d e λλπλρλλ=-则可由0=λρλd d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即0511=--λλλkT hc kT hc e e kT hc 若令 x kT hcm =λ, 则 0511=--xx e xe 即 015=-+-x e x这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为显然 238236.62610 2.991028971.3810 4.9651m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clearx0=1 %建立初始量题1.1图fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clearx0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.96511.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 Eh ph μλ2==而 12121084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)故()272780206.626107.0827107.08279.3466610A cm λ----⨯===⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 23=(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 Ehp h μλ2==. 对于氦原子16103812323-⨯⨯==.kT E (尔格),242410686106714--⨯=⨯⨯=..μ(克), 1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径.已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24109-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰== 3210,,,n h n dq p i i i i(1) 求一维谐振子的能量一维谐振子的能量 222212q p E μωμ+= 整理为如下形式:这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为E a μ2=, 22μωEb =.于是由最后一个等式,立即得到:(2) 求电子轨道的可能半径电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量对应的广义坐标为ϕ,则 由上式得Rnhv πμ2=(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力Rv 2μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即亦即eBRv μ=(2)比较(1)和(2),消去v 便得到现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：222222221112222B e B R e B n eT v nB nBM eB μμμμμμ===== (2B e M μ=波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩 2v Rπ代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得 因此与磁场B 的作用能为所以带电粒子总能量为222B eBeE T V nnB nM B μμ=+===。
量子力学第一章例题
第一章例题
1.2利用玻尔一索末菲的量子化条件求一维谐振子的能量。
解方法一：
按经典力学，质量为，角频率为的一维谐振子的能量
（a）
可改写成如下形式
（b）
上式是椭圆方程（右图），两半轴a、b分别为
利用量子化条件
（c）
但椭圆面积=
代入（c）得
方法二：
设谐振子位置可表示为
（d）
显然（e）
谐振子能量
将p、q代入上式得
利用（d）、（e）计算
半此代入量子化条件
得
即
代入（f），即得谐振子能量 E=nhv
1.3用玻尔一索末菲量子化条件求质量为的料子在长为l的一维盒子中作自由运动的能量。
解如图所示，设粒子开始时以速度v向右运动，设与右壁作弹性撞碰，动量数值不变方向相反，由量子化条件
得
粒子能量。
量子力学基础习题
《量子力学》基础习题1．在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。
2．氦原子的动能是kTE 23=（k 为玻耳兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布洛意波长。
3．设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。
如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
6．由下列两定态波函数计算几率流密度；（1）ikre r11=ψ， （2）ikre r-=12ψ7．求粒子在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥≤∞<<=a x x ax x V 或0,0,0)(中运动的能级和波函数。
8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是a A 1='。
9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。
10．一维运动的粒子处于如下状态：⎩⎨⎧=-0)(xAxe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，(1) (1) 将此波函数归一化，(2) (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ， 求 (1)在球壳)(dr r r +→中找到粒子的几率， (2)在),(ϕθ方向，立体角元Ωd 中找到粒子的几率。
12． 求三维各向同性谐掁子)(212222z y x U ++=μω的能级和波函数。
13．设1ψ和2ψ都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E ，试证明：=-1221ψψψψdx ddx d constant.14．上题中，若1ψ和2ψ描述的都是束缚态，试证明1ψ和2ψ只相差一个常数因子。
(提示：所谓束缚态，即当∞→x 时有0=ψ) 15．一维线性谐振子处于基态ti x e ωαπαψ221022--=，求（1）势能的平均值>=<2221x U μω（2）动能的平均值>=<μ22p T （3）动量的几率分布函数。
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第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
8. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 （A ）康普顿实验 （B ）卢瑟福实验（C ）戴维逊——革末实验 （D ）斯特恩——盖拉赫实验 [ D ] 9. 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数（,,,l s n l m m ）是（1）12,1,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）12,1,0,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）12,1,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）12,1,1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭以上四种取值中，那些是正确的？（A ）只有（1）（2）是正确的 （B ）只有（2）（3）是正确的 （C ）只有（2）（3）（4）是正确的（D ）全部是正确的 [ C ] 10. 在热平衡状态下，黑体的辐出度M （T ）与（ ）成正比。
