高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (64)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (64)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的

半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()

A. 7π

B. 9π

C. 11π

D. 13π

2.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点

P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值

为

A. 2√2

B. √10

C. √11

D. √12

3.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1

2

PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线

AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√5

2

，则该三棱锥外接球的表面积为()

A. 6π

B. 7π

C. 8π

D. 9π

4.已知正三棱锥S−ABC的侧棱长为4√3，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是()

A. 16π

B. 64

3π C. 64π D. 256

3

π

5.在三棱锥A−BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A−BD−C的平面

角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为()

A. 7π

B. 8π

C. 16π

3D. 28π

3

6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面

直线DE与B1C所成角的大小为()度．

A. 60

B. 45

C. 30

D. 15

7.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1=

AC=CB，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值是()

A. 1

2

B. √2

2

C. √3

2

D. √3

3

8.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=60°，3AB2+4BD2=24，若将△ABD沿BD折起

成直二面角A−BD−C，则三棱锥A−BDC外接球的表面积是()

A. 4π

B. 5π

C. 6π

D. 8π

9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部

的凹凸部分(即榫卯结钩)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁表面涂色，则需要涂色的面积为()

A. 72

B. 96

C. 102

D. 108

10.已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在平面ABC

上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为

A. 36π

B. 42π

C. 54π

D. 24√6π

11.《九章算术》中的堤(两底面为等腰梯形的直四棱柱)上、下两底平行，而对于上、下两底不平

行的堤防，唐代数学家王孝通把它分解成一个堤与一个羡除(注：羡除是指三个侧面为等腰梯形，其他两面为三角形的五面体)，且其体积等于堤与羡除的体积之和金元治河著作《河防通议》给

出了上、下两底不平行的堤防的体积公式V=l

6[(2ℎ1+ℎ2)(a+b1)

2

+(2ℎ2+ℎ1)(a+b2)

2

]，其中a为两头上

广(等腰梯形的上底长)，l为长(下底面等腰梯形的腰长)，ℎ1，ℎ2分别为两头之高(等腰梯形的高

)，b 1，b 2分别为两头下广(等腰梯形的下底长).现有如图所示的一个堤防，其中AD =8，EF =14，BC =20，FC =5，CG =13，FC ⊥FG ，则图中所示的羡除的体积为 ( )

A. 988

B. 460

C. 366

D. 312

12. 棱长都为2的三棱锥ABCD 中，点E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点．设点P ，Q 分别是直线AB ，

CD 上的动点，且满足EP +FQ =2，则线段PQ 的中点M 的轨迹的长度是( )

A. √2

B. 4√2

C. 2π

D. 4π

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

13. 阅读以下问题和解题过程，指出第一次出现错误之处为__________(用序号表示)．

在某圆锥中存在4条两两互相垂直的母线

①

，

求母线与底面所成角的余弦值

②

．

错解 如图，设底面半径是r ，母线长是l ，因为4条母线VA ，VB ，VC ，VD 两两互相垂直，所以

∠AOB=90

∘

③

，所以AB =√2r ，

VA=√2AB=2r,

④

设母线与底面所成的角是θ，所以

cosθ=

OA VA =1

2

⋅⑤

14. 四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两

垂直，且AB =1，AC =2，AD =3，则球O 的表面积为________． 15. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1

的正方形，则该几何体的体积为________．