A ．T B ．T 2C ．T 3D ．T 4D分析：斯忒藩公式M （T ）=σT 411. 设有两个黑体，它们的热平衡温度分别为T 1、T 2（T 1>T 2），那么，对应于各自的最大单色辐出度的波长λ1、λ2之间的关系为（ ）A ．λ1=λ2B ．λ1<λ2C ．λ1>λ2D ．λ1=2λ2B分析：由λm T=b 可知T 越高，λm 越小，所以λ1<λ212. 一束紫外光照射到金属铯的表面产生光电效应，其光电流的强度决定于（ ） A 、临界频率B 、驰豫时间C 、入射光强度D 、遏止电位C分析：光电流的强度主要决定于光电子的数量，而后者又主要决定于入射光的照射强度。
13. 一束紫外光照射到某种金属的表面产生光电效应，其光电子的动能决定于（）A．入射光强度B．入射光频率C．脱出功D．驰豫时间B分析：由光电方程Ahm-=νυ22可直接看出ν增加，22υm也增加。
14. 设微观自由粒子的速度远小于光速，则根据德布罗意关系，该粒子的波函数可表示成（）A．球面波B．单色球面波C．平面波D．单色平面波D分析：自由粒子的动量和能量均为常数。
根据德布罗意关系，其相应的波长和强度（幅度）也为恒量，这样的波就是单色平面波。
15.. 在电子衍射实验中，设加速电压为100V，则电子的德布罗意波长约为（）A．10nm B．1.0nmC．0.10nm D．0.01nm、C分析：公式nm22.1U≈λ，U=100V，所以16. 设光的频率为ν，则该光子的质量可表示为（）A．hνB．νhC．mc2D．2chνD分析：光子的能量为E=hν，爱因斯坦的质能方程为E=mc 2，由以上两式就得出2c h m ν=17. 量子力学的测不准关系反映了（ ） A 、微观粒子的固有特性 B 、测量仪器的精度C 、微观粒子的质量D 、测量方法A18. 设电子和质子具有相同的动能，德布罗意波长分别为λe 和λp ，则有（ ） A ．λe >λp B ．λe =λpC ．λe <λpD ．无法判断A分析：由公式m E h2=λ，当E 相同时，m 大，则λ小19. 微观粒子在空间某处出现的概率与该处（ ）成正比 A ．波函数B ．波函数的平方C ．波函数的绝对值D ．波函数的绝对值的平方D分析：根据波函数的统计诠释可知，微观粒子在空间某处出现的概率必然与粒子在该处的波函数的绝对值的平方成正比 20. 波函数的标准化条件是 （ ） A ．连续 B ．有限C ．归一化D ．单值、有限、连续D21. 处于无限深势阱中的粒子（ ）A ．能量连续，动量连续B ．能量量子化，但动量连续C ．能量量子化，动量也量子化D ．能量连续，但动量量子化C分析：在无限深势阱中的粒子处于束缚状态，其能量及动量必然是量子化的，只能取一些不连续的值。
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是B A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是C A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0. C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是CA.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）BA.E n n = ω.B.E n n =+()12 ω. C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是B A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为CA. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为CA.2μc . B.22μc . C. 222μc . D. 22μc .pton 效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.10.Davisson 和Germer 的实验证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 146. 下列各物体哪个是绝对黑体 (B)(A)不辐射任何光线的物体 (B)不能反射任何光线的物体 (C)不能反射可见光的物体 (D)不辐射可见光的物体 147. 金属的光电效应的红限依赖于:(C )(A)入射光的频率 (B)入射光的强度 (C)金属的逸出功 (D)入射光的频率和金属的逸出功二．填空题1. 、 、 散射给出了能量离散、辐射场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。
黑体辐射、光电效应、Compton 散射2.光电效应方程的表达式是 。
（2m a x 021υm hv +Φ=）3.人们在实验中探测到的电子总是有一定的 、 、特别是有一个局域的位置。
（能量、电荷、静止质量）4.对常用的非相对论电子、中子和光子，它们的de Broglie 波长和它们能量的关系式分别为 、 、 。
（Ee 26.12=λ En 286.0=λ E 410241.1⨯=γλ）5.量子力学的基本特征是 、 、 。
（概率幅描述、量子化现象、不确定性关系）6.由于粒子的 和 不能同时具有确定值，因此在量子理论中不存在粒子的 概念和 概念。
（位置、动量、静止、轨道）7.一个微观粒子的状态总可以用一个波函数),(t rψ来描述。
波函数是粒子坐标和时间的复值函数，概率密度为 ，在波函数分布区域的小体积元υd 中找到粒子的概率为 。
（2||ψ υψψd t r t r t r dP ),(),(),(*=）8.波函数的标准化条件是指 、 、 。
（平方可积、有限、连续）9.量子力学中表示可观测的力学量的算符都是 。
(线性厄米算符)10.量子力学的基本对易关系为 。
（ i p x =],[）11.设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2221exp )(x A x αψ，α为已知常数，则归一化常数A=（πα） 12. 已知钾的逸出功为2.0eV ，如果用波长为73.610m -⨯的光照射在钾上，则光电效应的遏止电压的绝对值/a U /= ，从钾表面发 射出电子的最大速度 max V =()3419316.6310.,1 1.610,9.1110e h J s eV J m kg ---=⨯=⨯=⨯V (45.1） )/(1015.75s m ⨯13. 波长nm 8.7=λ的X 射线在石蜡上受到康普顿散射，则在π/2和π的方向上散射的X 射线的波长分别为 和8.0nm 8.3nm14. 在玻尔氢原子理论中势能为负值，而且数值比动能大，所以总能量为 值，并且只能取 值。
负 不连续 16. 根据玻尔理论，当氢原子处于第二激发态时，它可能发射出的光子的能量分别是)(04.1296.138981131eV E E E E =⨯==-=∆ )(2.1046.133431122eV E E E E =⨯==-=∆)(89.1366.135)4191(1123eV E E E E =⨯=-=-=∆15. 设大量氢原子处于n=4的激发态，它们跃迁时发射出一簇光谱线，这簇光谱线最多可能有 条，其中最短的波长是 nm 6 8.9616. 被激发到n=3的状态的氢原子气体发出的辐射中,有 条可见光谱和 条非可见光谱。